ИНТЕГРАЛ ГРИОЛИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ СЛОЖНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ Текст научной статьи по специальности «Физика»

2020

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 3(50)

УДК 531.381:531.395

Интеграл Гриоли для уравнений движения сложной механической системы

Н. Н. Макеев

Институт проблем точной механики и управления РАН Россия, 410028, г. Саратов, ул. Рабочая, 24 nmakeyev@mail.ru; (845) 272-35-33

Получен критерий существования первого интеграла системы уравнений движения в поле силы тяжести механического объекта переменного состава массы и изменяемой геометрии масс. Интеграл является обобщенным аналогом классического интеграла Д. Гриоли, построенного для структурно неизменяемого твердого тела.

Ключевые слова: сложная механическая система; интеграл Гриоли; критерий существования первого интеграла; управляющая связь.

DOI: 10.17072/1993-0550-2020-3-41-49

Введение

Понятие первого дополнительного интеграла системы уравнений движения твердого тела применялось Е. Уиттекером [1] и Г. Джакалья [2]. В классических задачах динамики твердого тела с неподвижной точкой [3] независимый четвертый интеграл системы уравнений движения, если он существует, наряду с интегралами энергии, кинетического момента, тривиальным, когда четвертый интеграл находится с ними в инволюции, называется дополнительным по отношению к трем упомянутым. Согласно теореме Бура-Лиуви-лля [4] существование этого интеграла позволяет отнести данную систему уравнений к вполне интегрируемым системам, обладающим полным набором независимых интегралов, находящихся в инволюции [5].

Вопрос о существовании дополнительных интегралов уравнений движения механических объектов переменного состава массы и изменяемой конфигурации масс с наложенными на них управляющими связями составляет мало исследованную область аналитической динамики.

В связи с этим являются актуальными постановка и исследование задачи о нахождении условий существования и свойств дополнительных первых алгебраических интегралов

© Макеев Н. Н., 2020

уравнений движения механических систем. Решение этой задачи сводится к нахождению структурно-динамических и других програм-мнозаданных ограничений, обусловливающих существование данных интегралов.

Согласно известному результату А. Пуанкаре динамическая система (в общем случае) не интегрируема [6]. Однако это утверждение относится только к существованию однозначного (относительно некоторого параметра) интеграла. В силу этого для данной динамической системы могут существовать первые интегралы для отдельных значений параметров и для определенных начальных условий. Помимо этого, в отдельных и специальных случаях могут иметь место и непрерывные интегралы [2, с. 84].

Исходя из этой предпосылки следует ожидать, что дополнительные интегралы для заданных уравнений движения могут существовать в некотором классе структурно-динамических ограничений на заданном подмножестве начальных значений определяющих параметров системы. При этом ограничения, наложенные на структурно-динамические параметры системы, являются управляющими связями, реализация которых обусловливает выполнение определенных свойств движения и существование дополнительных интегралов уравнений состояния механического объекта.

Движение объекта, для которого существует дополнительный интеграл, может рассматриваться как движение, обладающее определенными заданными свойствами в классе его возможных движений [7, с. 126].

В настоящей работе рассматривается вопрос о существовании первого независимого дополнительного интеграла системы уравнений движения при структурных ограничениях, аналогичных конфигурационным условиям для неизменяемого твердого тела в классической задаче Гриоли [8].

1. Основные предпосылки

Под сложной механической системой (СМС) понимается динамически изменяемый механический объект, структурная модель которого предполагает непрерывное изменение во времени состава массы и (или) его конфигурации, явно задаваемые предварительно построенной для t £ [0, + го) = T управляющей программой. Эта программа определяет для t £ T множество структурно-динамических параметров системы (в том числе и управляющих) так, что система ее динамических уравнений аналитически замкнута относительно компонент вектора угловой скорости ее основного тела (базы Ко). Под базой Ко понимается неизменяемое абсолютно твердое тело постоянной массы и неизменяемой конфигурации ее распределения.

1.1. Структурная модель объекта

Рассмотрим детерминированную модель данного механического объекта, учитывающую принятые выше предпосылки.

Механическая система К составлена из неизменяемого (в смысле неизменности величины и геометрии массы) абсолютно твердого тела Ко (тела-носителя) и структурно изменяемой подсистемы Ki (рабочего тела). Величина массы подсистемы Ki и ее геометрия масс (конфигурация) могут непрерывно изменяться со временем. В силу этого система К = Ко и Ki является объектом с изменяемой во времени структурой массы и ее геометрии.

