ПОЛЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ СЛОЖНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

2021

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 2(53)

УДК 531.381; 531.395

Поле алгебраических интегралов уравнений движения сложной механической системы

Н. Н. Макеев

Институт проблем точной механики и управления РАН Россия, 410028, г. Саратов, ул. Рабочая, 24 nmakeyev@mail.ru; (845) 272-35-33

Приводятся критериальные условия существования некоторых видов алгебраических первых интегралов уравнений движения механической системы переменного состава массы и изменяемой конфигурации. Тело-носитель системы (базовое тело) вращается вокруг неподвижного полюса в стационарном однородном поле силы тяжести под воздействием заданных нестационарных сил. Указаны виды частных интегралов и установлены ограничения, определяющие их существование, для случаев, при которых число переменных, содержащихся в интегралах, больше трех.

Ключевые слова: алгебраический интеграл; критерий существования частного интеграла; интегрируемость динамической системы; сложная механическая система.

DOI: 10.17072/1993-0550-2021-2-37-44

1. Предварительные положения

Под полем алгебраических интегралов системы уравнений движения сложной механической системы (СМС) понимается полное многообразие этих интегралов, удовлетворяющее условиям постановки данной задачи.

Предполагается, что сложная механическая система [1, 2] движется так, что ее неизменяемая твердая основа (база) вращается вокруг определенного неподвижного полюса О в однородном параллельном поле силы тяжести под воздействием заданного результирующего силового момента L (t) (t е T = [0, + го)).

Введем правые координатные ортобази-сы Ц, Г2, Г3 с общим началом в полюсе О: неподвижный Ц; базис Г2, неизменно связанный с носителем, и базис Г3 (Охх2хз), оси Oxj (j = 1,2,3) которого для каждого момента времени t е Т направлены по главным в полюсе О осям тензора инерции СМС с матрицей J(t) = diag[ A1(t), A2(t), A3(t)].

В силу непрерывного по г е Т изменения конфигурации и состава массы СМС базис Г3 в общем случае вращается относительно Г2 с угловой скоростью юг (®;г) , зависимость которой от величин заданных компонент А] (^ тензора инерции СМС J (0 известна [2].

Таким образом, непрерывные и непрерывно дифференцируемые зависимости вида юг (0, J (0, отнесенные к базису Г3, считаются программно заданными и, следовательно, известными в любой момент времени г е Т.

Рассмотрим движение СМС под действием квазиреактивных сил [2], обусловленных переносом рабочего тела [2] из некоторой области ©, принадлежащей объекту, с программно заданной абсолютной скоростью и (0. Главный момент этих сил относительно полюса О для / е Т определяется как

ь () = х п)ау. (1)

0 ^

© Макеев Н. Н., 2021

Здесь p(t, r) - локальная плотность массы в области ©; u (t) - абсолютная скорость переноса точечных масс рабочего тела из ©; r (t) - радиус-вектор точки этой области. Обозначим

G = Jw + Gr, X (t) = wr - J—1Gr, (2) а (Ц, q2, Q) = w + wr = J-G + X, m(t) = A— (t) - A-'it) (1, 2, 3),

где w, a - абсолютные угловые скорости носителя СМС (базиса Г2) и базиса Г3; G (G.),

Gr (t) - кинетические моменты относительно полюса О всего объекта и рабочего тела, соответственно (последний — относительно базиса Г2); X (t) — эффективная угловая скорость

базиса Г ; Aj (t) (j = 1,2,3) — главные осевые

моменты инерции СМС, заданные для каждого t е T в осях базиса Г . Характерные вектор-параметры L (t), Gr (t) являются управляющими [2]; каждый из них задан программой, определенной во времени. Любые ограничения, налагаемые на заданные управляющие параметры, являются управляющими связями. Здесь и далее символ (1, 2, 3) обозначает циклическую перестановку величин с индексами 1, 2, 3. Величины с данными индексами, находящимися при компонентах векторов, относятся к проекциям этих векторов на координатные оси Oxj (j = 1, 2, 3).

Пусть M (t) — величина массы СМС в момент времени t; g — стандартное значение ускорения силы тяжести; s (S1, S2, S3) — орт, неизменно связанный с базисом Г такой, что

g = — gs; rc (t), r. (t) — радиус-вектор центра

тяжести системы и его ортогональные декартовы координаты в проекциях на оси базиса Г3 (j = 1, 2, 3).

Движение СМС при данных предпосылках характеризуется системой уравнений типа Жуковского-Пуассона [1, 3]

Уравнения (3) в проекциях на главные в полюсе О оси инерции СМС, определяемые базисом Г , принимают вид [1, 2]

G + J—*G X G + X X G = L + (s X k), s + J—XG x s + X x s = 0,

(3)

где вектор-момент Ь (Ь\, Ьг, Ьъ) определяется равенством (1); X = X^, \) - характерный вектор, определяемый равенством (2); к = Mgгс - барицентрический вектор.

GJ + Ф J = LJ + kJ + 2 SJ +1 — kJ +1 SJ + 2 : S J + Q J+1 Sj+2 — Q J+2 SJ+1 = 0

(4)

(j = 1, 2, 3),

Ф j = mj gj+1 gj+2 + +1 gj+2 — ^+2 gj+1, Qj = A— 1Gj +AJ (J = 1,2,3). (5)

Система уравнений (4), (5) при заданных программных структурно-динамических параметрах СМС является детерминированной многопараметрической системой эволюционного типа, аналитически замкнутой относительно переменных V = {Gj , Sj }.

