CC BY
55ЛОГАРИФМИК ТЕНГЛАМА ВА ТЕНГСИЗЛИКЛАРНИ ЕЧИШНИНГ
БАЪЗИ УСУЛЛАРИ
Муяссар Норбоевна Бобоева Ризвон Хасановна Асадова
Бухоро давлат университети Бухоро вилояти, Вобкент тумани
Математик анализ кафедраси 30-мактаб
АННОТАЦИЯ
Ушбу маколада логарифмик фунциялар хакида маълумотлар, логарифмик тенглама ва тенгсизликларни ечишнинг айрим усуллари баён килинган. Келтирилган усуллар ёрдамида ечилган тенглама ва тенсизликлардан намунавий мисоллар ечими билан берилган.
Калит сузлар: логарифм, фунция, тенглама, тенгсизлик.
SOME METHODS OF SOLVING LOGARITHMIC EQUATIONS AND
INEQUALITIES
Boboyeva Muyassar Norboyevna Asadova Rizvon Hasanovna
Bukhara State University Bukhara region, Vobkent,
Department of Mathematical Analysis School number 30
ABSTRACT
In this paper we provide information about logarithmic functions, the methods of solving of logarithmic equations and inequalities. Sample examples of equations and inequalities solved using the given methods are presented with the solution.
Keywords: logarithm, function, equation, inequality.
КИРИШ
Бизга мактаб математика курсидан маълумки 3х = 5 куринишшдаги курсаткичли тенгламаларни log3 белгини киритиш оркали ечиш мумкин. Бу холда тенглама ечими х = log3 5 каби булади.
Логарифм юнонча logos - "нисбат" ва "сон" сузлари билан боглик булиб, мусбат сонлар тупламида аникланган функция. Сонларни кушиш ва айириш, уларни купайтириш, булиш ва даражага кутаришга нисбатан соддарок булгани учун юкоридаги хоссалардан фойдаланиб, логарифм дастлаб техник хисобларда кенг кулланилган. Логарифмик жадваллар тузилиб, логарифмик линейкалардан фойдаланилган. Компютер ихтиро килинганидан сунг линейкаларга эхтиёж колмади. Логарифм ва логарифмик функция тушунчасини Шотландиялик математик Д.Непер биринчи булиб киритган ва урганган (1614).
x сонининг а асосга кура логарифми деб а сонни х хосил булиши учун кутариш керак булган даражага айтилади.
Таърифга кура х = loga b ни топиш ах = b тенгламани ечиш билан тенг кучлидир. Масалан, log2 16 = 4, чунки 24 = 16.
Логарифмни хисоблашга логарифмлаш амали дейилади. Одатда а ва b сонлари хакикий сонлар булади, бирок комплекс логарифмлар хам мавжуд. Логарифмлар кийин хисоб китобларни осонлаштирувчи бир канча мухим хоссаларга эга. Логарифм тушунчаси ёрдамида "купайтириш" амали "кушиш"амалига утади, "булиш" амали эса "айириш" амалига утади. Машхур Лаплас уз асарларида логарифм пайдо булиши билан астрономлар мехнати анча осонлашган, умри эса икки марта узайганлиги хакида ёзиб колдирган.
У = loga х логарифмик функция куплаб сохаларда ишлатилади. Масалан, дифференциал тенгламаларни ечишда, микдорлар кийматини классификация килишда, турли богликликларни аппоксимасия килишда, маълумотлар назариясида, эхтимоллар назариясида ва хоказо. Бу элементар функция булиб, курсаткичли функцияга тескари функция хисобланади. Купинча 2 асосга кура, е асосга кура (натурал логарифм) ва 10 асосга кура (унли логарифм) логарифмлар ишлатилади.
