ИНТЕГРАЛ ГОРЯЧЕВА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ СЛОЖНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

2019

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 1(44)

УДК 531.38:531.395

Интеграл Горячева для уравнений движения сложной механической системы

Н. Н. Макеев

Институт проблем точной механики и управления РАН Россия, 410028, г. Саратов, ул. Рабочая, 24 nmakeyev@mail.ru; (845) 272-35-33

Рассматривается движение механической системы с изменяемыми во времени величиной массы и конфигурацией распределения массы, при котором неизменяемая основа системы (тело-носитель) движется вокруг неподвижного полюса. Движение происходит в однородном поле силы тяжести под воздействием реактивных сил, обусловленных массоизменением системы. Получен критерий существования независимого первого интеграла системы уравнений движения, являющегося обобщенным аналогом классического интеграла Д.Н. Горячева.

Ключевые слова: сложная механическая система; интеграл движения; критерий существования интеграла.

DOI: 10.17072/1993-0550-2019-1-31-38

Введение

Понятие первого дополнительного интеграла системы уравнений движения твердого тела применялось Е. Уиттекером [1] и Г. Джакалья [2]. В классических задачах динамики твердого тела с неподвижной точкой [3] независимый четвертый интеграл системы уравнений движения, если он существует, наряду с интегралами энергии, кинетического момента, тривиальный и находящийся с ними в инволюции, является дополнительным по отношению к трем упомянутым. Согласно теореме Бура-Лиувилля [4] существование этого интеграла позволяет отнести данную систему уравнений к вполне интегрируемым динамическим системам [5].

Вопрос о существовании дополнительных интегралов уравнений движения механических объектов сложной структуры — сложных механических систем переменного состава массы и изменяемой конфигурации с управляющими связями является актуальным и системно значимым.

В связи с этим представляют интерес постановка и исследование задачи о нахождении условий существования и свойств дополнительных первых алгебраических интегралов

© Макеев Н. Н., 2019

уравнений движения сложных механических систем (СМС). Решение этой задачи сводится к нахождению структурно-динамических и других ограничений, обусловливающих существование данных интегралов.

Известно [6], что динамическая система (в общем случае) не интегрируема по А. Пуанкаре. Однако это утверждение относится только к существованию однозначного (относительно некоторого параметра) интеграла. В силу этого данная динамическая система может иметь первые интегралы для отдельных значений параметров и для определенных начальных условий. Помимо этого, в отдельных и специальных случаях могут иметь место и непрерывные интегралы [2, с. 84].

Исходя из этой предпосылки следует ожидать, что дополнительные интегралы для уравнений движения СМС могут существовать в некотором классе структурно-динамических ограничений на заданном подмножестве начальных значений определяющих параметров системы. При этом ограничения, наложенные на структурно-динамические параметры системы, являются управляющими связями, реализация которых обеспечивает выполнение определенных свойств движения и существование дополнительных интегралов уравнений состояния механического объекта. Движение объекта, для которого существует

дополнительным интеграл, может рассматриваться как движение, обладающее определенными заданными свойствами в классе его возможных движений [7, с. 126].

В настоящей работе рассматривается вопрос о существовании первого независимого дополнительного интеграла системы уравнений движения СМС при структурных ограничениях, аналогичных конфигурационным условиям для неизменяемого твердого тела в классической задаче Горячева [8, с. 273].

1. Основные предпосылки

Под СМС понимается динамически изменяемый механический объект, структурная модель которого предполагает непрерывное изменение во времени состава массы и (или) его конфигурации, явно задаваемые предварительно построенной для t е [0, + <х>) = T управляющей программой. Эта программа определяет для t е T множество структурно-динамических параметров системы (в том числе и управляющих) так, что система ее динамических уравнений аналитически замкнута относительно компонент вектора угловой скорости ее основного тела (базы Ко). Под базой Ко понимается неизменяемое абсолютно твердое тело постоянной массы и неизменяемой конфигурации ее распределения.

1.1. Структурная модель объекта

Рассмотрим детерминированную модель данного механического объекта, учитывающую принятые выше предпосылки.

