CC BY
780
II. 1НФОРМАТИКА
УДК 519.7.24/25 + 519.873
КОНТИНУАЛЬНЫЕ ЛОГИКО-АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ИСЧИСЛЕНИЯ КАК ОСНОВА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В АНАЛОГОВОЙ ОБЛАСТИ
Л. И. Волгин
Проведен обзор континуального этапа развития логико-алгебраических исчислений; бесконечнозначная логика Лукасе-вича, логика исчисления иммитансов Шестакова, АМ-алгебра, непрерывная логика, предикатная алгебра выбора, комплементарная алгебра как эффективного направления построения моделей и аппаратурной реализации средств искусственного интеллекта, информационных технологий и расширения интеллектуальных возможностей объектов проектирования.
„Мир культуры требует изменения логических ценностей,... необходимо разработать столько логик, сколько существует типов объектов любой природы"
Г.Башляр (1884-1962) [1]
Булева двузначная алгебра логики охватывает весь двоично-дискретный (виртуальный) мир, в котором переменные-аргументы формул (функций) принимают значения из двухэлементного множества {0,1}: "Ноль и единица от бога, остальное дело рук человеческих" - Л.Кронекер (1823-1891). По объёму и многообразию применений в информационных технологиях и в других областях науки и техники ХХ-й век по праву можно назвать булевым [2].
Но физический макромир, технологии производства и управления, измеряемые и контролируемые параметры в подавляющем большинстве случаях сопровождаются не дискретными, а сопутствующими континуальными (непрерывными, аналоговыми) процессами, что приводит к известным противоречиям использования и развития дискретных логик в континуальной области [3].
В отличии от дискретной в континуальной области каждая физическая ситуация и класс объектов проектирования требует использования или разработки своего логико-алгебраического исчисления [1], аксиомы которого хорошо согласуются с опытными данными и извлечёнными из них "законами природы" [4], для каждой предметной. области и класса её задач необходим свой логико-алгебраический (ЛА) аппарат. Здесь под ЛА-исчислениями [5,6] понимаются математические (символические) предметно-ориентированные логики и специальные алгебры, так как по Б.
Расселу (1872-1970) "не существует пункта, где можно бы провести резкую границу, по одну сторону которой находилась бы логика, а по другую математика".
Согласно [7], исчисление - это основанный на чётких правилах формальный аппарат оперирования со знаниями определённого вида, позволяющий дать точное описание некоторого класса задач, а для отдельных подклассов этого класса - и алгоритм решения. Логические исчисления строятся на базе некоторого формализованного языка. После того как к ЛА-исчислению добавляется интерпретация, придающая значение его исходным символам и формулам, исчисление превращается в язык, описывающий некоторую предметную область.
Логика, в том числе и классическая алгебра логики Дж.Буля (1815-1864), традиционно считается одной из областей рассмотрения философии. Но в континуальной области философско-логическое осмысливание необозримо расширяется, при этом философская проблема истинности в научно-технических приложениях теряет смысл. Здесь при корректно принятых предпосылках (аксиомах), представленных в базисе использованных операций ЛА-исчисления, результат всегда "истинный" (общезначим). Неправильный результат ("ложь") означает неверный выбор используемых базовых операции или системы исходных аксиом, т.е. в научно-технических приложениях философская проблема истинности - это проблема корректности выбора исходных предпосылок, которую относят не к рассматриваемой предметной области, а к проблеме профессиональной пригодности специалиста.
Попытки использования двузначной булевой алгебры в континуальной области приводят к различного вида искусственным дихотомическим конструкциям и релевантным логикам, отражающих стремление выделить уместные принципы и законы через исключение парадоксов классической логики, таких как закон отрицания отрицания (аналога пословицы "Закон, что дышло..." [8] и др.. Более того, во многих континуальных задачах булева алгебра логики противоречит рациональному мышлению, которое также является континуальным [9]. В частности, интуиционисты (математическая школа,
основанная в начале 20-х годов XX века Л.Э.Я.Брауэром и Г.Вейлем), категорически отвергают закон исключенного третьего, как полностью противоречащего человеческому интеллекту [10].
