CC BY
3ЛИТЕРАТУРА
1. Акбаров Р. Краевые задачи теории аналитических функции с заданными главными частями и им соответствующие особые интегральные уравнения / Р. Акбаров // Душанбе, Дониш.- 2006. - 230 с.
2. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции / И.Н.Векуа.//М:, Наука. - 1988. - 507 с.
3. Ф.Д Гахов Краевые задачи / Ф.Д. Гахов. М:, Наука. - 1977 - 193 с.
4. 4.Н.И. Мусхелишвили. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили. // М:, Наука. -1968.-210 с
5. Михайлов Л .Г. Новый класс особых интегральных уровненный и его применения дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами/ Л.Г. Михайлов //Душанбе.- 1963.220 с.
6. Михайлов Л .Г. Учёные записки. теории . физ- мат, ф-та/ Л .Г.Михайлов //Тадж гос. университет - 10 1957. - 199 с
7. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций/ Бицадзе А.В. // М:, Наука.- 1985. - 210 с.
8. Голузин Г.М. Геометиричекая теория функций комплексного переменого/ Голузин Г.М. - М:, Наука.- 1966. 190 с
9. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций /Маркушевич А.И.- М:, Наука.- 1967. - 230 с.
10. Полиа Г.Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа/ Полиа Г.Сеге Г - М:, Наука.- 1978. - 250 с.
11. Пчелин Б.К . Специальные разделы высшей математики/ Пчелин Б.К . ВШ-М:,Наука.-1973. - 160 с
12. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплекного пременого/ Привалов И.И.//М:, Наука- 1984. - 180 с.
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ СИНГУЛЯРНЫМИ ТОЧКАМИ С НАГРУЗКАМИ
СВОБОДНЫХ ЧЛЕН И С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ (когда характеристическое уравнение имеет различные корни вещественные и комплексные)
ХИДИРОВ Х.С.
к.ф-м наук ,кафедры «Математически анализ и теорию функцию» Кулябский государственный университет имени А Рудаки.
На статье рассматривается исследования существование и единственность решения линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с одной сингулярными точками с нагруженным свободных член и с дополнительными условиями, когда характеристическое уравнение имеет различные корни вещественные и комплексные ,при помощью система линейных алгебраических систем уравнений (л.ас).Существование и единственности решения линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнение зависит от решение систем алгебраических уравнений.
Ключевые слова: Система, линейное, ,нагрузка, дополнительные условие, оператор, функция.
LINEAR SYSTEMS OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH ONE
SINGULAR POINT WITH LOADS OF FREE TERMS AND WITH ADDITIONAL CONDITIONS (when the characteristic equation has different real and complex roots)
KHIDIROV KH.S.
Candidate of Ph.m., Sciences, Department of "Iatematic Analysis and Theory of Function", Kulyab State University named after A. Rudak.
The article deals with the study of the existence and uniqueness of the solution of linear systems of ordinary differential equations with one singular point with a loaded free term and with additional conditions, when the characteristic equation has different real and complex roots, using a system of linear algebraic systems of equations (l.a.c). The existence and uniqueness of the solution of linear systems of ordinary differential equations depends on the solution of systems of algebraic equations.
Key words: System, linear, load, additional condition, operator, function.
Введение. рассмотрим линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
n n
xy'i = Xaij (x)yj + fj (x) + XakVk (xX (i = 1>2>->n) (1)
j=i k=\
где a^. (x) - заданные непрерывные функции, без ограничения общности можем считать их вещественными. Что касается свободных членов и решений, то при x Ф 0 они также считаются непрерывными, а yk (x) -непрерывно дифференцируемыми; в сингулярной точке x = 0 они могут
быть непрерывными (класс С), либо просто ограниченными (класс М 0). ^ , . нагрузка на
2 , акФк (х)
к=1
свободные члены. ак — параметр (к = 1,2,..., п) С дополнительными условиями.