Механическая система К составлена из неизменяемого (в смысле неизменности величины и геометрии массы) абсолютно твердого тела Ко (тела-носителя) и структурно изменяемой подсистемы Ki (рабочего тела). Величина массы подсистемы Ki и ее геометрия масс (конфигурация) могут непрерывно изменяться со временем. В силу этого система К = Ко и Ki является объектом с изменяемой во времени структурой массы и ее геометрии.

В подсистеме К перенос рабочего тела относительно носителя Ко совершается путем его циркуляции в области D такой, что К с D, и выноса (конвекции) массы за пределы области D с программно заданной относительно Ко скоростью. Изменение структуры массы системы К реализуется для t е T определенной предварительно заданной управляющей программой. Данная структурная схема основана на предпо-

сылках к моделям, построенным в работах М.Ш. Аминова [9] и И.Ф. Верещагина [10].

Механизм массопереноса компонент массы подсистемы К относительно базы Ко и условия его реализации составляют основу структурной модели динамически изменяемого объекта К. Этот перенос определяется заданием полной внутренней программы (термин работы [10]) в виде упорядоченной системы явно заданных для t е T гладких функций времени. Эта система является иерархическим четырехуровневым программным массивом, полностью и однозначно определяющим изменение во времени величины массы и конфигурации (геометрии масс) механической системы К.

Механический объект К, идентифицированный с данной структурной моделью, является сложной механической системой [11].

1.2. Динамическая модель объекта

Предполагается, что СМС движется так, что ее неизменяемая основа (база Ко) вращается вокруг неподвижного полюса О в однородном параллельном поле силы тяжести под воздействием результирующего момента заданных квазиреактивных сил L (t).

Введем правые координатные ортобази-сы Ц, Г2,Г3 с общим началом в полюсе О: неподвижный Ц; базис Г2, неизменно связанный с носителем, и базис Г3 (OXjX2x3), оси О х. (j = 1,2,3) которого для каждого момента времени t eT направлены по главным в полюсе О осям тензора инерции СМС с матрицей J(t) = diag [^(t), ^2(t),^3(t)]. В силу непрерывного по t е T изменения конфигурации и состава массы СМС базис Г3 в общем случае вращается относительно Г с угловой скоростью шг (а>Г) , зависимость которой от

величин заданных компонент Aj (t) тензора инерции СМС известна [12].

Таким образом, непрерывные и непрерывно дифференцируемые зависимости вида юг (t), J (t), отнесенные к базису Гз , считаются программно заданными и, следовательно, известными в любой момент времени t е T .

Рассмотрим движение СМС под действием квазиреактивных сил, обусловленных переносом рабочего тела из некоторой области D, принадлежащей объекту, с программно заданной абсолютной скоростью u (t).

Главный момент этих сил относительно полюса О для I е [0,+<х>) = Т определяется равенством

L (Г ) = Jpr х u )dV.

dt

(1)

Здесь p(t, r) - локальная плотность массы в области D; u (t, r) - абсолютная скорость переноса точек рабочего тела из области D; r (t) - радиус-вектор точки данной области.

Обозначим

G = Jw + Gr, X(t) = wr - J1Gr, (2)

П = w + wr = J - + X,

m1 (t) = A-1 (t)-A-1 (t) (1, 2, 3), где w, П - абсолютные угловые скорости носителя СМС (базиса Г2) и базиса Г3; G (Gj),

Gr (t) - кинетические моменты относительно полюса О всего объекта и рабочего тела, соответственно (последний — относительно базиса Г); Aj (t) (j = 1,2,3) — главные осевые моменты инерции СМС, заданные для каждого t e T в осях базиса Г . Характерные вектор-параметры L (t), Gr (t) являются управляющими [13]; каждый из них задан определенной программой. Любые ограничения, налагаемые на управляющие параметры, являются управляющими связями. Здесь и далее символ (1, 2, 3) обозначает циклическую перестановку величин, содержащих текущие индексы 1, 2, 3.

Пусть M (t) — величина массы СМС; g — стандартное значение ускорения силы тяжести; P = Mg; s (S1, S2, S3) — орт, неизменно связанный с базисом Г такой, что P = - Ps ; rC (t), Tj (t) — радиус-вектор центра тяжести объекта K и его координаты в осях базиса Г (j = 1, 2, 3).