В подсистеме К перенос рабочего тела относительно носителя Ко совершается путем его циркуляции в области D такой, что К с D, и выноса (конвекции) массы за пределы области D с программно заданной по t относительно Ко скоростью. Изменение структуры массы системы К реализуется заданием для t £ T определенной предварительно заданной управляющей

программой. Данная структурная схема основана на предпосылках к структурным моделям, построенным в работах М.Ш. Аминова [9] и И.Ф. Верещагина [10].

Механизм массопереноса компонент массы подсистемы К относительно базы Ко и условия его реализации составляют основу структурной модели динамически изменяемого объекта К. Этот перенос определяется заданием полной внутренней программы (термин работы [10]) в виде упорядоченной системы явно заданных для t £ T гладких функций времени. Эта система является иерархическим четырехуровневым программным массивом, полностью и однозначно определяющим изменение во времени величины массы и конфигурации механической системы К.

Механический объект К, идентифицированный с данной структурной моделью, является сложной механической системой [ii].

1.2. Динамическая модель объекта

Предполагается, что СМС движется так, что ее неизменяемая основа (база Ко) вращается вокруг неподвижного полюса О в однородном параллельном поле силы тяжести под воздействием заданного результирующего силового момента L (t) (t £ T).

Введем правые координатные ортобази-сы Ц, Г2,Г3 с общим началом в полюсе О: неподвижный Ц; базис Г2, неизменно связанный с носителем, и базис Г3 (рхух2хъ), оси O x. (j = 1,2,3) которого для каждого момента времени t £T направлены по главным в полюсе О осям тензора инерции СМС с матрицей J(t) = diag[A (t), A (t), A (t)]. В силу непрерывного по t £ T изменения конфигурации и состава массы СМС базис Г3 в общем случае вращается относительно Г с угловой скоростью юг (йг) , зависимость которой от

величин заданных компонент Aj (t) тензора инерции СМС J (t) известна [12].

Таким образом, непрерывные и непрерывно дифференцируемые зависимости вида wr (t), J (t), отнесенные к базису Гз, считаются программно заданными и, следовательно, известными в любой момент времени t £ T .

Рассмотрим движение СМС под действием квазиреактивных сил, обусловленных переносом рабочего тела из некоторой области D, принадлежащей объекту, с программно

заданной абсолютной скоростью и (0. Главный момент этих сил относительно полюса О для / е [0,+да) = Т определяется равенством

L(t) = {^(r х u)dV,

dt

(1)

Здесь p(t, r) - локальная плотность массы в области S; u (t, r) - абсолютная скорость переноса точечных масс рабочего тела из области D; r (t, r) - радиус-вектор точки области. Обозначим

G = Jw + Gr, X (t) = wr - J-1Gr, (2)

fl = w + wr = J - 1G + X, m (t) = A- (t) - A- (t) (1, 2, 3),

где w, fl - абсолютные угловые скорости носителя СМС (базиса Г2) и базиса Г3; G (G .),

Gr (t) - кинетические моменты относительно полюса О всего объекта и рабочего тела, соответственно (последний — относительно базиса Г); Л (0 — эффективная угловая скорость тела K0; Aj (t) (j = 1,2,3) — главные осевые моменты инерции СМС, заданные для каждого t e T в осях базиса Г . Характерные вектор-параметры L (t), Gr (t) являются управляющими [12]; каждый из них задан программой, определенной во времени. Любые ограничения, налагаемые на заданные управляющие параметры, являются управляющими связями. Здесь и далее символ (1, 2, 3) обозначает циклическую перестановку величин с индексами 1, 2, 3.

Пусть M (t) - величина массы СМС; g -стандартное значение величины ускорения силы тяжести; P = Mg; s (51, S2, S3) - орт, неизменно связанный с базисом Г такой, что

P = - Ps ; rc (t), r. (t) - радиус-вектор центра

тяжести объекта K и его координаты в проекциях на оси базиса Г3 j = 1, 2, 3).