а
| у 1 (х)а^ (х)йх = р1 ( = 1,2,..., п) (2)
0
Где а- (х) коэффициенты уравнение (1). Будем пользоваться также векторной записью х -У = А(х) ■ У + ¥(х) + О(х) , (3)
где А(х) =|| ау (х) ||, (к,У = 1,2,...,п), а У(х) - искомые функции, а ¥(х) -заданные векторы-столбцы, в силу чисто технических причин записываемые, однако в строку :
п п п ^
У = (У^У2Уп), Р = СЛ,/2,...,/п) п= ^ЫкФк,2акФк,...,2акФк
' V к=1 к=1 к=1 у
Системам (1) и (3) соответствуют однородные уравнения, которые будем обозначать через (1о) и (20) и т д.
Рассмотрим сначала систему с постоянными коэффициентами (модельную систему)
п п
ху' = 2 ау (0) У j + fj (х) +^акФк (x),
j=1 к=1
Однородную систему напишем в виде:
п
хУ'г+2 (0) У У = 0 (1о )
j=1
Пытаясь удовлетворить (1) степенными функциями хл, придём к характеристическому уравнению
Д(Я) = ёеЬ[ Л(0)-ЯГ|=0 (3)
I - единичная матрица. Рассмотрим случай, когда его корни (вещественные или комплексные) все различные, и обозначаем \ , Л2,..., Лп, причем ReЛi * 0, (к = 1,2,...,п) (из этого необходимо следует, что
А0 = ёе1 А(0) * 0).
Если (у1к,у2к,...,Упк),(к = 1,2,...,п) являются линейно независимыми решениями систем (с определителями, равными нулю, по рангу (п-1)
[а11(0) — Л ]/1к + а12(0)Г2к + ■■■ + а1п (0)Упк = 0
а 21(0)У1к + [а 22 (0) — Л ]У2к + --- + а2п (0)Упк = 0
ап1 (0)У1п + ^2п (0)У2к + ■ ■ ■ + [апп (0) — К ]Упк = 0
(к)
то ёе1;| У А = Т* 0 и тогда (Лкх к, У2кх *,-, Упкх *) = У0 ,
где с^ — произвольные постоянные, для нахождения частного решения неоднородной системы
А
У (х) = (У1,У 2,..., У п) методом вариации постоянных будем иметь
<
я Зол
У 11х 1 + У\2Х
Я2
У 21х
У 3 1Х
Лх
л °с1
Лх
+ ••• + Ушх'
Лх
Я
+ У 22~х
Я2
Лх
+ ••• + У2 пх '
Лх Лс,
= (х) + X ^^^^(х)
к=1 п
Лх
= Л(х) + (х)
к=1
я Лс
+ У3 2х 2 + ••• + Узпх' ах ах
Лсп
Лх
/з (х) + X ^к^к (х) (5)
к=1
Я2 Лс 2
Уп1 х "Г1 + Уп 2 х
Лх Лх
откуда получаем
+ ••• + Уппх'
Лсп
Лх
= /п (х) + X акФк (х)-
к=1
Лск = х -Як -1 п
Ох
= х-Як-1 Е/ц(/(х) + ЕаА(х)) (6)
к=1
} =1
Где /Зц = Г / Г и Г^ — алгебраическое дополнение элемента у. в матрице У^ (
к,] = 1,2,...,п ). Интегрируя (6) в пределах [х,Л] при ReЯ>0 и в пределах [0,х] при ЯеЯк < 0 и вводя, операторы
1Г ^Як
*=—1
х
Ч1 \х
г V г у
х ^ '
сможем записать
У(г) + Е акФк (г)
У(г) + Ё <*кФк (г)
хЯкс
я (ЯеЯк > 0,) (7) Лг (Яе Як < 0),
Г
■к" = \(Е3к\/} +Еак?к\=Еа\ /] +Еак?к
к к У-Е^ к! I !=1
к=1
к к J! 1 Е к !=1 V к=1 У
(8)
так что
п ^ п \
ур(х) = ЕвР! +Еак?к р=п
!=1
V к=1 у
(9)
п
вР! =ЕУркРк3в+к, к=1
у = Т/, т = \в II 0 Т0 .
