CC BY
264-ТАРТИБЛИ МАТРИЦА ХОС СОНЛАРИНИНГ ТАСНИФИ
Х,акимбой Мирзо ^ли Латипов
Бухоро давлат университети [email protected]
АННОТАЦИЯ
Ушбу маколада С4 фазода таъсир килувчи 4-тартибли уч диагоналли эрмит матрицаси каралади. Унинг хос сонларининг тулик таснифи келтирилган.
Калит сузлар :уч диагоналли матрица, эрмит матрицаци, хос сон.
DESCRIPTION OF EIGENVALUES OF A MATRIX OF ORDER 4
Hakimboy Mirzo ugli Latipov
Bukhara state university [email protected]
ABSTRACT
In this paper we consider tridiagonal Hermitian matrix of order 4 acting in the space С4. Its eigenvalues are described.
Key words: tridiagonal matrix, Hermitian matrix, eigenvalue.
КИРИШ.
Х,илберт фазосидаги чизикли операторларнинг юкори тартибли сонли тасвирларини урганиш бундай операторлар спектрининг жойлашув урнини курсатишда мухдм ахдмиятга эга. Матрицанинг блок сонли тасвири унинг барча хос кийматларини уз ичига олади. Шу сабабли матрицанинг блок сонли тасвирларини урганиш операторларнинг спектрал назариясида долзарб масалалардан бири хдсобланади. [1-10] ишларда операторли матрицаларниг сонли тасвири ва юкори тартибли блок сонли тасвирлари урганилган. Ушбу маколада келтирилган натижалар блок-операторли матрицаларнинг спектрал хоссаларини урганишда кулланилиш мумкин. Блок-операторли матрицаларнинг спектрал хоссалари куплаб ишларда урганилган [11-30].
НАТИЖАЛАР.
Чизикли операторларнинг спектрал назарясидан бизга яхши маьлумки, туртта H, H2, H3, ва H4 Х,ильберт фазоларининг тугри йигиндиси К да таъсир килувчи хдр кандай чизикли чегараланган оператор хдмиша 4-тартибли блок операторли матрица куринишида тасвирланади:
Л :=
A21 A31 \A41
A12 A22 A32 A42
13
A
A23 A33 A43
14
A
A24 A34 A44
(1)
бу ерда Ajy: И,- ^ H , = 1,2,3,4 чизикди чегараланган операторлар.
гр 1 v> /7 v> w w
Таърифга кура Л блок операторли матрица уз-узига кушма булиши учун kji = A^- i,y = 1,2,3,4 булиши зарур ва етарлидир, яьни
/A11 A12 A13 A14N
__ A12 A22 A23 A24
A13 A23 A33 A34
\A14 A24 A34 A44/
куринишдаги блок операторли матрица учун A^ = A^, i = 1,2,3,4 булса, у холда Л = булади. SH. i = 1,4 оркали И даги бирлик сферани белгилаймиз ва куйдаги тупламни киритамиз:
S
:S
H Х SH Х SH Х SH
)H1 ф H20 H3 0 H4
= {(^1,#2,я3,я4) £ M: ||x;|| = 1,i = 1,4}. Агар M фазонинг M = H 0 H20 H3 0 H4 ёйилмаси фиксирланган булса, SHl 0 H0 н 0 H белгилаш урнига Sn ёки SM белгилашдан фойдаланиш мумкин.
^ ^4) £ sh1 0 H20 H3 0 H4 элемент учун 4- тартибли
/(A11^1,^1) (A12^2,^1) (A13^3,^1) (A14^4, Л — (A12^1,^2) (A22^2,^2) (A23^3,^2) (A24^4, ^2)
* (A13 *з)
\(A14^1,^4) (A24^2,^4) (A34^3,^4) (A44^4, x4)t
матрицани караймиз. У холда ушбу
(Л) = У ^
Ш
H1 0 H20 H3 0 H4
x£Sn
тупламга ^ операторнинг (1) куринишга мос 4 - тартибли сонли тасвири дейилади. M фазонииг фиксирланган ёйилмасига нисбатан.
W4(^) = Wh1 0 H20 н3 0 H4 каби ёзувдан хам фойдаланиш мумкин.
