АСИМПТОТИКА ПРЕДЕЛЬНЫХ СОСТОЯНИЙ СЛОЖНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

2014

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 3(26)

УДК 531.381:531.395

Асимптотика предельных состояний сложной механической системы

Н. Н. Макеев

Институт проблем точной механики и управления РАН Россия, 410028, Саратов, ул. Рабочая, 24 nmakeyev@mail.ru; (845) 272-35-33

Рассматриваются движения относительно центра масс механического объекта с изменяемыми во времени параметрами конфигурации и состава массы, моделируемого сложной механической системой (СМС). Объект движется в режиме авторегулирования по Р.Граммелю [1] под воздействием системы реактивных, вариационных, кориолисовых и линейных диссипа-тивных сил. Получены решения динамических уравнений СМС, определяющие в пределе при t ^ + да перманентные вращения и статическое равновесие системы.

Ключевые слова: сложная механическая система; предельное состояние; асимптотика.

Введение

Под предельными состояниями механического объекта здесь понимаются состояния, достижимые им в пределе при t ^ + да; при этом предполагается, что данный предел существует a priori. Такое определение соответствует лимитационному режиму движения, при котором предельные значения величин, характеризующих движение, являются конечными [2, с. 19].

Из всего многообразия лимитационных движений данного объекта выделим заведомо существующее непустое множество асимптотически при t ^ + да достижимых его перманентных движений (или асимптотически перманентных движений, АПД). Частными видами АПД являются асимптотически достижимые состояния статического равновесия.

Упомянутая асимптотика может быть по характеру как равномерной, так и асимптотикой иного вида.

Данные предельные состояния механического объекта и их свойства являются предметом рассмотрения настоящей статьи.

© Макеев Н. Н., 2014

1. Предварительные положения

Под СМС понимается механический объект, структурная модель которого предполагает непрерывное изменение во времени состава массы и (или) его конфигурации, явно задаваемых предварительно построенной для t е [0, + да) = T управляющей программой. Эта программа определяет для t е T множество структурно-динамических параметров системы (в том числе и управляющих) так, что система её динамических уравнений аналитически замкнута относительно компонент вектора угловой скорости её носителя. При этом ограничения, налагаемые на управляющие параметры, являются управляющими связями, порождающими определенный режим состояния СМС.

Рассмотрим структурную схему объекта.

1.1. Структурная модель объекта

Механическая система K составлена из неизменяемого (в смысле неизменности величины и геометрии массы) абсолютно твёрдого тела K0 (тела-носителя) и структурно изменяемой подсистемы K1 (рабочего тела). Величина массы подсистемы K1 и её геометрия масс (кон-

фигурация) могут непрерывно изменяться со временем. В силу этого система K = K0 u K1 является объектом с нестационарно изменяемой структурой массы и её геометрией.

В подсистеме K1 перенос рабочего тела относительно носителя K0 совершается путём его циркуляции в области D такой, что K1 с D, и выноса (конвекции) массы за пределы области D с программно заданной относительно K0 скоростью vr. Изменение структуры массы системы K реализуется заданием для t е T определённой предварительно заданной управляющей программы. Данная структурная схема основана на предпосылках, заложенных в работах М.Ш. Аминова [3] и И.Ф.Верещагина [4].

Механизм массопереноса компонент массы подсистемы K1 относительно базы K0 и условия его реализации составляют основу структурной модели динамически изменяемого объекта K. Этот перенос определяется заданием полной внутренней программы (термин из работы [4]) в виде упорядоченной системы явно заданных для t е T гладких функций времени. Эта система является иерархическим четырёхуровневым программным массивом, полностью и однозначно определяющим изменение во времени величины массы и конфигурации механической системы K.

Механический объект K, идентифицированный с данной структурной моделью, является сложной механической системой [5].