С другой стороны, для успешного развития континуальных информационных технологий и средств искусственного интеллекта [11,12] необходимо увеличить семантическую мощность ЛА-исчислений. Для этого требуется в философском и математическом планах чётко определить базовые понятия, используемые пока на интуитивном уровне, такие как "понимание", "интерпретация" и "смысл", применительно к машинно-механическим аналогам мыслительных процессов человека [13].
Исторически первой континуальной логикой является бесконечнозначная логика Я.Лукасевича (1878-1956) Lffl [14-15], построенная на базе естественного обобщения его конечнозначной логики Ln [16] и классических операций Xj = 1 - xt - аддитивная инверсия (псевдодополнение), л Х2 = min (Xj, Х2) - конъюнкция, Xj v X2 = = max(x1; X2) - дизъюнкция, xt ^ X2 = X\ v X2 = = max(X1, X2) - импликация, в которых переменные
определены на единичном интервале [0,1].Указанное обобщение оказалось "не классическим", так как естественное обобщение классических булевых операций уже в конечнозначной логике и, в частности, трехзначной L3 не удовлетворяют принципу идентичности,
т. е. Xj ^ Xj = 1 для всех е [0, 1 ] , в ней не выполняются законы исключенного третьего v = 1, противоречия xt л xt = 0 и отсутствуют тавтологии.
Дальнейшее развитие этого направления континуальных исчислений получило в алгебраических логиках, порождаемых структурой (логической матрицей)
где
<[0,1 ], е, • , -, 0>
xt е X2 = min(1, X1 + X2),
(1)
Х1 • х2 = (Х1 ® х2) = тах(0, Х1 + - 1) (2)
есть базовые операции, связанные между собой законом де Моргана
Р.Мак-Нотон [17]. Он снял ограничение принадлежности переменных к единичному интервалу [0,1] и ввел унарную операцию аддитивно-диаметральной инверсии Xi = 2X0 - относительно центра X0 = 0, 5(xmin + xmax) заданного произвольного интервала [xmin, xmax] числовой оси, что расширило прикладные применения логики Мак-Нотона (непрерывная логика ) в различных областях науки и
техники, включая континуальные информационные технологии [18-26] и др..
Аналогично, как и логика Lffl, непрерывная логика
Мак-Нотона N , не является классической. В ней ю
сохранились многие законы и свойства булевой алгебры логики С2, но не выполняются законы исключенного третьего и противоречия. Логика , как и логика
Лукасевича Lю при xt = {0, 1} вырождается в двузначную булеву алгебру логики C2.
В основе выше рассмотренных и многих других логик [16] лежат минимаксные базовые операции л = min, v = max. Принципиально новым прорывом в континуальную область является открытие В.И.Шеста-ковым [27-29] континуальной ЛА-модели аналоговых двухполюсных электрических схем с параллельно-последовательным (ПП) соединением двухполюсных схемных элементов и как указано в [30] "одного из создателей алгебро-логической теории релейно-контактных схем - Виктора Ивановича Шестакова, кончина которого в 1987 г. прошла незамеченной математико-логической общественностью" [31]. В процитированном тексте допущены неточности. В отличии от магистерской диссертации К.Шеннона [32] (1938г.) в ЛА-модели Шестакова переменные xt (иммитансы -электрические сопротивления или проводимости) рассматриваются в континуальной области [0, го] и только в предельном (по Шестакову - в вырожденном) случае при xt = {0, го} S-логика вырождается в двузначную
булеву алгебру логики.
В логике Шестакова базовыми операциями являются
мультипликативная инверсия Xj = 1/xt, S-конъюнкция
(гармоническое среднее) и S-дизъюнкция (арифметическое сложение):
л (X1, X2) X111X2 (X- + X2 ) X1 * X2/(X1 + X2) ,
v (X1, X2 ) = X1 + X2,
(3)
Xi © %2 = x\ • Х2 •
Существенный вклад в развитие континуальных (К) ЛА-исчислений с минимаксными операциями
связанными двусторонними преобразованиями (закона-min(Xt, Xn), max(x(, x0) внес шотландский логик N
1 ^ 1 2 ми) де Моргана
Х11| Х2 = Х1 + Х2 , Х1 + Х2 = Х1 || Х2
(4)
(использована терминология и обозначения работ [33,34]).
