CC BY
0УДК 51+531.395+531.381
Макеев Н.Н.
доктор физикоматематических наук, профессор независимый исследователь (г. Саратов, Россия)
ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В ДИНАМИКЕ СЛОЖНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Аннотация: рассматривается ограниченная задача нахождения интегралов движения сложной механической системы, линейных относительно компонент вектора кинетического момента. Механическая система движется в стационарном однородном поле силы тяжести так, что её неизменяемая основа вращается вокруг неподвижного полюса. Решение задачи дано в виде линейных зависимостей для компонент вектора кинетического момента и параметров ориентации системы. Приведены ограничения, наложенные на структурнокинетические параметры системы, при которых получены линейные интегралы.
Ключевые слова: сложная механическая система, поле силы тяжести, линейный интеграл, кинетический момент, программное управление.
Рассматривается движение объекта, называемого сложной механической системой (СМС) в однородном постоянном поле силы тяжести. Величина массы системы и её конфигурация непрерывно изменяются во времени вследствие переноса тел её присоединённой подсистемы (рабочего тела) внутри объекта и (или) их выноса за его пределы. Вследствие этого СМС является структурно изменяемым механическим объектом переменного состава массы и изменяемой во времени конфигурации [1]. Предполагается, что СМС движется так, что её телоноситель (абсолютно твёрдое тело) вращается вокруг неподвижного полюса О под действием программно заданного результирующего момента реактивных сил L (t) (t е [0, + да) = T) и момента силы тяжести.
1741
Введем правые координатные ортобазисы Гр Г2, Г3 с общим началом в полюсе О: неподвижный Гр; базис Г2, неизменно связанный с носителем системы, и базис Г3 (Ox1x2x3), оси которого Ox] (j=1,2,3) для каждого момента
времени teT направлены по главным в полюсе О осям тензора инерции СМС с матрицей J(t) = diag[4(t),A2(t),A3>(t)\. В силу непрерывного по teT изменения конфигурации и состава массы СМС базис Г3 в общем случае вращается
относительно Г2 с угловой скоростью rar (а]), зависимость которой от величин
заданных компонент Aj (t) тензора инерции СМС J (t) известна.
Таким образом, непрерывные и непрерывно дифференцируемые зависимости вида rar (t), J (t), отнесённые к базису Г3, считаются программно заданными и, следовательно, известными в любой момент времени te т. Обозначим [1] G = J га + Gr, X (t) = rar - J-1 Gr, О = ra + rar = J- G + X,
где га, О (Q i) - абсолютные угловые скорости носителя СМС (базиса Г )
2
и базиса Г3, G (Gj), Gr (t) - кинетические моменты относительно полюса О всего
объекта и рабочего тела, соответственно (последний - относительно базиса Г2),
Л (Aj) - эффективная угловая скорость носителя как непрерывная функция времени, Aj (t) (j = 1,2,3) - главные осевые моменты инерции СМС
(диагональные элементы матрицы тензора инерции J), определённые для каждого момента времени t eT в осях базиса Г3. Заданные векторпараметры
L (L}), Gr (Grj) являются управляющими, каждый из них определён для t e T соответствующей временнОй программой.
1742
Пусть 8 s2,з3) - орт, неизменно связанный с ортобазисом Гр М (г) -
величина массы СМС, g - стандартное значение величины ускорения силы тяжести, 8 (513s2,s3) - орт, неизменно связанный с ортобазисом Гц, g = - g б,
гс (г), г} (г) - радиусвектор центра тяжести СМС и его координаты в проекциях на оси базиса Г3, Р(г) = М(г)g, М(г) - величина массы СМС.
Движение СМС при данных предпосылках характеризуется детерминированной неавтономной эволюционной динамической системой [1]
(( + щ (2 (3 + Л203 - Л302 = Ц + Р(г3 52 - г ¿3),
¿1 + (А( + - (А( + = 0, (2) (1,2,3).