Движение СМС при данных предпосылках характеризуется системой уравнений типа Жуковского-Пуассона [13]

G + J-XG х G + Xх G = L + P(sх rc)

s + J-*Gх s + Xх s = 0,

(3)

где Ь (Ь\, ¿2, £3) определяется равенством (1); X = X(Л, Л, Л) - характерный вектор, определяемый равенством (2).

Уравнения (3) в проекциях на главные в полюсе О оси инерции объекта К, определяемые базисом Г3, принимают вид [14]

Ц + шх020ъ + Л03 - Л= А + Р(гз52 - г25з), ¿! + (А2 + Л)^ - (А^ + Л)^ = 0, (4) (1, 2, 3).

Система уравнений (4) обладает первыми алгебраическими интегралами

1^112 = 1, (8 • G) = Н, (5)

причем последний интеграл (5) существует для ^ е Т на управляющей связи Ь (¿) = 0.

2. Постановка задачи

Введем структурно-конфигурационные условия, выполняющиеся для любых t е Т

WA2 - A3 - Гз 7Ai - A2 = 0,

(6)

r2(t) = 0. (7)

Эти условия характеризуют обобщенный аналог классического случая Гриоли, существующего для структурно неизменяемого твердого тела [8]. При этом ограничение (7) реализуется при выполнении условия стабилизации центра масс СМС по координате Г2 относительно базиса Г [14].

^гласно условиям (6), (7) центр масс СМС расположен на нормали, проведенной из полюса О к одному из круговых сечений эллипсоида инерции, соответствующего этому полюсу.

Поставим задачу: на многообразии возможных значений W(G, s) при ограничениях (6), (7) и L (t) = 0 найти условия существования независимого алгебраического первого интеграла I (G, s) e C2 динамической системы (4), определенного в области E (G, s) фазового пространства и находящегося в инволюции с интегралами (5). □

Данная задача может быть решена как задача нахождения части интегрального многообразия заданной динамической системы при поставленных ограничениях.

3. Обобщенный аналог интеграла Гриоли

Положим ц = Ai-1 r (i = 1, 2, 3),

n =

л/ц2

+ ц2 Ф 0

(8)

S

и, согласно ограничению (6), примем условие

(л2 - 4)(а - А) > о,

представленное для дальнейшего в виде

тт > о. (9)

Введем соотношение

¥ (Г) = п1Ох + щ03 — к, (10)

где И — произвольная постоянная, и представим конфигурационное условие (6) в форме

Б(^ = ЛтП - Лътъп1 = 0. (11)

Здесь величины т1, тз должны удовлетворять ограничению (9), а «1, пз — условию (8). Обозначим

к — р^ъ ,

К — тхпх - тъпъ

Ф3 — (пЛ - ЩЛ) П - кщп3

(12)

и докажем следующее предложение.

Утверждение 1. Если равенство (10) является первым интегралом системы уравнений (4) для значений ^ е Т, то имеют место структурно-динамические условия (7),

пхЦ + пъЬъ + кп~ + Л п ) = 0, (13)

пхпъ - пп - Лп2 — 0,

(14)

а также соотношение связи

Лп2т2к^2 = (Ф - К^)Ог, (15)

справедливое для всех значений I е Т.

Доказательство. Пусть равенство (10) — первый интеграл подсистемы динамических уравнений (4). Тогда, принимая для определенности «1 Ф 0 (что принимается и всюду далее) согласно условию (8), найдем величину ¥ (/) в силу уравнений (4). В результате получим равенство, из которого исключим величину 0\, выраженную из соотношения (10). Это равенство, рассматриваемое как ограничение, выполняется тождественно при условиях (7), (13), (14) и при наличии соотношения связи (15), определенного для любых значений I е Т. □

Докажем предложение, обратное утверждению 1.

Утверждение 2. Если для I е Т выполняются структурно-динамические условия (7), (13), (14), а также соотношение связи (15), то равенство (10) является первым интегралом системы уравнений (4).

Доказательство. Составим линейную комбинацию вида пхСх + щСъ и найдем ее выражение в силу подсистемы динамических уравнений (4), выделив в нем величины ¥, ¥ согласно равенству (10). Применяя очевидное тождество

т + т + т — о,

и соотношения (7), (13)—(15), в результате получаем уравнение

(¥ - к) + 0(¥ - к) — 0,

(16)

где обозначено

0(¿, ^) — п \тъпъ02 - (п + Лп3)].