Маьлумки, барча я £ Sn лар учун = (Я £ С : det(^x — ЯЕ) = 0},
Шу сабабли
W4(^) = (Я £ С : 3 х £ S4, det(^x — ЯЕ) = 0 }. Юкоридаги мулохазалардан куриниб турибдики, 4- тартибли Л блок операторли матрицанииг 4- тартибли сонли тасвирини тадкик килишда 4-тартибли сонли матрица нуктали спектри, яьни хос сонлари туплами мухим ахамиятга эга. Ушбу маколада 4- тартибли матрицаларнинг мухим синфларидан бири булган уч диогоналли эрмит матрица хос сонлари топилган.
С — комплекс сонлар туплами , С4 = СхСхСхС- декарт купайтма, М4(С) эса элементлари комплекс сонлар булган барча 4 х 4 матрицалар туплами булсин. Маколада ишлатиладиган баъзи таърифларни келтирамиз.
(у) оркали С4 даги одатдаги скаляр купайтмани белгилаймиз, яъни z(;) = (z;1, zy2, zy3, z;4) £ С4, j = 1,2 элементлар учун уларнинг скаляр
купайтмаси (z(1), z(2)) = zxl • + z12 • z22 + z13 • z23 + z14 • z24 каби
аникланади.
Агар Л £ M4 (С) матрицада исталган z £ С4 элемент учун (Лъ, z) > 0 тенгсизлик бажарилса, Л га мусбат аникланган (ёки кискача мусбат матрица) дейилади. Агар барча z £ С4 элементлар учун (^z, z) > 0 тенгсизлик бажарилса, Л £ М4(С) га катъий мусбат аникланган матрица (ёки кискача катъий мусбат матрица) дейилади.
Агар барча z £ С4 элементлар учун (^z, z) = (z, ^z) тенглик бажарилса, Л £ М4(С) га эрмит (ёки уз-узига кушма) матрица дейилади. С4 фазо 4- тартибли
М: =
'а11 %2 %3 %4Ч
«21 «22 «23 «24
«31 «32 «33 «34
^«41 ^42 «43 ^44/
матрицани караймиз, бу ерда а^у £ С , ¿,у = 1,2,3,4.
Агар ай £ М ,i, = 1,2,3,4 ва = ау , i < у, ¿,у = i = 1,4 булса, М эрмит матрица булишини осонгина текшириш мумкин.
Агар М матрицада |i — Ц > 1 шартни каноатлантирувчи ¿,у лар учун а^у = 0 булса, М га уч диоганалли матрица дейилади.
Эрмит матрицаларнинг айрим характеристик хоссаларини келтирамиз
1) М мусбат матрица булиши учун у эрмит матрица булиб, барча хос сонлари номанфий булиши зарур ва етарлидир. М катъий мусбат булиши учун эса барча хос сонлари мусбат булиши зарур ва етарлидир.
2) М мусбат матрица булиши учун у эрмит матрица булиб, барча бош минорлари номанфий булиши зарур ва етарлидир. Л катий мусбат булиши учун эса барча бош минорлари мусбат булиши зарур ва етарлидир.
Ушбу маколада С4 фазода
/ац «12 0 0 _ %2 «22 ^23 0 0 «23 «33 «34 \ 0 0 «34 «44, каби аникланган 4- тартибли уч диоганалли матрицани караймиз. Бунда ай £ М ,i, = 1,4 ва а ¿у £ С, i < у, ¿,у = 1,4
3pMHT Marpu^ Tatpu^ura SuHoaH SyHgaö KypuHumgaru M Marpu^ эpмнт Marpu^ SygumuHu TeKmupum MyMKuH . ffly caSaSgu yHHHr Sapna xoc coHgapu xaKHKHH Sygagu. ^rouKgu agreSpa KypcugaH Srora axmu MatgyMKu, M MaTpu^HHHHr xoc coHgapu det(M — AE) = 0 xapaKTepucTHK TeHrgaMa enuMgapu cu^arnga aHuKgaHagu , 6y epga E opKagu C4 garu SupguK мaтpнцa SegrugaHraH. My^HM xycycuH xpggapHu KapaÖMro.
1-xpg. Oapa3 KugaHguK, a23 = 0 SygcuH, 6y xogga M мaтpнцa
/«11 «12 0 0 / 5i2 «22 0 0 ( 0 0 «33 «34 V 0 0 «34 «44/ KypuHumuga SyguS, y C4 = C20C2 eHugMara HucSaraH
m-=(mii 0)
( 0 Mi2>
guaroHag SgoK мaтpнцa KaSu TacBupgaHagu. EyHga Mi;-, i,y = 1,2 мaтpнцagap
M .= (?11 «12) M .= («33 «34). M11 • O^^ 1 12 ' W34 «44);
KaSu aHuKgaHraH 2- TapTuSgu эpмнт мaтpнцagap. KypuHuS TypuSguKu
ff(M) = ff(Mn)Uff(M12). (2)
Ogufi xucoSgamgap epgaMuga
ff(Mu) = {^11,^12}, ff(M12) = {^13,^14} TeHrguKgapHu xpcug KugaMu3.
