CC BY
8
ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ СИНГУЛЯРНЫМИ ТОЧКАМИ, КОГДА ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ИМЕЕТ ТОЛЬКО КРАТНЫЕ КОРНИ С НАГРУЗКАМИ СВОБОДНЫХ ЧЛЕНОВ И С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ
Хидиров Худойкул Сатторович канд. физ.-мат. наук, Филиал технологического университета Таджикистана
в г. Куляб, Республика Таджикистан, г. Куляб E-mail: habibullo-n@yandex. ru
STUDY OF LINEAR SYSTEMS OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH TWO SINGULAR POINTS, WHEN THE CHARACTERISTIC EQUATION HAS MULTIPLE ROOTS ONLY WITH LOADS OF FREE MEMBER AND WITH THE ADDITIONAL CONDITIONS
Khidirov Hudoqul
candidate of physical and mathematical sciences, Branch Technological University
of Tajikistan in Kulob, Republic of Tajikistan, Kulob
АННОТАЦИЯ
На статье рассмотрена система линейных дифференциальных уравнений с двумя сингулярными точками, с нагрузками свободных членов, с дополнительными условиями. Исследовано существование ее решения с алгебраическим линейным уравнением.
ABSTRACT
On paper we consider a system of linear differential equations with two singular points and with loads of free member and with the additional conditions investigated the existence of its solution with the algebraic linear equations.
Ключевые слова: система дифференциальных уравнений; нагрузка; дополнительные условие; сингулярные точки.
Keywords: system of differential equations; load; additional conditions; singular point.
Рассмотрим систему уравнений
n n
x(x-l)y; = £a tJ(x)yj + f (x) + Y,ak0>k(x), (i = i'2'-' n) (1)
j=1 k=1
Created by DocuFreezer | www.DocuFreezer.com |
где а^ (х) - заданные непрерывные функции (без ограничения общности
можем считать их вещественными). Что касается свободных членов и решений, то при х ф 0 и х ф 1 они также считаются непрерывными, а у„ (х) - непрерывно дифференцируемыми: в сингулярных точках х = 0, х = 1 они могут быть
непрерывными (класс С), либо просто ограниченными (класс М0) нагрузками и
п
с дополнительными условиями Xакв'к (х) .
к=1
1
\фг (х)у (х^х = дг. (1 = 1,2,3,..., п), (1 ) Будем пользоваться также векторной
г
0
записью
х(х- 1)У' = А(х)-У + Г + Ха( (2)
где а(х) = (х),|| а У(х) и Г(х) - искомый и заданный векторы-столбцы, в силу чисто технических причин записываемые, однако, в строку
У = (у^ у 2 ,...,> Уп),Г = (/^ -/2,-> !п),
( п п п
}1 ^ ~ ¿э2 V ~, пп
Х«6 = |Х«к^1к,^кв2к,..., Хаьв
V к=1 к=1 к=1 У
Рассмотрим сначала модельную систему
х(х - 1)у; = X аг] (0)У; + / (х) + X ав'к (х) (3)
;=1 к=1
Если /1(х) = /2(х) = ••• = /п(х) = 0,то получается однородная система, вместо а^ (0) = а^. и получим однородную систему в таком виде:
п
п
п
х(х - 1)у; = Х а ;У} (4)
;=1
Пытаясь удовлетворить однородные системы уравнений (4) степенными
функциями
1 -1
х
придем к характеристическому уравнению
У1 = Уи
1 -1
х
, У2 =У2к
1 -1
х
Уп У пк
1 -1
х
Дифференцируем и подставим систему уравнений (4)
У; =У1кЯ
1 -1
х
х(х -1)
■у 2 =У2кЛ1 —
х(х -1)
У'п =УпкЯ
1 -1
х
х(х -1)
х(х - 1)УгкЛ
1 -■
х
х(х -1)
= Х а,кУ,к
к=1
1-
, (1 = 1,2,..., п)
После сокращения на
1 -1 х
л
получим систему алгебраических уравнений
