ОБ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛАХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ СЛОЖНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

2021

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 2(53)

УДК 531.381; 531.395

Об алгебраических интегралах уравнений движения сложной механической системы

Н. Н. Макеев

Институт проблем точной механики и управления РАН Россия, 410028, г. Саратов, ул. Рабочая, 24 nmakeyev@mail.ru; (845) 272-35-33

Приводятся критериальные условия существования некоторых видов алгебраических первых интегралов уравнений движения механической системы переменного состава массы и изменяемой конфигурации. Тело-носитель системы (базовое тело) вращается вокруг неподвижного полюса в стационарном однородном поле силы тяжести под воздействием заданных нестационарных сил. Указаны виды частных интегралов и установлены ограничения, определяющие их существование.

Ключевые слова: алгебраический интеграл; критерий существования частного интеграла; интегрируемость динамической системы; сложная механическая система.

DOI: 10.17072/1993-0550-2021-2-29-36

1. Предварительные положения

Предполагается, что сложная механическая система (СМС) [1, 2] движется так, что ее неизменяемая твердая основа (база) вращается вокруг определенного неподвижного полюса О в однородном параллельном поле силы тяжести под воздействием заданного результирующего силового момента Ь (О (V е Т = [0, + го)).

Введем правые координатные ортобази-сы Ц, Г2, Г3 с общим началом в полюсе О: неподвижный Ц; базис Г2, неизменно связанный с носителем, и базис Г3 (0^хгхъ), оси Ох] (j = 1,2,3) которого для каждого момента времени г е Т направлены по главным в полюсе О осям тензора инерции СМС с матрицей 1(Г) = (V), А(0,А (01- В силу непрерывного по г е Т изменения конфигурации и состава массы СМС базис Г в общем случае вращается относительно Г с угловой скоростью Юг (юГ) , зависимость которой от

величин заданных компонент Л}- (0 тензора инерции СМС J (0 известна [2].

Таким образом, непрерывные и непрерывно дифференцируемые зависимости вида юг (0, J (0, отнесенные к базису Г3, считаются программно заданными и, следовательно, известными в любой момент времени г е Т .

Рассмотрим движение СМС под действием квазиреактивных сил [2], обусловленных переносом рабочего тела [2] из некоторой области ©, принадлежащей объекту, с программно заданной абсолютной скоростью и (0. Главный момент этих сил относительно полюса О для V е Т определяется как

Ь (V) = /|р(г х и)ё¥

(1)

Здесь р (V, г) - локальная плотность массы в области ©; и (V) - абсолютная скорость переноса точечных масс рабочего тела из ©; г (V) - радиус-вектор точки этой области. Обозначим

С = + С, X (0 = -, (2) П (О, 02, о,) = ю + юг = J-'С + X,

© Макеев Н. Н., 2021

m(t) - A-'(t) -4"Ч0 (1, 2, 3),

где ш, П - абсолютные угловые скорости носителя СМС (базиса Г2) и базиса Г3; G (G.),

Gr (t) - кинетические моменты относительно полюса О всего объекта и рабочего тела, соответственно (последний — относительно базиса Г2); X (t) — эффективная угловая скорость

базиса Г ; Aj (t) (j = 1,2,3) — главные осевые

моменты инерции СМС, заданные для каждого t е T в осях базиса Г . Характерные вектор-параметры L (t), Gr (t) являются управляющими [2]; каждый из них задан программой, определенной во времени. Любые ограничения, налагаемые на заданные управляющие параметры, являются управляющими связями. Здесь и далее символ (1, 2, 3) обозначает циклическую перестановку величин с индексами 1, 2, 3. Величины с данными индексами, находящимися при компонентах векторов, относятся к проекциям этих векторов на координатные оси Oxj (j = 1, 2, 3).

Пусть M (t) — величина массы СМС в момент времени t; g — стандартное значение ускорения силы тяжести; s (S1, S2, S3) — орт, неизменно связанный с базисом Г такой, что

g = — gs; rc (t), r. (t) — радиус-вектор центра

тяжести системы и его ортогональные декартовы координаты в проекциях на оси базиса Г3 (j = 1, 2, 3).

