CC BY
52
УДК 519.713.2
Л.И. ВОЛГИН, А.Б. КЛИМОВСКИЙ, Д.В. АНДРЕЕВ
КОМПЛГ МЕНТ АРНАЯ АЛЛ БРА - ОБОБЩЕНИЕ КОНТИНУАЛЬНЫХ И Д ИСКРЕ 1НЫХ ЛОГИК
Рассмотрен логико-алгеораический аппарат, объединяющий ряд континуальных и дискретных логик, порождаемых комплементарной алгеброй через наложение ограничений на используемые переменные. Среди частных логико-алгебраических структур предикатная алгебра выбора, непрерывная логика, ад-дитивно-мультиплккативная алгебра, вероятностная логика и логика исчисления иммитансов, которые являются континуальными обобщениями двоичной Ьуле-вой алгебры логики, отображающими часть ее законов и свойств в непрерывную (аналоговую) область
В настоящей статье рассмотрен логико-алгебраический аппарат (комплементарная а1гебра), объединяющий ряд континуальных и дискретных логик. Бажовыми операциями в комплементарной алгебре (КА)
являются диаметральная (непрерывнологмческая) инверсия у = 2у0 -
комплементарные конъюнкция (1а) и дизъюнкция (16):
/ . .. \ .-._.„. М£-Г..... г.. .. — \1 ✓ 1
1 >У1)-У\ч V/*-" -г У2 ~и )}> \ 1а)
2? =УА(у1,у2) = у1а +у2а---0 5[у1+у2+(у1-у2)(а- |1 (1б)
где А = (а,а), а + а = 1 (условие комплементарное™); у0 +>'тах)
- центр области определения ___1 предметных переменных
(Жайстзгш-еаьчце и комплексные числа); а и а = 1 а есть весовые кеэф-фициьяты.
Расширение кттасса К\-фучкций осуществляется через операцию суперпозиции. В результате этого приходим к многозначным КА-функциям г = УА (У) = УЩ1У + уга2 +... + упа„, где УА (У) - символ скалярного произведения векторов А = (а1,...,ая) и У = Щ г..,уп).
Пг*Н КЧ ' ' ' 1 1 ' ' ' ' тл»тт гшнт лг члгп \гт»онттатч1п и-—-ттлл^и „ллпч^
--Х- " "«-^-ТЖТ/ИИЕ -_• -_• А ||и;;;! 1 КЯШПЯ ииии^'^и'^И! в^иЯшл
коэффициентов е {0,1} при а = /(*, - х2) (Ьункции (1) вырождаются в базовые опепации предикатной алгебры выбора (П АВ):
\ = Л ,х2) = у 1Г(х2-х1) + у21(Х1 -х2), (2а)
г2=У-(х1,х2) = уу1(х1-х2) + у21(х2-х1), (26)
воспроизводящие операции альтернативного выОора одной из двух предметных переменных. В выражениях (2) х, и х2 являются предикатными переменными, Кх) - единичные функции, равные нулю при кО и единице при х > 0, 1(х2 — д:1) = 1 — 7 (лгг — ) = 1 — сг - а .
Свойства и логические законы КА и ПАВ описаны в работах [2,3].
При отождествлении предметных и предикатных переменных (при у1 = хг, Ш выражения (2) воспроизводят базовые операции непрерывной (бесконечнозначной, нечеткой) логики (НЛ):
Z^ =Л/(дс],дг2) = тт(д:1,х2) = 0.5(д:1 +х2-|.х1|-х2 |), (За)
2г =Г/(л1,л2) = шах(л1,л:2) = 0.5(д;1 4- х2 +1 х, - х2 ¡) (36)
- операции выделения (селекции) минимальной (За) и максимальной (36) переменных.
Свойства и законы ЮТ описаны в работах Г4,5].
Если в (3) переменные х; принимают К фиксированных (разрешенных) значений, то приходим к базовым операциям многозначных логик (МЛ) [6].
При изложении условия бинарности на переменные х1,х2 £{0,1} выражения (3) впепризводят базовые операции двоичной булевой алгебры (БД) - булег.ы конъюнкцию 7- = ; дг, и дизъюнкцию 2г = .х; V х- [¿1
Если в КА-кспъюнкции (1а) положить >,1 =0 , а в КА-дкзъюнкции (16) положите у 1, тс при >', = у из (1) приходим к базовым операциям аддитиьно-мультипликативной (АМ) алгебры
= А(й>й)(0. Рг) = 0.5[р1 + р2 - (Р1 +р2- 2р1р2)], (4а)
2г = ? о»,./-. :: Рг) = 0 ЗА + Рг + (Р\ + Рг ~ 2Р\Рг )к (
где рх- \~Ру. В (4) обозначения переменных а и у2 заменены соответственно на р1 и р2.
Третьей базовой операцией в АМ-алгебре является булева (аддитивная) инверсия р = 1 - р:.