ах = b тенгламада а = 1 булган хол кизик эмас, чунки b ф 1 булганда бу тенглама ечимга эга эмас. b = 1 булганда эса исталган х сони ах = b тенгламанинг ечими хисобланади. Х,ар иккала холда хам логарифм аникланмаган. Худди шунга ухшаш а нинг 0 га тенг ёки манфий кийматларида хам логарифм аникланмаган. Бундан ташкари, ах нинг киймати хамиша мусбат сон, шу сабабли b < 0 хол каралмайди. Шундай килиб, loga b хакикий логарифм а > 0, а ф 1, b > 1 булганда маънога эга.
Маълумки, а сонига куйилган юкоридаги шартларда у = ах курсаткичли функция мавжуд, монотон ва хар кандай кийматни бир марта кабул килади, бундан ташкари, унинг кийматлар туплами (0; +го) га тенг. Шу сабабли мусбат соннинг хакикий логарифми хамиша мавжуд ва бир кийматли аникланган.
Логарифм таърифидан куйидаги асосий логарифмик айният келиб чикади:
alogab = b.
Бундан ташкари,
loga 1 = 0, loga a = 1.
Асосий хоссалари:
1. loga(xy) = logax + logay;
2. loga ^ = loga x - loga y;
3. logaxp = plogax;
1
4. logaPx = -logax;
5. loga //x = 1 loga x.
Kyпайтма хакидаги 1^оссани log (Xi
• x2 • ■■■ • xn) _ logaXi +logaX2 +- + log a ^n каби осонгина yмyмлаштириш мумкин.
Бу xоссадар логарифмларни куллаш нима учун хисоблашларни соддалаштирганини кyрсатади.
ЛОГАPИФМ АСОСИНИ АЛМАШТИPИШ:
а асосга кура loga b логарифмда бошка с асосга Утиш мумкин,
logc b
Ь = с булган холда
log« Ь =
loga Ь =
loge a 1
logba тенглик хосил булади.
Логарифмнинг яна бир ажойиб хоссаларидан бири: loga b логарифм киймати мусбат булиши учун а ва b сонлари 1 дан бир томонда, яъни хар иккаласи 1 дан катта ёки хар иккаласи 1 дан кичик булиши зарур ва етарлидир. а ва b сонлари 1 сонидан икки томонда жойлашган булса, логарифм киймати манфий булади. Мусбат сонлар учун исталган тенгсизликни логарифмлаш мумкин, агар логарифм асоси 1 дан катта булса, тенгсизлик ишораси узгармайди, агар логарифм асоси 1 дан кичик булса, тенгсизлик белгиси карама-каршисига узгаради.
ЛОГАРИФМИК ФУНКЦИЯНИНГ АСОСИЙ ХАРАКТЕРИСТИКАСИ:
Агар логарифмланаётган сон узгарувчи сифатида каралса, биз у = loga х логарифмик функцияни хосил киламиз. Бу функция a > 0, х>0 булганда
аникланган. ^ийматлар туплами (—го; +го) дан иборат. Унинг графиги куп холларда логарифмика деб юритилади. Логарифмнинг асосларини алмаштириш формуласидан 1 дан катта турли асосли логарифмик функция графиклари бир-биридан у уки масштаби билан фарк килиши келиб чикади.
Худди курсаткичли функция каби логарифмик функция хам транцендент функциялар категориясига киради. а > 0 булса катъий усувчи, 0 < а < 1 холда эса катъий камаювчи функция булади. Х,ар кандай логарифмик функция графиги (1; 0) нуктадан утади. Бу функция узлуксиз ва узининг аникланиш сохасида чексиз марта дифференциалланувчи функция.
х = 0 ордината уки вертикал асимптота булади, сабаби
а > 1 булганда limx^0+0 loga х = —го;
0 < a < 1 булганда limx^0+0 loga x = Логарифмик функция хосиласи учун
d 1 ~Г~ loga X =
йх х 1п а
тенглик уринли.
Таъкидлаш жоизки, логарифмик функция
/(ху) = /(х) + /(у)
Функционал тенгламанинг ягона узлуксиз ечимидир.