К -Л]У1к + а12у2к +•••- а1пупк = 0 а21У1к + [а22 -я]у2 к а2 пупк = 0
апу1к + ап2у2к [апп -Л]Упк = 0
(5)
Или в матричном форме
1 . . а1п У1к У1к
д(я) г = [а(0)-я/]г = а21 а22 - я . . а 2п У2 к = 0, г = У2 к
ап1 а п 2 . . апп -я Упк япк _
ю
л
я
л
я
я
я
я
1
1
1
я
я
1
1
1
х
■
Рассмотрим случай, когда его корни кратные я = я = • • • = я„ = я
(кратность п), причем Яе я ф 0. Из этого необходимо следует Д0 = ёй А(0) ф 0 . Если У,У2к,..., ул\к = 1,2,...,п являются линейно независимыми решениями систем с определителями равными нулю
[а11 - яУ1к + а12у2к + • • • + а1пупк = 0 а21У1к + [а22 - я]У2к + • • • + а2пупк = 0
апу1к + ап2у2к + • • • + [апп - я]упк = 0
то ёе1 у. ЫГф 0 и
У1к
1 --
,У2к
1 --
,..., Упк
1-
х
яЛ
(к)
= У0 (х) (к = 1,2,..., п)
образуют п - линейно-независимых решений систем (4). Записывая общее решение системы (4)
У} = Ё скУ:к
к=1
1 -1 я 1п к-1 1 -1
х х
п (к)
¥(х) = Х Ск У 0(х) 1п к1
к-1
, (6) 1
1 --
где ^ - произвольные постоянные, для нахождения частного решения неоднородной системы ¥ (х) = (У, у2,..., уп) пользуемся методом вариации постоянных. Дифференцируем (6) и подставим в (3)
У; = С1У11я
1 -1
х
+ У11
х(х -1) 11
1 -1
х
ёс1
~Т + С2У12я ах
1 -1
х
я
1
+ С2У12
1 - 1 х
х(х -1)
+ У12
1 - 1 х
1п
1 -1
х
йх
+ ••• + СпУ1пя
1 -1 х
х(х -1) я 1
1п 1--
х
+
х(х -1)
1п
1 -1
х
+
+ СпУи
1 -■
х
(п -1)-
х(х -1)
1п 1 —
х
+ У1п
1-
1п 1 --
Ссп
йх
у п = с1утя
1 -1
х(х -1)
+ Уп1
1 -1
Сс1
-1 + Сп У „я
7 2 п 2
ах
1 -1
х(х -1)
1п
1 -1
+
я
я
1
1
1
х
х
х
я
я
1
п-1
я
я
1
п-2
п-1
я
я
1
1
1
1
1
х
х
я
я
1
1
х
х
х
х
+ С2Гп2 1 "
1
X
х(х -1)
+ Гп 2 1 -
1
х
1п1 --
йсп
йх
+-----+ с„у „„11 -
п пп
1
х
х(х -1)
1п 1 --
п—1
+ с у
пп
1-
х
(п -1)-
х(х -1)
1п 1 --
п-2
+ Уп
1-
х
1п 1 -■
х
п-1
йСп
йх
После подставленные их в систему (3) получим
1=1
1 -1
х
1п 1--
х
1-1
йс1 I (х)
Ечг к(х)
+
к=1
йх х(х -1) х(х -1)
(,' = 1,2,..., п) (7)
откуда имеем:
йх
1 -1
х(х -1) 1=1
1п
1 -1
1=1 Г п \
1} +!пкв' к
V к=1
либо
йх
1-1
х
х
-1
I
1+1 1пу
1=1
1 1-1
1п 1—
х
п л
I +1*к&гк , (8)
v к=1 у
где = гк /г и гк. - алгебраическое дополнение элемента ув матрице |, (к = 1,2,..., п). Интегрируя (8) в пределах [0, х] при Яе 1> 0 и в пределах [ х,1] при Яе 1< 0 и вводя, операторы
^У =
-I
х I1-1
I II1+1 к-1
с 1 -1 л
1п
v к у
1-
(У(к) + 1 пкв'кй, (, = 1,2,..., п) (Яе 1> 0)
Л=1
(9)
1 к1-1
к-1
1 -1 л
1п
v к у
1-,
(У(к) + 1кй , (, = 1,2,..., п) (Яе 1 < 0 )
к=1
сможем записать
1 -1
х
( п (
с, =
V 1=1 V к=1
IX I + 1«^ =Ц(I + 1«^)
1 =1 к=1
1
1
1
1
1
1
х
1
1
1
1
1
1
1
1
X
х
х
1
1
1
х
х
У
ш
0
п
х
1
п
п
п
так что
у=! (Р = 1,2,..., п) (10)
¥ = Т0 Р, Т0 =\в\
Таким образом, общее решение (3) находится формулами:
Ур(х)= Х ссУр,
1=1
1 --
1п
1 --
+
ЕСТ Л , (Р = 1,2,..., п) , (11)
Р 1 ' 'к 1=1 v к=1
(к)
¥(х) = Х Ск ¥ 0( х)
к=1
1п
1 -1
х
к-1
+ Т0 Р + Т0
Возвращаясь к общему случаю переменных коэффициентов, стандартной процедурой вычитания преобразуем (1) к системе с постоянными коэффициентами, но со «свободными членами» будем иметь:
/1 (х) + Х-акв'к = X ар (х)я + (х) + Е ак°'к, а„ (х) - а„ (х) - а„ (0)
к=1 я=1
к=1
Вставляя их в формулы обращения (11), придем к системе интегральных уравнений:
п п
У г (х) = X ТуУ 1 +Е
1=1 1=1
С У..
