ИНТЕГРАЛ КОВАЛЕВСКОЙ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ СЛОЖНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

2019

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 1(44)

УДК 531.38:531.395

Интеграл Ковалевской для уравнений движения сложной механической системы

Н. Н. Макеев

Институт проблем точной механики и управления РАН Россия, 410028, г. Саратов, ул. Рабочая, 24 nmakeyev@mail.ru; (845) 272-35-33

Получен критерий существования первого интеграла системы уравнений движения сложного механического объекта в поле силы тяжести. Интеграл является обобщенным аналогом классического интеграла С.В. Ковалевской, построенного для неизменяемого твердого тела.

Ключевые слова: сложная механическая система; интеграл движения; критерий существования первого интеграла.

DOI: 10.17072/1993-0550-2019-1-22-30

Введение

Понятие первого дополнительного интеграла системы уравнений движения твердого тела применялось Е. Уиттекером [1] и Г. Джакалья [2]. В классических задачах динамики твердого тела с неподвижной точкой [3] независимый четвертый интеграл системы уравнений движения, если он существует, наряду с интегралами энергии, кинетического момента, тривиальным и находящийся с ними в инволюции, называется дополнительным по отношению к трем упомянутым. Согласно теореме Бура-Лиувилля [4] существование этого интеграла позволяет отнести данную систему уравнений к вполне интегрируемым динамическим системам, обладающим полным набором независимых интегралов, находящихся в инволюции [5].

Вопрос о существовании дополнительных интегралов уравнений движения механических объектов сложной структуры, в частности, сложных механических систем переменного состава массы и изменяемой конфигурации с наложенными на них управляющими связями составляет малоисследованную область аналитической динамики.

В связи с этим являются актуальными постановка и исследование задачи о нахождении условий существования и свойств допол-

© Макеев Н. Н., 2019

нительных первых алгебраических интегралов уравнений движения сложных механических систем (СМС). Решение этой задачи сводится к нахождению структурно-динамических и других ограничений, обусловливающих существование данных интегралов.

Согласно известному результату А. Пуанкаре динамическая система (в общем случае) не интегрируема [6]. Однако это утверждение относится только к существованию однозначного (относительно некоторого параметра) интеграла. В силу этого для данной динамической системы могут существовать первые интегралы для отдельных значений параметров и для определенных начальных условий. Помимо этого, в отдельных и специальных случаях могут иметь место и непрерывные интегралы [2, с. 84].

Исходя из этой предпосылки следует ожидать, что дополнительные интегралы для уравнений движения СМС могут существовать в некотором классе структурно-динамических ограничений на заданном подмножестве начальных значений определяющих параметров системы. При этом ограничения, наложенные на структурно-динамические параметры системы, являются управляющими связями, реализация которых обеспечивает выполнение определенных свойств движения и существование дополнительных интегралов уравнений состояния механического объекта.

Движение объекта, для которого существует дополнительный интеграл, может рассматриваться как движение, обладающее определенными заданными свойствами в классе его возможных движений [7, с. 126].

В настоящей работе рассматривается вопрос о существовании первого независимого дополнительного интеграла системы уравнений движения СМС при структурных ограничениях, аналогичных конфигурационным условиям для неизменяемого твердого тела в классической задаче С. Ковалевской.

1. Основные предпосылки

Под СМС понимается динамически изменяемый механический объект, структурная модель которого предполагает непрерывное изменение во времени состава массы и (или) его конфигурации, явно задаваемые предварительно построенной для t е [0, + <х>) = T управляющей программой. Эта программа определяет для t е T множество структурно-динамических параметров системы (в том числе и управляющих) так, что система ее динамических уравнений аналитически замкнута относительно компонент вектора угловой скорости ее основного тела (базы Ко). Под базой Ко понимается неизменяемое абсолютно твердое тело постоянной массы и неизменяемой конфигурации ее распределения.

1.1. Структурная модель объекта

Рассмотрим детерминированную модель данного механического объекта, учитывающую принятые выше предпосылки.

Механическая система К составлена из неизменяемого (в смысле неизменности величины и геометрии массы) абсолютно твердого тела Ко (тела-носителя) и структурно изменяемой подсистемы Ki (рабочего тела). Величина массы подсистемы Ki и ее геометрия масс (конфигурация) могут непрерывно изменяться со временем. В силу этого система К = Ко u Ki является объектом с изменяемой во времени структурой массы и ее геометрии.

