КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С ОБОБЩЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ НАГРУЖЕННЫМИ СВОБОДНЫМИ ЧЛЕНАМИ ИДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

алюминия после металлизации обусловлено не только изменением объема пор гранулы, но также зависит и от тепловых параметров металлического наполнителя, в частности от его теплопроводности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кельцев Н.В. Основы адсорбционный техники./ Н.В.Кельцев // М.: Химия, 1984.- 512 с.

2. Киселев А.В. Химия поверхности и адсорбция. Газо- адсорбционных хроматогра-фия./ А.В.Киселев, Я.И.Яшин//М.: Наука, 1967.- 288 с.

3. Неймарк И.Е. Синтетические минеральные адсорбенты и носители катализаторов. / И.Е. Неймарк // Киев: Наукова думка, 1982.- 216 с.

4. Афинеевский А.В. В сб. Научная конференция «Физическая химия поверхностных явлений и адсорбции». Плес: / А. В. Афинеевский, М. В. Лукин, М. В. Улитин. // Труды конференции. / ГОУВПО Иван. гос. хим.-технол. ун-т. Иваново, 2010. - С. 81-83.

5. А.Г. Мирзомамадов, М.М.Сафаров //Вестник Таджикского национального университета. - 2015. - №1/5 (188) - С. 89-93.

6. А.Г. Мирзомамадов, М.М. Сафаров [и др.]//Вестник Таджикского национального университета.- 2016. -№1/4 (216) - С.71-76.

7. Дульнев Г.Н. Теплопроводность смесей и композиционных материалов./ Г.Н. Дульнев, Ю.П. Заричняк. // Л.: Энергия, 1974. - 264 с.

УДК 517.55

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С ОБОБЩЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ НАГРУЖЕННЫМИ СВОБОДНЫМИ ЧЛЕНАМИ ИДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ

МУХТОРОВА ШОИРА МАРВАТШОЕВНА,

ассистента кафедры математического анализа и теории функций Кулябского государственного университета имени Абуабдуллох Рудаки Адрес: г. Кулоб, улица С. Сафаров 16. Тел: (+992) 937076544

В статье исследуются характеристики обобщенных аналитических функций с массой дополнительных условий. В связи с этим были рассмотрены основные направления отчета по Риману, полностью проанализированы с точки зрения функционального анализа, а также уточнены и определены приоритеты проблем Римана. Кроме того, исследователь полностью представил отчет по другим областям исследований Римана, основной целью которого было изучение проблемы Римана в аналитических классах с обобщенными функциями в другом отчете.

Ключевые слова: постановка задачи, обобщенные аналитические функции, дополнительные члены, направление, Риман, характеризуйся.

ГУЗОРИШИ МАСЪАЛА БО ФУНКСИЩОИ УМУМИШУДАИ АНАЛИТИКИ БО САРБОРИИ АЪЗОИ ОЗОД ВА ШАРТ^ОИ ИЛОВАГЙ

МУХТОРОВА ШОИРА МАРВАТШОЕВНА,

ассистенти кафедраи та^лили математика ва назарияи функсищои, Донишгощ давлатии Кулоб ба номи Абуабдуллох; Рудаки, Сурого: ш. Кулоб, куч. С. Сафаров 16. Тел: (+992) 937076544

Дар мацолаи мазкур оид ба хусусият;ои функсищои умумишудаи аналитики бо сарбории шартхри иловаги пажухиш царор гирифтааст.

Дар ин маврид самт;ои асосии гузориши масъалаи Риман мавриди барраси,аз нигохи тах;лили функсионали ба пурраги тах;лил ёфта ва самт;ои афзалиятнокии масъалахои Риман дациц ва муайян гардид. Ин чунин гузориши масъалаи вобаста ба самт;ои дигари тадцицоти Риман дар мацола аз цониби мухациц ба пурраги барои барраси пешнщод гардид, ки ;адафи асосиаш аз он иборат аст, ки масъалаи Риман дар синфхои аналитики бо функсияхои умумишуда дар гузориши дигар зери пажухиш царор гирифт.

Калидвожахр: гузоришимасъала, функсияхои умумишудаи аналтики, шартхоииловаги, самт, Риман, хусусият, тахлилвабарраси.

