CC BY
13
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 19. Выпуск 3.
УДК 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-3-80-94
Константа Линника меньше 5
Xylouris Triantafyllos — Франкфурт-на-Майне, Германия. e-mail: t.xylouris@gmail.com
Аннотация
Пусть а и q — положительные, целые числа. В 1944 г. Ю. В. Линник показал, что наименьшее простое число в арифметической прогрессии modq меньше CqL с положительными константами С и L.
Основываясь на работе Хис-Брауна, мы доказываем, что L = 5 допустимо.
Ключевые слова: Константа Линника.
Библиография: 24 названия.
Для цитирования:
Т. Xylouris, Linniks Konstante ist kleiner als 5 // Чебышевский сборник, 2018, т. 19, вып. 3, с. 80-94.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 19. No. 3.
UDC 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-3-80-94
Linniks Konstante ist kleiner als 5
Xylouris Triantafyllos — Prankfurt am Main, Germany. e-mail: t.xylouris@gmail.com
Abstract
Seien a und q zwei teilerfremde, positive, ganze Zahlen. In 1944 bewies Y. Linnik, dass die kleinste Primzahl in einer arithmetischen Progression mod q kleiner als CqL ist mit positiven Konstanten C und L.
Aufbauend auf einer Arbeit von Heath-Brown beweisen wir, dass L = 5 zulässig ist.
Keywords: Linniks Konstante.
Bibliography: 24 titles.
For citation:
T. Xylouris, 2018, "Linniks Konstante ist kleiner als 5" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 3, pp. 80-94.
1. Einführung
Seien a und q zwei teilerfremde, positive, ganze Zahlen und
P(a, q) := minjp = a( mod q) | p Primzahl}. In 1944 bewies Y. Linnik [15, 16]
P(a, q) < CqL
mit effektiv berechenbaren, positiven Konstanten ^d L. Dies wird als Linniks Theorem und L als Linniks Konstante bezeichnet. Wir verweisen auf [12, §18], [11, S.265-270] und [24, §2.2] für eine weitergehende Einführung und Motivation. Mehrere Autoren haben zulässige Werte für L bewiesen:
Tabelle 1. Zulässige Werte für L
L Jahr Autor Verweis
10000 1957 Pan [18]
5448 1958 Pan [19]
777 1965 Chen [2]
630 1971 Jutila [20, S.370]
550 1970 Jutila [13]
168 1977 Chen [3]
80 1977 Jutila [14]
36 1977 Graham [8]
20 1981 Graham [10]
17 1979 Chen [4]
16 1986 Wang [21]
13.5 1989 Chen und Liu [5]
11.5 1991 Chen und Liu [6]
8 1991 Wang [22]
5.5 1992 Heath-Brown [11]
5.18 2011 Xylouris [23]
5 2011 Xylouris [24]
In [23] verwenden wir mehrere Verbesserungspotentiale, die Heath-Brown in [11, S.332f] beschreibt und beweisen Linniks Theorem mit L = 5.18. Unsere Arbeit [24] beinhaltet [23], sowie vier weitere technische Verbesserungen:
§
Arbeit)
• Verwendung allgemeinerer Siebgewichte in einem Nullstellendetektor - es folgen bessere Abschätzungen der Nullstellendichte für Nullstellen weit weg von s = 1 (§4)
• Verallgemeinerung und Optimierung von Abschätzungen der Nullstellendichte für Nullstellen nahe s = 1 (§5)
• Verwendung einer allgemeineren Gewichtsfunktion in jener expliziten Formel, die Ausgangs-
§
Die vorliegende Arbeit ist eine Zusammenfassung dieser vier technischen Verbesserungen aus [24]. Unser Hauptresultat lautet:
Theorem 1. Seien a und q zwei teilerfremde, positive, ganze Zahlen. Dann ist
P(a,q) < Cq5 mit einer effektiv berechenbaren Konstanten C.
Genauer erhalten wir anstelle von 5 einen Wert, der geringfügig kleiner als 5 ist. Wenn wir unsere Computerberechnungen stark erweitern würden, dann vermuten wir, dass wir Linniks Theorem mit L = 4.96 beweisen könnten. Weiterhin erhalten wir nicht nur die Existenz einer Primzahl, sondern von q3-21 Primzahlen, wiche kleiner als q5 sind für g groß genug [24, Lemma 6.2]. Ahnliche Aussagen folgen auch aus anderen Arbeiten zu Linniks Theorem.