Из уравнения (16) следует

¥ - к — (¥0- к)ехр

I

10 (г, Ог) йг

(А)

причем ¥ 0— ¥ (0). Отсюда, применяя очевидное условие ¥0— к, заключаем, что равенство (10) является первым интегралом динамической подсистемы уравнений (4).

Замечание. Наряду с определяющими условиями (13), (14) и соотношением связи (15) аналогичным образом можно получить альтернативные структурно-динамические соотношения, одно из которых совпадает с равенством

(14), а другое при «з Ф 0, имеет вид

пхЦ + пъЬъ + кп3 1(пъ -Лп) — 0, (17) симметричный выражению (13). При этом соотношение связи, альтернативное равенству

(15), будет

Л3п3 т2кг$2 — (ф + КОг)^.

(18)

Здесь обозначено

к — Рг, Ф — (пЛ_ пЛ)п - кщп.

4. Сравнительный анализ определяющих условий и соотношений связи

Сравним между собой два вида полученных определяющих условий и соотношений связи, заданных выражениями (13)—(15) и (14), (17), (18), соответственно.

Определяющие условия (13), (17) идентичны в силу условия (14) при любом значении И, а соотношения связи (15), (18) эквивалентны согласно интегралу (10). Объединяя между собой соотношения (15), (18), в результате при А ^ А получим

0

A3n3m2kn2s2 = [Ф + K(n3Gj - nG)]G , (19) где обозначено

Ф (t) = ц ф + ц ф =

= (ц^ - цц2 + Ьтцщ.

В некоторых специальных случаях вид соотношения (19) может быть упрощен. Это, в частности, относится к случаю, при котором эффективный кинетический момент тела K0 , равный ЗА, коллинеарен барицентрическому вектору СМС, что выражается условием

ц ^ - ц \ = 0

или, при t e T,

(Gr - a <) r - (Gr - A ) r = 0.

Данное ограничение является структурно-динамической (программной управляющей) связью, обусловленной заданным изменением во времени массового состава и конфигурации системы. На этой управляющей связи соотношение (19) приводится к одной из следующих форм

ц k2k+1 s2 = [hAk+3 ц2к+1 + + тк+3 Щ+3 (ц1 G3 - ц3 G1 )]G2 (k = 0 1) .■

Здесь и всюду далее все индексы при указанных величинах не должны превосходить значения r = 3, что в ином случае достигается вычитанием числа r = 3 из значения данного индекса.

Обозначим

F2k+1 (t) = (Ak+3 ц2+3 т2) -1 ф 2к+1 (к = 0,1),

G. = G1 + G3, F. (t) = F + iF3

L. (t) = L1 + iL3

и введем уравнение

G. - i Л2G. + iF,G2 = L,,

i+1

(20)

Доказательство. Необходимость. В силу интеграла (10) и уравнения (20) получаем определяющие условия (13), (14), а также соотношение

- = 0 ($ е Т), (22)

эквивалентное ограничению (21), что и доказывает необходимость.

Достаточность. Если выполняются определяющие условия (13), (14) и ограничение (21), то в силу уравнения (20) получаем соотношение типа (А) из утверждения 2, в котором

£(0 = - (щ + Лщз)щ-\

Поскольку ¥0 = И, где ¥ определяется равенством (10), то отсюда непосредственно следует первый интеграл вида (10), что и доказывает достаточность.

Следствие 1. Если игнорировать нулевой уровень интеграла Гриоли (10) (И Ф 0), то из соотношения (21) следует структурное условие (11). Таким образом, комплексное уравнение (20) при условиях (13), (14) имеет первый интеграл (10) либо в случае выполнения соотношения (11), либо при выполнении ограничения И = 0. □

Обозначим N () = тк + (Лкп2кш2) 1К (к = 1,3),

г, (Г; Gз) = Ы,Оз + ¡N3 О, и рассмотрим подсистему динамических уравнений (4), из которых исключим величину S2, заменив ее выражениями (15), (18) с учетом условия (7). В результате получим уравнение

а - ¡Л G, + (г, + ¡¥,) G2 = 4. (23)

Комплексные уравнения (20), (23) идентичны при выполнении структурных ограничений

^^) = N3(t) = 0 (Г е Т), (24) в силу которых г (К ^, ^) = 0.