Движение СМС при данных предпосылках характеризуется системой уравнений типа Жуковского-Пуассона [1]:

G + J—*G X G + X х G = L + (s X k),

s + J—XG x s + X x s = 0, где вектор-момент L (L1, L2, L3) определяется равенством (1); X = X(Л, \, Л) — характерный вектор, определяемый равенством (2).

Уравнения (3) в проекциях на главные в полюсе О оси инерции СМС, определяемые базисом Г , принимают вид [1, 2]

(3)

Gj + Ф j = Lj + kJ + 2 +1 — kJ+ 1 + 2 = * j + Q j+1 ^j + 2 — Q j + 2 ^j + 1 = 0

(4)

(j = 1, 2, 3),

'j+2 + Лj+1G

Q = At G + Aj (j = 1,2,3).

Ф j = mjGj+1Gj+2 + ^+1Gj+2 — ^+2 Gj+1 =

(5)

Система уравнений (4), (5) при заданных программных структурно-динамических параметрах СМС является детерминированной многопараметрической системой эволюционного типа, аналитически замкнутой относительно переменных V = {Gj , Sj }.

Вопрос об интегрируемости в квадратурах данной системы уравнений сводится к проблеме существования дополнительного по Е. Уиттекеру [4] независимого интеграла. Если этот интеграл существует и объединенная система, составленная из общих первых интегралов и присоединенного к ним дополнительного интеграла, на некотором симплекти-ческом многообразии находится в инволюции, то данная система уравнений интегрируема по Буру-Лиувиллю.

В силу этого данный вопрос приводит к задаче о нахождении независимого первого интеграла данной системы уравнений, дополнительного к системе общих интегралов, если он существует. Каждый из независимых дополнительных интегралов данной системы уравнений явно зависит от определенной части переменных множества V. В частности, аналог классического интеграла Лагранжа (линейный интеграл уравнений движения СМС) [2, 5] — от одной переменной Gj; аналог интеграла Эйлера [2, 6] — от трех переменных Gj ; аналоги интегралов Ковалевской [3] и Горячева [7] — от четырех переменных Gj, Sk (j, k = 1, 2, 3). Аналогичные случаи зависимости от части переменных множества V имеют место и для аналогов линейных интегралов Гесса [2] и Гриоли [2, 8].

В связи с этим ставится задача: на многообразии возможных значений W (G, s) определить структурно-динамические ограничения и управляющие связи, при реализации которых для системы уравнений (4), (5) на заданном гладком многообразии существует независимый алгебраический первый интеграл F (G, s) е C2, определенный в области (G, s) фазового пространства, и находящийся в инволюции с общими интегралами данной системы. □

Такая постановка задачи предполагает существование k независимых дополнительных первых интегралов, каждый из которых может быть определен в соответствующей подобласти Dk с D.

Поскольку каждый из дополнительных интегралов системы уравнений (4), (5), как частный интеграл, может существовать лишь при определенных структурно-динамических

и начальных условиях, данную задачу следует рассматривать как задачу нахождения элементов интегрального многообразия динамической системы в предположении, что это многообразие заведомо не является пустым.

2. Задача о существовании дополнительных интегралов

Рассмотрим решение поставленной выше задачи в классе однозначных алгебраических функций С 2 (0, 8) и составим основное (базовое) уравнение, порождающее дополнительные первые интегралы динамической системы (4), (5). Представим искомые интегралы в общем виде:

Г (,; в, в, в; ^, , ) = к, (6)

где ^ - алгебраическая функция заданных переменных, к — постоянная интегрирования.

Как известно [4], критериальным условием существования первого интеграла (6) данной системы уравнений является равенство нулю скобки Пуассона (коммутатора) от функции ^ и гамильтониана данной системы, заданных на симплектическом многообразии. Согласно этому имеем

(Ус Г • О) + (V, Г • 8) = 0.

(7)

Равенство (7) в силу уравнений системы (4), (5) является тождеством, выполняющемся при определенных ограничениях, наложенных на структурно-динамические параметры данной системы. Эти ограничения и определяют искомые случаи существования дополнительных первых интегралов вида (6) для исходной системы уравнений.