Ausgangspunkt für den Beweis von Theorem 1 ist eine explizite Formel, welche die Primzahlen in arithmetischen Progressionen mit den Nullstellen Dirichletscher L-Funktionen nahe s = 1 in Verbindung bringt. Je weniger Dirichletsche L-Funktionen mod q eine Nullstelle nahe s = 1 haben, und je weiter weg diese potentiellen Nullstellen von s = 1 sind, desto mehr bedingt dies die Existenz kleiner Primzahlen (< qL) in einer arithmetischen Progression mod q.
Ahnlich zu [11] verwenden wir Computerberechnungen. Diese haben wir mit der Software Maple und einem handelsüblichen Laptop im Jahr 2011 durchgeführt.
Ich möchte meinem Doktorvater Prof. Dr. B. Z. Moroz für seine konstante Unterstützung eingehend danken.
2. Notation
Für q £ N = {1, 2, 3,...} bezeichne % einen Dirichlet-Charakter mod q, Xo den Hauptcharakter mod q und L(s, x) die zugehörige Dirichletsche L-Funktion, (ord %) bezeichne die Ordnung von % in der Gruppe der Dirichlet-Charaktere mod q, [x] := max{a £ Z | a < x} und
L := log q.
Für den Realteil einer komplexen Zahl z schreiben wir und für den Imaginärteil 9{z}. Die
Resultate in dieser Arbeit werden meist für q > q0 bewiesen, wobei q0 eine effektiv berechenbare Konstante ist.
Um Linniks Konstante zu verbessern, genügt es die vorhandenen Abschätzungen zur Lage der Nullstellen Dirichletscher L-Funktionen im Rechteck
R := R(l) := <J а + it e C | 1 - ^^L < а < 1, |i| < l
zu verbessern. Dabei ist l < L/10 die positive Zahl aus [11, Lemma 6.1]. Diese Wahl für l garantiert, dass es keine Nullstellen leicht oberhalb oder unterhalb von R gibt, was die Berechnungen vereinfacht. Für ein festes q betrachten wir alle Nullstellen p e R von
P (e): = П L(S,X). (1)
X (mod q) X=X0
Sei p\ eine Nullstelle von P(s) in R, für die K{pi} maximal ist und sei xi e™ Charakter mit L(pi, X1) = 0 Wir führen diesen Prozess weiter, indem wir im k7ten Schritt (к > 2) die Nullstellen p e R von
__ P(s)___
L(s, Xi)L(s, xi) • ... • L(s, Xk-i)L(s, Xk-i) betrachten und eine Nullstelle pk wählen mit maximalem Realteil und ein x^ mit L(pk,Xk) = 0. WTir führen dies weiter fort bis im betrachteten Produkt keine weiteren Dirichletschen L-Funktionen auftauchen. Es ist
Xi = Xj ,Xj für i = j.
WTir setzen
Pk = ßk + ilk, ßk = 1 - L-1\k, 7fc = L-lßk. WTir benennen noch eine weitere, potentielle Nullstelle p' топ L(s,x1) wie folgt:
1. Wenn pi eine mehrfache Nullstelle ist, dann wähle p' = pi.
2. Wenn xi reell und pi komplex ist, dann wähle p' aus den Nullstellen in R\[pi,pl}, so dass ^{p'} maximal ist.
3. Ansonsten wähle p' aus den Nullstellen in R\[pi}, so dass ^{p'} maximal ist. Analog zu vorher schreiben wir
p' = ß' + ii, ß' = 1 - L-iA', 7' = L-ip!.
Für Abschätzungen zur Nulstellendichte genügt es nur Nullstellen mit 9(p) < 1 zu betrachten. WTir definieren
N(A) := #{% (mod q) | % = xo, L(s, X) hat eine Nullstelle in a > 1 - L-iA, \t\ < 1}
und bezeichnen die N(A) dazugehörigen Charaktere durch
x(i),x(2),...,%(W (A)).
Zu jedem der N(A) Charaktere % wählen wir eine Nullstelle p(x) = p(fc) mit maximalem Realteil und schreiben
p(fc) = ß(fc) + i7(k), ß(k) = 1 - L-iA(fc). WTir werden an vielen Stellen die Gewichtsfunktion
J7_ g(x)g(t - x) dx = - 3Ot5 + 212t3 - ^t2 + ^ falls t e [0, 27), f (t) = < (2) 0 falls t > 27.
benutzen, sowie ihre Laplace-Transformierte
' ^z-i - 813z-3 + 472(1 + e-2^)z-4 F(z) = ^ +4(-1 + e-2|z + 2^ze-2lz)z-6 falls z = 0,
816 falls 2 = 0.