By epga A11, A12, A13, A14 xoc KuÖMaraap Kyfigaruna xucoSgaHagu: ff(Mu) = {^11,^12; det(Mn — A£2) = 0}; a(M^) = {^13,^14; det(M12 — AF2) = 0}; E2 —2- TapTuSgu SupguK мaтpнцa.
«11 — ^ «12
det(Mn — AF2) = "11 " "12 =0,
«12 «22 — A
TeHrgaMaHuHr enuMgapu Kyfigaruna Sygagu
(«11 + «22) + V(«11 + «22)2 — 4(an«22 — 1 «12 |2)
Ä11 - - 2 ;
(«11 + «22) — V(«11 + «22)2 — 4(an«22 — 1 «12 12)
A12 --2-.
Xyggu my KaSu M12 мaтpнцa xoc KuHMaraapuHu Tonum ynyH
«33 — ^ «34
det(M12 — AE2) =
CI34 ^44 Ä
=0
TeHrgaMaHu xpcug KugaMu3.
By TeHrgaMaHuHr enuMgapu Kyfigaruna Sygagu:
(«33 + «44) + V («33 + «44)2 — 4(a33«44 — ^34|2) A13 -2-;
( 0 M33/'
(«33 + «44) - V(«33 + «44)2 - 4(азз«44 - |a34|2)
Ä14 -2-■
У холда (2) муносабатдан
ö"(M) = (Aii;A12;A13;A14)
тенгликни хосил киламиз.
2-хол. Фараз килайлик «12 = 0 булсин. Бу холда M матрица
/а11 0 0 0
M:= [ 0 «22 «23 0
0 «23 «33 «34 \ 0 0 «34 «44/ куринишида булиб, С4 = С1 ©С3 ёйилмага нисбатан
'M11 0
0 M33,
диагонал блок матрица каби тасвирланади. Бунда
/«22 «23 0
M11 - («11), M33 := ( «23 «33 «34 ).
\ 0 «34 «44/
У холда M матрица спектри учун
ff(M) = («n}Ua(M33)
тенглик уринли булади.
Одий хисоблашлар ёрдамида c(M33) = (Я21, Я22, Я23} тенгликни хосил Бу ерда Я21, Я22, Я23, сонлари det(M33 — ЯЕ3) = 0 тенгламанинг ечими, Я3 -3- тартибли бирлик матрица
«22 - Я «23 0
«23 «33 - ^ «34 = 0. 0 «23 «44 - ^
Бундан куйдаги кубик тенгламани хосил киламиз:
Я3 - Я2(«22 + «33 + «44) + Я(«22«44 + «33«44 + «22«33 - |«34|2 - |«23|2) + «22 1 «3412 + «44 1 «23 12 - «22«33«44 =
Бу тенгламада
«2: = («22 + «33 + «44), ^ = («22«44 + «33«44 + «22«33 - |«34|2 - |«23|2), с2: = «22 1 «34 12 + «44 1 «23 12 - «22 «33 «44
каби белгилашларни киритиб
Я3 - «2Я2 + Ь2Я + С2 = 0
тенгламага эга буламиз
Т I а2
Я = ß + — алмаштириш ёрдамида
д3 + рд + q = 0 тенгламани хосил киламиз. Бу ерда
-«22 «2&2 2«23 = 3 + ' = 3 27 + ^2.