Движение СМС при данных предпосылках характеризуется системой уравнений типа Жуковского-Пуассона [13]:

G + J-*G х G + Xх G = L + P(sх rc)

s + J-*Gх s + Xх s = 0, где L (L1, L2, L3) определяется равенством (1); X = X(Л, Л2, Л) — характерный вектор.

Уравнения (3) в проекциях на главные в полюсе О оси инерции объекта K, определяемые базисом Г , принимают вид

(3)

G + mGG + Л G - Л G = L + p (rs2 - ),

^ + (a2 G2 + л ) ^ - (A- 1g + Л) ^ = о, (4) (1, 2, 3).

Система уравнений (4) обладает первыми алгебраическими интегралами

s 2 = 1,

(s • G) = H,

(5)

причем последний из этих интегралов существует для t e T на управляющей связи L = 0.

2. Постановка задачи

Введем структурно-конфигурационные условия, выполняющиеся для любых t e T

A = a = 4A, r ф о, r = r = 0, (6)

и присоединим к ним управляющую связь

Gr = Jwr, (7)

в силу которой вектор эффективной угловой скорости X (t) = 0 для значений t e T. К данным ограничениям присоединим динамическое условие Горячева

H = 0, (8)

где H — постоянная интеграла (5). Эти условия характеризуют обобщенный аналог классического случая Горячева, существующий для неизменяемого твердого тела [8]. При этом второе ограничение (5) выражает ортогональность для любых значений t e T вектора кинетического момента СМС орту вертикали, что может быть реализовано путем построения определенного программного управления относительным движением присоединенных масс рабочего тела СМС.

Отметим, что классический случай Горячева для неизменяемого твердого тела в структурно-динамическом смысле является родственным классическому случаю Ковалевской в силу определенных соображений.

Таким образом, движение СМС, характеризуемое системами уравнений (3) или (4) и подчиненное ограничениям (6)-(8), является программным во времени управляемым движением, которое может быть реализовано на заданных управляющих связях.

Поставим следующую задачу: на многообразии возможных значений W(G, s) при ограничениях (6)-(8) и L = 0 найти условия существования независимого алгебраического первого интеграла I (G, s) e C 2 системы уравнений (4), определенного в области E (G, s) фазового пространства и находящегося в инволюции с интегралами (5). □

D

Сформулированная задача может быть решена как задача нахождения части поля интегрального многообразия динамической системы при заданных ограничениях.

3. Обобщенный аналог интеграла Горячева

Введем переменные:

w = Gj + iG2, v = Sj + is2.

т = — 4

1 f

-J A31(u) du,

(9)

0

где г — мнимая единица.

Выполняя в силу формул (9) преобразования вида , О , ^ , 52, t) ^ (н, V, г), приведем систему уравнений (4) при условиях (6), (7) и Ь = 0 к виду

w' + 3iG3w = 4iks3, G' + 4k Im v = 0, v'+ 4iG3v = iws3, s' - Im(w v) = 0.

(10)

Здесь штрих обозначает дифференцирование по переменной т; черта сверху здесь и всюду далее относится к соответствующим комплексно сопряженным величинам.

Введем конфигурационное условие

k(t) = A3Pr = const = k0 (t е T), (11) где к0 Ф 0. Одно из возможных истолкований условия (11) приведено далее.

Для системы уравнений (10) элементарно устанавливается следующее:

Утверждение 1. Динамическая система (4) при условиях (6), (7), L = 0 преобразованием переменных (9) и введением стационари-зуемого ограничения (1 1 ) приводится к вполне автономной форме (10). □

Согласно этому утверждению динамическая система (4) при указанных условиях является приводимой по Ляпунову.

Рассмотрим следующий критерий существования первого алгебраического интеграла системы уравнений (10), дополнительного к системе интегралов (5).

Утверждение 2. Для того чтобы система уравнений (10), следующая из системы (4) при ограничениях (6), (7), L = 0, имела дополнительный первый алгебраический интеграл вида (h0 = const)

F = |w|2G " 4ks3Rew = h0, (12) необходимо и достаточно, чтобы при t е T выполнялись условие (8) и ограничение (11).