Die Funktion f (t) ist nicht-negativ und erfüllt zwei Regularitätsbedingungen, die in [24, § 3.1.2] genauer beschrieben werden. Außerdem ist F(z) als Laplace-Transformierte einer nicht-negativen Funktion monoton fallend in z.
3. Kleinere Anpassungen (fast) nullstellenfreier Regionen
Für Ai < 0.348 haben wir Linniks Theorem für L = 4.9 [11, Lemma 14.2]. Um Theorem 1 für den verbleibenden Fall Ai > 0.348 zu beweisen, benutzen wir eine Ungleichung der Form (vergleiche [23, (4.10), (4.17), (4.18)])
^ w(p) >gi(\i,\2,\3) (3)
p prim
p=a( mod q) p<q5
wobei monoton wachsend in Ai5 \2, A3 und X' ist. WTir müssen zeigen, dass die rechte Seite von (3) positiv ist. Um diese nach unten abzuschätzen, können wir Abschätzungen der Form (vergleiche [23, Tabellen 1-10])
Ai e [An, A12] Ai > An, A2 > A21, A3 > A31, > Ali
verwenden mit konkreten Werten für An, Ai2, A2i, A31 und A'11. Solche Abschätzungen sind äquivalent zu nullstellenfreien Regionen (im Fall von A1) oder fast nullstellenfreier Regionen (in den anderen Fällen) der Funktion P(s) aus (1).
In [23] haben wir Abschätzungen für X' hergeleitet mittels Ungleichungen der Form [23, Lemma
3.1]
A' > £2(min(A', A2)) (4)
wobei g2 monoton wachsend in min(A', A2) ist. Sobald wir also eine untere Abschätzung für X' beweisen, können wir diese wieder in (4) einsetzen und eventuell die untere Abschätzung für X' weiter verbessern: Genauer benutzen wir vermöge [23, Table 7] ein größeres A* in den Berechnungen, die zu [23, Table 2] führen. Weiterhin benutzen wir X1 > 0.44 vermöge [23, Theorem 1.2]. Damit verbessern wir [23, Table 2] zu [24, Tabelle 2'], welche wir weiter unten notieren.
Um darüber hinaus den Beweis der Zulässigkeit von L = 5 im Fall von X1 £ [0.68, 0.78] zu ermöglichen, unterscheiden wir mehrere Fälle in den Berechnungen, die zu [23, Table 9] führen. Damit erhalten wir [24, Tabelle 9]. Die erhöhte Anzahl der Fälle spiegelt sich in der erhöhten Anzahl der Zeilen in letzterer Tabelle wieder. Schlussendlich verändern wir die in [23, Table 10] betrachteten Fälle leicht und reduzieren das 5 = 0.001 zu 5 = 0.0001 in den entsprechenden Berechnungen. Damit erhalten wir [24, Tabelle 10].
Tabelle 2'. Verbesserte A'-Abschätzungen, (xi oder p1 komplex)
> < X' > A* c <
0.46 1.85 1.56 0.0797
0.48 1.76 1.45 0.0598
0.50 1.67 1.36 0.0455
0.52 1.59 1.27 0.0332
0.54 1.51 1.19 0.0235
0.56 1.44 1.11 0.0150
0.58 1.36 1.04 0.0084
0.60 1.29 0.97 0.0026
0.62 1.22 0.91 0.0016
0.64 1.15 0.85 0.0010
0.66 1.08 0.79 0.0008
0.68 1.02 0.74 0.0007
0.70 0.96 -
0.72 0.93 -
0.74 0.91 -
0.76 0.89 -
0.78 0.86 -
0.80 0.84 -
0.82 0.83 -
0.827 0.827 -
Tabelle 9. A3-Abschätzungen.
(xi komplex)
A1 G Bedingung A3 >
A1 G Bedingung
[0.62,0.64] -
[0.64,0.66] -
[0.66,0.68] -
[0.68,0.70] -
0.902 0.898 0.893 0.888 1.054 0.886 1.048 0.883 1.036 0.878 1.012 0.868 0.996
[0.68,0.70] A2 < 0.745
[0.70,0.71] -
[0.70,0.71] A2 < 0.745
[0.71,0.72] -
[0.71,0.72] A2 < 0.75
[0.72,0.74] -
[0.72,0.74] A2 < 0.76
[0.74,0.78] -
[0.74,0.78] A2 < 0.78
Tabelle 10. A3-Abschätzungen
(x1 und p1 reell)
Ai G A3 >
[0.44,0.60] 1.176 [0.60,0.70] 1.055 [0.70,0.80] 0.952
4. Verbesserung der Nullstellendichte-Abschätzung für großes A
Wir beweisen Linniks Theorem ausgehend von einer Ungleichung vom Typ (3), wobei gi von den Nullstellen der Charaktere Xh X^ X3 abhängt- Darüber hinaus hängt gi auch von den Nullstellen aller weiteren Dirichletschen L-Funktionen mod q ab (siehe [24, (6.31), (6.32)]). Deren Beitrag kann mit Hilfe von Abschätzungen der Nullstellendichte beschränkt werden, die in ihrer klassischen Form die maximale Anzahl aller Nullstellen aller Dirichletschen L-Funktionen modulo einem festen q beschränken.