Таким образом, общее решение (10) даётся формулами
п п ( п
Ур (х) = Е скУркхЯк + ЕвР! I +ЕакФк
к=1 !=1 V к=1
(к)
У(х) = ХСк у0(х) + Т0 • ^
к=1
В нашей работе мы также рассматриваем свойства операторов (7). Правые части из (7) относятся к классу операторов с ядрами однородными порядка (-1), которые достаточно подробно изучались в небольшой монографии Л.Г. Михайлова [2] , на которую постоянно будем опираться, но в отличие от [4], где операторы изучались в сингулярных классах функций, здесь их мы будем рассматривать в С и М0 требуемые при этом условия суммируемости ядер сводятся к очевидной
интегрируемости функции х ~Як —1 на отрезке [^ да ] при ЯеЯ > 0 и на отрезке [0^] при Яе Як < 0,
чем было вызвано введение операторов со значками(+) и (-) . Мы знаем, что для операторов вида
<
п
1=1
1=1
п
п
< / Л Лк
1 ( х
«==11V х
У(г) + 2акФк (г)
I=1
п
У(г) + 2 ал )
(10)
можно написать другое представление, если взять I = их, & = хёи
1 | х
«;=—/ - [и л" V
У(их) + 2акРк (их)
« = —/ х
1 ( х
их V их
У(их) + 2акРк (их)
& = — ^^ и 1
1
<Ц = — | и "Л —1 0
У(их) + 2акФк (их)
<и,
У(их) + 2акФк (их)
<и .
Из этого видно то, что эти операторы непрерывны и ограничены в С и М0 , вытекает из оценки
«у <
Re Л
41 у\\
свойство вырождения в точке х=0 [5], но требуется еще одно дополнительное свойство, которое нам понадобится в дальнейшей работе: если в уравнение
у(х) = в+к [а(0у(0] + /(х),а(0 е С[0, а].; /(х) = х2/0(х), где то необходимо будет также у(х) = хру0 (х), где у0 (х) е С[0, ё].
С использованием этого метода в дальнейшей будем решать системы дифференциальных уравнений нагруженными свободных член с сингулярными точками.
При использовании этого метода или способа надо учитывать два предложения. Предложение 1. Если область [0, а] достаточно мала, то система интегральных уравнений разрешима и притом единственным образом для любых свободных членов из С или М0.
Предложение 2. Для системы интегральных уравнений справедлива теорема Фредгольма, в частности, альтернатива Фредгольма в первом случае, когда однородная система интеграл.
Возвращаясь к общему случаю переменных коэффициентов, стандартной процедурой вычитания преобразуем (1) к системе с постоянными коэффициентами, но со "свободными членами"
/ (х) = 2 (х)Ли + /J (x), (х) = а^ (х) — а^ (0) „ .. ч к=1 (11)
Используя формулы обращения (11), придем к систем интегральных Уравнений:
^ (I = 1,2,...,п) (12)
у,- (х) = 2туУУ +2 ссУухЛ +2«У
У=1
У=1
У=1
fj +2 акФк
где Тру = 2 в„ (акру) (13)
]=1
как показывают формулы (12) и (13) все выражаются в виде линейных комбинаций с постоянными коэффициентами над простейшими операторами.