EDGE PROBLEM WITH GENERALIZED ANALYTICAL FUNCTIONS WITH LOADED FREE MEMBERS AND ADDITIONAL CONDITIONS

MUKHTOROVA SHOIRA MARVATSHOEVNA,

Assistant of the Department of Mathematical Analysis and Function Theory, Kulob State University name Abuabdullo Rudaki Address: Kulob, st. S. Safarova 16, Phone: (+992) 937076544

The article examines the characteristics of generalized analytical functions with the mass of additional conditions. In this regard, the main directions of the Riemann report were considered, fully analyzed from the point of view offunctional analysis, as well as the priorities of Riemann's problems were clarified and determined. In addition, the researcher fully presented a report on other areas of Riemann's research, the main purpose of which was to study the Riemann problem in analytical classes with generalizedfunctions in another report.

Keywords: task setting, generalized analytical functions, additional members, direction, Riemann, characterize, analysis and review.

Введение. в предлагаемой работе рассматривается краевая задача Римана в классе аналитических, обобщенных аналитических функций в следующих постановках. Пусть С расширенная комплексная плоскость и + -конечная ( m+1 ) связная область с простой гладкой границей i состоящей из кривой L0 охватывающей остальные кривые L, Ь2,..., Lm и

D+ = C \ D .На C \ L задано конечно множество особых точек F = F+YF_ = {F , F ,-F,} .Обозначим черезщ,щ,..ип малые окрестности точекF,Fv-F, и через дщ,дщ,....дип границы этих окрестностей соответственно, которые предположим простым кусочно гладкими и ориентированными причем щ Q и. =0 при i Ф j . В проколотых окрестностях Uv \ F зададим H-

непрерывные функцию (z) (v = 1,2,....и) а в случае их аналитической продолжи мости с контуров дщ в некоторые области H-непрерывную функцию

Л(z) = (z),z e D + ;

f (z) = ^(z) + ^2(z) + ... + ^n(z) = . i (z)z _ D

f (z) = ^ (z),z ^ D ,

i

аналитическую в C \ Fv .Функции (z) или f(z) можно интерпретировать как главной частью искомой функции ф(z) в окрестности uv точки Бу.Здесь через f+(z) и f-(z)обозначена сумма главных частей неизвестной функции по всем особым точкам лежащих в D+и D- соответственно ,F+(F-) -множество особых точек функции f+(z) (f-(z)), лежащих в D+(D-).Функции f+(z) и f-(z) аналогичная

всюду вне соответствующих особых точек, в частности f+(z) аналогичная в D~ ,аf (z) в D+ Зададим на L функции G(t) Ф 0 удовлетворяющие условию Гельдера и рассмотрим следующим краевую задачу:

n_

Найти все функции ф(z) ограниченные на бесконечности аналитические на (С \ L) \ Uuv," Н-

v=1

непрерывно продолжимте слева и справа на

L,где должно выполнятся краевое условия ф+(t) = G(t^ (t) + ^(t) + ,t e L , % р у

k=1

Здесь а, а,.....а -некоторые комплексные постоянные, подлежащие определению наряду с

_ +

ф (z);^(t),#2(t),/....,^(t) -заданные линейно -независимые комплексные функции удовлетворяющие условию H. Неизвестные функции ф( z) должны быт H-непрерывно

преодолимыми в Цпу \ Fv так, чтобы разности ф(г) - _f (г) или ф(г) (г) для каждой

У=\ ~

у=1,2...л были аналитическими вЦ. Кроме того, требуется подобрать ах,а2,...ап так чтобы

существовало многообразие решений (1), из которого затем надо выделить подкласс решений, которые бы удовлетворяли условиям

У (г)ф+ (г)йг = р], ] = 1,2„„т (2)

I'

IУ (г)ф~(г)Ш = qJ, ] = т +1,т2 + 2,....т2,(т1 + т2 = т)

= q.

где У (г) -заданные линейно-независимые комплексные постоянные функции, а р}, ^ -

заданные комплексные постоянные. Положим А(г) = а1в1 (г) + а2в2 (г) +......ап6п (г )■ Задача вида (1)-

(2) в случае Р = 0, возникли в фундаментальном исследовании (7) .