Доказательство. Необходимость. Дифференцируя по т соотношение (12), согласно уравнениям системы (10) получаем тождество по переменным О у, Sj (у = 1, 2, 3). Это тождество в силу второго из интегралов (5) приводится к виду

Н 1т н + к -1 к' ^ Яе н = 0

и для произвольных допустимых значений величин к (т), н (г), 53 (г), отличных тождественно от нуля, тождественно удовлетворяется при параметрических ограничениях (8), (11).

Достаточность. Пусть для любых значений ^ е Т выполняются структурно-динамические ограничения — условие Горячева (8) и конфигурационное ограничение (11). Тогда из уравнений динамической системы (10) непосредственно вытекают следующие определяющие аналитические соотношения предварительного характера, необходимые для дальнейшего:

V = (IН2 О)'+ 4к°(|Н21тV -

- 2G3s3 Imw) = 0, V2 = (s3 Re w)' - 3 G3s3 Im w -

- (Re w)-Im(wv) = 0.

(13)

Построив в силу равенств (13) линейную комбинацию вида

V = V - 4к°Г2, в результате получим соотношение

Г'- 4к0Н 1ты = 0,

где величина Е определяется равенством (12).

Отсюда согласно условию (8) при произвольных допустимых значениях величин

к0,1т н , отличных тождественно от нуля, следует интеграл (12). □

При Но = 0 из равенства (12) следует обобщенный аналог одного из первых интегралов Горячева, вид которого идентичен виду классического интеграла Горячева для неизменяемого твердого тела [8].

Следствие 1. Для того чтобы система уравнений (4) имела дополнительный первый алгебраический интеграл (12), необходимо и достаточно, чтобы при t е Т выполнялись условия (6)—(8), (11), Ь = 0. □

Очевидно, что интегралы (5), (12) независимы, а управляющие связи (7), L = 0, (11) на множестве значений t e T совместимы.

4. Интерпретация критериального условия

Рассмотрим возможные интерпретации критериального условия (1 1), выражающего конфигурационное ограничение. В работе [14, с. 11] показано, что соотношения

J - 1(t) • J 0 = Mt), (14)

M (t) rc (t) = M0 rc0 U(t)

при r0 * 0, ju(t) e C1 [0, +ro) определяют

условия структурно-динамического подобия СМС, являющейся подобно-изменяемым механическим объектом [15]. Здесь и всюду далее (как и выше) нулевой верхний индекс относится к значениям величин при t = 0.

Согласно условиям (1 4) конфигурация изменяемой массы системы и статический момент массы, заданные программно для t e T, изменяются во времени по закону структурно-динамического подобия с коэффициентом подобия — безразмерной гладкой функцией ju(t). Данное подобие (точнее, гомотетия с центром в полюсе О) вследствие динамической изменяемости объекта K имеет реоном-ный характер, а движение СМС может быть реализовано на управляющей связи (7).

Таким образом, в силу соотношений (14) критериальное условие (11) при ограничениях (6), (7), L = 0 выражает свойство структурно-динамического подобия СМС. В силу этого справедливо следующее

Следствие 2 (из утверждения 2). Если для динамической системы (10) имеет место первый интеграл (12), то соответствующая ей СМС является системой с подобно изменяемой структурой массы. □

5. Условный первый интеграл динамической системы

Система уравнений (10) при ограничении (11) обладает первым интегралом, форма которого отлична от формы интеграла (12).

Утверждение 3. Для того чтобы равенство

(15)

|w|б- ( Re w)2 = 0

при = const Ф 0 и условиях утверждения 2 являлось первым интегралом системы урав-

нений (10), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

К = О, (16)

где Но — постоянная интеграла (12). □

Доказательство. Необходимость. Дифференцируя равенство (15) по т, в силу уравнений системы (10) при условиях утверждения 2 получаем тождество по переменным w, Gз, 5з. Отбрасывая стационарные движения, при которых w = ^ = 0, в силу интеграла (12) при к = к0 это тождество приводится к следующему: К|Н4 = 0. Отсюда при любом

w следует условие (16).