1.2. Динамическая модель объекта

Введем правые координатные ортобази-сы Г1, Г2 с общим началом в точке С, совпадающей с центром масс СМС: базис Г1, неизменно связанный с носителем, и базис Г2 (Сх1 x2 x3), оси Cxj (j = 1,2,3) которого для

каждого t еТ направлены по главным в полюсе С осям тензора инерции СМС с матрицей J(t) = diag [ A1 (t), A2 (t), A3 (t)]. В силу непрерывного по t е Т изменения конфигурации и состава массы СМС базис Г2 в общем случае вращается относительно Г1 с угловой скоростью wr (ю;г), зависимость которой от t, Aj (t) и компонент v j (t) (j = 1,2,3) относительной скорости частиц рабочего тела vr (t) известна [6].

Таким образом, непрерывные зависимости вида vr (t), wr (t), J (t), отнесённые к базису

Г2, считаются программно заданными и, следовательно, известными в любой момент времени. При этом предполагается, что центр масс С СМС для t е Т не перемещается относительно тела-носителя K0 в силу выполнения достаточных условий его стабилизации [7].

В дальнейшем рассматривается движение свободной от связей СМС относительно центра масс в режиме авторегулирования под воздействием внешних сил. Это воздействие определяется результирующими моментами относительно полюса С следующих сил:

- реактивных Lr (Lrj), обусловленных переносом рабочего тела за границы области D;

- вариационных Lv (L?j), возникающих при переменной скорости этого переноса vr (t);

- кориолисовых сил инерции LK (Lk);

- линейных диссипативных сил с результирующим моментом

Ld (t, w) =-A(t) w, (1)

где w - угловая скорость тела K0,

A(t) = dlag^t), ЛДО, Л,(0].

Результирующий момент системы корио-лисовых сил представлен равенством

LK = A(t) w, A (t) =

- a

- a.

22

- a.

(2)

где элементы матрицы A есть [3]

a11(t) = 2 J p( x2v2 + x3v3) dV (1,2,3), (3)

D

а^ (t) = 2 Jpxj v[ dV (i, j = 1, 2, 3; i * j).

D

В равенствах (3) D — односвязная область, занимаемая рабочим телом K1; p(t, r) — локальная плотность рабочего тела; r (x}-) — радиус-вектор текущей точки области D. Символ (1, 2, 3) здесь и всюду далее обозначает циклическую перестановку величин с индексами 1, 2, 3.

Согласно принятым предпосылкам в силу соотношений (1)—(3) уравнения движения свободной СМС в проекциях на оси базиса Г2

имеют вид [3] •

а1+а1ю2ю3 + (bx • w) = F1 (1,2,3), (4)

a

a

где bn = \bni jf (n - фиксировано, i = 1,2,3). В уравнениях (4) обозначено:

a (t) = A-1 (A3 - Лг),

b„(t) = A-1 (an + Ä),

b12(t) = - С + A;1 ai2), (5)

b13 (t) = cdr2 - A1-1 a13,

Fi(i) = A-1( L + L1) (1,2,3).

В равенствах (5) Aj (t) - главные центральные моменты инерции СМС; Äj (t) -

диссипативные параметры системы. При этом циклической перестановке индексов в величинах bik, определяемых равенствами (5), подлежат лишь значения индекса i . В приведённых выше соотношениях (4), (5) величины aj, ai]-, bi]-, Fj (i, j = 1,2,3) полагаются программно заданными для t еТ явными функциями t, обладающими необходимой степенью гладкости. В силу этого ДС (4) аналитически замкнута относительно величин c j .

Система уравнений (4) обусловливает динамику СМС с реактивным приводом относительно центра масс в режиме авторегулирования и совместно с принятыми предпосылками определяет эволюционную детерминированную динамическую модель данного объекта.

2. Постановка задачи

Под асимптотически перманентным движением (АПД) носителя СМС понимается такое его состояние, при котором на множестве Т существует конечный предел

lim w (t) = const = w0. (6)

t ^+да

Если в условии (6) значение w0 = 0, то АПД СМС является асимптотически достижимое статическое равновесие [5].