Требовании разности « ф(г)-/(г) » или «ф(я)(г) » для каждой V = 1,2....,п были аналитическими в , « А(г) Ф 0 » и «дополнительные условия типа (2)» отличает рассматриваемую

задачу от классических подстановок (3), (4 ), (5 ) . Случай Р Ф0, в(г) = 0 изучен в (1 ), а случай Р = 0, в(г) Ф 0 исследовано в (8).

Рассмотрим случай Р ф 0, А(г) Ф 0 . Пусть ж -индекс коэффициента в^), а х(г) каноническая функция однородной задачи (1). Она будет даваться формулами:

т

х+ (г) = П (г - г, )Хк ехр Г+(г), Х~ (г) = г~х ехр Г - (г),

к=1

т

1п

Где Г (г) = I

4 У Отй1

г х П (г- гк ) ХкО(г)

, ^г (3)

2я1 * г - г

Используя свойства канонической функции на контуре

Х+ (г) = 0(г)%- (г), г е Ь

краевое условие (1) запишем в виде

п

ф+ (г) / х+ (г) = ф- (г) / х~ (г) + я (г) / Х+ (г) + £ а А (г) / х+ (г), г е Ь

к=

и рассмотрим функцию ф(г) / х(г) . Если бы она не имела особенностей в точках множества Б и А(г) Ф 0 , то мы могли бы записать:

ф(г) =ф0(г) + ф1(г) +ф2(г) ,

где ф0 (г) = рх (¿)х(г) -общее решения однородной задачи без особенностей, а

х(г) х^ -Л., ф2(г) = Х2 £ а,\°к(г) *

2л1 Ь I (г) г-г 2ж/ { X (г) г-г

-частные решения неоднородные задачи в случае Б Ф 0, причем, р (г) - многочлен степени х

при х > 0 и нуль при х < 0 . В рассматриваемом нами случае следует записать: ф( г) = ф0( г) + ф( г) + ф( г) + фА (г), (5)

Где фА (г) - кусочно аналитическая функция имеющая заданные особенности, подлежащая определению. То, что искомая функция ф(г) иметь в особых точках заданные главные части, означает: существует аналитическая функция щ(г) такая, что ф(г) = г) + f (г) . Представим ф( г) / х( г) в виде ф(г) / Х( г) = щ(г) / х( г) + f (г) / х( г) (6) Учитывая ф0 (г) и (4) из соотношения (5) будем иметь:

п

Е(I) йт " ак (т)г вк (т) йт /(г)

г \ , г \ г \ 1 Г Е (') йт а, (Т)Г ¥( ^ / х( г)=Рх (г)+—\ 1

2л1{ х (г) г-г к=1 2ж1 * х (т) г-г х(г) Составим разность предельных значении обоих частей последнего равенства на контуре: ¥+ (0 (0_ /- (/) / (0.+ _£(0+ £ аД (г) (?)

х+ (/) х (/) х (/) х+ (/) х+ (/) 1-1 х+ (/)

Соотношения (7)- задача определения кусочно- аналитической функции щ(г)/ х(г) по заданному скачу, следовательно имеем:

х(г)-—| х-(т)~~х~Тт) Рх(г)+9^1 т+гл^_^+Тд 1 (<)'^тт

2л1ь

т-г 2л!{ х (т) т-г 2п1 к-1 {х (т) т-г

Прибавляя к обоим частям последнего равенства функцию /(г) / х(г) и умножая на х(г) получим:

ф(г) - /(г) + х(г)

2я/ ^

/-(т) / (т)

-Тт + Фо(г) + ф(г) + ф2(г) т 2 (8)

_х~ (т) х+ (т) _

Формула (8) даёт общее решение сформулированной задачи при х > 0 . При х < 0 в выражение (8) следует положить рх (г) = 0 и задача имеет единственное решение, если заданные

главные части, свободные и нагруженные свободные члены удовлетворяют следующие |х +1|

условиям разрешимости

1 Е)й^0+(т)+ ± а„ | вк (т)й^о+(т) -\\/+ (т)Т^0+(т) - /- (т)йЩ+ 0(т)]

Ь 1-1 Ь Ь

(9)

которое получено разложением в ряд интегральных членов равенств (8) и (4) в окрестности точки

г-да, где (т) - любое решение союзной однородной задачи для дифференциалов

ёщ ) - )й^0+(0-

Сопоставляя (8) с (5) заметим, что

Фа (г) - /(г) + ^ 1

2п\ ь

/-(т) / (т)

х" (т) х+ (т)

йт — (10)

т-г

Функцию фА (г) принято называть функцией заданных особенностей (1).