Следует ожидать, что искомые интегралы, если они существуют, явно зависят лишь от части переменных, содержащихся в равенстве (6). Такая закономерность, в частности, имеет место в классических случаях интегрируемости для твердого тела, движущегося в однородном поле силы тяжести [4].

Равенство (7) в силу уравнений системы (3) является тождеством по всем переменным О] и по любым двум переменным Sj .

Выражение (7) в силу соотношения (6) может быть представлено в виде

3

Г + 1 2 VI - 1 V 2 - /оч

1=1 (8)

-ф 1 ) р} + °1 + 2 ^+1 1+1 + 2 ) Я1 ] = 0, где обозначено

аГ а7

а г

Г =—, р, =-, Ч, =- (1 =1,2,3).

' ^ 1 ав 1 а^.

1 3

Соотношение (8) является тождеством по всем переменным О] и по любым двум переменным Sj, удовлетворяющемся при определенных заданных структурно-динамических условиях, наложенных на параметры системы уравнений (4), (5). Совокупность этих условий составляет критериальный признак существования данного первого дополнительного интеграла.

Рассмотрим возможные случаи решения поставленной задачи.

3. Интеграл с одной переменной

Пусть дополнительный интеграл (6)

имеет вид1

Г(,; в) = к.

(9)

Тогда соотношение (8), принимающее форму К + (к3£2 - ^^ - ф)р = 0,

тождественно удовлетворяется при структурно-динамических ограничениях:

А = А, г = г = о, г * о,

(10)

= а^ = 0 (1 = 1,2) (11)

и присоединенном к ним условии

К(р) = + рЦ = 0. (12)

Ограничению (12) удовлетворяет обобщенный аналог классического интеграла Ла-гранжа [2]:

I

в3 (,) = в3° +1Ь3 (г) йт,

(13)

непосредственно следующий из системы уравнений (4), (5) при условиях (10), (11). Следовательно, дополнительный первый интеграл вида (9) может являться только линейным по О3 интегралом (13), обусловленным структурой заданных ограничений (10), (11).

Если дополнительный первый интеграл (6) задан в виде

Г (,; *з) = к, (14)

то из соотношения (8) следует:

1 Равенство (9) здесь рассматривается как интеграл-представитель совокупности интегралов вида Г (п О]) = к (] = 1, 2, 3).

0

Ъг + [(«202 + ЛМ " (а101 + Л)Ъ = 0.

Здесь и всюду далее обозначено а. = А-1

(] = 1, 2, 3). Это равенство не может являться тождеством по переменным Gl, G2 и, следовательно, интеграл вида (14) не существует.

Таким образом, первый дополнительный интеграл, зависящий только от одной из переменных Оу, зу, может являться лишь обобщенным аналогом интеграла Лагранжа (13).

4. Интеграл с двумя переменными

Для первого дополнительного интеграла (6), представленного в виде

Ъ (г; 0, в) = И (15)

из соотношения (8) следует:

К (Рр Р2) - [(т102 + Л2) Р1 + + (т2 в1 - Л)Р2]03 + К (Р1 ^2 - Р2 ^ + + (К1 Р2 - К2Р1)^3 + Л (Р1 в2 - Р2 Ф = где выражение для величины Я определяется равенством (23).

Приведенное равенство удовлетворяется тождественно по переменным Оз, 51, 52, если имеют место условия:

N (Р1, Р2) = (т1 02 +Л2) Р1 +

+ (т9 0 - Л ) Р = 0,

2 1 2 (16) Р;Т3 = 0 О' = 1,2), Р2 Т1 - Р1 Т2 = 0

К (Р1 , Р2) + Л3( Р1 02 - Р2 в0 = 0. Из равенств (16) для г е Т следует:

т,(г) = 0, (17)

а система уравнений относительно ненулевых величин р1, р2, составленная из первого и четвертого равенств (16), приводит к соотношению

щтх02 + т2т20^ +ЛТ -Лг2 = 0. (18)

Равенство (18) в классе программных структурно-динамических ограничений выполняется при любых значениях О1, О2, если

т]г] = 0 (] = 1,2), Л ; Л Г = 0. (19)

При этом последнее условие (19) эквивалентно управляющей связи:

(в2т - ) ; - / (в; - ) Г2 = 0, (20)

где / = «А2, реализующейся при условии параллельности вектора X х к главной плоскости инерции ОХ1Х2.