Определим условия существования линейных по компонентам вектора кинетического момента СМС интегралов системы уравнений (2) при заданных для г е т структурнокинетических ограничениях
24 = А, г = тъ = 0, т2 * 0, (3)
идентичных по форме классическим условиям Бобылёва-Стеклова для структурно неизменяемого твёрдого тела [2, с. 581].
Получим определяющее уравнение для одной из компонент вектора С. Обозначим
w = А1X,, п2 = А1 к2, / = А1А - 1,
1 ' (4)
к = Ргс, т= - |А-ds
2 0
и, переходя от г к переменной т согласно равенствам (4), представим
систему (2) при условиях (3) в виде
о; + (1 - 2/) О2 О3 + ^ - ^ = 2(д ц - п2
0'2+ 2(/ -1)03о, + 2(^о, - м^О) = 2 АЦ,
03 + о02 + 2(^102 - ^ О1) = 2(А Ц + п2( )
3'= 2 Ф3 з2 -Ф2 з3, з2 = 2 Ф1 з3 - 2 Ф3 з1, з'=Ф 2 3 - 2 Ф1 з2,
где обозначено
Ф1 = 01 + w1, Ф 2 = 02 + 2^2, Ф3 = / 03 + w3,
штрих обозначает дифференцирование по переменной т.
1743
Ищем решение системы уравнений (5) на многообразии возможных движений СМС, включающем состояние, при котором
G2 (t) = G2 * 0, G3 (t) = 0 (t e T). (6)
Здесь и всюду далее верхний нулевой индекс относится к значениям величин в начальный момент времени t = 0. Равенства (6) являются обобщёнными аналогами известных интегралов БобылёваСтеклова для структурно неизменяемого твёрдого тела.
При движении (6) имеем
o2(t) = (24) - 1(G 2 - G2), оъ(г) = - A -1G r (t e T).
Система уравнений (5) и интеграл проекции кинетического момента СМС на орт s в силу соотношений (6) принимают вид
G1 = 2(F1 - П2 S3), Л Gj = ^ G1 = 2 F2 1(F3 + П2 ^(7)
S = 2w3 s2 - F0 s3, s'3 = F0 s1 - 2Ф1 s2, s1G1 + s2 G 0 = H,
где обозначено
F0 (t) = G 2 + 2w2, F1 (t) = A1Ц + W3 G 2,
F2(t) = G 0 - 2w2, F3(t) = A1L3 - W1G2,
H - постоянная интегрирования.
Из третьего и последнего уравнений системы (7) при Gr2(t) * 2A1a[ - G2 следует
2(F3 + n2 s1) S1 + G 2 F2 = HF2 . (8)
Обозначим
g1 (т) = F0F2 - 2a(Hn2 + W1F3), a = 2(G2)-1
g2(т) = a (W1 F2 - 2Fз), g3(T) = aFr,
Ф (т) = 2[(F-1F/- n-1 n'2)F1 + F0F3 + aHn2 wj (9) и введём уравнение
G1 - n-1 n2G1 + gG1 + g2G2 + g3G3 = Ф(т). (10)
1744
Теорема. Если существуют первые интегралы (6) динамической системы (2), то при условиях (3) на управляющей связи (s • L) = 0 и ограничениях
G2(t) * 2- G2, F1(t) * 0 (t e T) (11)
из системы уравнений (2) может быть выделено определяющее для величины G1 уравнение (10).
Доказательство. Исключая из равенства (8) величину s1, в силу третьего уравнения (7) имеем
(FtG1 - 2F3)G1 + 2п2G2S2 = 2Hn2. (12)
Дифференцируя по т первое уравнение системы (7), с учётом её первого и пятого уравнений, а также равенства (12) и ограничений (11), получаем уравнение (10).
Полученное уравнение является обобщённым аналогом уравнения эйлерова движения структурно неизменяемого твёрдого тела [3].