Входящие в фА (г) и ф2 (г) слагаемые представленные формулами (10) и (4) описывают вклад в решение происходящий от заданных главных частей / ( ) и нагруженных свободных членов.

Рассмотрим один частный случай функцию фА (г) часто встречающиеся в практике. Пусть функция

/-(0 _/ЩЧЦ = £(/) еЬ х (/) х (0х++(/) х+ (/) ' ( )

аналогичная в Б и непрерывно продолжим в Б- , а функция

/ (О _ / (/)х~ (О _ оЛЫ (/) I е Ь

х+(/) х+(/)х~ (/) х (/) ' ) _

аналогичная в Б- и непрерывно продолжим а в Б- , тогда в областях Б -+ функция фА (г), тем более ф( г) кусочно-аналитическая формулы Коши будем имеет:

ф+ (г) - / (г) + 0(г)/_ (г) + ф+ (г) + ф+ (г) (г), г е (11) ф~(г) -/_(г) + СТ\г)/+ (г) + ф-(г) + ф-(г) + ф2~(г), г е Б

Очевидно, разность ф + (г) - / (г) аналитическая в области Б + функция. Итак справедливо

Теорема 1. Если главные части неизвестной функции /- (г) заданы в виде пары функций /+ (г) и /_ (г) аналитические соответственной на & \ р и & \ Р , то условия разрешимости задачи (1) даётся формулой (8) где рх (г) = 0 а в случае выполнения условий (А) и (В)- формулами (11).

Теперь используя равенство (2), определим неизвестные коэффициенты^,а2,...ап Вычисляя

предельные значения (7) равенства (11) по формулам Сохоцкого и подставляя в первую равенство (2), получим систему Ш1 алгебраических уравнений с п неизвестными

X ] = = 1,2.^(12)

к=1

Где

^ = 1

к(т)вк (т) + к(т)х+ (т)Я

\Х у

йт,

Л = 2р -1 к1(т)[/+ (т)0(т)/_ (т)]йт - 21 к\т)рх (т)х+(т)йт -1 к\т)Х+ (т)

Ж Х+ (т)

V

\Х

йт

*=^ 1

1 Г^)

т-7

йт

■сингулярный оператор Коши.

Поступая аналогично, извторое равенства (2) получим систему алгебраических уравнений с п неизвестными вида

X] = й],1= Щ+1,+2,..щ, (13)

- Н\т)вк (т) + к(т)%-(т)Б

'вЛ

х у

йт

й] = 2д 1 - 21 к(т)[/- (т) - Б-1(т)]йт - 21 к (т) рх (т)х~ (т)йт -1 к (т)х~ (т)

м

Х+(т)

'х1

х+У

йт

Система алг

ебраических уравнений (12) и (13) исследуется известными методами. Обозначим через

А = ||Д,| ( В = \Рк1 / й] ||) -матрицу (расширенную) из коэффициентов систему (12), а через Га (Гв)

ранг матрицу А (В). Если ^ Ф гв то система (12) несовместна, т.е. система не имеет решений. Для

совместности системы (12) необходимо и достаточно выполнения +1| условия разрешимости (9).

Если Г = гв система (12) совместно, т.е. при ш1=п матрица А- квадратная и, если ёе Ф 0 то система (12) имеет, и притом единственное решение при любых й ■ . Решая систему (12) по формулам

Крамара и подставляя в (8) и (11), получим решение задачи в замкнутой форме. Аналогичные выводы можно вывести. Относительное системы (13). Следовательно, справедливо следующая Теорема 2. Задача сопряжения с заданными главными частям ,нагруженными свободными членам для аналитической функции с дополнительными условиями на искомые функции приводится к п линейной алгебраической системе (12)-(13) с т = щ+щ комплексными неизвестными а,а2,..ап ,где щ(т) - число комплексных условии на ф+ (7) (ф~(7)) .Если щ = п (т = п) и определители системы (12)-(13) не равны нулю, то эти системы разрешимы единственным образом при любых и тогда йц.й] при ж > 0 общее решение задачи (1)-(2) даётся