Следствие 2. Комплексное уравнение (23) имеет первый интеграл (10) тогда и только тогда, когда выполняются структурно-динамические условия (13), (14); при этом для значений t е Т имеют место тождества

в котором г — мнимая единица; индекс * относится к комплексной величине.

Докажем следующее предложение.

Утверждение 3. Для того, чтобы равенство (10) являлось первым интегралом комплексного уравнения (20), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись определяющие условия (13), (14) и

ИБ(^ = 0 ^ е Т), (21)

где величина В определяется равенством (11). аджтатаьш с°°тношениям связи (15Х (18). □

nF - nF - hn = о,

NX - N3n23 = о,

(25)

Отметим, что при h = 0 или при выполнении условий (24) соотношения (22), (25) совпадают.

Введем вектор n (щ, n2, щ ), обозначим

P = (r с • G) = г0, + Гз (?з,

P = (n • G) = nxGx + n3G3

и с учетом ограничения (7) докажем следующее предложение.

Утверждение 4. Если подсистема динамических уравнений (4) имеет первый интеграл (10), то ее подсистема уравнений, соответствующих значениям j = 1, 3, эквивалентна комплексному уравнению (20). При этом структурное условие (11) эквивалентно системе соотношений связи (15), (18).

Доказательство. Составим определяющую систему уравнений, соответствующую уравнению (23), образуем величину P1 и вычислим ее в силу уравнений составленной системы, условия (7) и интеграла (10). К полученному соотношению присоединим равенство, найденное путем дифференцирования по t соотношения (10), и содержащее комбинацию вида Pi.

Выражая из данной системы величины

Gj, G3 при A ^ A, Г Г ^ 0, получим систему двух уравнений, линейную относительно Gi, G3 и не содержащую переменных Sj. Сопоставляя полученную систему с уравнением (23), заключаем, что эти уравнения идентичны в силу условий (13), (14) тогда и только тогда, когда выполняются условия (24). Вместе с тем, выполнение условий (24) согласно соотношениям (25) приводит к структурному условию (11). □

5. Свойства движения системы с интегралом Гриоли

Рассмотрим некоторые свойства СМС, находящейся в режиме ограничений (13), (14) при соотношении связи (15).

Обозначим

t

<(t) = (r)dr (t e T),

(26)

где Хг — управляющий параметр. Имеет место следующее предложение.

Утверждение 5. Динамическая система с первым интегралом (10) и управляющим параметром (26) при условиях пщ Ф 0, А Ф А подчиняется структурным ограничениям

щ лхШх

n i A3m3

= tg(^ + <) (t e T), (27)

где в — аддитивная постоянная, определяемая условием

18 0 = 4 (П = П (0), п0 = пз(0)). □

п1

Доказательство первого равенства (27) непосредственно следует из условий (6), (7), а второго — из соотношения (14).

Следствие (из утверждения 1). Динамическая система с первым интегралом (10) при условиях (7), (8) находится на управлениях А (^), А (^), подчиненных управляющей связи

n

щЦ + n3L3 + h— = 0, n

(28)

где I е Т. □

Действительно, исключая из равенств (13), (14) параметр Хг, в результате при условиях (8) и п\ Ф 0 получаем соотношение (28).

Замечание. Пусть для равенства (28) выполняется условие

щЦ + щЦ = 0 (t e T),

(29)

достижимое либо при h = 0, либо в случае, при котором п (t) = const. Первый случай

имеет место при ортогональности векторов

0 J0)- 1G0,

r

с, у« j g , а второй - в случае n = const для t G T при условии (7). □

Из соотношений (27)-(29) вытекают следующие свойства движения системы.

Свойство 1. Множеством траекторий центра масс С системы на координатной плоскости OxjX3 (далее — плоскости 1-3) являются реономные эллипсы с уравнениями

+ ■

OV0)2 (ЛъпУ

= 1 (t eT), (30)

а его уравнения движения и первый интеграл (10) для значений t e T определяются равенствами

[Г (t), r (t)] = n0[A cos 3(t),A sin 3(t)], (31) G1cos3(t) + G3sin3(t) = h, 3=p + a(t), где функция <(t) задана выражением (26)л

2

2

r

3

0

Равенства (31) являются параметрическими уравнениями траектории центра С, параметризованные переменной 3.