Счедоватедьно, полная система базовых операций АМ-ятгебры опре-
Ду^ 1ЯV ж аа л>лр а/^Ши! М ¿1
?г = \р„г2) = РгР2, (5а)
= 1 <, ,. =Р|Ф Рг ~ Р\+ Рг~ Р\Рг ■> С*
р1=\-р1. (5в)
Согласно (5), АМ-коныонкция и АМ-дизъюнкция яь.хяются соответственно операциями арифметического (А) умножения рх- р2 и вероятностного сложения р, № о^ = р, + р., - р>
«Л ' » * А А X. Л I А X.
Свойства и логические лаконы АМ-алтебры описаны в работах [7,Я]. В частности, в А.М-алгебре имеют место законы (преобразования) де Моргана
Р\ ф Рг = Р\ • Рг» Р\- Рг = Р\ ф Р? и Щ>-
В [9] показано, что результирующие вероятности безотказной работы (ВЕР) Р изделий с кезаьисимыми отказами и пара.шельно-последова тельной логической схемой надежности (ЛСН) являются функциями АМ-алгеоры:
где р1 = р(Е ) е [0,1] есть ВЬР / - го элемента ЛСН изделия. Здесь первое и второе равенства представлены соответственно в базисе А-операций (•,+) и АМ-операций (-.Ф).
На интервале р е[0,1] АМ-алгебра является логикой исчисления надежности. При этом символы А-умножения «•» и вероятностного сложения «Э» одновременно являются обозначениями базовых операций АМ-алгебры (Р-логиля) и обозначениями тополо1 ических операций последовательного и паралтельного соединений элементов Е, в ЛСН изделий.
При р\ е{01} АМ -алгебра и Р- логика вырождаются соответственно в двоичную логику Дж.Буля.
Речи в базовых операциях АМ-а.1гебры (.5) А-операции сложения, вычитания и умножения заменить соответственно на дуальные А-операции умножения, деления и сложения, приходим к базовым операциям логики В И.Шестакова [10,11]
= Сба)
А(М'1,Н'л ) = Н'1 || И'т = - (66)
н-! ^ т2
(6в)
названной в [12] логикой исчисления иммитансов (\\^-логика), то есть логикой полных сопротивлений и проводимостей двухпо.посных элементов В (6) обозначения р\ заменены на обозначения иммитансов ; . В
\V-am ебре, согласно (6), ТР = Ь является мультигыикативной инзер-
/
сией, то есть величиной, дуальной исходному имми гансу м>
Если через символы конкатенации «||» и А сложения «(-» обочна^ить соответственно операции параллельного и последовательною соетине-ния элементов (двухполюсников) Е1 и одновременно через символ конкатенации обозначить операцию иммитаиеного деления || п'2, то базовые
операции имитансного деления «||» и А-сложения «+», как и в АМ-атгебре, совмещаются соответственно с топологическими операциями параллельного и последовательного соединения элементов и фрагментов двухполюсных электрических цепей (изоморфизм ло1 ико-а,1гебраических и топологических операций).
Свойства и законы логики иммитансов описаны в [10-12]. В частности, в \У-лигике имеют место законы де Моргана
|| М2 = ¡£|, + и'2 , И1! + = Е! Щв И ГРОДНО из направлений развития теории электрических цепей заключаемся в использовании математических логик для решения задач анализа и синтеза. Основоположником указанного направления в теории электрических цепей является В.И.Шестаков. опубликовавший одновременно с К.Шенконом в 1938 году свою работу [11]. Но в отличие от К.Шеннона он рассматривал иммитансы е[0.ло] в континуальной области и только в предельном (по Шесгакоьу в вырожденном) случае, когда иммитансы принимают значения из двухэлементною множества {0,оп}, е1 о логическая модель является двоичной логикой Дж.Буля.
Представленные здесь лотико-алгебраические структуры (КА ПАВ, НЛ МЛ. АМ-атгебра, Р логика, W-лolикa, БА) порождаются комплементарной алгеброй через наюжение дополнительных ограничений на переменные и образуют две последовательности вложенных структур.
первая: КА-ПАВ-НЛ-МЛ-ЪА и вторая: КА-АМ-БА или КА-АМ-( > -БА.
При этом НЛ, АМ-алгебра, Р-логика и ^-логика являются континуальными обобщениями двоичной булевой алгебры логики, отображающими часть ее законов и свойств в непрерывную (аналоговую) область При этом векторная К А (предметные переменные являются векторами [13]) раскрывает логическую структуру абстрактных линейных пространств [14], а ПАВ яв^ясь обобщением НЛ, раскрывает логическими методами бесконечно разнообразный мир нелинейных функций (изломных, разрывных. кусочно-сшитых и др.) и указывает путь их аппаратурной реализации [15].
Здесь уместно процитировать Л.Эйлера (1707-1783).«Но возникает вопрос.. весьма важный, что следует думать о взрывных (Ь' нкииях и нельзя ли найти им какого-либо места в анализе». По нашему мнению,ответ на лют вопрос дает предикатная алгебра выбора [2] и ее приложения [15].
Элементарные функции ПАВ воспроизводятся реляторами - логическими схемными элементами, содержащими один или два компаратора, которые управляют состоянием 1руппы замыкающих и размыкающих ключей [16].