формулой (8), а в случае выполнения условии (А) и (В)-формулами (11). При ж < 0 задача разрешима тогда и толка тогда, когда выполнены условия разрешимости (9) и при их выполнения, единственное решение задачи даётся формулой (8), где рх (г) = 0

ь

ь

ь

ь

ь

ь

ь

ЛИТЕРАТУРА

1. Акбаров Р. Краевые задачи теории аналитических функции с заданными главными частями и им соответствующие особые интегральные уравнения / Р. Акбаров // Душанбе, Дониш.- 2006. - 230 с.

2. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции / И.Н.Векуа.//М:, Наука. - 1988. - 507 с.

3. Ф.Д Гахов Краевые задачи / Ф.Д. Гахов. М:, Наука. - 1977 - 193 с.

4. 4.Н.И. Мусхелишвили. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили. // М:, Наука. -1968.-210 с

5. Михайлов Л .Г. Новый класс особых интегральных уровненный и его применения дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами/ Л.Г. Михайлов //Душанбе.- 1963.220 с.

6. Михайлов Л .Г. Учёные записки. теории . физ- мат, ф-та/ Л .Г.Михайлов //Тадж гос. университет - 10 1957. - 199 с

7. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций/ Бицадзе А.В. // М:, Наука.- 1985. - 210 с.

8. Голузин Г.М. Геометиричекая теория функций комплексного переменого/ Голузин Г.М. - М:, Наука.- 1966. 190 с

9. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций /Маркушевич А.И.- М:, Наука.- 1967. - 230 с.

10. Полиа Г.Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа/ Полиа Г.Сеге Г - М:, Наука.- 1978. - 250 с.

11. Пчелин Б.К . Специальные разделы высшей математики/ Пчелин Б.К . ВШ-М:,Наука.-1973. - 160 с

12. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплекного пременого/ Привалов И.И.//М:, Наука- 1984. - 180 с.

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ СИНГУЛЯРНЫМИ ТОЧКАМИ С НАГРУЗКАМИ

СВОБОДНЫХ ЧЛЕН И С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ (когда характеристическое уравнение имеет различные корни вещественные и комплексные)

ХИДИРОВ Х.С.

к.ф-м наук ,кафедры «Математически анализ и теорию функцию» Кулябский государственный университет имени А Рудаки.

На статье рассматривается исследования существование и единственность решения линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с одной сингулярными точками с нагруженным свободных член и с дополнительными условиями, когда характеристическое уравнение имеет различные корни вещественные и комплексные ,при помощью система линейных алгебраических систем уравнений (л.ас).Существование и единственности решения линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнение зависит от решение систем алгебраических уравнений.

Ключевые слова: Система, линейное, ,нагрузка, дополнительные условие, оператор, функция.

LINEAR SYSTEMS OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH ONE

SINGULAR POINT WITH LOADS OF FREE TERMS AND WITH ADDITIONAL CONDITIONS (when the characteristic equation has different real and complex roots)

KHIDIROV KH.S.

Candidate of Ph.m., Sciences, Department of "Iatematic Analysis and Theory of Function", Kulyab State University named after A. Rudak.

The article deals with the study of the existence and uniqueness of the solution of linear systems of ordinary differential equations with one singular point with a loaded free term and with additional conditions, when the characteristic equation has different real and complex roots, using a system of linear algebraic systems of equations (l.a.c). The existence and uniqueness of the solution of linear systems of ordinary differential equations depends on the solution of systems of algebraic equations.

Key words: System, linear, load, additional condition, operator, function.

Введение. рассмотрим линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

n n

ху[ = Xaij(x)yj+ fj(x)+XakVk(i = 1Д...,n) (i)

j=1 k=1

где a^. (x) - заданные непрерывные функции, без ограничения общности можем считать их вещественными. Что касается свободных членов и решений, то при x Ф 0 они также считаются непрерывными, а yk (x) -непрерывно дифференцируемыми; в сингулярной точке x = 0 они могут