Таким образом, непустое множество значений w (t), определенное для t е Т и входящее в условие (6), характеризует детерминированный переходный процесс, предельное состояние которого является равномерным (перманентным) вращением носителя со

скоростью w0 С) (i = 1,2,3).

Ставится следующая задача: найти режим движения СМС, реализуемый в условиях авторегулирования [1], при котором выполняется ограничение (6). Данная задача сводится к нахождению решения системы уравнений (4), для которого на заданном многообразии структурно-динамических параметров СМС существует предельное состояние (6).

3. Решение задачи

Выделим из многообразия программно заданных структурно-динамических параметров СМС такое непрерывное множество, на котором для величин (3), (5) существуют конечные при t ^ +да пределы

Hm {a; (tX bj (t\ F (0}={a°0,Щ, Fj } (7) (i, j = 1, 2, 3).

В силу предельных условий (7) сопоставим с нестационарной системой уравнений (4) автономную динамическую систему

cC1 + a>2®3 + (b0 • ю)= F^ (1,2,3), (8)

являющуюся предельной динамической системой (ПДС) (термин из работы [8]) для неавтономной системы уравнений (4).

Введем новую независимую переменную т [9, 10]:

т = т0 exp X t, (9)

где т0 > 0, X ф 0 - постоянные, причем т0 соответствует значению t = 0, а ограничения на параметр X приводятся в дальнейшем. Тогда ПДС (8) принимает вид

Хтю[ + a1w2w3 +(b1 • ю) = F1 (1,2,3),(10)

где штрих обозначает дифференцирование по переменной т . Здесь и всюду далее верхний нулевой индекс, отнесенный к структурно-динамическим параметрам СМС соответствующей ПДС (8), опущен.

Для описания состояния СМС, определяемого предельным условием (6), ищем решение ПДС (10) в виде следующих рядов, являющихся аналитическими функциями т:

да

С = С +ТСТ (j = 1,2,3). (11)

k=1

Здесь Cjk - числовые коэффициенты, подлежащие определению, а величина т находится согласно равенству (9).

Поскольку асимптотически достижимое при t ^ + да состояние СМС, определяемое условием (6), реализуется лишь при Л < 0, то, согласно равенству (9), сходимость рядов вида (11) следует из теоремы Г.В.Каменкова [11]. Однако для описания текущего состояния СМС асимптотическими при т ^ 0 соотношениями в ряде случаев достаточно представить искомое решение задачи соответствующими отрезками степенных рядов типа (11), построенными с необходимой степенью точности. В этих случаях коэффициенты Cjk можно определить следующим образом.

Пусть Qп(Л) = в + пЛЕ (п = 1, 2, 3, ...); X — параметр; Е - единичная матрица; в = [Pij ] (i, j = 1, 2, 3) - матрица со следующими постоянными элементами:

Ри = b11, Ри = а 1®3+ Ь1

Р13 = а 1® 2+b

'13

(1, 2, 3).

(12)

Подставляя выражения (11) в уравнения ПДС (10), получим систему первого (линейного) приближения для нахождения вектора С С ) (/ = 1,2,3)

Q1 (Л) c = 0.

(13)

Если собственные значения матрицы Q1 (Л) есть

Л* 1 [-(b„ + b 22 )±4Д

D =(bn - b 22 )2 + 4Р12Р21,

п _ v 11

то для системы (13) имеем rang Q1 = 2 и не-

^ * / * \ тривиальное решение этой системы Cj

представимо в виде

с* = А-1 (Р1ГР2s -Р1 Ргг)k (i = 1,2), C31 = k,

А = b11b 22 - Р12Р 21.