det(M33 - ЯЕ3) =
Хрсил булган, кубик тенгламанинг илдизларини топамиз:
«2 1—р ф +
Я™: = — + 2 /——cos---, к = 1,2,3;
2fc 3 л/ 3 3
f—3q 1—р ®: = arccos( —— I— * \2р 3
3-хол. Фараз килайлик, «34 = 0 булсин. Бу холда M матрица
/«и аХ2 0 0 _ «12 «22 «23 0 : 0 «23 «33 0 \ 0 0 0 а44/ куринишида булиб, у С4 = С3 ©С1 ёйилмага нисбатан
M:=(M33 0 )
( 0 MiJ
диагонал блок матрица каби тасвирланади. Бунда
/ац «12 0 Mil — («44)5 M33 := ( %2 «22 «23
\ 0 «23 «33/
У холда M матрица спектри учун
0"(M) = {«44)Ua(M33)
тенглик уринли булади. M33 матрица спектри учун
^(M33) = {^31,^32,^33}
муносабат уринли. Бу ерда Я31, Я32, Я33, хос кийматлар куйдагича хисобланади
^33) = {Я31Д32, Я33; det(M33 -Я^3) = 0}; F3 — матрицамиз 3- тартибли бирлик матрица
/«11 — Я «12 0 \
det(M33 — ЯЕ3) = ( «12 «22 — Я «23 ) = 0
V 0 «23 «33 — Я/
ёки
Я3 — Я2(«11 + «22 + «33) + Я(«11«33 + «22«33 + «22«11 — |«12|2 — |«23|2) + «111 «23 12 + «33 1 «12 12 — «22«33«11 = 0
кубик тенгламага эга буламиз. Бу тенгламада куйдаги алмаштиришларни киритиб соддарок куринишга олиб келамиз:
«3 = («11 +«22 + «33),^3 = («11«33 + «22 «33 + «22«11 — |«12|2 — |«23|2), С3 = «111 «23 12 + «33 1 «12 12 «22«33«Ц.
Натижада тенгламамиз
Я3 — «3Я2 + Ь3Я + с3 = 0
куринишга келади.
Я = д + ^ алмаштириш ёрдамида д3 + рд + q = 0 тенгламани хосил киламиз.
By epga
p: =
«32
3
+ ^3, =
«3^3 2«3;
3 27
+ C3.
By TeHrgaMaHuHr enuMu
a3 — p ^ +
A3^: = —+ 2 /——cos---, k = 1,2,3;
3fc 3 V 3 3
f—3q FpN
ö: = arccos| —— I—— * \2p yl 3
KypuHumga Sygagu.
4-xpg. Oapa3 KugafiguK au = 0; i = 1,2,3,4 SygcuH. By xogga M: C4 ^ C4
мaтpнцa
/ 0 a12 0 0
%2 0 ^23 0
0 ä23 0 a34
\ 0 0 «34 0
KypuHumga Sygagu .
Arap au 6 M, ai;- 6 C,ii y, Sygca, y xogga M —эpмнт (y3 - y3ura KymMa) мaтpнцa SyguS, yHuHr cneKTpu ynyH a(M) c M MyHocaSaT ypuHgu Sygagu. ^tHu,
M: =
a(M) = {A41, A42, A43, A44 6 M: det(M — AE4) F4 — 4 - TapTuSgu SupguK мaтpнцa.
= 0};
det(M — AE4) =
—A a12 0 0
«12 —^ «23 0
0 ä23 —A a34
0 0 ä34 —A
=0
TeHrgaMa
A4 — A2(|«12|2 + |«23|2 + I «34 |2) + I «12 12 I «3412
KypuHumugaru 4- gapa^agu TeHrgaMara Kegagu. By TeHrgaMaga
1 «12 12 + 1 «23 12 + 1 «3412 = 1 «12 12 1 «34 12
KaSu SegrugamgapHu KupuTuS, A2 = t gecaK, y xpgga
t2 — fct + c = 0 KBagpaT TeHrgaMaHu xocug KugaMu3.
By TeHrgaMaHuHr enuMgapu
b ± Vb2 — 4 * c
=0
= c.
¿1,2 =
2
KypuHumga Sygagu .
A2 = t1 Ba A2 = t2 TeHrgaMagapgaH MocpaBumga
Л41 -
lb+Vb2-4-c
^42 -
^43 - —
b-Vb2-4^c
ib—Vb2—4^c
2
Я44 —
|b+Vb2—4^c
2
ечимларни оламиз.
M матрицанинг Я41, Я42, Я43 ва Я44 хос кийматлар учун
Я41 > Я42 > Я43 > Я44
муносабат уринлибулади.
2
2
REFERENCES
1. Латипов Х.М. (2021). О собственных числах трехдиагональной матрицы порядка 4. Academy, 3(66), 4-7.
2. Дилмуродов Э.Б. (2017). Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса. Молодой ученый, 15, 105-106.
3. Дилмуродов Э.Б. (2016). Квадратичный числовой образ одной 2х2 операторной матрицы. Молодой ученый, 8, 7-9.
4. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. (2015). Связь между числовым образом и спектром модели Фридрихса с двумерным возмущением. Молодой ученый, 9, 2023.