1' Ч
1 -1
1п 1 -1
х
1 -1
+ ст
/ +Ёак0г к (х)
v к=1 у
(1 = 1,2,..., п) (12)
Как показывают формулы (12) и (10), все \ выражаются в виде линейных комбинаций с постоянными коэффициентами над простейшими операторами.
ст+У = ст+ К (')
у(') + Хак^'к(') ] = |
v к=1 у 0
Л -г„ ('X"
I' -1
я+1
1п
1 -■
у(')+Еа^'к (') а
v к=1 у
п
1-1
я
1
1
х
х
п
п
п
п
я
х
1
'
= К (t)
Л (t\tX-1
y(t) + ш (t) ] = J ak (t}t
v k=1
t -1
X+1
ln
V-1
1 --
У(t) + (t) dt.
v k=1 у
Прежде всего, поскольку аь (г) непрерывны, то операторы у действуют и ограниченны в С и М0, причем
\°%у\мш = maxMol (14).
Re X
Во вторых, поскольку ай (0) = 0, то lim ßü = 0 и, кроме того, как показано
d
операторы у вполне непрерывны в С,М0. Таким образом, нами доказано:
Подставим значение (12) на дополнительные условие (1 ).
n n
Jvt(x) • у,(x)dx=Jw(x) -[Z тчУ1+ Z сл
1=1 1=1
1 -1
ln
1 -1
x
1-1 (
fi +Zak°k ]dx = q,
при Re X> 0, (i = 1,2,..., n)
а а n n
Jvt(x) • yt (x)dx=Jvt(x) -[Z тчУ1+ Z in
0 0 1=1 1=1
1 --
x
ln
1 --
x
1-1 r
]dx = st
при Яе 1< 0 , (, = 1,2,..., п) .
Получаем две линейные системы алгебраических уравнений.
п п
IОП = ^ при Яе 1 > 0, I Ьг]а} = ^ при Яе 1 < 0 , (15)
1=1 1=1
Имеет три случай: а) т = п, в) т < п, с) т > п.
Теорема. Пусть дано системы линейных дифференциальных уравнений (1) 1. Если на системы линейных алгебраических уравнений (л.а.с.) (15) п = т и Л^ 0 то системы линейных дифференциальных уравнений (1) имеет единственные решения.
1
t
x
X
x
а
а
X
1
1
2. Если при m > n и m < n (л.а.с.) (15)имеет решение, то система линейных
дифференциальных уравнений разрешима. Противном случае не имеет решения.
Список литературы:
1. Михайлов Л.Г. О одном свойстве сингулярных дифференциальных уравнений //ДАН России, — 1991, — т. 321, — № 4, — с. 181—185.
2. Михайлов Л.Г. Об одном способе исследования систем обыкновенных дифференциальных уравнений с сингулярными точками //ДАН России, — 1994, — т. 336, — № 1, — с. 21—23.
3. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. Государственное издательство технико-теоретической литературы, М. 1956, — 465 с.
4. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Мир-1970, — 389 с.
5. Хидиров Х.С. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с одной сингулярной точкой, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни //ДАН РТ, — 2009, — т. 52, — № 7, — с. 507—512.
6. Хидиров Х.С. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с тремя сингулярными точками //ДАН РТ, — 2010 г., — т. 53, — № 1, — с. 20—24.