Достаточность. Из системы уравнений (10) при условиях утверждения 2 и ограничении Re w 0 получаем

ф = а

i

Ф0 - 6h0 J б (w)

w

ds

as)

где обозначено

a (r) = exp

i

6 J Q (s) G3ds

Ф 0=Ф >0), Q (w) =

Im w Re w

и принято Ф 0(0) = 0. Отсюда, применяя условие (16), получаем интеграл (15).

Следствие (из утверждения 3). Из существования первого интеграла (12), который имеет место при ограничении (11), следует существование интеграла (15). □

Можно показать, что справедливо следующее

Утверждение 4. Алгебраические первые интегралы (12), (15) системы уравнений (10) являются независимыми интегралами, существующими при к = к0, к0 ^ w ^ 0 на многообразии значений Яе w, Gз, 5з} для

г е Т. □

Действительно, согласно аналитическому признаку независимости функций Р, Ф, якобиан

A (F, Ф) =

SF SF

дФ

SG2 дФ

SGj д02

в силу выражений (12), (15) равен

A = 4[ 2GRe w - 6k0w|4S]Im w * 0

4

0

0

тождественно на полном множестве значений к0 Im w ^ 0. Утверждение А Ф 0 основано на допущении, согласно которому в противном случае приходим к очевидному противоречивому условию.

Таким образом, интеграл в форме (15) является условным, поскольку он имеет место при условии существования интеграла (12).

Замечание. Если конфигурация СМС неизменна и ее масса постоянна, соотношения (12), (15) вырождаются в интегралы, полученные Д.Н. Горячевым [16] для неизменяемого твердого тела (см. также [17]).

6. Интеграл Горячева

в симплектических переменных

Как известно [4], фазовые пространства механических объектов содержат симплекти-ческие структуры. На симплектическом многообразии существует изоморфизм между векторными полями и внешними формами степени n = 1.

Введем в фазовом пространстве сим-плектические координаты pi, q (i = 1,2) и

представим компоненты вектора кинетического момента СМС в виде

w =

2л/Р

Р2 exp

- i

; Я + ^2

. 2 ; (17)

Сз = Р + Р2. Гамильтониан для динамической системы (10) согласно соотношениям (17) представляется в виде

K =

1

Pi - Р2

Pi - Р2

+ a

a

Z p.

sin q

где a, a — известные характерные постоянные, связанные с параметрами СМС.

Проводя преобразование выражения для функции К аналогично тому, как это было достигнуто в обзоре [5], в результате разделения переменных получаем

У (pi, qi) = У (Р2, q2), где обозначено (г = 1, 2; С0 = const)

Р3

У (Рг, q.) = — + a2 Рг sin q. - С0 Р. . a

Полагая

У(Pi, q) = h (i = 1,2; h = const), (17*) заключаем, что эти соотношения выражают первый интеграл системы уравнений движения в заданных переменных. Переходя от пе-

ременных Рг, q (i = 1, 2) к изначально заданным физическим переменным w,Re w, G3, s3 в силу равенств (17), в результате получаем интеграл (12).

Существенно отметить, что величина w, содержащаяся в равенстве (17), содержит аддитивную составляющую wr = G[ + iGr2, где ОГ (i = 1, 2) — компоненты вектора Gr.

7. Геометрия движения главного

базиса инерции

Рассмотрим характер движения осей координатного ортобазиса Г системы относительно базиса Г в случае, при котором существует интеграл Горячева (12). Скорость базиса Г относительно базиса Г на управляющей связи (7) определяется равенством П (t) = J - 1(t) G (t) (t е T). В силу этого движение главного базиса инерции СМС определяется движением вектора G в пространстве квазикоординат Gj.

Составим объединенную систему независимых первых интегралов (5) и присоединим к ней соотношение (h = const)

|w| 2+ 4(G32 + 2k0 s ) = h. (18)

В работе [14] показано, что при условиях утверждения 2 для динамической системы (10) имеет место первый интеграл (18), являющийся квазиэнергетическим алгебраическим интегралом. Выражая из равенств (5), (12), (18) переменные s ■ (j = 1, 2, 3) и подставляя

их выражения в тривиальный интеграл (5), получим в пространстве квазикоординат О (j = 1, 2,3) уравнение поверхности, несущей многообразие подвижных годографов вектора G, существующее в классе всех возможных движений, совместимых с наложенными на СМС ограничениями. Полагая

F = |w|2о - h, F = h - |w|2- 4G32, F = 8к0(Re w)(Im w), u = G2 + iG3,

представим уравнение упомянутой несущей поверхности в виде

4| u\2 F2 + \w\2(Re w)2 F22 + + 4 G (Re w)2 = F3.