В подсистеме К перенос рабочего тела относительно носителя Ко совершается путем его циркуляции в области D такой, что К с D, и выноса (конвекции) массы за пределы области D с программно заданной относительно Ко скоростью. Изменение структуры массы системы К реализуется заданием для t е T определенной предварительно заданной управляющей программой.

Данная структурная схема основана на предпосылках к моделям, построенным в работах М.Ш. Аминова [8] и И.Ф. Верещагина [9].

Механизм массопереноса компонент массы подсистемы К относительно базы Ко и условия его реализации составляют основу структурной модели динамически изменяемого объекта К. Этот перенос определяется заданием полной внутренней программы (термин работы [9]) в виде упорядоченной системы явно заданных для t е T гладких функций времени. Эта система является иерархическим четырехуровневым программным массивом, полностью и однозначно определяющим изменение во времени величины массы и конфигурации механической системы К.

Механический объект К, идентифицированный с данной структурной моделью, является сложной механической системой [Ш].

1.2. Динамическая модель объекта

Предполагается, что СМС движется так, что ее неизменяемая основа (база Ко) вращается вокруг неподвижного полюса О в однородном параллельном поле силы тяжести под воздействием результирующего момента заданных квазиреактивных сил L (t).

Введем правые координатные ортобази-сы Ц, Г2,Г3 с общим началом в полюсе О: неподвижный Ц; базис Г2, неизменно связанный с носителем, и базис Г3 (Oxxx), оси O x. (j = 1,2,3) которого для каждого момента времени t eT направлены по главным в полюсе О осям тензора инерции СМС с матрицей J(t) = diag [^(t), ^2(t),^3(t)]. В силу непрерывного по t е T изменения конфигурации и состава массы СМС базис Г3 в общем случае вращается относительно Г2 с угловой скоростью шг (atj) , зависимость которой от

величин заданных компонент Aj (t) тензора инерции СМС известна [ii].

Таким образом, непрерывные и непрерывно дифференцируемые зависимости вида юг (t), J (t), отнесенные к базису Гз, считаются программно заданными и, следовательно, известными в любой момент времени t е T .

Рассмотрим движение СМС под действием квазиреактивных сил, обусловленных переносом рабочего тела из некоторой области D, принадлежащей объекту, с программно заданной абсолютной скоростью u (t).

Главный момент этих сил относительно полюса О для ? е[0,+<х>) = Т определяется равенством

• др

L

(t) = Jpr X u)dV,

(1)

здесь p(t, r) - локальная плотность массы в области D; u (t, r) - абсолютная скорость переноса точек рабочего тела из области D; r (t) - радиус-вектор точки данной области.

Обозначим

G = Jw + Gr, X(t) = wr - J1Gr, (2)

П = w + wr = J - + X,

m1 (t) = A-1 (t)-A-1 (t) (1, 2, 3), где w, П - абсолютные угловые скорости носителя СМС (базиса Г2) и базиса Г3; G (Gj),

Gr (t) - кинетические моменты относительно полюса О всего объекта и рабочего тела, соответственно (последний — относительно базиса Г); Aj (t) (j = 1,2,3) — главные осевые моменты инерции СМС, заданные для каждого t e T в осях базиса Г . Характерные вектор-параметры L (t), Gr (t) являются управляющими [12]; каждый из них задан определенной программой. Любые ограничения, налагаемые на управляющие параметры, являются управляющими связями. Здесь и далее символ (1, 2, 3) обозначает циклическую перестановку величин с индексами 1, 2, 3.

Пусть M (t) — величина массы СМС; g — стандартное значение ускорения силы тяжести; P = Mg; s (S1, S2, S3) — орт, неизменно связанный с базисом Г такой, что P = - Ps ; rC (t), Tj (t) — радиус-вектор центра тяжести объекта K и его координаты в осях базиса Г (j = 1, 2, 3).

Движение СМС при данных предпосылках характеризуется системой уравнений типа Жуковского-Пуассона [12]:

G + J-*G x G + Xx G = L + P(sх rc)

s + J-*Gx s + Xx s = 0, где L (L1, L2, L3) определяется равенством (1); X = XЛ, Л) — характерный вектор.