(14)

Здесь г = 7 +1, 5 = 7 + 2 и

(г, 5) < 3; k ф 0 - любое рациональное число. В силу равенств (11) имеем 0 при условии

® 3* - 12а 1а2

(2а 1а 2 ^ (а 1Ь 21 + а 2Ь12 ±

D2 = (а 1Ь 21 - а 2Ь12 J2 + 4а 1а 2Ь11Ь

22

причём (A1, A2) * A3.

Система второго приближения для нахождения вектора с 2 (с7 2) имеет вид

Q2(Л) C2 = g2 ,

(15)

где g2(gi2) - вектор, компоненты которого gr2 = - агел c*1 (г, s, q = 1,2,3 - все различные); величины с*1 определяются равенствами (14). В силу нетривиальности решения (14) имеем || g2| * 0 и, следовательно, система (15) неоднородная. Аналогичные утверждения относятся и к системам последующих приближений.

Система (15) при det Q2 (Л) * 0 имеет

единственное решение c2 (c*2), на основе которого аналогичным образом строится система следующего приближения:

Q3W C3 = g3, (16)

определяющая при det Q3 (Л) * 0 единственное решение c3(c*3). В системе (16) g3(gi3) -

вектор с компонентами gi3 = — ai mi3 (i = 1, 2, 3) , где

m13 = C21C32 + C22C31,

m 23 = C11C32 + C12C31,

m 33 = C11C22 + C12C21

(здесь и всюду далее верхний индекс* у величин с]г опущен).

Методом полной математической индукции можно показать, что единственное вектор-решение сп (с7п), определяющее приближение номера п, существующее при условии det Q п (X) ф 0 , находится из системы

Q п (X) Сп = g п. (17)

Здесь g п (gin) - вектор с компонентами gin = - а7т7п (7 = 1, 2, 3) , где выражения для параметров т7п строятся путем составления

сумм парных произведений элементов матрицы [С] ] формата 3 х (п - 1) при её предварительно вычеркнутых соответствующих строках.

Таким образом, системы уравнений вида (17) при n = 1,2,... определяют величины

Cjk для решения (11) с любой степенью точности. При этом в силу соотношений (14) это решение определяется с точностью до произвольного рационального множителя k Ф 0. 4. Устойчивость асимптотически перманентного движения

Рассмотрим условия существования устойчивого предельного состояния СМС, определяемого асимптотическими при t ^ + да условиями (6), (7). Эта задача сводится к нахождению условий устойчивости решений ПДС уравнений (8).

В силу однородности системы (13) условие нетривиальности её решения det Q1 (X) Ф 0 приводит к характеристическому уравнению

X3 + pX2 + Р2Х + p3 = 0. (18) В уравнении (18)

р,= тга(0), Р2 = [¿(¿л -ЙА),

', j=1

Р3 =¿(^12^23^31 - ^«2 Ь 0.

(123)

Здесь слагаемые суммы для p3 строятся по правилу циклической перестановки индексов.

Исследуем устойчивость АПД системы в случае, при котором за невозмущённое движение принимается состояние {Cj }согласно

соотношениям (11) и выполняется дискрими-нантное условие

Dp = pf - 4Р2 > 0.

(19)

Из условия (19) следует, что если рх Ф 0, р2 Ф 0, то либо р2 > 0, либо р2 < 0.

При условии Dp = 0 данное АПД устойчиво, если р! > 0, и неустойчиво в противоположном случае.

Если условие (19) выполняется в форме Dp > 0, то имеет место один из следующих вариантов.

1. При 0 < р2 < 0.25 р12 состояние устойчивости АПД такое же, как и для случая, при котором выполняется условие Dp = 0.

2. Если р2 < 0, то данное АПД неустойчиво.

В случае, при котором вместо условия (19) выполняется ограничение Dp < 0, выводы

об устойчивости АПД очевидны в силу отмеченного выше.