(19)

В случае, при котором выполняется условие (16) и существует аналог интеграла Горячева (15), подвижным годографом векто-

i = 1

ра G является кривая G-пространства, образованная взаимным пересечением поверхностей (19) и (15).

Форма годографической поверхности (19) может быть исследована путем нахождения геометрических фигур, построенных при ее сечении соответствующими координатными плоскостями. Так, в частности, в сечении плоскостью G1 = 0 получаем фигуры

\u\2= 0, G (Im w)2 = 0. (20)

Первая фигура (20) является точкой, расположенной в начале координат, а вторая при h0 Ф 0 представляет собой кривую третьей степени гиперболического типа, находящуюся в плоскости 2—3, с асимптотами, совпадающими с осями координат. В сечениях плоскостями G = 0, G = 0 получаем сложные алгебраические кривые восьмых степеней.

Особо следует упомянуть о маятнико-образных движениях, присущих СМС при условиях существования обобщенного аналога интеграла Горячева в рамках утверждения 2.

Если из множества движений СМС выделить подмножество вида

Re w = G = 0, S = 0, (21)

то получим маятниковое либрационное движение с определяющим уравнением относительно угла нутации в.

Подмножеству условий

w = 0, s3 = 0 (22)

соответствует маятниковое ротационное движение с углом собственного вращения ф.

Подмножества (21), (22) соответствуют периферическим областям значений переменных, определяемых уравнениями (10), а уравнения данных маятниковых движений являются уравнениями типа математического маятника, движущегося в однородном стационарном силовом поле, и их решения представляются известным образом в эллиптических функциях [18].

Заключение

Термин "сложная система" первоначально при его введении относился к кибернетическим объектам и понятиям. В применении к определенному классу механических объектов термин "сложная механическая система" встречался в работах В.В. Румянцева [19, 20], начиная c 1971 г., и в последующие годы. Применительно к механическим объектам переменного состава и изменяемой кон-

фигурации масс данный термин приводился в публикациях, начиная, по крайней мере, с 1991 г. [21].

Так же, как и в случае С.В. Ковалевской для СМС, в случае Д.Н. Горячева одноименный независимый дополнительный алгебраический интеграл существует исключительно для подобно изменяемой во времени механической системы - при выполнении конфигурационного условия (11). Это означает, что оба эти случая движения СМС (С.В. Ковалевской и Д.Н. Горячева) обладают для t e T общим морфическим свойством массо- и конфигурационной изменяемости.

Алгебраические первые интегралы — обобщенные аналоги классических интегралов Ковалевской и Горячева — являются алгебраическими функциями четвертой и третьей степеней соответственно. Это позволяет их как алгебраические функции интерпретировать в виде функций точек поверхности Ри-мана в топологическом пространстве.

Представляет интерес вопрос о нахождении для системы уравнений (4) дополнительного алгебраического первого интеграла типа интеграла (12) при условиях L = 0, (6), (7), но существующего без ограничения (8). Как известно, такая задача для уравнений неизменяемого твердого тела была решена Г.В. Колосовым [22]. Следует ожидать, что данная задача для подобно изменяемой СМС также принципиально разрешима.

Характерной особенностью дополнительного интеграла (15) является его явная зависимость лишь от переменных G1, G2 и независимость от произвольной постоянной. Геометрическим образом этого интеграла в пространстве квазикоординат G ■ ( j = 1, 2, 3) является цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси "3", направляющая которой при * 0 представляет собой кривую, родственную лемнискате Бернулли.

Наличие первого интеграла (17*), выраженного в симплектических переменных, открывает путь к интегрированию системы уравнений движения СМС в квадратурах.