Из структурных условий (17), (19) вытекают следующие случаи существования первого интеграла вида (15), относящиеся к классу заданных программных ограничений.

• Случай центральной структурной симметрии СМС, определяемый условием

I(г) = А (г) Е, (□)

где А (0 - заданная функция класса С0, Е -единичная матрица.

• Аналог классического случая Эйлера, соответствующий для г е Т ограничению

гс[;1 (г) г2(г) тъ(г)]Т = 0, (21)

применяемому совместно с условием полной стабилизации центра масс СМС для значений г е Т = [0, [2].

• Случай осевой структурной симметрии системы, при которой ее центр масс расположен на главной оси инерции, совпадающей с соответствующей осью кинетической симметрии. В этом случае для г е Т выполняется одна из групп следующих условий:

AJ(г) = Аъ(г), ; (г) = ; (г) = 0 О = 1,2). (22)

Согласно четвертому условию (16), для группы (22) при ] = 1 получаем ; (г) = 0, а для условий при ] = 2 имеем т\ (?) = 0. Следовательно, в силу ограничения (21), третий случай содержится во второй позиции как частный случай. Управляющая связь (20), являющаяся ограничением только в первом случае, принимает вид

тв - т в; = 0.

Последнее условие (16) в первых двух случаях приводит либо к режиму движения с программным управлением, либо к движению на сервосвязи и представимо в виде

К(Р1, Р2) - Ъ + Р11ц + Р2Ь2 = 0. (23)

Структурно-динамические условия (19), вытекающие из соотношения (18), можно ослабить, если интеграл (15) является линейным интегралом вида

Ъ(г; 01, 02) - /1О1 + /02 = И, (24) где /1, /2 - заданные функции класса С0 (Т), причем /2 + /2 ^ 0.

Действительно, если/1 Ф 0, то в силу равенства (18) вместо условий (19) имеем

Щ1/1 Г1 - Щ2 /2 Г2 = 0, (Л Г1 - МХ/! + кт2 Г2 =

Если положить f (,) = гс (,), то из

ограничений (25) следуют условия, характерные для аналога интеграла Гесса [2]:

т1 г12 - т3г32 = 0 (т1 т3 > 0, г1 * 0),

ЛГ - Лг - кщг- 1г = 0,

а также сопряженные им условия [2].

Таким образом, случаи существования интеграла вида (15) в классе программных ограничений сводятся к первым двум приведенным ранее представлениям и к обобщенному аналогу случая Гесса.

В классе линейных однородных Отграничений, из соотношения (18) вместо первых двух равенств (19) следует соотношение

щ г в + Щ^в = 0. Помимо линейной формы (24) интеграл вида (15) реализуется в квадратичном виде

а1 в2 + а2 + Л в + Л в2 = к

при наличии определенных ограничений, налагаемых на структурно-динамические параметры СМС [2, 9].

Если дополнительный интеграл (6) имеет вид

Г (,; в, ¿1) = к, (26)

то, в силу соотношения (8), получаем

К (Р1) - (к2Р1 +02 Ч) ¿3 + + [а^ч - (щв + Л) Р + (27)

+ ЛР1в2 + (Л3 Ч1 + к^.Р1) ¿2 = 0.

Поскольку соотношение (27) является тождеством по переменной 53, то имеем равенство к2Р1 + (а в + Л) Ч = 0, являющееся тождеством по переменной О2. В силу этого имеем ql = 0 и интеграл (26) принимает вид интеграла с одной переменной.

Если интеграл (6) имеет вид

Г (,; в, ^ ) = к, (28)

то, согласно соотношению (28), из равенства (8) следует

К СрО + (01 Ч2 - к2 Р1) ¿3 -

-[(Щ в + Л) Р1 + азод2 ] в + (29)

+ к3¿2Р1 + Л(Р1 в2 - ¿1 Ч2) = 0.

Так как равенство (29) является тождеством по переменным Оз, 51, то отсюда имеем

(щ1в2 + Яг)Р1 + а3 Ч2 = 0, откуда следует q2 = 0 и интеграл (28) принимает вид интеграла с одной переменной.