Таким образом, асимптотически при t ^ +да достижимый режим перманентного движения носителя СМС относительно центра масс, если он имеет место, может быть как устойчивым по переменным a>j (j = 1, 2, 3),

так и неустойчивым в соответствии с приведёнными определяющими условиями.

5. Асимптотически достижимое статическое равновесие системы

Рассмотрим режим движения СМС, для которого при определенных структурно-динамических условиях реализуется асимптотически при t ^ + да достижимое статическое равновесие её носителя, определяемое условием (6) при ю0 = 0 .

В классе функций с оценкой O(t ищем решение ДС (4) того же порядка [12], представленное для t е [t„, + да) = T„ с T в виде

c, (t) = bjt -

(j = 1,2,3).

(20)

Здесь Ь, - такие безразмерные постоянные, подлежащие определению, что для вектора Ь (Ь,) имеем ||ь|| Ф 0; t = - характерный момент времени, соотносящийся с начальным моментом t = t0 как t > t0 > t„ > 0 .

Соотношения вида (20) применялись А.М. Ляпуновым [13] для нахождения решения системы уравнений Эйлера - Пуассона, определяющей движение неизменяемого твердого тела в поле силы тяжести, а также Р. Троило [14]. Выражения такого рода применены и в задаче о движении гиростата в режиме авторегулирования [15]. Характерно, что такого рода зависимости при определенных условиях можно рассматривать как главные части некоторых асимптотических при t ^ +да выражений для решения ДС (4), представленных временными рядами (рядами А. Пуанкаре [16]).

5.1. Определяющее уравнение

Предполагается, что существуют такие безразмерные постоянные щ, т, с, (¡, ] = 1, 2, 3), что для t е Т„ имеют место непрерывные программно заданные зависимости

а12^) = - А1 (®3Г + ^-1 ),

I -Л ( )

) = А К + п^ ),

a11(t) = А1п111-1 - X, L1(t) = Дс^- 2 (1,2,3).

К соотношениям (21) следует присоединить зависимости, заданные для t е Т„:

A1 1 + m2 1 + m2m3

A2 1 - m1 1 + m3

A3 1 - m2 1 + m1m2

A2 1 + m3 1 - m1

(22)

для которых при A1 > A3 > A 2 имеем

(m1, m2) > 0, (m1, m2) * 1, m3 < 0, m3 *-1, m2m3 *-1.

(23)

Согласно условиям (21) - (23) для

t е T* имеем

а} (t) = m}, bj (t) = ^t-1, F (t) = Cjt 2 (i, j = 1,2,3).

(24)

Зависимости вида (24) для моментно-силовых нагрузок известны [17].

Обозначим

B*

0 - b3 b2

3

- b

2

0 - b1 b1 0

N = п] (7, ] = 1,2,3), Р = N - Е,

Ь = [Ь1 Ь2 Ь3]т, с = [с1 с2 с3]т

и введем безразмерные постоянные k2, k3 такие, что

т1 = k3 - k2 (1,2,3),

а также матрицу К = diаg (к1, k2, k3). В силу выражений (20), (24) из ДС (4) следует определяющее для вектора Ь уравнение

B* • Kb + Pb = c.

(25)

В общем случае, при котором все параметры А] (и соответственно т]) различны, из системы (25) при определенных условиях, налагаемых на коэффициенты её уравнений, для каждого параметра Ь] получаем определяющее уравнение пятой степени. В частности, при

п1п3 ф 0 (п7 = п77 -1, 7 = 1,2,3) из системы (25) следует определяющее для Ь3 уравнение с коэффициентом при пятой степени

S = m1 m^ (m3 n123 + m1n1n3).

(26)

Исключая случай центральной структурной симметрии СМС (A1 = A2 = A3), рассматриваемый отдельно, без ограничения общности положим m1m2 * 0 и обозначим (n11, n33, n13) = (y1, y2, y3). Тогда в пространстве параметров y}- уравнение 8 = 0 при A1 * A2 в

силу выражения (26) определяет конус второго порядка, а в пределе при стремлении структуры СМС к осесимметричной, когда A2 ^ A1,

этот конус распадается на две плоскости.