Действительно, система уравнений, построенная для гамильтониана K, имеет вид

Pi = a2 Рг (P1- Р2)- 1cos q (i =12). (23)

С учетом соотношения (17*) система уравнений (23) приводима к форме

p, = ± (Р1 - Р2)- VR (Р,) (г = 1, 2), (24)

где R — известный полином шестой степени.

Решения уравнений системы (24) выражаются известным образом через гиперэллиптические функции времени аналогично тому, как это было реализовано для классического случая неизменяемого твердого тела [5].

Список литературы

1. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М.; Л.: ОНТИ, 1937. 500 с.

2. Джакалья Г.Е. Методы теории возмущений для нелинейных систем. М.: Наука, 1979. 320 с.

3. Суслов Г.К. Теоретическая механика. М.; Л.: Гостехиздат, 1946. 655 с.

4. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974. 432 с.

5. Арнольд В.И. и др. Математические аспекты классической и небесной механики // Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ. 1985. Т.3. 304 с.

6. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Изб. тр.: в 3 т. М.: Наука, 1972. Т. 2, 999 с.

7. Галиуллин А.С. Обратные задачи динамики. М.: Наука, 1981. 144 с.

8. Голубев В.В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки. М.: Гостехиздат, 1953. 288 с.

9. Аминов М.Ш. Некоторые вопросы движения и устойчивости тела переменной массы // Тр. Казан. авиац. ин-та. Вып. 48. 1959. 118 с.

10. Верещагин И.Ф. Методы исследования режимов полета аппарата переменной массы: в 2 т. Пермь. 1969. Т. 1. 260 с.

11. Макеев Н.Н. Асимптотика вращений сложной механической системы // Проблемы механики и управления: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. гос. ун-т. Пермь, 2004. С. 52—73.

12. Макеев Н.Н. О некоторых свойствах главных осей инерции тела переменной массы // Проблемы механики управляемого движения: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. гос. ун-т. Пермь, 1978. С. 126—131.

13. Макеев Н.Н. Некоторые случаи интегрируе-

мости уравнений движения гиростата переменной массы // Проблемы механики управляемого движения: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. ун-т. Пермь, 1976. С. 99—104.

14. Макеев Н.Н. Интегралы сложных систем на управляющих связях / Сарат. политехн. ин-т: монография. Саратов, 1989. 123 с. Деп. в ВИНИТИ 14.03.89, № 1656-В89.

15. Макеев Н.Н. Геометрическая интерпретация движения сложной механической системы // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2010. Вып. 4(4). С. 44—49.

16. Горячев Д.Н. О движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в случае А = В = 4С // Математ. сб. 1900. Т. 21, вып. 3. С. 431—438.

17. Архангельский Ю.А. Динамика быстровра-щающегося твердого тела. М.: Наука, 1985. 192 с.

18. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969. 380 с.

19. Румянцев В.В. Некоторые задачи динамики сложных систем // Проблемы прикладной математики и механики. М.: Наука. 1971. С. 179—188.

20. Румянцев В.В., Рубановский В.Н. Об устойчивости движения сложных механических систем // Успехи механики. 1979.Т. 2, вып.2. С. 53—79.

21. Макеев Н.Н. Проблема редукции в динамике сложных механических систем // Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. гос. ун-т. Пермь, 1991. С. 74—78.

22. Макеев Н.Н. Гурий Васильевич Колосов (к 145-летию со дня рождения) // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2013. Вып. 3(22). С. 119—129.

The Goryachev integral for the equations of motion of a complex mechanical system

N. N. Makeyev

Problems of Precision Mechanics and Control Institute Russian Academy of Sciences 24, Rabochaya st., Saratov, 410028, Russia nmakeyev@mail.ru; (845) 272-35-33

The motion of a mechanical system with a time-varying mass value and a mass distribution configuration is considered, in which the invariant basis of the system (the carrier body) moves around a fixed pole. The motion occurs in a homogeneous field of gravity under the action of reactive forces due to the mass change of the system. A criterion for the existence of an independent first integral of the system of equations of motion, which is a generalized analogue of the classical D.N. Goryachev integral. Keywords: compound mechanical system; integral of motion; a criterion for the existence of an integral.