В случае, при котором интеграл (6) представлен в виде

Г(,; в,) = к, (30)

соотношение (8) приводится к форме К (Р1) + [(Л - + а2 ¿1 Ч3]в2 +

+ (кР! -О ¿гЧз) ¿2 - к2$зР1 + (31)

+ ^1 Ч3 - Р1 в3) = 0.

Поскольку равенство (31) является тождеством по переменным О2, 51, то отсюда

(Л - тв) р + а^Чз = 0,

в силу чего имеем qз = 0. Таким образом, и в этом случае интеграл вида (30) приводится к форме интеграла с одной переменной.

В случае, при котором интеграл (6) задан в виде

Г (,; ^, я2 ) = к, (32)

соотношение (8) приводит к условию Г + (а1 Ч2в1 - а2Ч1в2)¿3 + + а3 (^2 Ч1 - ¿1 Ч2) в3 + (Л3 ¿2 - Л ¿3) Ч1 +

+ (Л1 ¿3 -Л3 ¿1) Ч2 = 0 являющемуся тождеством по переменной О] (здесь индекс ] фиксирован). Отсюда следует, что ql = q2 = 0 и, следовательно, интеграл вида (32) для данной системы не существует.

Таким образом, из первых дополнительных интегралов системы уравнений (4), (5), содержащих две из величин О,, существует только интеграл вида (15).

5. Интеграл с тремя переменными

Пусть интеграл (6) имеет вид

Г(,; в, в, в) = к. (33)

Тогда соотношение (8) приводит к равенству

Г + (р ■ О) + V = 0, (34)

где обозначено

О = Ь - J -10 X О - X X О,

V = (к х р)в, р = р (р7).

Соотношение (34) является тождеством по переменным 51, 52. Выражая из тривиально-

II 112 1

го интеграла $ = 1 величину 5з, разложим

это выражение в ряд Маклорена по переменным 51, 52 и подставим в равенство (34). В результате, применяя стандартный прием [10] и полагая ф = ф (Фу) = (Мгс х р), получим

Ъ + (р• О) + gФз = 0, Ф1 =Ф2 = 0. (35)

Рассмотрим равенства (35) как систему алгебраических уравнений относительно величин р1, р2, р3 с определителем

В = Бт3 (Б = О • гс), (36)

и выделим случаи, при которых В = 0. Это условие выполняется, если В Ф 0,

т,(г) = 0 (г еТ), (37)

и при Г3 Ф 0 в случае, когда В = 0.

В классе программных структурно-динамических ограничений последнее условие выполняется при произвольных возможных значениях О/, если выполняются условия:

(гс- Ь) = 0, (38)

Рг с = 0, (39)

X х гс = 0, (40)

где Р — проектор-оператор такой, что выполняется равенство Р г с = Р г с (т.т. ).

В силу условия Г3 Ф 0 из соотношения (39) следует, что к ограничениям (38), (40) следует присоединить либо условие (□), либо ограничения типа (22). Каждый из этих случаев соответствует структурной симметризации по Лагранжу [2], реализуемой на управляющих связях (38), (40). При этом связь (38) для условий типа (22) реализуется на управлении ¿3 = 0, а ограничение (40) — при условии (□) будет гс х От = 0, тогда как при условиях типа (22) эта связь реализуется на управлении

¿1 = -Я 2 = 0.

Согласно соотношениям Ф. = 0 (35)

при условиях типа (22) получаем р/Г3 = 0 (/ = 1, 2), в силу чего интеграл (33) принимает вид интеграла с одной переменной, соответствующей интегралу типа Лагранжа (13).

Если выполняется условие (37), то равенства Ф = 0 (35) переходят в соотношения

Р3 т. = 0 (] = 1,2) и тождественно удовлетворяются либо при ограничении (21), либо при р3 = 0, когда интеграл (33) приводится к виду (15).

В случае, при котором интеграл (33) имеет автономную форму

Ъ(01, 02, 03) = И, (41)

интеграл (41) в классе программных ограничений существует либо в режиме с условием (21), либо при ограничении (□) на управляющих связях (38), (40).