Уравнения (3) в проекциях на главные в полюсе О оси инерции объекта K, определяемые базисом Г , принимают вид

(3)

G + m[G2G3 + ЛG3 - Л,G2 = L + P(r3s2 - r2s3),

^ + (A2 G2 + Л)s3 - (A- 1G + Л)s2 = 0, (4) (1, 2, 3).

Система уравнений (4) обладает первыми алгебраическими интегралами

s 2 = 1,

(s • G) = H,

(5)

причем последний из этих интегралов существует для t e T на управляющей связи L = 0.

2. Постановка задачи

Введем структурно-конфигурационные условия, выполняющиеся для любых t e T :

A = A2 = 2A3, r ф 0, r2 = r = 0, (6)

и присоединим к ним управляющую связь

Gr = Jwr, (7)

в силу которой вектор эффективной угловой скорости X (t) = 0 для значений t e T. Эти условия характеризуют обобщенный аналог классического случая Ковалевской для неизменяемого твердого тела [3].

Таким образом, движение СМС, характеризуемое системами уравнений (3) или (4) и подчиненное ограничениям (6), (7), является программным во времени управляемым движением, которое может быть реализовано на заданных управляющих связях.

Поставим следующую задачу: на многообразии возможных значений W(G, s) при ограничениях (6), (7) и L = 0 найти условия существования независимого алгебраического первого интеграла I (G, s) e C 2 системы уравнений (4), определенного в области E (G, s) фазового пространства и находящегося в инволюции с интегралами (5). □

Сформулированная задача может быть решена как задача нахождения части интегрального многообразия динамической системы при заданных ограничениях.

3. Обобщенный аналог интеграла Ковалевской

Введем переменные

w = G + iG2.

V = Sj + is2 ,

т = — 2

где г — мнимая единица.

1 f

- J A3 l(u)du,

(8)

Выполняя согласно равенствам (8) трансформации (G1, G2, s1 , s2, t) ^ (w, v , т), при-

D

0

ведем систему уравнений (4) при условиях (6), (7) и L = о к виду

w'+ iG3w = 2iks3, G3 + 2k Im v = 0, V + 2iG3v = iws3, s'3 + Im(wv) = 0.

(9)

Здесь штрих обозначает дифференцирование по переменной т; черта сверху здесь и всюду далее относится к соответствующим комплексно сопряженным величинам.

Введем конфигурационное условие

к (г) = A3Prx = const = к0 (г е T), (1о)

где £о Ф 0. Одно из возможных истолкований условия (10) приведено далее.

Таким образом, доказано следующее Утверждение 1. Динамическая система (4) при условиях (6), (7), L = о преобразованием (8) и введением стационаризуемого ограничения (10) приводится к вполне автономной

форме (9), в которой к (г) = к0. □

Согласно этому утверждению динамическая система (4) при указанных условиях является приводимой по Ляпунову.

Рассмотрим следующий критерий существования первого алгебраического интеграла системы уравнений (9).

Утверждение 2. Для того чтобы система уравнений (9), следующая из системы (4) при ограничениях (6), (7), L = о, имела дополнительный первый алгебраический интеграл вида (h = const Ф 0)

(w2 - 4kv)(w 2- 4kv) = h2, (11)

необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (10). □

Доказательство. Достаточность. Исключая из первого и третьего уравнений системы (9) последовательно величины S3, Оз, при выполнении ограничения (10) получаем интегрируемую комбинацию, из которой непосредственно следует первый интеграл (11).

Необходимость. Дифференцируя по т равенство (11), в силу первого, третьего уравнений системы (9) и комплексно сопряженных им уравнений движения получаем соотношение, тождественно удовлетворяющееся при условии (10). □

Очевидно, что интегралы (5), (11) независимы, а управляющие связи (7), L = о, (1о) на множестве значений t е T совместимы.

Таким образом, согласно утверждению 2, обобщенный интеграл Ковалевской (11) при к (т) = к0 представляется в форме

(м> 2 - 4к0 v)(w 2- 4к0 V) = к 2 (12) Следствие 1. Полагая

Е = Е + = 2- 4к 0 V, приведем интеграл (12) |Е|2 = к2 к виду

F 2 + F 2 = h'

где обозначено

F = G 2 - G 2 - 4 k0 s , F2 = 2(GiG2 - 2k0s2).