Случай, при котором 8 = 0 (m1m2 * 0), характерен тем, что здесь определяющее для b3 уравнение имеет четвертую степень. Это позволяет получить его решение в радикалах.

5.2. Случаи структурной симметрии системы

Для центральной структурной симметрии определяющее уравнение (25) становится линейным и при det P * 0 имеем

b = P-1c.

(27)

(28)

Пусть СМС обладает осевой структурной симметрией с осью C x3 при условиях

A1 = A2 , fe + П 32 , п 2 )* 0

(t е Т*).

Тогда, полагая п 32 = 0, в силу соотношений п31 * 0 (3) имеем

a32(t) = A3®1 (t е Т*).

Это условие может быть реализовано соответствующим выбором программно заданных структурно-динамических параметров СМС.

Из системы скалярных уравнений (25) при условиях (28) и п32 = 0 следует соотношение связи для b 3 = z

b 2 = й-1 («0 + a1z -а2 z2) (29)

и определяющее для z уравнение

Р0z3 + Р1 z2 -Р2z-Р3 = 0. (30)

В соотношениях (29), (30) обозначено

a0 = n3ic2 n2ic3 ,

a1 = n3n21 - n23n31 + m1c3, a2 = mjn3 ф 0, a3 = nl3n3l - n^3.

a 4 — n^C3 П'3'IC^,

ß0 = h 0a2 , ß1 = h 2a2 - h oa

ß2 — h 0a0 - h1a3 + h 2a1, ß3 — h2a0 - h1a4, h0 —m1n31,

hi = -n2n31, h2 = n12n31, h 3 = n1n2 — n12n21,

h = h h 2 h 3 f.

Пусть

D = (z1 z2 )2 + 4 (zj3z3 + z^)- 27z3,

z, = pj A, (, = 1,2,3),

где D - дискриминант приведенного уравнения, соответствующего уравнению (30). Каждому действительному корню уравнения (30) однозначно соответствует единственный определенный режим движения СМС, существующий на множестве значений (20). В соответствии с этим при D < 0 имеет место единственный режим движения, определяемый равенствами (20), а при D > 0 - три различных реальных режима.

Если значение z в силу уравнения (30) известно, то величина b 2 находится из

равенства (29), а b1 - из соотношения

b1 =(n31 )-1(c3 - n3z).

В особом случае, когда (h • c) = 0, то Р3 = 0 и уравнение (30) имеет нулевой корень, в силу чего модуль угловой скорости носителя системы

-1 lul 11. nk- - v

a(t) = b t

b = h-1[(n2 C3 )2 + a 02 JV2 (c22 + C32 Ф 0).

Таким образом, задача нахождения решения вида (20) для ДС (4) в общем случае при данных предпосылках сводится к решению системы алгебраических уравнений (25), а в случаях структурной симметрии СМС - к нахождению корней уравнения (30), либо её решение определяется равенством (27).

Заключение

Рассмотренная задача связана с моделированием определённого переходного процесса, возникающего при свободном движении

СМС относительно центра масс в режиме авторегулирования. Этот переходный процесс предшествует программной стабилизации состояния системы с последующим установлением в финале её предельного состояния в соответствии с условием (6). Как показано в п. 4, асимптотически предельное состояние системы может быть как устойчивым, так и неустойчивым в зависимости от принятых программных условий (управляющих связей).

Наличие нулевого корня характеристического уравнения (18) отражает факт сохранения постоянным начального возмущения кинетического момента СМС, соответствующей ПДС (8). Вместе с тем это означает, что полученные условия устойчивости АПД являются лишь необходимыми, но недостаточными.

