CC BY
5МАТЕМАТИКА (MATHEMATICS)
УДК 517.933
Макеев Н.Н.
научный сотрудник Саратовский научный центр РАН (г. Саратов, Россия)
ЭВОЛЮЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ СЛОЖНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Аннотация: исследуется эволюционное движение сложной механической системы с центральной кинетической симметрией, происходящее под действием программно заданного управления. Установлено, что результирующее движение исследуемого объекта может быть аппроксимировано колебанием ортотропной системы линейных осцилляторов, находящейся под воздействием нестационарной силовой нагрузки.
Ключевые слова: сложная механическая система, эволюционное движение, управляющая связь, линейный осциллятор.
Введение
Под сложной механической системой (СМС, термин [1]) понимается механический объект, структурная модель которого предполагает непрерывное изменение во времени его состава массы и (или) структурно -кинетической конфигурации. Это изменение задаётся управляющей программой, построенной для интервала времени t е[0, + ю) = T0 е T. Данная программа определяет открытое связное множество структурно-динамических параметров СМС (в том числе, управляющих) так, что система её динамических уравнений аналитически замкнута относительно всех компонент вектора абсолютной угловой скорости механического объекта. При этом аналитические ограничения, налагаемые на управляющие параметры СМС, являются заданными управляющими связями, влияющими на характер движения и состояния СМС.
1. Основные предпосылки
Введём координатные ортобазисы ц,г2 с общим началом в центре масс С системы: базис ц, жёстко связанный с неизменяемой основой СМС, и базис Г (Cxx2x), оси Cxj которого в каждый момент t е T направлены по главным в центре С осям тензора инерции СМС. Главные центральные осевые моменты инерции СМС Aj (t)(j = 1, 2,3) заданы относительно базиса Г2 как функции класса
C1. Вследствие изменения состава массы и конфигурации в общем случае базис Г вращается относительно Г со скоростью юг (а]). Рабочее тело (РТ) СМС находится в односвязной ограниченной неизменной области D, в которой его частицы движутся со скоростью vr (t) относительно базиса Г2.
Предполагается, что величины A. (t), юr (t), vr (t) для t е T заданы
управляющей программой как функции необходимой степени гладкости. Приведённые здесь положения составляют структурную модель механического объекта - СМС. Представим далее динамическую модель системы.
Предусматривается, что свободная от внешних связей СМС движется так, что её неизменяемая основа вращается вокруг центра С под действием заданных внешних сил: реактивных, вариационных, кориолисовых сил инерции и линейных диссипативных сил. Вследствие этого движение СМС относительно центра масс реализуется в режиме авторегулирования, определяемом свойствами модели Р. Граммеля [2], и в проекциях на оси базиса Г2 характеризуется системой уравнений, полученной М.Ш. Аминовым [3], которая представляется в виде [4]
а + a+ bа + b2а + ь13а3 = f (1,2,3). (1)
Здесь символ (1, 2, 3) обозначает циклическую перестановку индексов при данных величинах для восстановления остальных уравнений данной системы по заданному уравнению-представителю, где циклической
перестановке в величинах Ьу подлежат лишь значения индекса ¡. В уравнениях (1) обозначено:
аДг) = л-1(4 -4), ^(г) = л-\ь[ + ьV) (1,2,3), (2)
где ьг (г), Ь (г) - компоненты главных векторов систем реактивных Ьг(г) и вариационных Ьг(г) сил, действующих на СМС. Выражения для величин Ьу, содержащихся в уравнениях системы (1), представлены в работе [4].
2. Динамическая система эволюционного движения Далее предполагается, что СМС обладает центральной структурно -кинетической симметрией с центром в полюсе С; в силу равенств (2) имеем
4 (г) = Л (г) (] = 1,2,3; г е т) (3)
и, согласно инерционно-кинетическим условиям [5] получаем
юг (г) = 0. (4)
Тогда, вследствие ограничений (3), (4), система уравнений (1) принимает
вид
а + в (г) а - е (г), (5)
где обозначено
а = И и И]т, в(г) = [Ьу.(г)]зхз, Е(г) = ^ ^]т, Ь-1 (г) = Л- Чг)К(г) + А(г)] (1,2,3),
Ь-2(г) = - Л->(г)а12(г), Ьц(г) = - Ьр(г) (6)
(/ * 7); (1,2,3).
Выражения для величин а7 (/,] = 1,2,3), содержащихся в равенствах (6), и зависящих от компонент вектора Vг (г), известны [4]; величины р (г) -диссипативные функции, заданные для г е Т с необходимой степенью гладкости.
Из множества возможных управлений движением РТ относительно базиса Г2 выберем такие, при которых выполняются условия
ап(г) + р; (г) = о (7 = 1,2,3; г е Т), (7)
где выражения для ап (г) заданы [4]. Равенства (7) определяют программное непрерывное циркуляционное движение РТ в области В. Согласно
равенствам (6) и условиям (7) имеем b,.(t) = 0 (j = 1,2,3),откуда непосредственно следует
Ъп (t) = - b21 (t) = - A (t) (1,2,3; t e T) (8)
и система уравнений (5) принимает вид
ó\ F (t) (1,2,3; t e T). (9)
В равенствах (8) и уравнениях (9) обозначено A (t) = - A 1Gr (t) (j = 1, 2, 3), где Gr (vr) - компоненты вектора кинетического момента РТ,
заданного относительно центра масс С данной системы.