(13)

(14)

При h Ф 0 переменные h yF, h 1F взаимосвязаны преобразованием инверсии; в особом (критическом) случае, при h = 0, из соотношения (13) следует система обобщенных аналогов интегралов Делоне:

F = 0, F = 0, (15)

представимых также в формах

w2 = 4к 0v, w 2= 4к0 v.

4. Интерпретации критериального условия

Рассмотрим возможные интерпретации критериального условия (10). В работе [14, с. 11] показано, что соотношения

J -1 (t) • J 0 = ^(t), (16)

M (t) rc (t) = M0 rc0 >u(t)

при r0 ^ 0, ju(t) е C1 [0, определяют

условия структурно-динамического подобия СМС, являющейся подобно-изменяемым механическим объектом [15]. Здесь и всюду далее (как и выше) нулевой верхний индекс относится к значениям величин при t = о.

Согласно условиям (16) конфигурация изменения массы системы и статический момент массы, заданные программно для t е T, изменяются во времени по закону структурно-динамического подобия с коэффициентом подобия - безразмерной функцией ¡л (t). Данное подобие (точнее, гомотетия с центром в полюсе О) вследствие динамической изменяемости объекта К имеет реономный характер, а движение СМС может быть реализовано на управляющей связи (7).

Таким образом, в силу соотношений (16) критериальное условие (10) при ограничениях (6), (7), L = 0 выражает структурно-

динамическое подобие СМС. В силу этого справедливо следующее

Следствие 2 (из утверждения 2). Если для динамической системы (9) имеет место первый интеграл (12), то соответствующая ей СМС является системой с подобно изменяемой структурой массы. □

5. Альтернативная форма представления

Введем динамическую систему

U2- Q(Ui, U2)U2 = -

U2 + Q (Ui, U2)u; = -

8W 8U, SW 8U'

(17)

соответствующую двумерному движению материальной точки на плоскости Я2 с координатами и , происходящему под воздействием плоского силового поля с потенциалом Ж (и, и )• Здесь штрих обозначает производную функцию по переменной а - некоторому гипотетическому времени. Система (17) вполне интегрируема и имеет известный первый интеграл [17].

Проведем в уравнениях (9) при ограничении (10) нелинейное преобразование фазовых переменных и гипотетического времени аналогичное тому, которое было применено Г.В. Колосовым [16] в задаче Ковалевской для неизменяемого твердого тела. В результате получим укороченную систему уравнений (17), в которой Q = 0 и и = и = ,

F2 =-

8W 8 F

F 2 = -1 2

8W SF,

(18)

При этом имеем зависимости вида

а2^ = VI (о,к0), а2^ = к2(с, к0), а2 = V (о, ^, к0),

где V (7 = 1, 2, 3) — заданные полиномиальные функции от скалярных переменных.

Данное преобразование приводит задачу Ковалевской об интегрировании системы уравнений (9), отнесенной к конфигурационному пространству 5"0(3), к динамической задаче для материальной точки, движущейся в евклидовой плоскости Я2 согласно уравнениям (18). К этой плоскости отнесено силовое поле с потенциалом Ж (^, Р2) и переменными — эллиптическими координатами. Такой прием известен как динамическая аналогия Колосова [16], позволяющая применять в динамике

(19)

твердого тела модельные соотношения классической небесной механики [17].

6. Устойчивость стационарного движения системы в обобщенной задаче Ковалевской

Покажем, что параметр к0, содержащийся в критериальном условии (10), является показателем устойчивости стационарного (по переменным Gj) движения СМС в обобщенном аналоге задачи Ковалевской.

Из множества возможных стационарных решений системы (9) при к = к0 и условиях утверждения 2 выделим в пространстве переменных G., s. (j = 1, 2, 3) решение

G (t) = G0 ф О, s (t) = 1, G2(t) = G3(t) = О, S2(t) = s,(t) = О.