Пусть теперь Ъ Ф 0, В Ф 0. Тогда в силу соотношений (35), (36) имеем

р = - Б 1Ъ г с (42)

и согласно равенству (42) если хотя бы одна из величин Г/ = 0 (/ = 1, 2, 3), то интеграл (33) принимает вид (15). В силу этого для дальнейшего положим р = тт2тъ Ф 0.

В классе детерминированных программных ограничений первое из условий (35) тождественно удовлетворяется, если

Ъ + (р • Ь) + g Ф3 = 0, (43)

X х р = 0, Рр = 0. (44)

Согласно равенству (42) из последнего соотношения (44) следует условие (□), а из первого равенства (44) получаем ограничение (40). При этом Ф = 0, в силу чего условия

Ф = 0 (35) тождественно удовлетворяются и

равенство (43) принимает вид

Ъ + (р • Ь) = 0. (45)

Таким образом, в случае, при котором ¥1 Ф 0, р Ф 0, для существования интеграла вида (33) в классе программных структурно-динамических ограничений необходимо, чтобы выполнялось условие (□), а также условия (40), (45).

Интеграл вида

Ъ (г; ^, $2, ) = И, (46)

независимый по отношению к тривиальному интегралу, не существует, поскольку, если допустить обратное, то интеграл (46) в силу тривиального интеграла приводится к форме интеграла с двумя переменными (32).

Пусть интеграл (6) задан в виде

Ъ(г; О1, $2, $3) = И. (47)

Тогда соотношение (8) представляется в виде

К (Р1) + [(Л - Щ1 в3) Р1 + а2 ¿1 Ч3]в2 -

- (Л2Р1 + а3 ¿1 Ч2) в3 + (Л2 Ч3 - Л Ч2) ¿1 + (48)

+ (к3 Р1 - Ч3) ¿2 - (к2 Р1 - Ч2) ¿3 = 0.

Поскольку равенство (48) является тождеством по переменным О2 , О3 , то из первого условия

(Л - ^^)pt + a2sxq3 = 0,

(49)

Л л + s q2 =0

следует A2 = A3, в силу чего система (49) принимает вид

A2ljpi + s,q} = 0 (j = 2,3). (50)

Условие (48) не налагает ограничений на величины Gl, s2, s3 с учетом равенств (50), когда имеют место условия

rj (t) = 0, Л (t) = 0 (j = 2,3) (51)

и выполняется условие (12). Присоединяя к этим ограничениям условие A2 = A3, убеждаемся в том, что полученная система соотношений характеризует обобщенную структурно-динамическую симметризацию типа Ла-гранжа с приведением интеграла (47) к виду интеграла с одной зависимой переменной.

Действительно, в силу А-условий (51) при p1s ^ 0 из системы условий (50) следует q2 = q3 = 0. К интегралу (47) в силу тривиального интеграла приводятся интегралы вида

F (t; G, S, sj) = h (h = const, j = 2,3), однотипные с интегралом (47).

Аналогичным образом устанавливается, что не существует дополнительных первых интегралов указанного типа, в которых переменная Gi заменяется последовательно на G2 и на G3.

Если интеграл (6) задать в виде

F (t; G, G, S ) = h (52)

и обозначить

0 = R - NG3 +Лз( P1G2 - Р2 Gi) +

+ (ki Р2 - k2 Pi) sз,

где N, R определяются равенствами (16), (23), соответственно, то, согласно выражению (52), равенство (8) примет вид

Q+(^3 qi + k3 Pi) S2- ^2 qi s3- k3 P2 si = 0

Поскольку это равенство является тождеством по переменным G3, S2, то имеем

(а3 03 + Л)Ч\ + к3 Р1 = 0,

в силу чего ч = 0 и интеграл (52) приводится к виду (15) или, если Г3 Ф 0, к виду интеграла с одной зависимой переменной.

В случае, при котором интеграл (6) задан в виде

Г (,; в, в, ) = к , (53)

условие его существования согласно равенству (8) выражается в форме

Q - (03 ч2 + к3 р2)51 + к3 рх + О ч2 = 0

и является тождеством по переменным О3, 51. В силу этого из уравнения

(а3Оъ + Л) Ч + Кр2 = 0

следует д2 ^ 0. Следовательно, интеграл (53)

приводится к виду интеграла (15) или, если

Г * 0, к виду интеграла с одной зависимой

переменной.