а
в;„у=«+[з„ (I) у(г)]=—|
(х| у(1 а
I V I
х ~ / \Лк
~ ( х ^
с а х
вРу = в— (I)у(1)] = —\а±- у(1 )а
А I V I У
0 V1 У
Прежде всего, поскольку а^ (I) непрерывные, то операторы в~ьу действует и ограничены в С
и М
ReЛ/
(Лы = max ^)
0с <а
,=1
,=1
,=1
п
,=1
1=1
0
1
к=1
х
Во вторых, поскольку ~г(0) = 0, то lim juM = 0 и кроме того, как показано в [4,5] операторы
d ^0
в^ыу вполне непрерывны в С и М0.
Подставляем (12) на дополнительные условие (2) и получаем.
ТпЛ + 2 + • • • + Т1иУ„ + XcjYxjx j + Xd I fj + XakPk
j=1
j=1
k=1
+ Т22У 2 + • • • + Т2пУп + X j2 jX^ + X в I fJ + XX a^k
j=1 j=1 V k=1
q. (x)dx = pj ^(x)dx = p
2 Re ^ > 0,(14)
Тп1 У + Тп2У2 + • • • + ТппУп + X CjYnjxi' + X ej I fj + X
j=1
j=1 V k=1 )
п п f п
ТпУ +Т12У 2 + • • • + Т1пУп +X C/1 +Xej fj +XakVk
Qj (x)dx = Рп
j=1
j=1
Y
k=1
)
i i
п п f п \
Т21У1 + Т22У2 + • • • + Т2пУп + X САjx^ + X в fj + X ^k
j=1 j=1 V k=1 )
п п f п \
Тn\У\ + Тп2 У 2 + • • • + ТппУп + X CjynjxXl + X ej fj +XakPk
ai}. (x)dx = qx a (x)dx = q2
при(Лк < 0)
j=1
j=1
k=1
а„ (x)dx = qn
где
= XX в (iW)
j=1
Получаем алгебраические системы.
Q Л + Q 2^2 + ••• + Q Л« = i
a21«1 + a22«2 +••• + а1п«п = Ö2
,при Re A > 0,
am1a1 + am2a2 + • • • + am „a„ = b„
тп п m
C11a1 + C12a2 + + С1пап = d1 C21a1 + C22a2 + + C\nan = d 2
Cm1a1 + Cm2a2 +"" + Cmnаn = dm
, Re A < 0,
(15)
Имеет три случая 1) т - п, 2) т > п, 3) т < п.
Теорема Линейная система дифференциальных уравнений (1) с дополнительными условиями (2) сводится к (л.а.с). состоящей из п неизвестных ах ,а2 ,...,ап и т уравнений (15) 1) Если на
(л.а.с).(15) т = п и А Ф 0 то система (1) имеет единственные решение.
2) Если 1)т > п,2).т < п то система уравнение (1) имеет решения в противном случае не имеет решения
ЛИТЕРАТУРА
1. Михайлов Л.Г. Об одном способе исследования систем обыкновенных дифференциальных уравнений с сингулярными точками / Л.Г. Михайлов // ДАН России, 1994, т. 336, №> 1, С. 21-23.
2. Михайлов Л.Г. Интегральные уравнения с однородными ядрами степени / / Л.Г. Михайлов (-1). // Душанбе, Дониш, 1966, 48с.
3. Михайлов Л.Г. О некоторых нелинейных сингулярных дифференциальных уравнениях // Докл. АН Тадж. // Л.Г. Михайлов // ССР, 1989, т. 32, №> 8, С. 495-499.
4. Михайлов Л.Г. О некоторых системах сингулярных дифференциальных уравнениях, / / Л.Г. Михайлов // Докл. АН Тадж. ССР, 1990, т. 33, № 6 с. 361-364
5. Михайлов Л.Г., Хидиров Х.С. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя сингулярными точками / / Л.Г. Михайлов //ДАН РТ, 2009, т. 52, С. 169-173.
6. Хидиров Х.С. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с одной сингулярной точкой, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни / Х.С. Хидиров // ДАН РТ, 2009, т. 52, №№ 7, С. 507-512.
d
п
п
п
а
d
d
d