Х,осила учун умумий формуладан натурал логарифм учун куйидаги содда натижага эга буламиз:
^ , 1 — 1п х = -.
^х х
Шунинг учун математик тадкикотларда айнан натурал логарифм купрок ишлатилади. Улар дифференциал тенгламаларни ечишда, статистик богланишларни ва туб сонлар таксимотини урганишда мухим ахамият касб этади. Х,осила учун формулани х = 1 дан х = Ь гача интеграллаб
_ съах
Л х
1
ни хосил киламиз. Бошкача айтганда, натурал логарифм у = - гипербола остидаги
lnb
эгри чизикли трапеция юзига тенг.
Булаклаб интеграллаш формуласи ёрдамида натурал логарифмдан олинган аникмас интеграл
I
ln X dx = x ln x — x + С
каби топилади.
Математик анализ ва дифференциал тенгламалар назариясида /(х) функциянинг логарифмик хосиласи тушунчаси мухим роль уйнайди:
Натурал логарифмик функцияни 1 нуктанинг атрофида Тейлор каторига ёямиз:
2 3 4
1п(1 + х) = х- Хт + Хт-ХТ+ . (!)
Бу каторга "Меркатор" катори дейилади ва у —1 < х < 1 булганда якинлашувчи булади. Хусусан
1п2 = 1-- + ---+... .
2 3 4
Логарифмлар билан боглик; бир нечта мухим лимитларни келтирамиз:
1. lim^^^oga-^;
2. limx^0+ xb loga x = 0 (Ь > 0);
3. limx^^ = 0 (b>0);
4. lnx = limn^OTn(Vx) = limn^OTn(1 -ñ^);
5. lnx = limn^0
h .
ЛОГАРИФМИК ТЕНГЛАМАЛАР.
Логарифм белгиси остида узгарувчи катнашган тенгламаларга логарифмик тенгламалар дейилади. loga х = b куринишдаги тенглама энг содда логарифмик тенгламадир. Бу ерда а > 0, а ф 1. Исталган b хакикий сон учун бу тенглама ягона х = аь ечимга эга.
loga/(x) = loga#(x) куринишдаги тенгламани ечиш масаласи /(х) = ^(х) тенгламани ечиш масаласига келтирилади. Бу логарифмик функциянинг монотонлик хоссасидан келиб чикади. Бу ерда а > 0, аф1; /(х) ва ^(х) лар мусбат элементар алгебраик функциялар.
Каралаётган тенламани ечиш учун /(х) = ^(х) тенглама ечилади ва ечимлар орасидан /(х) > 0, ^(х) > 0 буладиганлари танланади. Агар /(х) = ^(х) тенглама ечимга эга булмаса, дастлабки тенглама хам ечимга эга булмайди.
Янги узгарувчини киритиш усули.
/(loga х) = 0 куринишдаги тенглама t = loga х алмаштириш киритиш оркали ечилади, бу холда тенглама /(í) = 0 куринишга келади.
Агар t хосил булган /(í) = 0 тенглама ечими булса, у холда t = loga х алмаштириш оркали дастлабки логарифмик тенглама ечимини х = ас куринишда топиш мумкин.
Масалан,
logi(x + 4) = 2log2(x + 4) + 3
тенгламани ечиш учун t = log2(x + 4) белгилаш киритиш оркали
t2 -2t-3 = 0
тенглама хосил килинади. Х,осил булган квадрат тенгламани ечиб tt = -1, t2 = 3 ни топамиз. Сунгра
log2(x + 4) = -1 ва log2(x + 4) = 3
логарифмик тенгламалар ечилади.
i
log2(x + 4) = -1 ^х + 4 = - ^ хх = -3,5; log2(x + 4) = 3 ^х + 4 = 8 ^ х2 = 4.
Логарифмлаш усули: 2х = 3, xlogsX-2 = 27, xlogsX = 4х куринишдаги тенгламалар тенгламанинг иккала томонини логарифмлар оркали ечилади.