В элементном базисе реляторов возможно построение широкой номенклатуры коммутационно-логических преобразователей (функциональных, вычислительных, управляющих, коммутирующих, из-
мерительных и др.) и аналоговых процессоров, включая нейроприцес-соры и нейротехнияеские системы [2,17,20].
В часгности, на основе реляторных процессоров для адресно-ранговой обработки кортежей аналоговых сигналов [17-20] возможно построение «интеллектуальных» электронных приборов, устройств и систем, которые наряду с основной задачей воспроизводят ряд сопутствующих интеллектуальных функций [21].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Яглом И.М. Математические структуры и математическое моде.ш-рование.м.: Советское радио, i98ü. 144 с.
2. Волгин Л.И. Комплементарная алгебра и релятопные модели нейронных структур с кодированием номера канала // Электронное моделирование. 1994. W 3. С. 15-25.
3. Волгин Л.И. Комплементарная алгебра и предикатная ашебра выбора. Ульяновск: УлГТУ, 1996. 68 с.
4. Гинзбург С.А. Математическая непрерывная логика и изображение функций. М.:Энергия, i9ö8. 136 с.
5. Вощин Л.И. Левин В.И. Непрерывная логика. Теория и применения. Таллинн: АН Эстонии, 1990. 210 с.
ii [lw nt пли i Д Floruuprt ■■ ; iiPTQ -i знаЛКЗИ " C""'i'S!32 схем. M.; Энергия, 19b8. 228 c.
7. Волгин Л.И, Свойства и законы двоичных булевых функций на множестве действительных и комплексных чисел // ^Чвтоматика и вычислительная техника. 1994. № 5. С. 5-21.
8. Волгин Л.И АМ-алгебра и ее применения. Две лекции по курсу «Логические оснивы и модели нейронных сетей». Ульяновск: УлГТУ, 1997. 52 с.
9. Волгин Л.И. Логические основы математической теории надежности. Ульяновск: УлГТУ, 1997. 44 с.
Ю. Шестаков В.И. Некоторые математические методы конструирования и упрощения двухполюсных электрических схем класса А: Дис... канд. техн наук М.: МГУ, 1938.
11 Шестаков В.И. Алгеппя двухполюсных схем построенные ис-
» • А
ключительно из двухполюсников // Автоматика и телемеханика. 1941. №2. С. 15-24.
12. Волгин Л.И. Логика исчисления имитадсов многоэлемептных электрических двухполюсников. Ульяновск: УлГТУ, 1998. 24 с.
13. Волгин Л.И Векторная комплементарная алгебра и ее применения. Ульяновск: УлГГУ 1096. 52 с.
14. BojIthh Л.И. Комплементарная алгебра и логическая структура абстрактных линейных пространств //' Математические и физические модели технических объектов: Труды международной НТК «Нейронные,
гл л
реляторные и непрерывнологические сети и модели». Ульяновск: УлП*У. 1Ч98.Т4. С. 3-6.
15. Волгин Л.И. Реляторные генераторы и формирователи не^шней-ных функций. Ульяновск: УлГТУ, 1998. 76 с.
16. Волгин Л.И Интегральные реляторные микросхемы КФ1100СКАВ. Типовые вктючения и применение // Электронная промышленность. 1991. № 8. С. 77-80.
17. Волгин Л.И. Ретятооные нейоопропессоры и коммугапионно-логические преобразователи аналоговых сигналов с кодированием номера канала. Ульяновск: Ул1 ГУ. 1996. 73 с.
18. Волгин Л.И. Синтез устройств для обработки и преобразования информации в элементном базисе реляторов. Таллинн: Валгус, ¡989. 180 с.
19. Персональный библиографический указатель публикаций Л.И.Волгина/ Составитель Н.П.Шерстнева. Ульяновск: УлГТУ. 1997. 96 с.
20. Андреев Д.В. Ре:гяторные коммутационно-логические преобразователи и процессоры ранговой обработки аналоговых сигналов: Авто-реф. . .. канд. техн. наук .Ульяновск: УлГТ>, 1998. 1У с.
21. Болтин Л.И., Климовский А.Б. Расширение интеллектуальных возможностей электроизмерительных приборов // Реляюрные и непре-рывнолотические сети и мелели* Труды международной НТК «Нейронные, реляторные и непрерывнологические сети и модели». Ульяновск: УлГТУ, 1998. Т 2. С. 100-104.
Волгин Леонид Ц шноеич, доктор технических наук, профессор, заредуюи^ий кафедрой «Конструирование и пооизводство раоиоаппарптуры » Ульяновского государственного технического университета , окончил Ленинградский институт авиационного приборостроения. Имеет монографии и статьи в ооласти информационно-измерительной техники и логического синтеза аналоговых электрических цепей.
климовькии Анорей Борисович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Физика» Ульяновского государственного технического университсти. окончил Ленинграоский государственный университет. Имеет публикации в области информационных технологий.
Андреев Дмитрий Васильевич, каноидат технических наук, доцент кафедры «Конструирование и производство радиоаппаратуры», окончил Учьяновскии политехнический институт. Имеет публикаиии в области речяторной схемотехника.