Свойство 2. Величины скорости ус (и, vз) и ускорения wc (щ, Щ) центра масс С системы на плоскости 1-3 для t е Т задаются соотношениями

У1 = Л Г1 -ЛЛ Г3 , У3 = Л Г3 + Л-А , (32)

Л1 / Л3

Щ = кг\ - Рзгз, Щ = 4гз + А Г, (33)

где обозначено

)= j(Ä2f), А(о=АиТф- ,

J V f У

и (/)=4+A, / (t)=),

A1 A3

<P

1 , ч d h (t) = d

Г ^ ^ Y

V Ak У

+

V Ak У

-л2(к = 1,3). □

На основе соотношений (30), (32), (33) находятся уравнения подвижных годографов векторов ус, на плоскости 1-3, которые в

общем случае являются нераспадающимися кривыми второго порядка.

Свойство 3. Годограф вектора ус на плоскости V!, vз определяется уравнением

ап Vj + 3ахъУхУъ + av = а

(34)

где выражения для величин агк (t) (г, k = 1,3), а (0 находятся из равенств

«11 = Л2 + (4^)2, «13 = (Л Аз - Д 4)^,

а33 = Д2 + (Л^)2, а = (ДД + ДЛЛ2)^0.

Пусть

ö(t) = Л2 Д2 + АЛ (2 Д Д + АЛ л2)^2

- инвариант кривой (34) - годографа вектора скорости на плоскости квазикоординат vi, V3. Отбрасывая случай вырождения этой кривой, при котором ап = 0, получаем S Ф 0.

При S > 0 годографом является действительный эллипс с центром при vi = v3 = 0 и с каноническим уравнением в координатах z1, z3

+ ^22 = 1

22

С

С

где обозначено

СС3) = «111(0)-(d) 1 J,

a' = 1{a + JE), c'= ^a-JD), 2 2

a = an + a33, Д = (an - a33)2+ 4a23.

Случай, при котором S < 0, соответствует годографу, являющемуся гиперболой, а при S = 0 - паре прямых, параллельных или совпадающих. □

Свойство 4. Годограф вектора wc на плоскости квазикоординат w\, w3 определяется уравнением

b\w\ + + Ъъъм\ = b2, (35)

где выражения для величин (t) (r, к = 1,3), b (t) определяются равенствами

Ъп = (A1А)2 + (A3 /3)2,

Ъ13 = A3 l3 p3 - A1 l1 p1 ,

Ъ33 = (A1l1)2 + (A3 Pз)2,

Ъ = AjA3Ац0, A(t) = pj/ + p3/3. □

Используя формальную идентичность вида квадратичных форм (34), (35), можно аналогично предыдущему исследовать геометрию годографа вектора ускорения (35).

Свойство 5. Согласно равенствам (31) движение центра масс СМС на плоскости переменных (ц , ц ) имеет квазигармонический характер [15]. При этом на управлении

G2 (t) = A2K -42),

где Ф 0 — заданный постоянный параметр, это движение — периодическое с периодом

2^(4) -1.

Если выполняются условия rc (t) = rc0, vc (t) = 0 (t e T), то центр масс СМС стабилизирован относительно базиса Г. При этом, согласно ограничениям (32), имеет место условие

A A + 4 = 0 (t e T),

A1 A3

которое для значений X2 ф 0 возможно лишь при A A3 < 0.

к

к

В случае, при котором юГ (t) = 0, стабилизация центра масс СМС при этих условиях имеет место и относительно базиса Г. □

Комментарии

Система уравнений движения СМС в форме (4) была применена М.Ш. Аминовым [9, с. 33] в связи с решением ряда задач интегрирования системы уравнений движения твердого тела переменного состава, движущегося вокруг неподвижного полюса, и в последующем в других работах [14].

Линейный интеграл Гриоли, представленный в компонентах вектора угловой скорости, а также связанные с ним частные решения, свойства уравнений движения неизменяемого твердого тела и гиростата, помимо Гриоли [8] (см. также: Proceeding International Congress Mathematical. Amsterdam.1954. Vol.2. P. 351), были исследованы М.П. Гуляевым [16, 17] (см. также: Доклады Академии наук Казахской ССР. 1958. Т. 1. С. 202—208).

В частности, в работе [17, с. 747] получено одно соотношение связи типа (15) и не приведено симметричное ему по форме соотношение типа (18), являющееся союзным по отношению к условию (15).