Логарифмлаш - бу /(х) = ^(х) тенгламадан loga/(x) = loga<g(x) тенгламага щтиш демакдир.
Мисол. xlog2 х = 4х тенгламани ечинг.
Ечиш. Тенглама маънога эга булиши учун
fx > 0 Ix Ф 1
шартлар бажарилиши керак. 2 асосга кура логарифмлаймиз: log2Xlog2X = log2(4x); (log2x)2 = log2 4 + log2 x;
(log2 x)2 - log2 x - 2 = 0. Бу тенглама log2 x = t белгилаш ёрдамида t2 — t — 2 = 0 квадрат тенгламага келтирилада. Виет теоремасига кура jti + t2 = 1 (ti = 2
У холда
ti-t2 = —2 ^ U2 = —1.
log2x = 2 ^x1 = 4 log2 x = —1 ^x2
ЛОГАРИФМИК ТЕНГСИЗЛИКЛАР.
Логарифмик тенгсизликларни ечиш масаласи логарифмик функциянинг монотонлик хоссасига асосланган.
Шунинг учун loga/(x) > loga<g(x) куринишдаги тенгсизлик /(x) ва ^(x) функциялар учун мос тенгсизликни ечишга келтирилади.
Агар а > 1 булса, у холда /(x) > ^(x) тенгсизлик хосил булади, чунки бу холда логарифмик функция усувчидир.
Агар 0 < а < 1 булса, у холда /(x) < ^(x) тенгсизликка келамиз. Бу холда логарифмик функция камаювчидир. Х,ар иккала холда кушимча равишда
/( x) > 0
b(x) > 0
тенгсизликлар системаси а > 0, а Ф 1 шарт асосида ечилади. Мисол. log0,5(x — 2) > log0,5(2x — 12) тенгсизликни ечинг. Ечиш. Аникланиш сохага кура
x — 2 > 0 x > 2 x > 2
{2x — 12 > 0 ^ {2x >12 ^ {x > 6 ^ x > 6 Демак, x в(6; +го).
logo,s(x — 2) > logo,s(2x — 12) x — 2 < 2x — 12 x — 2x < —12 + 2 — x < —10 x > 10
Шундай килиб,
xe[10; xe(6; Жавоб: xe[10; +ro).
ХУЛОСА
Укувчилар маколада келтирилган логарифмик тенглама ва тенгсизликлар хамда уларнинг ечиш усуллари хдкидаги фикр-мулохазалардан фойдаланиб шу мавзуга оид масалаларни ечиш билим ва куникмага эга буладилар. Укув машгулоти давомида укувчиларнинг кизикишларини орттириш максадида турли замонавий педагогик технологиялардан фойдаланиш тавсия этилади [1-24]. Бундан ташкари маколада келтирилган усуллардан фойдаланиб замонавий математиканинг бир катор масалаларини тадкик килиш мумкин [25-30].
REFERENCES
1. Шарипова И.Ф., Марданова Ф.Я. (2020). Преимущества работы в малых группах при изучении темы первообразной функции. Проблемы педагогики, 5(50), 29-32.
2. Boboeva M.N., Rasulov T.H. (2020). The method of using problematic equation in teaching theory of matrix to students. Academy, 4(55), 68-71.
3. Бобоева М.Н. (2020). Проблемная образовательная технология в изучении систем линейных уравнений с многими неизвестными. Наука, техника и образование, 9(73), 48-51.
4. Бобокулова С.Б., Бобоева М.Н. (2020). Использование игровых элементов при введении первичных понятий математики. ВНО, 21(99), часть 2, 85-88.
5. Бобоева М.Н., Шукурова М.Ф. (2020). Обучение теме «множества неотрицательных целых чисел» с технологией «Бумеранг». Проблемы педагогики, 6(51), 81-83.