3. Эволюционная система на управляющих связях
Преобразуя систему уравнений (5), приведём её к стандартной форме
а + p (t) а = l (t), (10)
где обозначено
P (t) = j х 3, L (t) = [A, L2, L3]T,
n„(t) = A2 + A32, n12(t) = - (A + AA),
n13(t) = A2 - A1A3, (11)
L = F + A3 f2 -a F3 (1,2,3).
Общее число изначально заданных свободных от ограничений управляемых параметров движения РТ системы позволяет наложить реономные ограничения на параметры kj (9), определяемые, согласно (11), равенствами
A -AA = 0, A + AA = 0 (t e T). (12)
Система уравнений (12) для t e T обладает общим первым интегралом
A2(t) +A2(0 = fi2 (fi = const). (13)
На плоскости параметров A, A множеством годографов вектора X(A, A) является совокупность окружностей с центрами в начале координат, радиусы которых Q ф 0. Полагая (A0, Л02) = ^(sin a, cosa), из соотношений (12), (13) с точностью до знака для t e T получаем
(Д, Д) = Q(sin р, cos р), (p(t) = <r(t) + а, (14)
t
a(t) = Д (т) dr. (15)
о
Налагая на систему A-параметров третью связь, согласно выражению для n21 положим Д - ДД = 0, откуда для t е T следует
2Д =Q2sin 2р. (16)
Равенства (15), (16) устанавливают интегро-дифференциальное уравнение, определяющее аналитический вид параметрической функции к3 (t).
При ограничениях (14)-(16) для A-связей матрица P системы (10) становится треугольной, что позволяет применить алгоритм последовательного интегрирования данной системы. Скалярное уравнение, соответствующее третьей строке матрицы системы (10), имеет вид
сс3 + Q 2с3 = L3 (t) (17)
и является уравнением вынужденных колебаний одномерного гармонического осциллятора в пространстве квазикоординат rnj по оси с координатой с собственной частотой Q. Решение уравнения (17) известно [6, с. 102].
Остальные скалярные уравнения системы (10) имеют вид
С2 + n22(t)С2 = L2 (t)- П23С Qg^
сс + ni(t)с = L(t)-n2(o \ -n3с ¡, где, согласно равенствам (11), (16) обозначено
П\(t) = (^cos р)2 + Д2, n.2 (t) = —^2sin2p, Пз =- 2О.Д sin р, n22 (t) = (^ sin р)2 + n23 (t) = -2О.Д cos р,
причём в равенствах (18) символы m*2, со*3 обозначают явные по форме решения уравнений, содержащихся в системе (17) или (18).
Таким образом, каждое из уравнений систем (17), (18) является уравнением в нормальной форме по Лиувиллю одномерного линейного осциллятора, совершающего вынужденные колебания с заданными собственными частотами, соответственно, дП", , Q
Заключение
Движение СМС при условиях, приведённых в основных предпосылках, эволюционирует к движению трёх линейных осцилляторов, находящихся под воздействием нестационарной сосредоточенной непрерывной силовой нагрузки. Это воздействие определяется как внешним моментно-силовым влиянием, так и характером относительного движения рабочего тела системы. При этом здесь рассматриваются только нерезонансные режимы колебания данной системы осцилляторов.
Приведение ДС (10) к диагональной форме с получением результирующей системы вида (17), (18) можно было бы выполнить стандартным методом [6] путём непосредственной диагонализации матрицы P системы (10). Но в этом случае при стандартном преобразовании данной динамической системы не были бы вскрыты реализующиеся программные управляющие связи, наложенные на относительное движение РТ СМС. Здесь же в применённом подходе показан механизм структурно-кинетического массоизменения СМС, приводящий к осциллирующему режиму движения этой системы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Румянцев В.В. Некоторые задачи динамики сложных систем // Проблемы прикладной математики и механики. М. : Наука, 1971. С. 179-188.
2. Граммель Р. Теория несимметричного гироскопа с реактивным приводом // Механика: Сборник переводов иностранных статей. 1958, № 6. С. 145-151.
3. Аминов М.Ш. Некоторые вопросы движения и устойчивости тела переменной массы // Труды Казанского авиационного института. 1959. Вып. 48. 118 с.
4. Макеев Н.Н. Асимптотика вращений сложной механической системы // Проблемы механики и управления. 2004. Вып. 36. Сборник научных трудов: Пермь, Пермский университет. С. 52-73.
5. Макеев Н.Н. О некоторых свойствах главных осей инерции тела переменной массы // Проблемы механики управляемого движения. 1978. Вып. 10. Сборник научных трудов. Пермь: Пермский университет. С. 126-131.
6. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. 280 с.
Makeev N.N.
Researcher Saratov Scientific Center of Russian Academy of Sciences (Saratov, Russia)
THE EVOLUTIONARY MOVEMENT OF A COMPLEX MECHANICAL SYSTEM
Abstract: the evolutionary motion of a complex mechanical system with a central kinetic symmetry, occurring under the action of a program-defined control, is investigated. It is established that the resulting motion of the object under study can be approximated by the oscillation of an orthotropic system of linear oscillators, being under the influence of an unsteady power load.
Keywords: complex mechanical system, evolutionary motion, control connection, linear oscillator.