Um Linniks Konstante zu verbessern, benutzt Heath-Brown eine angepasste Abschätzung, die nur eine Nullstelle (jene, deren Realteil am Nähesten zu s = 1 ist) für jede Dirichletsche L-Funktion betrachtet [11, Lemma 11.1]. Um Heath-Browns Abschätzung weiter zu verbessern, benutzen wir allgemeinere 'Siebgewichte' im verwendeten 'Nullstellendetektor' [24, (3.28)]
Letztere Abschätzung wird Nullstellendetektor genannt, weil nicht für zu viele, unterschiedliche p,
diese Ungleichung gültig sein kann. Im Folgenden beschreiben wir kurz unseren Ansatz und das
§§
Seien 0 < u < v < x und U = qu, V = qv, X = qx. Der Nullstellendetektor beinhaltet Gewichte ■0d (d e N), die
1 < E E ^ )(E Öd)x(n)n-^e-nlx + 0(L-1).
U<n<XL d\n d\n
0d = Kd) (1 < d < U), 0d = 0 (d > V), 0d < 1
erfüllen müssen. Um Linniks Konstante zu verbessern, sind die 0d so zu wählen, dass
U <n<X d\n
möglichst klein ausfällt. Heath-Brown wählt
falls 1 < d < U, falls U < d < V, falls V<d,
was ziemlich optimal wäre, falls U = V (vergleiche [1]). Da aber U < V, gibt es hier eventuell die Möglichkeit die Wahl der ^ weiter zu optimieren. In der Tat ist dies möglich, indem eine passende Linearkombination
M
Ui-i,Ui
,a'
i=1
gewählt wird, mit M G N ai > 0 = a* = 1 und Ui = qUi für Ui = u + i ■ (v — u)/M.
Für festes M wird der Ausdruck (5) durch
- = ^^ (' = —
minimiert mit
C(M) := - + M X — U0
2 um — uo
Je größer wir M wählen, desto besser die resultierende Abschätzung. Computerberechnungen lassen vermuten, dass der zusätzliche Gewinn mit wachsendem M sehr schnell fällt. WTir wählen später M = 10. Mit diesen neuen Gewichten ^ erhalten wir die folgende Verbesserung von [23, Lemma 3.4] (welches selbst eine Verallgemeinerung von [11, Lemma 11.1] ist).
Lemma 1. Sei M g N ci, c2 > 0 und A0 = i log log L. Sei
Ui := - + 2ci + ^ (i G{0,...,M})
und
2
x := - + 3ci + C2.
3
Sei w0 : [«o,®] ^ R eme stetige Funktion, welche stetig differenzierbar ist bis auf endliche viele Stellen. Weiterhin erfülle diese Funktion
1 < w0(t) < 1 und w'0(t) < 1
mit gewissen absoluten impliziten Konstanten. Dann gibt es ein q0, welches von allen gewählten Konstanten abhängt, so dass für q > q0
£ (fX wo (i)2e2A(fc)i dt
\rC\ 1 /
-1
l<k<N (Aq)
M2 + e ^ 2 ix . ,_2 <-2—ai w0 W minji — m-1,Ui — Ui-1} dt.