6. Mardanova F.Ya., Rasulov T.H. (2020). Advantages and disadvantages of the method of working in small group in teaching higher mathematics. Academy, 4(55), 65-68.
7. Марданова Ф.Я. (2020). Рекомендации по организации самостоятельной работы в высших учебных заведениях. ВНО, 17(95), Часть 2, С. 83-86.
8. Марданова Ф.Я. (2020). Использование научного наследия великих предков на уроках математики. Проблемы педагогики, 6(51), 40-43.
9. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. (2019). Organizing educational activities based on interactive methods on mathematics subject. Journal of Global Research in Mathematical Archives, 6(10), 43-45.
10. Марданова Ф.Я. (2021). Нестандартные методы обучения высшей математике.
Проблемы педагогики, 2(53), 19-22.
11. Бобоева М.Н. (2021). Обучение теме «Множества неотрицательных целых чисел». Проблемы педагогики, 2(53), 23-26.
12. Boboyeva M., Qutliyeva Z. (2019). Formation of elementary mathematical concepts in preschool children. J. Global Research Math. Archives, 6(11), 10-12.
13. Курбонов Г.Г. (2021). Информационные технологии в преподавании аналитической геометрии. Проблемы педагогики, 2(53), 11-14.
14. Бобоева М.Н. (2021). Обучение теме «Множества неотрицательных целых чисел» кластерным методом. Проблемы педагогики, 2(53), 23-26.
15. Сайлиева Г.Р. (2021). Использование метода «Математический рынок» в организации практических занятий по «Дискретной математике». Проблемы педагогики, 2(53), 27-30.
16. Курбонов Г.Г. (2021). Интерактивные методы обучения аналитеской геометрии: метод Case study. Наука, техника и образование, 8(72), 44-48.
17. Курбонов Г.Г. (2021). Информационные технологии в преподавании аналитической геометрии. Проблемы педагогики, 2(53), 11-14.
18. Расулов Х.Р., Рашидов А.Ш. (2020). Организация практического занятия на основе инновационных технологий на уроках математики. Наука, техника и образование, 8(72), 29-32.
19. Ахмедов О.С. (2020). Метод «диаграммы венна» на уроках математики. Наука, техника и образование, 8(72), 40-43.
20. Ахмедов О.С. (2021). Основные требования к языку учителя математики.
Наука, техника и образование, 2-2(77), 74-76.
21. Умарова У.У. (2020). Применение триз технологии к теме «Нормальные формы для формул алгебры высказываний». НТО, 9(73), 32-35.
22. Умарова У.У. (2020). Роль современных интерактивных методов в изучении темы «Множества и операции над ними». Вестник науки и образования, 16(94), часть 2, 21 -24.
23. Умарова У.У. (2020). Использование педагогических технологий в дистанционном обучении moodle, Проблемы педагогики, 6(51), 31-34
24. Бобоева М.Н. (2021). Метод графического органайзера при изучении темы «Множество неотрицательных целых чисел». Проблемы науки, 4(63), 72-75.
25. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. (2020). Бесконечность числа собственных значений операторных (2х2)-матриц. Асимптотика дискретного спектра. ТМФ. 3(205), 368-390.
26. Dilmurodov E.B. (2019). On the virtual levels of one family matrix operators of order 2. Scientific reports of Bukhara State University, 1, 42-46.
27. Дилмуродов Э.Б. (2017). Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса. Молодой ученый, 15, 105-106.
SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 2 I ISSUE 2 I 2021
ISSN: 2181-1601
28. Дилмуродов Э.Б. (2016). Квадратичный числовой образ одной 2х2 операторной матрицы. Молодой ученый, 8, 7-9.
29. Дилмуродов Э.Б. (2018). Спектр и квадратичный числовой образ обобщенной модели Фридрихса. Молодой ученый, 11, 1-3.
30. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. (2014). Исследование числовой области значений одной операторной матрицы. Вестн. Самарск. госуд. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки., 35 (2), 50-63.