Функции 8-логики могут быть представлены совмещенными структурно-параметрическими моделями [35]. Это означает, что математические символы конкатенации "||" и арифметического (А) сложения "+" одновременно являются обозначениями топологических операций соответственно параллельного и последовательного соединения схемных элементов = Е(х{ ) - изоморфизм
логико-алгебраических (параметрических) и топологических (структурных) моделей.
Дальнейшее развитие логика Шостаковича получила в работах [33,34], в которых названа логикой исчисления иммитансов ПП-схем.
Общенаучная значимость 8-логики, в частности, определяется тем, что модели динамические объектов любой природы могут быть представлены соответствующей электрической схемой, т.е. могут быть исследованы на аналоговых вычислительных машинах [36] с применением 8-логики.
Выше были изложены наиболее значительные достижения в развитии континуальных логик в первой половине минувшего XX века. Далее рассмотрим развитие континуальных ЛА-исчислений во второй половине XX столетья.
Автором обнаружен дуальный изоморфизм базовых операций (унарных и бинарных) 8-логики и аддитивно-мультипликативной (АМ) алгебры [37-39,1. Действительно, если в базовых операциях 8-логики х^ = 1/х{,
Х1 • + Х2) и Х1 + Х2 , представленных в базисе
операций А-алгебры, символы деления "/", умножения " • " и сложения "+" (3) заменить соответственно на символы А-операций вычитания, сложения и умножения, то приходим к базовым операциям АМ-алгебры:
Х1 = 1 - Х{, V (Х1, Х2 ) Х1 Х2 Х1 + Х2 Х1Х2, Л (Х1, Х2) = Х1 • Х2 , ,
связанных двусторонними преобразованиями де Моргана
Х || (Х1 + Х2) < (Х || Х1) + (Х || Х2) ,
х + (Х 1 || Х2) > (Х + Х1) || (Х + Х2);
Х • (х 1 © Х2) < Х • Х1 © Х • Х2 , Х © (Х1 • Х2) < (Х © Х1) • (Х © Х2) .
АМ-алгебра имеет многочисленные применения в науке и технике [37-40]. В частности, на единичном интервале [0,1] АМ-алгебра является логикой исчисления надёжности по вероятности безотказной работы радиоэлектронной аппаратуры и изделий с независимыми отказами схемных элементов [40], а АМ-
импликация Х1 © Х2 является функцией-аксиомой в алгебре совести Лефевра-Шрейдера [41], на базе АМ-ал-гебры строятся итерационные структуры и алгоритмы для стабилизации коэффициентов передачи измерительных и вычислительных преобразователей [39] и др.
Круг решаемых задач вышерассмотренных континуальных ЛА-исчислений ограничен непрерывными и линейно-изломными функциями. Указанное ограничение снимается в предикатной алгебре выбора (ПАВ) с базовыми операциями аддитивно-диаметральной инверсии непрерывной логики, ПАВ-конъюнкции и ПАВ-дизъюнкции:
л СУ1, У2) = У11(х2 -х1) + у21(х 1 -х2), (5а) v(y1, У2) = У11(х1 -х2) + у21(х2 - х1), (5б) связанных между собой некоммутативным законом де
Х1 © Х 2 = Х1 • Х2 , Х1 • Х2 = Х1 © Х2 . В общем случае в формулах 8-логики и АМ-алгебры переменные являются действительными и комплексными числами.
Базовые операции 8-логики и АМ-алгебры при е [0, 1 ] коммутативны и ассоциативны, но не дистрибутивны, при этом имеют место субдистрибутивные и супрадистрибутивные законы:
Моргана М(у1, у2) = Ж(уь У2).
Здесь 1(х) - единичная функция, равная единице при х > 0 и нулю при х < 0, М(у 1, У2) = Щу2> У1) - свойство коммутативной обратимости бинарных операций ПАВ, Ж есть либо V, либо л , М - либо л , либо V.
При отождествлении предметных и предикатных переменных в (5) (при У1 = Х1 , У2 = Х2 ) приходим к базовым операциям непрерывной логики , которые на двоичном множестве {0,1} вырождаются соответственно в булевы дизъюнкцию Х1 л Х2 и конъюнкцию
Х1V Х2 . Отличительной особенностью ПАВ является то,
что её областями отправления являются два множества
предметных У1,У2, ...,Уп и предикатных Х1,Х2, хт
переменных, что существенно расширяет её функциональные и выразительные способности. Расширение значимости ПАВ-функций осуществляется через операции предметной и предикатной суперпозиции. Неполнота аксиоматики ПАВ оставляет её открытой для развития на её основе сопутствующих ЛА-исчислений, алгоритмов и моделей.