C1C2 Jui-1
Speziell erhalten wir für w0(t) = 1, ci = ij, c2 = i und M = 10 dass für q > q0 und X < X0
- ^ - 10.98, 73A N(X) < —— (e7«r — e 16T). X
5. Verbesserung der Nullstellendichte-Abschätzung für kleine A
Um Linniks Konstante zu verbessern, müssen wir eine Summe über Nullstellen (vergleiche (14))
E ^(A(fc))
c1<\(k)<c2
nach oben abschätzen, wobei gs eine monoton fallende Funktion ist. Lemma 1 liefert eine Abschätzung
E mA(fc)) < C
c1<\(k)< c2
für eine fallende Funkiton <74, womit
E 53(A( fc)) < C ■ sup g-§. ci<m<c2 ' 54(i)
Eine Alternative zu letzterer Vorgehensweise ist wie folgt: Haben wir hinreichend gute Abschätzungen N(A) < N0(X), dann kann die folgende Abschätzung besser sein (setze 5 = (c2 — c\)/10):
9
E 53(A(fc)) < E(N(C1 + (3 + 1)5) — N(C1 + ß))gz(a + jS)
c1<\(k)<c2 3>0
9
< No(c 1) ■ g3(c 1) + ^(N0(c 1 + (j + 1)5) — N0(c 1 + jö))g3(ci + j>0
Heath-Brown leitet Abschätzungen N(A) < N0(A) her [11, Lemma 12.1], welche für kleine A (ungefähr A < 1.3) bessere Resultate liefern als Lemma 1. Wir haben Heath-Browns Lemma in [23, Lemma 3.5] leicht verallgemeinert. Darüber hinaus setzen wir jetzt Verbesserungspotential 2 ein (vergleiche [11, S.332]) und führen eine weitere Verallgemeinerung ein, um unsere späteren Berechnungen durch mehrere Fallunterscheidungen weiter zu optimieren. Es folgt [24, Lemma 5.3], welches wir hier notieren:
Lemma 2. Seien B1, D1 nicht-negative, ganze Zahlen. Seien b, d, A und A* positive Zahlen, C > 0 A12 £ (0, und f eine Funktion, die Bedingungen 1 und 2 aus [11, S. 280, 286] erfüllt. Sei F die Laplace-Transformierte von f und setze
0 falls A12 > b, m(x0 '■={ 1 falls A12 < b und X1 reell,
2 falls A12 < b und X1 komplex,
E(X1) ■=
1 falls X1 reell und p1 komplex, 0
und
ao ■= — D1F(A — A*) + (D1 — B1 )F(d — A*)
+ (B1 — m(xi))F(b — A*) + m(xi)F(A12 — A*) — E(X1) • C,
a1 :=F(—A*)M — (f(A — A*) — M,
a2 :=F(—A*) (F(—A*) — ® + 2C) — 2a^F(A — A*) — ®) , a3 ■= — a0 — 2C -F(—A*). Angenommen die benutzten Parameter erfüllen
A* <b<d < A < 2, A1 < A12, A* < minjA', A2}, a1 < 0,
F(X -A*) > M+E(xi) -C, 6
C > sup{-K{F(Ai - A* + it)}}, teu
Bi < N(b), Di < N(d).
> o
ATiW^ in\a2 + V ia2 - 4aia3| ll /ß\
^ (A) < ma^ 0, --—2- > . (6)
-2 ai
PROOF. Wir führen den Beweis analog zum Beweis von [11, Lemma 12.1]. Sei l = l(q) G [1,L] die Zahl aus [11, Lemma 6.1] und
N := TV(A) := #{x | x( mod q), L(s, x) hat eine Nullstelle in a > 1 - L-iA, |i| < l}.
Seien x(i\ ..., X(N) die verschiedenen Charaktere aus der Definition von N. WTähle zu jedem Charakter x(j) eine entsprechende Nullstelle p(j) von L(s, X(j)) mit
a > 1 - L-iX, |i| < l.
Für x(j) = Xi wählen wir die Nullstelle pi und, falls xi komplex ist, so wählen wir für x(^') = Xi die Nullstelle pi.
WTir erinnern daran, dass die Laplace-Transformierte F monoton fallend ist. Da b < d < A, folgt
F(X - A*) < F(d - A*) < F(b - A*). Mit Ai < A^, Bi < N(b), Di < N(d) folgt
(N - Di)F(A - A*) + (Di - Bi)F(d - A*)
+ ( Bi - m(xi))F(b - A*) + m(xi)F(Ai2 - A*) - N+e) - E(xi) • C (7)
6
<(N - max{Di, Bi, m(xi)})F(A - A*) + (max{Di, Bi, m(xi)} - max{Bi, m(xi)})F(d - A*)
+ (max{Bi, rn(xi)} - m(xi))F(b - A*) + m(xi)F(Ai2 - A*) - N+ e) - E(xi) ■ C.
6
F
< E F(X^ - A*) - N+ e) - E(Xi) ■ C. (8)
j<N
Sei
K(s, x) := jt A(n)^ X^}f(L-i log«).
n=i ^ '
Vermöge [23, Lemma 2.1] mit ß* = 1 - L-iA* folgt
U) {3y i -LF-X*)+ L- E(Xi) -C + L (¿61 + ^ falls X(J) =Xi, K(ß + 11 ,X ) ^ -LF(\U) -A*)+ L (¿f + e) sonst.