Стационарное решение (19) соответствует вращению базиса Г вокруг главной

оси инерции системы 0x1, несущей ее центр тяжести, c угловой скоростью

Qi(t) = (2 A3)-1G10. Рассмотрим вопрос об устойчивости по Ляпунову состояния (19) в первом приближении, принимая его за невозмущенное. Вводя векторы возмущений p (p.), q (q;) и полагая в возмущенном движении

Gi0 + Pi 1 + qi

[G, S] = P2 q2

P3 q3

построим для системы (9) при условии (10) уравнения в возмущениях. Характеристическое уравнение этой системы, линеаризованной в окрестности состояния (19), будет

Л2(Л2- 2к0)[Я2+ (G0)2- 4к0] = О. (20)

Требуя для коэффициентов уравнения (20) выполнения условий критерия Льенара-Шипара, получаем следующее необходимое условие устойчивости:

Утверждение 3. Стационарное состояние СМС (19) при ограничениях утверждения 2 необходимо устойчиво, если

к0 < О.

(21)

Следствие. Из соотношений (10), (21) следует, что стационарное движение СМС (19) необходимо устойчиво лишь при нижнем (по отношению к полюсу О в направлении вертикали) расположении центра тяжести системы Г (t) < p < О (p = const, t e T). (22)

□

Результат (22) обобщает аналогичное свойство стационарного (относительно скорости ю) движения динамически неизменяемого твердого тела, установленное в классической задаче Ковалевской [18, с. 139].

Применим к возмущенному по р (р) движению, происходящему в окрестности состояния (19), известную осцилляторную аналогию, характеризующую движение твердого тела вокруг неподвижного полюса [19]. Линеаризованные уравнения этого движения, порождаемые системой (9) при условии (10), приводят к одному уравнению:

F3 - F1 = V

(25)

p2- к V2 = 0,

(23)

где штрих обозначает дифференцирование по переменной 3 = Тл/2, а переменная т определяется равенством (8).

Сопоставим движению апекса вектора возмущения р движение системы трех осцилляторов в пространстве (pj ,3) (] = 1,2 , 3).

Тогда осциллятор с номером у = 2, согласно уравнению (23), находится на линейной упругой связи и совершает одномерное гармоническое колебание с собственной частотой:

0 = л/-к0, (к0 < 0),

(24)

что согласуется с полученным выше условием устойчивости (21).

Таким образом, ограничению (10), помимо приведенных ранее, может быть дано следующее истолкование. Поскольку колебания линейного осциллятора (23) с постоянной собственной частотой (24) существуют только при неизменной его полной механической энергии, то условие (10) в линейном приближении выражает изоэнергетичность данного осциллятора. Колебания такого рода возможны только для устойчивых по Ляпунову движений, подчиненных условию (22).

7. Движение главных осей инерции

Рассмотрим характер движения осей координатного ортобазиса Г3 относительно базиса Г, совпадающих с главными осями инерции механической системы.

К величинам F, F (14) присоединим

функцию F = 2 [(Re w)2+ О2].

В работе [14] показано, что при условиях утверждения 2 для динамической системы (9) имеет место квазиэнергетический первый алгебраический интеграл (М = const)

Введем пространство переменных Суслова [3] с координатами F. (j = 1,2,3). Тогда движение главного базиса СМС будет определяться движением фазовой точки N (F ) ,

траектория которой S образована пересечением невырожденного кругового цилиндра (13) с плоскостью (25). При этом точка N будет двигаться по эллипсу S со скоростью vn /2,

-/1, /2), где f = A3- G3 F (i = 1, 2). Вместе с

тем с учетом выражения для интеграла (13)

имеем = A31 G3| ^F\ + h2.

Скорость базиса Г относительно базиса Г на управляющей связи (7) определяется равенством

П(t) = J-\t)G(t) (t е T). (26) Система уравнений (9) при условиях утверждения 2 имеет две группы стационарных решений вида

{w (t), G3 (t), v(t), s3(t)} = {w0, G30, v0, s3}, каждая из которых соответствует определенному режиму движения ортобазиса Г. Группа 1. К ней относится решение G20 = s°° = 0, а остальные компоненты взаимосвязаны условиями

G G3 = 2k0 s° Группа 2. Здесь имеет место решение

G20 = G3 = 0, s° = ± 1, s° = s30 = 0,

причем значение О® = ± H, где H — постоянная, содержащаяся в интеграле (5).

Множество стационарных движений, представленное данными группами, является полным. Это означает, что все возможные стационарные движения СМС, помимо входящих в указанные группы, при заданных ограничениях для динамической системы (9) и условиях утверждения 2 не существуют.