Обобщением ПАВ является комплементарная алгебра (КА) с базовыми операциями аддитивно-диаметральной
инверсии, КА-конъюнкции и КА-дизъюнкции:
а(.У1, У2) = а1у1 + а2у2 , V (ур у2) = а2у1 + а^2,
где весовые коэффициенты а1 + а2 = 1 - условие ком-
плементарности, которое является инвариантным относительно операций предметной суперпозиции, т. е.
Г(У1,у2, уп) = + а2У2 + ... + а„у„ , где а1 + а2 + ... + а п = 1 .
Комплементарная алгебра определяет логическую структуру абстрактных линейных пространств [41]. При
а1 = I(х2 - Х1), а2 = 1(Х1 - Х2) КА вырождается в
предикатную алгебру выбора, а при снятии условия комплементарности она вырождается в алгебру скалярных произведений.
Свойства и законы КА и ПАВ описаны в работах [42-47].
Непрерывная логика, предикатная и комплементарная алгебры и сопутствующие им исчисления являются овеществленными ЛА-исчислениями, т.е. их базовые операции реализованы соответствующим элементным базисом, на котором базируется аппаратурная реализация аналоговых объектов проектирования, информационные технологии и средства искусственного интеллекта: амплитудные селекторы для непрерывной логики [22], реляторы для ПАВ [43,48-50], скаляторы [51] для комплементарной алгебры и алгебры скалярных произведений, нейрореляторы и бинарные нейронные элементы для нейросетей и пороговой логики [50,52,53].
Многочисленные применения ПАВ описаны в работах [43, 48-50, 52, 54-69]. Укажем на поставленную Л.Эйлером (1707-1783) проблему: "Но возникает вопрос весьма важный, что следует думать о разрывных функциях и нельзя ли найти им какое либо применение в анализе" [70]. Нам кажется, что в прикладном аспекте изложенный здесь материал и библиография позволяет утвердительно ответит на поставленный Л.Эйлером вопрос: ПАВ открывает бесконечно разнообразный мир нелинейных разрывных, изломных, сшитых, логических функций и их аппаратурных и программных реализаций.
Интенсивно продолжают развиваться и континуальные ЛА-исчисления на основе функций-аксиом и комбинированных исчислений [4, 71, 72], логики высших порядков [73], логика антонимов [74], частотная логика [75, 76] и др.
Можно сказать, что ХХ-й век передал веку ХХ1-му эстафету третьего (континуального) этапа развития логики, основоположниками которого по праву можно назвать Я.Лукасевича (львовско-варшавская школа) и В.И.Шестакова (Россия).
Работа выполнена при поддержке гранта Минобразования Российской Федерации.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Башляр Г. Новый рационализм, М.: Прогресс, 1987.- 276 с.
2. Bool G. An investigation of the laws of thought, on which are founded the mathematical theory of logic and probabilities.: -London, 1854. Последнее издание.
3. Волгин Л.И., Мишин В.А. Будущее за цифровыми или аналоговыми технологиями? // Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике: Материалы II всероссийской НТК. - Чебоксары: РесЦНИТ, 1998, С.86-89.
4. Рвачев В.Л. Исчисление для Вселенной //Успехи современной радиоэлектроники, 1998, №39, С. 66-67.
5. Волгин Л.И. Континуальне логики и предметные алгебры, порождаемые функцией взвешенных степенных средних // Информационные технологии, 1999, №9, С. 2-11.
6. Волгин Л.И. Континуальные булевы логико-алгебраические исчисления: специальные алгебры, предметне логики // Логико-алгебраические методы в науке, технике и экономике: Труды международной конф. "Континуальные логико-алгебраические и нейросетевые методы в науке, технике и экономике.". - Ульяновск: УлГТу, 2000, Том 1, С. 38-40.
7. Ивин А.А., Никифоров А.Л. Словарь по логике. - М.: Владос, 1998,.384 с.