5. Дилмуродов Э.Б. (2018). Спектр и квадратичный числовой образ обобщенной модели Фридрихса. Молодой ученый, 11, 1-3.
6. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. (2014). Исследование числовой области значений одной операторной матрицы. Вестн. Самарск. госуд. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки., 35 (2), 50-63.
7. Bahronov B.I., Rasulov T.H. (2020). Structure of the numerical range of Friedrichs model with rank two perturbation. European science, 2-2(51), 15-18.
8. Rasulov T.H., Bahronov B.I. (2019). Description of the numerical range of a Friedrichs model with rank two perturbation. Journal of Global Research in Mathematical Archives, 9(6), 15-17.
9. Rasulov T.H., Bahronov B.I. (2020). Structure of the numerical range of Friedrichs model: 1D case with rank two perturbation. Bulletin of the Institute of Mathematics, 4, 21-28.
10. Rasulov T.Kh., Dilmurodov E.B. (2015). Estimates for quadratic numerical range of a operator matrix. Uzbek Math. Zh., 1, 64-74.
11. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2020). Eigenvalues and virtual levels of a family of 2x2 operator matrices. Methods Func. Anal. Topology, 1(25), 273-281.
12. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2019). Threshold analysis for a family of 2x2 operator matrices. Nanosystems: Phys., Chem., Math., 6(10), 616-622.
13. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. (2020). Бесконечность числа собственных значений операторных (2х2)-матриц. Асимптотика дискретного спектра. ТМФ. 3(205), 368-390.
14. Dilmurodov E.B. (2019). On the virtual levels of one family matrix operators of order 2. Scientific reports of Bukhara State University, 1, 42-46.
15. Тошева Н.А. (2020). Уравнения Вайнберга для собственных вектор-функций семейства 3х3-операторных матриц. Наука, техника и образование, 8(72), 9-12.
16. Хайитова Х.Г. (2020). О числе собственных значений модели Фридрихса с двумерным возмущением. Наука, техника и образование, 8(72), 5-8.
17. Исмоилова Д.Э. (2021). О свойствах определителя Фредгольма, ассоциированного с обобщенной модели Фридрихса. НТО, 1(60), 21-24.
18. Умиркулова Г.Х. (2021). Существенный и дискретный спектры семейства моделей Фридрихса. Наука и образование сегодня, 1(60), 17-20.
19. Хайитова Х.Г. (2020). О числе собственных значений модели Фридрихса с двумерным возмущением. Наука, техника и образование, 8(72), 5-8.
20. Бахронов Б.И., Холмуродов Б.Б. (2021). Изучение спектра одной 3х3-операторной матрицы с дискретным спектром. НТО, 2-2(77), 31-34.
21. Хайитова Х.Г., Рахматова Д.С. (2021). Определитель Фредгольма оператора билапласиан с трехмерным возмущением на решетке. Проблемы науки. 63:4, 2932.
22. Рашидов А.Ш., Халлокова О.О. (2015) Пороговое собственное значение модели Фридрихса. Молодой ученый, 95:15, 1-3.
23. Рашидов А.Ш., Мирзаев Э.Э. (2016). Обобщенная модель Фридрихса и ее собственное пороговое значение. Молодой ученый, 2, 23-25.
24. Tosheva N.A., Ismoilova D.E. (2021). Ikki kanalli molekulyar-rezonans modeli xos qiymatlarining soni va joylashuv o'rni. Scientific progress, 1(2), 61-69.
25. Muminov M., Rasulov T., Tosheva N. (2019). Analysis of the discrete spectrum of the family of 3x3 operator matrices. Comm. in Math. Analysis, 1(11), 17-37.
26. Тошева Н.А. (2020). Уравнения Вайнберга для собственных вектор-функций семейства 3х3-операторных матриц. Наука, техника и образование, 8(72), 9-12.
27. Хайитова Х., Ибодова С. (2021). Алгоритм исследования собственных значений модели Фридрихса. Наука, техника и образование, 2-2(77), 48-52.
28. Расулов Т.Х., Бахронов Б.И. (2015). О спектре тензорной суммы моделей Фридрихса. Молодой учёный, 9, 17-20.
29. Бахронов Б.И. (2020). Дискретные и пороговые собственные значения модели Фридрихса с двумерным возмущением. ВНО, 16-2(94), 9-13.
30. Расулов Т.Х., Расулова З.Д. (2015). Спектр одного трехчастичного модельного оператора на решетке с нелокальными потенциалами. Сибирские электронные математические известия, 12, 168-184.