В данных движениях компоненты скорости П(t), согласно равенству (26), для обеих групп стационарных решений равны

^ (t) = (2 A ) - H, Ц (t) = 0 (t е T), (27) а для компоненты fi3 при t е T имеем

Q3 (t) = A-О3, Q3 (t) = 0 (28)

в случаях решений групп 1, 2, соответственно. Таким образом, справедливо следующее

2О3 s° - О0s° = 0.

Утверждение 4. Движения главных осей инерции СМС при условиях утверждения 2 происходят либо в скоростном режиме (27), соответствующем группе стационарных решений 1, либо в режиме (28), отнесенном к группе решений 2. Других неособых режимов движения главных осей инерции системы при заданных ограничениях не существует. □

8. Особый случай задачи

Ковалевской

Рассмотрим особый случай, при котором в интеграле (12), существующем для системы уравнений (9), имеем h = 0 (при условии (10) в общем, регулярном случае, h Ф 0). Тогда выражение (13) распадается на два частных независимых интеграла (15), названных обобщенными интегралами Делоне по аналогии с одноименными интегралами системы уравнений Эйлера-Пуассона для классического случая неизменяемого твердого тела [20].

В работе [13] доказано, что условия утверждения 2 составляют критерий существования независимого первого алгебраического интеграла системы уравнений (4)

w

+ 2G32 + 4k0 s = h,

(29)

где h1 — постоянная интегрирования.

Таким образом, для исходной системы шести уравнений в силу принятых условий имеем пять независимых алгебраических интегралов — (5), (15), (29). Следовательно, исходная система уравнений движения СМС при условиях утверждения 2 вполне интегрируема и приводится к одной квадратуре. Алгоритм указанной процедуры известен и без труда может быть перенесен на обобщенный вариант задачи Ковалевской. В результате из заданной системы при ограничении

h = 2H2 (H Ф О) (30)

может быть выделено следующее определяющее для G1 = Re w уравнение:

dGl

dT

= +

VQ4G),

(31)

где кинетическая функция

Q4G = Gj(1 - a1G12)(a2 - ф,

a = h

a = 4k0 h - \

а переменная т определяется равенством (8).

Интегрируя уравнение (31) и обращая найденную зависимость [21], получим

G1T) = a + 1Q4 (a) [N (т)]- 1, (32)

где

N(т) = p (т; g2, g3) - - Q4(a),

24

G (T) = a — какой-либо простой корень полинома Q4 (предполагается, что этот полином не имеет кратных корней); p — символ эллиптической функции Вейерштрасса; g2, g3 — стандартные инварианты полинома Q4 [21], определяемые без затруднений; штрих сверху обозначает дифференцирование по полиномиальной переменной. Здесь Q , Q — полиномы третьей и второй степени, соответственно, зависящие от параметров к0, H.

При наличии зависимости (32) для остальных переменных системы уравнений (9) искомые соотношения могут быть найдены в силу равенств, непосредственно следующих при условии (10) из первых интегралов

(Rew)2 + G2 = H2, W|2-«2Rew = 0, (33)

а из интегралов Делоне (14), (15) и тривиального интеграла (5) находим зависимости вида Sj (т) (j = 1, 2,3). Подвижным годографом вектора G является линия взаимного пересечения невырожденного кругового цилиндра и действительного эллиптического цилиндра с уравнениями (33). В силу этого без затруднений могут быть определены явные зависимости вида в (т) , (р(т), а также соотношение

^(Т) = ^0+ Ht. (34)

Согласно равенству (34) базис Г3 в данном движении относительно базиса Г совершает прецессию по т (термин понимается в локальном смысле согласно определениям [3, с. 76; 22, с. 273]), происходящую с угловой скоростью H.

Таким образом, СМС в рассматриваемом особом случае движется так, что ее главный базис совершает периодические по углам 9, ф движения, а по углу у — равномерное апериодическое движение.

Заключение

Задача о нахождении условий существования независимого дополнительного интеграла уравнений движения СМС как неав-

2

тономной динамической системы логически проистекает из задач общей проблемы расширения поля ее интегрального многообразия. Это расширение принципиально возможно осуществить для класса механических объектов, обладающих структурно-динамическим подобием, реализуемым на реономных управляющих связях. Объекты данного класса, рассматриваемые на гладком функциональном многообразии, обладают характерным мор-фическим свойством, относящемся к полю скоростей, которое является общим для СМС и сопоставленным ей соответствующим эквивалентным твердым телом с присоединенной к нему системой роторов (гиростатом).