8. Далин В.Я., Золотов С.Я., Ванин И.Д. Закон сопряжения ортогональностей взамш псевдозакона "борьбы" и единства противоположностей // XIX World Congress of Philosophy: Book of Abstracts. Секция 1: Метафизика. М.Ж 1993, Том 1.
9. Налимов В.В. Непрерывность против дискретност в языке и мышлении, - Тбилиси: Т1У, ¡978, 84 с.
10. Яглом И.М. Современная культура и комп'ютер. - М.: Знание, ¡990, №11.
11. Волгин Л.И., Мишин В.А. Думать за нас никто не будет: Ретроспективный обзор и онтологическое осмысливание искусственного интеллекта // Датчики и системы, 1999, Вып. 4 (8), С.43-48.
12. Волгин Л.И., Мишин В.А. Онтологические аспекты искусственного интеллекта // Вестник УлПУ, 1999, Вып. 4 (8), С,13-19.
13. Одинцов Б.Е., Дик В.В. Синтаксичность моделей баз знаний интеллектуальных систем // Приборы и системы управления, 1998, №1, С. С.15-17.
14. Lukasiewicz J. Elementy logiki matematycznej.- Warsawa, 1929.
15. Lukasiewicz J., Tarski A. Untersuchungen iiber den Aussagen -Kalkiil // Comptes Rendus des Seances de la Societe des Sciences'et des Lettres de varsovie. Classe III. Vol.23,P.1-23.
16. Карпенко А.С. Многозначные логики. Серия "Логики и компьютеры". - М.: Наука, Вып. 4, 223 с.
17. Mc Naughton R. A theorem about valued sentential logic // The Journal of Symbolic Logic, 1951, Vol.16, P. 1-13. Мак-Нотон Р. Теорема о бесконечнозначной логике высказываний // Кибернетический сборник / Пер. с англ. -М.: Изд-во иностр. литературы, 1961, вып.3, С.59-78.
18. Гинзбург С.А. Математическая непрерывная логика и изображение функций. -М.: Энергия, 1968, 136 с.
19. Левин В.И. Бесконечнозначная логика в задачах кибернетики. - Радио и связь, 1982, 176 с.
20. Шимбирев П.Н. Гибридные непрерывно-логические устройства. -М.: Энергоатомиздат: 1990, 174 с.
21. Волгин Л.И., Левин В.И. Непрерывная логика. Теория и применения. - Таллин: Ан Эстонии, 1990, 210 с.
22. Волгин Л.И. Непрерывная логика и ее схемотехнические применения. - Ульяновск: УлГТУ, 1996, 108 с.
23. Реляторные и непрерывнологические сети и модели // Труды международной НТК "Нейронные, реляторные и непрерывнологические сети и модели" / Под ред. Л.И.Волгина. - Ульяновск: УлГТУ, 1998, Том 2, 108 с.
24. Теория и общие вопросы обработки аналоговой информа-ции//Труды международной конф. "Методы и средства преобразования и обработки аналоговой информации" / Под ред. Л.И.Волгина. - Ульяновск: УлГТУ, 1999, Том 1, 124 с.
25. Логико-алгебраические методы в науке, технике и экономике // Труды международной конф. "Континуальные логико-алгебраические и нейросетевые методы в науке, технике и экономике" / Под ред. Л.И.Волгина. - Ульяновск: УлГТУ, 2000, Том 1, 141 с.
26. Левин В.И. Непрерывная логика и ее обобщения. - Пенза: Пенз. технологический институт, 1999, 40 с.
27. Шестаков В.И. Некоторые математические методы конструирования и упрощения двухполюсных электрических схем класса А: Дисс. канд. техн. наук. -М.: НИИФ МГУ, 1938.
28. Шестаков В.И. Алгебра двухполюсных схем, построенных исключительно из двухполюсников // Журнал технической физики, 1941, Вып 9, С. 532-549.
29. Волгин Л.И. Топологические преобразования и синтез схем радиоэлектронных средств. -Тольятти: Изд-во ПТИС, 2000, 173 с.
30. Бирюков Б.В. "Свет не вне меня, а во мне" // Вейль Г. Математическое мышление. - М.: Наука, 1989, С.338-359.
31. Волгин Л.И.. Шестаков В.И. - основоположник континуального этапа развития математических логик // Труды международной конф. "Континуальные логико-алгебраические и нейросетевые методы в науке, технике и экономике". - Ульяновск: УлГТУ, 2000, Том 1, С. 36-37.