Also ist (8)
< L-1 E A(n)n-/3*/(L-1 logn)
n=i
E
j<N
Xü')(n)
(i)
(9)
Kombiniert man (7) - (9) und benutzt man Cauchvs Ungleichung, so erhält man
L2((W - Di)F(A - A*) + (-Di - 5i)F(d - A*) + (ßi - rn(%i))F(6 - A*)
J(0)
2
+ m(xi)F (Ai2 -A*) -W R^+e) -ß (xi) -C < EiE2 (10)
wobei
und
Ei := £ A(n)xo(n)n-//*/(L-i logn) = K(^*,xc)
n=i
E2 = ^A(n)n-/3*/(L-i logn)
n=i oo
E
i<N
xü)(n)
(j)
^A(n)n-/*/(L-i logn) £
n=i
j, k<N
Xü)(n) x(k)(n)
= J2 K(ß* + f(7ü) —7(k)),X(j)X(k)).
j,k<N
Für E1 und die N Terme in E2 mit j = k haben wir gemäß [11, Lemma 5.3]
K(ß*,X0) < L(F(—A*)+e).
(11)
Wir benutzen [23, Lemma 2.1] für die verbleibenden Terme. WTir müssen zuerst die Anzahl der Elemente in der Menge
{(¿*0 e N2 | 1 = <W, xü)x(k) e{xi,xr}}
(12)
abschätzen. Gemäß der Definitionen tauchen X1 und X1 beide innerhalb der N Charaktere X(j) auf.
Außerdem haben wir _ _
X(i) X(ki) = X(i)X(k2) k1 = k2.
Fall 1: X1 ist reell. _
Fall 1.1: X(j) = X1- Dann ist X(j)X(k) £ {X1, XI} für jedes k = j. Fall 1.2: X(j) = X1- Dann ist X(j)X(k) £ {XbX!} = {X1} für maximal ein k = j. X1 N > 1
N 1 2 N 2
Elemente in (12).
Fall 2: X1 ist komplex. _
Fall 2.1: X(j) = X1 °der X(j) = X1 Dann ist X(j)X(k) £ {X1, X1} für maximal ein k = j. Fall 2.2: X(j) = XbX1- Dann ist X(j)X(k) £ {X1,X1} für maximal zwei k = j.
X1
2 ■ 1 + (W - 2) ■ 2 = 2W - 2
2
Elemente in (12).
Die Menge Ai = Ai(x) aus [23, Lemma 2.1] erfüllt offensichtlich
Mit [24, (3.38)]
schließen wir
A1 C
0 falls % = X1,X1,
|p1| falls % = X1 und X1 reell) p1 reell,
{P1,Pl} falls % = X1 und X1 reell) P1 komplex,
|p1| falls X = X1 und x1 komplex,
{p1} falls % = %T und %1 komplex.
sup (a + it)) > 0 teu
E K(F + U) —i(k)),x(3)x(k))
j,k<N 0=k
/(0)
< L • (2N — 2) • sup{-K{F( A1 — A* + it)}} + L(N2 — N)(
teu 6
+ £). (13)
Das Lemma folgt nach der Wahl eines hinreichend kleinen e > 0 (beachte, dass f und F beschränkt sind, genauso wie N gemaß wohlbekannten Nullstellendichte-Abschätzungen) aus (10), (11), (13) und dem Lösen der sich ergebenden quadratischen Ungleichung. □
Mit Bi = Di = 0 Ai2 = ^ \* = A^d C = 0 folgt das Ausgangslemma von Heath-Brown [11, Lemma 12.1].
6. Beweis von Theorem 1
Um Linniks Theorem zu beweisen, betrachtet Heath-Brown [11, S.323]
E:= E — h(L-1 log P),
p=a( mod q) P
wobei
h(t) := hL,K(t) :=
0 falls t<L — 2K,
t — (L — 2K) falls L — 2K < t < L — K, L — L — K < < L,
0 falls t > L,
für gewisse positive Konstanten L, K. Wir diesen Ansatz, indem wir h,L,K durch eine
passende Linearkombination J2iaihLi,Ki ersetzen. Die Parameter a^ Li, Ki müssen sorgfältig gewählt werden, damit der Beweis geführt werden kann. Für Details zur Herleitung unserer Wahl der Parameter verweisen wir auf [24, §3.4, §6.1, §6.2]. Für L = 5 und ßi > 0 ß2 > 0 K < 1/3 wählen wir
h(t) := hL,K(t) + ßi2hL-2K,K(t) + ß2^hL-4K,K(t)
+ 2ß1hL-K,K (t) + 2ß2hL-2K,K (t) + 2ß1ß2hL-3K,K (t).
h( )
e-(L~2K)z (z-i(1 + ßeKz + ß2e2Kz)(1 - e~Kz))2 falls z = 0,
H(z) = *
K2(1+ß +ß2)2 falls z = 0.