Зависимости вида (20) при определённых условиях приводят к асимптотически достижимому при t ^ + да состоянию статического равновесия СМС. К АПД при t ^ + да и аналогичных структурных условиях приводят зависимости вида

aj = а0 + bjt-1 (j = 1,2,3),

для которых выполняется условие (6).

В общем случае скоростной режим, устанавливающий асимптотически при t ^ + да (или при т ^ + 0) достижимое перманентное движение носителя СМС, определяется выражением вида

w (г) = w0 + v (г),

где v — присоединённая вектор-функция, удовлетворяющая предельному условию

lim v (г) = 0 при г ^ + 0.

Таким образом, показано, что из полного программного массива, управляющего движением СМС относительно центра масс, можно выделить непустое множество управляющих связей, реализующих асимптотически при t ^ + да (т ^ + 0) достижимое перманентное движение (или статическое равновесие). Это движение при определённых программных условиях является устойчивым по компонентам ty (j = 1, 2, 3).

Список литературы

1. Граммель Р. Теория несимметричного гироскопа с реактивным приводом // Механика: период. сб. переводов иностр. статей. 1958, № 6. С. 145—151.

2. Парс Л.А. Аналитическая динамика: пе-рев. с англ. М.: Наука, 1971. 636 с.

3. Аминов М.Ш. Некоторые вопросы движения и устойчивости тела переменной массы // Тр. Казан. авиац. ин-та. 1959. Вып. 48. 118 с.

4. Верещагин И.Ф. Методы исследования режимов полёта аппарата переменной массы: в 2 т. / Перм. гос. ун-т. Пермь, 1969. Т. 1. 260 с.

5. Макеев Н.Н. Асимптотика вращений сложной механической системы // Проблемы механики и управления / Перм. гос. ун-т. Пермь, 2004. С. 52-73.

6. Макеев Н.Н. О некоторых свойствах главных осей инерции тела переменной массы // Проблемы механики управляемого движения / Перм. гос. ун-т. Пермь, 1978. С. 126-131.

7. Макеев Н.Н. Интегралы сложных систем на управляющих связях / Сарат. политехн. ин-т. Саратов, 1989. Деп. в ВИНИТИ 14.03.89, № 1656 - В 89.

8. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений: пер. с англ. М.: Мир, 1964. 478 с.

9. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: в 3 т.: пер. с англ. М.: Наука, 1967. Т. 3. 300 с.

10. Вархалёв Ю.П., Горр Г.В. Новый класс асимптотически равномерных движений тяжёлого твёрдого тела, имеющего неподвижную точку // Прикладная математика и механика. 1982. Т. 46, вып. 3. С. 397-400.

11. Каменков Г.В. Избранные труды. Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика. М.: Наука, 1971. 257 с.

12. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения: пер. с англ. М.: Мир, 1970. 720 с.

13. Ляпунов А.М.Общая задача об устойчивости движения. М.; Л.: ГИТТЛ, 1950. 471 с.

14. Троило Р. О неоднозначности решений уравнений динамики спутника, обращающегося по круговой орбите // Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti. Classe di scienze fisiche, matematiche e nat. 1981 (1982). Vol. 70, №. 1. P. 143-147.

15. Макеев Н.Н. Проблема редукции в динамике гиростата // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы / Перм. гос. ун-т. Пермь, 2001. Вып. 33. С. 75-93.

16. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика: пер. с англ. М.; Л.: ОНТИ, 1937. 500 с.

17. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969. 380 с.

Asymptotic of limit states of the complicated mechanical system

N. N. Makeyev

Problems of Precision Mechanics and Control Institute Russian Academy of Sciences Russia, 410028, Saratov, Rabochaya st., 24 nmakeyev@mail.ru; (845) 272-35-33

Movements relatively a centre of mass the rigid body with variable mass, which modeling by complicated mechanical system. Received conditions existence of asymptotic in the limit t ^ + ® permanent movements and limit static equilibrium are considered in this article.

Key words: complicated mechanical system; limit state; asymptotic.