Современная логика: Проблемы теории, истории и применения в науке: Материалы VI Международной научной конф. - Спб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2000, С. 443446.
32. Шеннон К. Символический анализ релейных и переключательных схем // Работы по теории информации и кибернетике / Перевод с англ.- М.: Изд-во иностр. литературы, 1963, С.9-45.
33. Волгин Л.И. Логика исчисления иммитансов многоэлементных электрических двухполюсников. - Ульяновск: УлГТУ, 1998, 24 с.
34. Волгин Л.И. Определение сопротивлений и проводимости логико-алгебраическим методом // Электричество, 1998, № 7, С.64-69.
35. Волгин Л.И. Совмещённые структурно-параметрические модели технических объектов // Труды международной НТК "Нейронные, реляторные и непрерывнологические сети и модели". - Ульяновск: УлГТУ, 1998, Том 3, С.3-6.
36. Алексаков Г.Н., Гафрилин В.В., Федоров В.А. Персональный аналоговый компьютер. - М.: Энергоатомиздат, 1992, 256с.
37. Волгин Л.И. Представление функций булевой алгебры на плоскости комплексных чисел // Электронное моделиро-вание,1995, № 4, С.3-10.
38. Volgin L.I. Reprsenting functions of the boolian binary algebra on the complex plane // Engineering Simulation, 1996, Vol. 13, P. 537-550.
39. Волгин Л.И. АМ-алгебра и её применения. -Ульяновск: УлГГУ,1997, 52 с.
40. Волгин Л.И. Логические основы математической теории надёжности. -Ульяновск: УлГТУ, 1997, 44 с.
41. Волгин Л.И. Алгебра совести Лефевра-Шрейдера как семантическая модель АМ-алгебры // Труды международной конф. "Методы и средства преобразования и обработки аналоговой информации". - Ульяновск: УлГТУ, 1999, Том I, С.7-8.
42. Волгин Л.И. Комплементарная алгебра и логическая структура абстрактных линейных пространств // Труды международной НТК "Нейронные, реляторные и непрерыв-нологические сети и модели". - Ульяновск: УлГТУ, 1998, Том 4, С.3-6.
43. Волгин Л.И. Предикатная алгебра выбора и её модификации (остовы теории и элементный базис) // Опыт, результаты, проблемы: Повышение конкурентоспособности радиоэлектронной аппаратуры. Сб.статей. -Таллин: Валгус, 1986, Вып.4, С.64-104.
44. Волгин Л. И. Свойства и законы комплементарной алгебры //Известия АН ЭССР. Физика, математика, 1986, № 4, С.417-427.
45. Волгин Л.И. Свойства и структуры функций осреднения. -Таллинн: АН Эстонии, 1992, 72 с.
46. Волгин Л.И. Комплементарная алгебра и предикатная алгебра выбора. -Ульяновск: УлГТУ, 1996, 68 с.
47. Волгин Л.И. Векторная комплементарная алгебра. - Ульяновск: УлГТУ,1996, 52 с.
48. Волгин Л.И. Элементный базис предикатной алгебры выбора // Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1987, № 5, С.75-79.
49. Волгин Л.И. Синтез устройств для обработки и преобразования информации в элементном базисе реляторов. -Таллинн: Валгус, 1989, 180 с.
50. Волгин Л.И. Элементный базис реляторной схемотехники. -Тольятти: Изд-во ПТИС, 1999, 71 с.
51. Пухов Г.Е., Бардаченко В.Ф., Королёв Ю.В. Вычислительные устройства на скаляторах.- Киев: Техника, 1983, 143 с.
52. Волгин Л.И. Единичные функции и сети на бинарных нейронах. -Ульяновск: УлГТУ, 1996, 58 с.
53. Дортоузос М. Пороговая логика / Пер.с англ. - М.: Мир, 1996, 58 с.
54. Volgin L.I., Rebane R. - V.P. Ordinar filters for the tolerance control and sorting based relators // 2nd International Simposium on Measurement Electrical Quantites. - Warsaw: IMEKO -
TC4, May 26-28, 1987, P. 49-57.
55. Volgin L.I. Relator-based processors for renging and ordinal processing // Journal of New Generation Computers Systems, 1991, Vol.4, № 2, P. 131-141.