Es folgt (wir lassen die nicht-trivialen Details aus) für festes e > 0 und Co = Co(e), q > <?o = <?o(£):
L
2> JL lH(0)- £ Eh«1-p)L)i-^
x=xo peRo
wobei
Eo := {o + i ie C | 1 - L-1Co < o < 1, |i| < L-1Co}.
Wir können die Summe über alle Nullstellen abschätzen, indem wir nur jene Nullstelle für jede Funktion L(s, x) betrachten, die den kleinsten Abstand zu s = 1 hat:
H(0)-1 E E |H((1 -P)L)| < Ee-(L-6K)A(fe)5(A(fc)) -n(xi)A(Xi) + e, (14)
X=Xo peRo k
wobei
5(A) := H(0)-1 (V(-A) + ,
,c(/) = i ^ sinh(|C|- i)A falls 0 < i < |C|, h (i) := \ 0 falls i>|C|,
, _ (2 - A)e|c|A - (2 + A)e-|c|A + 2Ae
Ff (2) :=
2 A(A2 - 22)
) :i max{0, (e-^-6K)Ai - e-(i-6K)A')(5(A1) - ^¿ffi^ )} falls ^ e Eo,
1 0 ,
H2(2) := e(L-2K-2K>H(2),
( ) = J 2 feils x1 reell und p1 komplex, °(X1) :{ 1 sonst,
2 x1
1 x1
Für den Beweis von Theorem 1 verbleibt zu Zeigen, dass für L = 5 die rechte Seite von (14) echt kleiner als 1 ist. Für A1 < 0.348 haben wir bereits Linniks Theorem mit L = 4.9 gemäß [11, Lemma 14.2]. WTir können also A1 > 0.348 annehmen.
x1 1
ß
A1 e [0.348, 0.44], [0.44, 0.58], ■ ■ ■ , [0.78, 0.82], [0.82, to).
«(X1) =
Wir wählen L = 5, K = 0.13, ß1 = 0.65, ß2 = 0.33 und schätzen die rechte Seite von (14) wie folgt ab:
Der Beitrag der Nullstellen p\, p' und p2 (sowie deren entsprechenden, eventuell existierenden, komplex konjugierten Nullstellen) wird abgeschätzt durch die Tabellen in [23] und [11], welche Abschätzungen der Form
A1 € [Aii,Ai2] A' > A'^ \2 > A21
beinhalten.
Der Beitrag der Nullstellen mit großem A(= A(fc)), sagen wir
A > A:= 1.11+ 0.35 -A* w 1.3
mit A := minjA'", A21}, wird abgeschätzt mit Hilfe von Lemma 1. Dabei wählen wir die Parameter Ci = 0.11 C2 = 0.27 M = 10,e = 1.15 und
w0(t) := e-21 minji - u + 10-7, v - u + 10-7}4.
Sei A31 < A3 gern aß Tabellen 9 und 10. Für die verbleibenden Nullstellen, also jene mit
A31 <A < A (15)
7 = 1.62 - 0.55A*
und
6= A31 + - 0.01,
d= A31 + 2 ■ A -A31 - 0.01. 3
Hier führen wir eine weitere Fallunterscheidung ein: Für zwei nicht-negative ganze Zahlen B^ D1 und einem A > 0, sei
No(A;B1,D1)
die resultierende obere Abschätzung aus (6). WTir benutzen die Symbole A für 'logisches UND', V für 'logisches ODER', sowie
Nb := N0(6; 0, 0). Dann teilen wir den Ausgangsfall in die folgenden Fälle ein:
(n(b) € [0,4] A (N(d) € [0,4] V N(d) = 5 V ... V N(d) = No(d; 0,0))) V (n(b) = 5 A (N(d) = 5 V N(d) = 6 V ... V N(d) = N0(d; 5,0)))
V (n(b) =Nb A (N(d) = Nb V N(d) = Nb + 1 V ... V N(d) = No(d; Nb, 0)^.
Wir haben also unsere Ausgangssituation in
(No(d; 0, 0) - 3) + (No(d; 5, 0) - 4) + ... + (No(d; Nb, 0) - Nb + 1)
verschiedene Fälle aufgeteilt. Jeder Fall wird durch das Tupel (B\, B2, Di,D2) € N0 charakterisiert,
wobei
Bi < N(b) < B2 und Di < N(d) < D2
(wir haben meist B1 = B^d D1 = D2). Für jedes Tupel benutzen wir die obere Abschätzung
( min{B2, No(A; 0,0)} falls A < b, N (A) < No(A) := { min{D2, No(A; Bi, 0)} falls b<A < d, { No(A;Bi,Di) falls d < A.