Это характерное свойство, описанное в работе [14] как структурный гомеоморфизм, аналитически выражается в том, что уравнения движения объекта-представителя (в данном случае, СМС) в результате выполнения неособых преобразований функций — компонент угловой скорости системы и переменной времени, становятся структурно идентичными соответствующим уравнениям движения эквивалентного твердого тела, образующим автономную динамическую систему. Это обстоятельство существенно упрощает аналитическое описание динамических свойств СМС и, в частности, интегрирование уравнений.

Список литературы

1. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М.; Л.: ОНТИ, 1937. 500 с.

2. Джакалья Г.Е. Методы теории возмущений для нелинейных систем. М.: Наука, 1979. 320 с.

3. Суслов Г.К. Теоретическая механика. М.; Л.: Гостехиздат, 1946. 655 с.

4. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974. 432 с.

5. Арнольд В.И. и др. Математические аспекты классической и небесной механики // Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ. 1985. Т. 3. 304 с.

6. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избр. тр. в 3 т. М.: Наука, 1972. Т.2. 999 с.

7. Галиуллин А.С. Обратные задачи динамики. М.: Наука, 1981. 144 с.

8. Аминов М.Ш. Некоторые вопросы движения и устойчивости тела переменной мас-

сы // Тр. Казанского авиационного ин-та. 1959. Вып. 48. 118 с.

9. Верещагин И.Ф. Методы исследования режимов полета аппарата переменной массы: в 2 т. Пермь. Перм. ун-т, 1969. Т. 1, 260 с.

10. Макеев Н.Н. Асимптотика вращений сложной механической системы // Проблемы механики и управления: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. гос. ун-т. Пермь, 2004. С. 52-73.

11. Макеев Н.Н. О некоторых свойствах главных осей инерции тела переменной массы // Проблемы механики управляемого движения: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. гос. ун-т. Пермь, 1978. С. 126-131.

12. Макеев Н.Н. Некоторые случаи интегрируемости уравнений движения гиростата переменной массы // Проблемы механики управляемого движения: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. гос. ун-т. Пермь, 1976. С. 99-104.

13. Макеев Н.Н. Обобщенный аналог случая Ковалевской для сложной системы / Саратов. политехн. ин-т. Саратов, 1988. 31 с. Деп. в ВИНИТИ 15.04.88, № 3762-В88.

14. Макеев Н.Н. Интегралы сложных систем на управляющих связях / Саратов. политехн. институт. Саратов, 1989. 123 с. Деп. в ВИНИТИ 14.03.89, № 1656-В89.

15. Макеев Н.Н. Геометрическая интерпретация движения сложной механической системы // Вестник Пермского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2010. Вып. 4 (4). С. 44-49.

16. Колосов Г.В. Об одном свойстве задачи Ковалевской о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки // Труды отд. физ. наук Общ-ва любителей естествознания. М., 1901. Т. 11. С. 5-12.

17. Уинтнер А. Аналитические основы небесной механики. М.: Наука, 1967. 524 с.

18. Магнус К. Гироскоп. Теория и применение. М.: Мир, 1974. 528 с.

19. Junkins J.L., Jacobson I.D., Blanton J.N. A nonlinear oscillator analog of rigid body dynamics // Celestial Mechanics. 1973. Vol. 7. № 4. P. 398-407.

20. Архангельский Ю.А. Аналитическая динамика твердого тела. М.: Наука, 1977.328 с.

21. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа: в 2 ч. М.: Физматлит, 1963.Ч. 2. 516 с.

22. Халфман Р.Л. Динамика. М.: Наука, 1972. 568 с.

The Kovalevski integral for the equations of motion of a complex mechanical system

N. N. Makeyev

Problems of Precision Mechanics and Control Institute Russian Academy of Sciences 24, Rabochaya st., Saratov, 410028, Russia nmakeyev@mail.ru; (845) 272-35-33

The criterion for the existence of the first integral of the system of equations of motion of a complex mechanical object in a field of gravity is obtained. The integral is a generalized analog of the classical the S.V. Kovalevski integral, built for an immutable solid body.

Keywords: complex mechanical system; integral of motion; a criterion for the existence of a first integral.