56. Volgin L.I. Relator-based processors for rank-adressi identification and selection of analog signals // Engineering Simulation, 1995, Vol.13, P. 47-62.
57. Volgin L.I. Pattern recognition and neurocomputing // Pattern Recognition and Analysys, 1996, Vol. 6, № 1, P. 31-32.
58. Volgin L.I., Climovsky A. Expansion of intelligent opportunities of electric devices // Actual Problems of Measuring Tech-nque: Proceedings of the International Conference. - Kyiv: KPI,
1998, P. 52-53.
59. Volgin L.I. Representation of continuous logic function in predicate option algebra and synthesis of relational processors // Engineering Simulation, 1999, Vol.16, P. 135-156.
60. Андреев Д.В. Реляторные коммутационно-логические преобразователи и процессоры ранговой обработки аналоговых сигналов: Дисс. канд. техн.наук. - Ульяновск: УлГТУ, 1998, 19 с.
61. Курносов В.Е., Курносова Т.В., Наумова И.Ю. Построение моделей конструкций на основе предикатной алгебры выбора и вариационной формулы мКэ // Надежность и качество: Книга докладов Международного симпозиума. -Пенза: ПГУ, 1999, C.3IO-3II.
62. Курносов В.Е. Теория и методы оптимального проектирования устройств радиотехники и связи: Автореферат дисс. д-ра техн.наук, 1999, 50 с.
63. Колосков В.А., Медведева М.В., Медведев А.В. Предикатная алгебра выбора в задаче построения клеточной самоорганизующей оболочки // Труды международной конф. "Континуальные логико-алгебраические и нейро-сетевые методы в науке, технике и экономике". -Ульяновск: УлГТУ, 2000, Том 1, С.63-65.
64. Медведев А.В. Континуально-логические алгоритмы и устройства клеточной самоорганизации мультимикроконтрол-лера с программируемым резервом: Дисс. канд.техн.наук. -Курск: КГТУ, 2000, 24 с.
65. Андреев Д.В. Однородный реляторный процессор для ранговой обработки аналоговых сигналов // Радиоэлектронная техника: Сб.научн.трудов. - Ульяновск: УлГТУ,
1999, С. 40-44.
66. Андреев Д.В., Сорокин А.В. Одномерные сети на основе рекуррентных функций предикатной алгебры выбора // Там же, С.48-52.
67. Волгин Л.И. Реляторные процессоры на основе графа Паскаля для адресно-ранговой идентификации селекции и ранжирования аналоговых сигналов. - Тольятти: Изд-во ПТИС, 2000, 81 с.
68. Л.И.Волгин. Век XX: Персональный библиографический указатель публикаций. - Ульяновск: УлГТУ, 2000, 114 с.
69. Волгин Л.И. Реляторные генераторы и формирователи нелинейных функций. - Ульяновск: УлГТУ, 1998, 76 с.
70. Отрадных Ф.П. Математика XVIII века и академик Леонард Эйлер. -М.: Советская наука, 1954, 40 с.
71. Рвачев В.Л. От специальной теории относительности к математике без аксиомы Архимеда и обратно // Радиотехника, 1995, № 1-2, С.58-70; 1995, № 6, С.39-48.
72. Ерименко С.Ю., Кравченко В.Ф., Рвачев В.Л. Комбинируемые неархимедовы исчисления и новые модели релятивистской механики // Успехи современной радиоэлектроники, 1997, № 9, С.26-38.
73. Теленик С.Ф. Интеллектуальные системы и логики высших порядков // Радюелектрошка. !нформатика. Управлшня. Изд-во Запорожского техн. ун-та, 1999, № 1, С.96-105.
74. Голота Я.Я. Предикатная алгебра выбора и логика антонимов: что общего? // Труды международной конф. "Континуальные логико-алгебраические и нейросетевые методы в науке, технике и экономике". - Ульяновск: УлГТУ,
2000, Том 1, С.46-51.
75. Зверев Г.Н. Частотная логика - альтернатива классической логике в новых информационных технологиях // Информационные технологии, 1998, № 11, С.2-10.
76. Зверев Г.Н. Оценка точности логических приближений и границ применимости классической и неоклассических логик//Информационные технологии, 1999, № 12. С.12-19.