Damit schätzen wir den Anteil der Nullstellen in (15) ab.
Mit Hilfe aller oben genannten Abschätzungen, und in allen betrachteten Fällen, berechnen
1
ausgelassen, für die wir auf [24, §6] verweisen. REFERENCES
1. Barban M.B., Vehov P.P., On an extremal problem (Russian), Trans. Moscow Math. Soc. 18 (1968), 91-99; see also Trudy Moskov. Mat. Obsc. 18 (1968) 83-90.
2. J. Chen, On the least prime in an arithmetical progression, Sei. Sinica 14 (1965), 1868-1871.
3. J. Chen, On the least prime in an arithmetical progression and two theorems concerning the zeros of Dirichlet's L-functions, Sei. Sinica 20 (1977), no. 5, 529-562.
4. J. Chen, On the least prime in an arithmetical progression and theorems concerning the zeros
L
5. J. Chen, J. M. Liu, On the least prime in an arithmetical progression (III), (IV), Science in China Ser. A 32 (1989) no. 6-7, 654-673 and 792-807.
6. J. Chen, J. M. Liu, On the least prime in an arithmetical progression and theorems concerning the zeros of Dirichlet's L-fu,nctions (V), International Symposium in Memory of Hua Loo Keng Vol. I (Beijing, 1988), Springer-Verlag, Berlin (1991), 1942.
7. D. D. Goldston, C. Y. Yildirim, 'Higher correlations of divisor sums related to primes III: k-Correlations', arXiv:math/0209102vl [math.NT] 10 Sep 2002.
8. S. WT. Graham, Applications of sieve methods, Ph.D. Thesis, University of Michigan, 1977.
9. S. WT. Graham, 'An asymptotic estimate related to Selberg's sieve', J. Number Theory 10 (1978) 83-94.
10. S. WT. Graham, On Linnik's constant, Acta Arith. 39 (1981), no. 2, 163-179.
11. D. R. Heath-Brown, Zero-free regions for Dirichlet L-fu,nctions, and the least prime in an arithmetic progression, Proc. London Math. Soc. (3) 64 (1992), no. 2, 265-338.
12. H. Iwaniec, E. Kowalski, Analytic Number Theory, 2004, AMS Colloquium Publications, vol. 53.
13. M. Jutila, A new estimate for Linnik's constant, Ann. Acad. Sei. Fenn. Ser. A I No. 471, 1970, 8 pp.
14. M. Jutila, On Linnik's constant, Math. Scand. 41 (1977), no. 1, 45-62.
15. Yu. V. Linnik, On the least prime in an arithmetic progression I. The basic theorem, Ree. Math. (Mat. Sbornik) N.S. 15(57) (1944), 139-178.
16. Yu. V. Linnik, On the least prime in an arithmetic progression II. The Deuring-Heilbronn phenomenon, Ree. Math. (Mat. Sbornik) N.S. 15(57) (1944), 347-368.
17. M. C. Liu, T. Wang, A numerical bound for small prime solutions of some ternary linear equations, Acta Arith. 86 (1998), no. 4, 343-383.
18. C. D. Pan, On the least prime in an arithmetical progression, Sei. Record (N.S.) 1 (1957), 311-313.
19. C. D. Pan, On the least prime in an arithmetical progression, Acta Sei. Natur. Univ. Pekinensis 4 (1958), 1-34.
20. P. Turân, On some recent results in the analytic theory of numbers, Number Theory Institute, 1969, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 20 (American Mathematical Society, Providence, R.I., 1971), 359-374.
21. W. Wang, On the least prime in an arithmetic progression, Acta Math. Sinica 29 (1986), no. 6, 826-836.
22. WT. Wang, On the least prime in an arithmetic progression, Acta Math. Sinica 7 (1991), no. 3, 279-289.
23. T. Xylouris, On the least prime in an arithmetic progression and estimates for the zeros of Dirichlet L-functions, Acta Arith. 150, 1 (2011), 65-91.
24. T. Xylouris, Uber die Nullstellen der Dirichletschen L-Funktionen und die kleinste Prim,zahl in einer arithmetischen Progression, Bonner Mathematische Schriften Nr. 404, Bonn, 2011, 1-110.
Получено 18.06.2018 Принято к печати 10.10.2018