Рассмотрим свойства движения главых осей инерции СМС. Введём управления - программные компоненты вектора Gr:
G1 (t) = A1®1r, Gr (t) = A3K +1 a(L1 - C*r)], (13)
r
где С - постоянная, и примем, что реализуется одно из кинетических условий
62(0 = а2 + 22 - о2 (14) А(0 - о. (15)
При ограничениях (13)-(15) выполняется условие
Ф(т) - о, (16)
в силу которого уравнение (10) имеет решение ОДО - 0. (17)
Таким образом, при условиях приведённой теоремы на управлениях (13)-(15) необходимо существуют три линейных первых интеграла: (6), (17). Решение (17) в соответствии с альтернативой (14), (15) определяет два
1745
квазистационарных движения системы. Для одного из них, соответствующего управлению (14), в силу системы уравнений (7) имеем
/ \ 0 • ,0 f \ 0 О- /"4/^0
sj (т) = ^2 sin а + sj cos a, s2 (т) = s2 cos а - sj sin a, s3 (т) = C = s3,
T
L2(t) = 0, L3(t) = - k2 SJ(т), X(t) = a (n2 s 0 - Aj а(т) = jx(s) ds ,
0
причём управление LJ(т) остаётся свободным (не связанным никакими ограничениями). В этом случае ортобазис Г3 вращается вокруг главной оси инерции системы Ox3 со скоростью Q3, причём параметры ориентации носителя системы определяются равенствами
Q3 (t) = (2Aj)-jx(t), W(t) = ¥°, V(t) = V° + а (т).
При движении СМС на управлении (15) в силу системы (7) имеем
^(т) - 0, s7 (т) = s0, L3 (т) - 0 (j = 2,3),
причём для значений в0 ф ж/2 реализуется управление
G2(t) = G 2 (t) -x(t )tg в0,
где функция G2(t) определяется равенством (14). В этом случае ортобазис Г3 прецессирует относительно орта s со скоростью
у (г) = (2 А 3 0)- ^(г) (г е т),
причём для компонент вектора скорости й имеем О1 (г) - 0, О2 (г) = О3 (г)1Е в\ 0Ъ (г) = (2 А1)- ^(г), а управление Ц (г) в этом случае также остаётся свободным. При в0 = ж/ 2 при свободном управлении 02 (г) имеем
О1 (г) - 0, 02(г) = (2Д)-1 (О2 - 02) + ® 2, 03(г) = ±1 ак2(г), ь (г) - 0,
где знаки ± соответствуют каждому из взаимно противоположных направлений вращения ортобазиса.
1746
Рассмотрим случай, при котором вместо решения (17) для условия (16) имеет место решение
G1(t) = G 0 * 0. (18)
Тогда квазистационарное движение СМС (6), (18) существует на
управлениях (13), (14), если выполняются определяющие зависимости
Li(t) = ^ 0 k2(t) - A- 1(t) G 0 G 2 ctg в0, L2 (t) = A- 1(t)(G 0)2 ctg в0 (в0 * 0, п), L3(t) = A- 1(t)[G0G2 -H(G0)-1 n2(t)],
а также на управлениях (13),(15), если выполняется управляющее
условие
G2(t) = 2(Ai< - w2) (t e T).
Здесь w s - действительные корни уравнения
G2 w2 + (G0)2 W2 - Q = 0,
существующие при условии (G 0)4 + QG 2 > 0, где функция Q (t) определяется равенством
4Q(t) = (G2)3 + 2(G0)2 G2 - 4Hn2 (t).