Интеграл Гриоли (10) не является безусловным (регулярным) первым интегралом в общепринятом смысле. Он существует только при выполнении специального условия, являющегося соотношением связи типа (15) или (18) между одним из направляющих косинусов орта вертикали s и двумя компонентами вектора кинетического момента системы.

В силу этого данный интеграл является условным интегралом, системно связанным с любым из взаимно союзных определяющих условий.

Можно показать, что данные условия являются эквивалентными; это достигается путем исключения величины S2 из системы парных соотношений (15), (18).

Как и в случае гиростата с постоянным гиростатическим моментом, носитель СМС, для которой имеет место интеграл Гриоли, при движении в однородном поле силы тяжести при некоторых ограничениях совершает прецессию относительно фиксированной невертикальной оси.

Список литературы

1. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. M.; Л.: ОНТИ, 1937. 500 с.

2. Джакалья Г.Е. Mетоды теории возмущений для нелинейных систем. M.: Наука, 1979. 320 с.

3. Суслов Г.К. Теоретическая механика. M.; Л.: Гостехиздат, 1946. 655 с.

4. Арнольд В.И. Mатематические методы классической механики. M.: Наука, 1974. 432 с.

5. Арнольд В.И. и др. Mатематические аспекты классической и небесной механики // Итоги науки и техники. Т.З. M.: ВИНИТИ. 1985. 304 с.

6. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избранные труды: в 3 т. M.: Наука. Т. 2, 1972. 999 с.

7. Галиуллин А.С. Обратные задачи динамики. M.: Наука, 1981. 144 с.

8. Grioli G. Esistenza e determinazione delle precesioni regolari dinamicamente possibili per un solido pesante asimmetrico // Annali di Matematica Pura ed Applicata. Ser. IV. 1947. Vol. 2б, № 3-4. P. 271-281.

9. Аминов М.Ш. Некоторые вопросы движения и устойчивости тела переменной массы // Тр. Казанского авиационного ин-та. Вып. 48. 1959. 118 с.

10. Верещагин И.Ф. Mетоды исследования режимов полета аппарата переменной массы. В 2 т. Пермь: ун-т. Т. 1, 1969. 260 с.

11. Макеев H.H. Асимптотика вращений сложной механической системы // Проблемы механики и управления. Mежвуз. сб. науч. тр. Пермь: Перм. ун-т, 2004. C. 52-73.

12. Макеев H.H. О некоторых свойствах главных осей инерции тела переменной массы // Проблемы механики управляемого движения: межвуз. сб. науч. тр. Пермь: Перм. ун-т, 1978. C. 126-131.

13. Макеев H.H. Некоторые случаи интегрируемости уравнений движения гиростата переменной массы // Проблемы механики управляемого движения: межвуз. сб. науч. тр. Пермь: Перм. ун-т, 1976. C. 99-104.

14. Макеев H.H. Интегралы сложных систем на управляющих связях / Cаратовский политех. ин-т. Cаратов, 1989. 123 с. Деп. в ВИНИТИ 14.03.89, № 1656-В89.

15. Макеев H.H. Первые интегралы и асимптотика малых движений сложной системы / Cаратовский политех. ин-т. Cаратов,

1987. 13 с. Деп. в ВИНИТИ 17.09.87, № 6730-В 87.

\6. Гуляев М.П. Об одном новом частном решении уравнений движения тяжелого твердого тела, имеющего одну неподвижную точку // Вестник Московского ун-та.

Сер. физико-математические и естественные науки.1955,№ 3. С. 15—21.

\7. Гуляев М.П. О регулярных прецессиях тяжелого гиростата // Прикладная математика и механика. \973. Т. 37. Вып. 4. С. 746—753.

Grioli integral for the equations of motion of a complex mechanical system

N. N. Makeyev

Problems of Precision Mechanics and Control Institute Russian Academy of Sciences 24, Rabochaya st., Saratov, 410028, Russia nmakeyev@mail.ru; (845) 272-35-33

The criterion for the existence of the first integral of the system of equations of motion in the field of gravity of a mechanical object of variable mass composition and variable mass geometry is obtained. The integral is a generalized analog of the classical D. Grioli integral constructed for a structurally unchangeable solid body.

Keywords: complex mechanical system; integral of Grioli; a criterion for the existence of a first integral; control constraints.