Рассматривая интеграл (6) в виде

F (t; G, G2, s) = h

(54)

и применяя стандартный прием [10], приведем этот интеграл к форме

F (t; G, G2, s, s2 ) = h,

(55)

относящейся к интегралу с четырьмя заданными зависимыми переменными. Исследование существования дополнительных интегралов вида (55) является предметом отдельного рассмотрения.

Аналогичным образом проводится анализ и для интегралов, идентичных формам (52)—(54), в которых пара переменных (О1, О2) заменена парами (О1, О3), (О2, О3).

Заключение

Таким образом, первый дополнительный алгебраический интеграл системы уравнений (4), (5) с тремя зависимыми переменными в классе программных структурно-динамических ограничений существует: в форме (41) — для обобщенного аналога классического случая Эйлера (21) или при центральной структурной симметрии СМС, определяемой условием (□), а в форме (33) — при шаровой кинетической симметрии системы. Обе эти формы реализуются на специальных управляющих связях. В частности, такими интегралами являются линейный и квадратичный по О] интегралы.

Исключая интеграл в форме (54), приводимый к виду (55) и в дальнейшем рассматриваемый отдельно, заключаем, что для системы уравнений (4), (5) дополнительные первые интегралы других видов с числом зависимых переменных меньше четырех не существуют.

Аналогичная задача для не изменяемого по величине массы и конфигурации абсолютно твердого тела постоянного состава в традиционно принятых для классической механики постановке и предпосылках рассмотрена в монографии [10].

Список литературы

1. Макеев Н.Н. Некоторые случаи интегрируемости уравнений движения тяжелого гиростата переменной массы // Проблемы механики управляемого движения: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. ун-т, Пермь, 1976. С. 99-104.

2. Макеев Н.Н. Интегралы сложных систем на управляющих связях / Саратовский поли-техн. ин-т. Саратов, 1989. 123 с. Деп. в ВИНИТИ 14.03. 89, № 1656-В89.

3. Макеев Н.Н. Интеграл Ковалевской для уравнений движения сложной механической системы // Вестник Пермского универ-

ситета. Математика. Механика. Информатика. 2019. Вып. 1(44). С. 22-30.

4. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М.; Л.: ОНТИ, 1937. 500 с.

5. Макеев Н.Н. О существовании первых интегралов движения управляемого гиродина // Дифференциальные уравнения и теория функций: сб. науч. тр. / Саратовский ун-т. Саратов, 1984. С. 58-64.

6. Макеев Н.Н. О некоторых движениях гиростата переменной массы в случае типа Эйлера // Проблемы механики управляемого движения: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. ун-т. Пермь, 1974. Вып. 6. С. 71-78.

7. Макеев Н.Н. Интеграл Горячева для уравнений движения сложной механической системы // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика.

2019. Вып. 1(44). С. 31-39.

8. Макеев Н.Н. Интеграл Гриоли для уравнений движения сложной механической системы // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика.

2020. Вып. 3(50). С. 41-49.

9. Макеев Н.Н. Линейный и квадратичный интегралы сложной системы / Саратов. политехн. ин-т. Саратов, 1989. 86 с. Деп. в ВИНИТИ 14.03.89, № 1657-В 59.

10. Архангельский Ю.А. Аналитическая динамика твердого тела. М.: Наука, 1977. 328.

On algebraic integrals of equations of motion of a complex mechanical system

N. N. Makeyev

Problems of Precision Mechanics and Control Institute Russian Academy of Sciences 24, Rabochaya st., Saratov, 410028, Russia nmakeyev@mail.ru; (845) 272-35-33

Criteria for the existence of certain types of algebraic first integrals of the equation of motion of a mechanical system of variable mass composition and variable configuration are given. The carrier body of the system (base body) rotates around a fixed pole in a stationary homogeneous gravity field under the influence of specified nonstationary forces. The types of partial integrals are indicated and restrictions are established that determine their existence.

Keywords: algebraic integral; criterion for the existence of a particular integral; integrability of a dynamic system; complex mechanical system.