На управлениях (13), (14), (19) ортобазис Г3 прецессирует относительно
орта s со скоростью
у(t) = (AiH)-1 (G0)2 * 0,
причём имеют место соотношения
si(t) = s 0 = H (G 0)-1, s2(t) - 0, s3(t) = s 0, ni(t) = A-1G0, n2(t) - 0, n3(t) = Q1 ctg в0,
а компоненты L} в силу равенств (19) взаимосвязаны соотношением
G0L + G2L2 = s0 (G0G2 - L3) у (t). В режиме движения СМС, при котором X (t) - 0, Lj(t) = L2 (t) - 0, (20)
в силу уравнений системы (7), исключая состояние s1 (t) - 0, получаем условие структурнокинетичекого подобия СМС в форме n2 (t) - const = n 2 . (21)
1747
Вводя величины
^ 1 = (О02)2 - 2а Н, а = ап2,
присоединим к соотношениям (20), (21) дополнительные условия ^ (г) = *3(г) - 0, ^(г) = ^(г) - О2, Ф (т) - 0 и тогда определяющее уравнение (10) принимает вид
о'+ е1 о + е 3 о 3 = 0, (22) где обозначено
* 0\ 2 о 0 тт * г~<0
Е1= (о 2) - 2 ап 2 Н, Е 3 = ао 2-
Соотношение (22) является уравнением Дуффинга, решение которого выражается в эллиптических функциях от приведённого времени т, определяемого равенством (4). При этом случай е* > 0 соответствует жёсткой восстанавливающей силе, действующей на СМС. Здесь фазовые траектории на плоскости (о1, Ст1) расположены в области, для которой характерный полином = и- Е1 о2 - о4 > 0. (23) При этом каждая фазовая траектория замкнута, а фазовый портрет динамической системы идентичен портрету линейного осциллятора с периодическим интегральным многообразием.
При е 1 < 0 движение фазовой точки также периодическое и на фазовой плоскости имеются положения устойчивого равновесия в точках (+ р, 0), где
р = ^- 0,5 е 1, и неустойчивого в начале координат. Терминальный режим системы соответствует сепаратрисе, проходящей через начало координат. Обозначим
И =[(о0)2 + Е 1](о0)2 + 4(п230)2, ^ = 112(Е1)2 - И, 6^3 = Е^И + ^ + И)],
о 0
к = (з р + 2 Е1) ^, 21 = з р +1 е 1, Ъ = ¡0 - 12(з) ёз,
где - корень полинома 04; а2, а3 - инварианты стандартного полинома Вейерштрасса, функция 04 определяется равенством (23).
1748
Применяя метод униформизации, из уравнения (22) получаем G1T) = sp - k [р (b ± т; аг, а) +1]-1, (24)
где р - символ эллиптической функции Вейерштрасса. Отсюда в силу
системы уравнений (7) следует
^(т) = YG1 (т), 2sr (т) = a[H - yGГ(т)], у = а~1, (25) Sз(т) = - (2nГ)-1 k [р(т) +1]-3р'(т),
где функция р(т) обозначена в равенстве (24). При этом для базиса Г3
имеем
Q3 (t) = (2A1)- 1[4G2(t) + (G2)r]vr,
а его ориентация в углах Эйлера относительно базиса Г1 на многообразии (25) определяется равенствами
т
tg < = (Ha- G 2) -1G 2 G1, cos 0 = s3, у/{т) = ^°+y\ (Ha + G 3)(1 - s 3r) -1 ds.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Аминов М.Ш. Некоторые вопросы движения и устойчивости твёрдого тела переменной массы // Труды Казанского авиационного института.1959. Вып. 48. 118 с;
2. Суслов Г.К. Теоретическая механика. М., Л.: Гостехиздат, 1946. 655 с;
3. Зубов В.И. Аналитическая динамика системы тел. Л.: Издательство университета,1983. 344 с.
1749
Makeev N.N.
doctor of physical and mathematical sciences, professor independent researcher (Saratov, Russia)
LINEAR INTEGRALS IN THE DYNAMICS OF COMPLEX MECHANICAL SYSTEMS
Abstract: the bounded problem offinding the integrals of motion of a complex mechanical system linear with respect to the components of the kinetic momentum vector is considered. A mechanical system moves in a stationary homogeneous field of gravity such that its unchanging base rotates around a stationary pole. The solution of the problem is given in the form of linear dependencies for the components of the kinetic momentum vector and the orientation parameters of the system. The constraints imposed on the structuralkinetic parameters of the system under which the linear integrals are obtained are given.
Keywords: complex mechanical system, gravity field, linear integral, kinetic momentum, program control.
1750