Вопрос об интегрируемости в квадратурах данной системы уравнений сводится к проблеме существования дополнительного по Е. Уиттекеру [4] независимого интеграла. Если этот интеграл существует и объединенная система, составленная из общих первых интегралов и присоединенного к ним дополнительного интеграла, на некотором симплекти-ческом многообразии находится в инволюции, то данная система уравнений интегрируема по Буру-Лиувиллю.

В силу этого данный вопрос приводит к задаче о нахождении независимого первого интеграла данной системы уравнений, дополнительного к системе общих интегралов, если он существует. Каждый из независимых дополнительных интегралов данной системы уравнений явно зависит от определенной части переменных множества V. В частности, аналог классического интеграла Лагранжа (линейный интеграл уравнений движения СМС) [2, 5] - от одной переменной Gj; аналог интеграла Эйлера [2, 6] - от трех переменных Gj ; аналоги интегралов Ковалевской [3] и Горячева [7] - от четырех переменных Gj, Sk (j, k = 1, 2, 3). Аналогичные случаи зависимости от части переменных множества V имеют место и для аналогов линейных интегралов Гесса [2] и Гриоли [2, 8].

В связи с этим ставится задача: на многообразии возможных значений W (G, s) определить структурно-динамические ограничения и управляющие связи, при реализации которых для системы уравнений (4), (5) на заданном гладком многообразии существует независимый алгебраический первый инте-

грал Е(С, 8) е С2, определенный в области (С, 8) фазового пространства, и находящийся в инволюции с общими интегралами данной системы. □

Такая постановка задачи предполагает существование к независимых дополнительных первых интегралов, каждый из которых может быть определен в соответствующей подобласти Бк с В.

Поскольку каждый из дополнительных интегралов системы уравнений (4), (5), как частный интеграл, может существовать лишь при определенных структурно-динамических и начальных условиях, данную задачу следует рассматривать как задачу нахождения элементов интегрального многообразия динамической системы в предположении, что это многообразие заведомо не является пустым.

2. Задача о существовании дополнительных интегралов

Рассмотрим решение поставленной выше задачи в классе однозначных алгебраических функций С 2 (С, 8) и составим основное (базовое) уравнение, порождающее дополнительные первые интегралы динамической системы (4), (5). Представим искомые интегралы в общем виде:

Е (г; О, 02, 03; ^, , ) = к, (6)

где Е - алгебраическая функция заданных переменных, к — постоянная интегрирования.

Как известно [4], критериальным условием существования первого интеграла (6) данной системы уравнений является равенство нулю скобки Пуассона (коммутатора) от функции Е и гамильтониана данной системы, заданных на симплектическом многообразии. Согласно этому имеем

(Ус Е • <5) + (V, Е • 8) = 0.

(7)

Равенство (7) в силу уравнений системы (4), (5) является тождеством, выполняющимся при определенных ограничениях, наложенных на структурно-динамические параметры данной системы. Эти ограничения и определяют искомые случаи существования дополнительных первых интегралов вида (6) для исходной системы уравнений.

Следует ожидать, что искомые интегралы, если они существуют, явно зависят лишь от части переменных, содержащихся в равенстве (6). Такая закономерность, в частности,

имеет место в классических случаях интегрируемости для твердого тела, движущегося в однородном поле силы тяжести [4].

Равенство (7) в силу уравнений системы (3) является тождеством по всем переменным О] и по любым двум переменным Sj.

Выражение (7) в силу соотношения (6) может быть представлено в виде

3

Е +Е [(11 + к1+2 ¿1+1 " к1 +1 ¿1+2 " 1 =1 (8)

- Ф ,) р] + О ,+2 ^+1 - О ,+1^+2 ) Я. ] = 0, где обозначено

дЕ дЕ д Е

Е = —, Р, = —, Я, = — (1 =1, 2,3).

' дг 1 дО/ 1 д

Соотношение (8) является тождеством по всем переменным О] и по любым двум переменным Sj, удовлетворяющимся при определенных заданных структурно-динамических условиях, наложенных на параметры системы уравнений (4), (5). Совокупность этих условий составляет критериальный признак существования данного первого дополнительного интеграла.

Рассмотрим возможные случаи решения поставленной задачи.

3. Дополнительные интегралы

с четырьмя переменными

Пусть дополнительный интеграл (6) системы уравнений (4)—(5) задан в виде

Е (г; О, О, ^ , ¿2) = к, (9)

для которого соотношение (8) будет

£ + (аз ° +Лз)(Я! ¿2 - Я +

+ (О1 Я - О2 Я1) ¿3 + к3 (Р\ ¿2 - Р2 = 0.

(10)

В равенстве (10) и далее обозначено е=я(Р1,Р2) - N(Р1,Р2)03 +

+ Л (Р1 02 - Р2 01 ) + (к1 Р2 - к2 Рl)s3, Я (Рl, Р2) = Е + Р1А + Р2

щ = т0 - Л, щ = тО + Л, щ = тО + Л,

N(Рl, Р2) = РЩ + Р2 Щ1 , а1 = 1 О = 1,2,3).

Введем управляющую связь и условие частичной стабилизации центра масс СМС, соответственно [2]:

О; (г) = Асо;, ; ($) = 0 (г еТ), (11)

а также ограничение

R (А, P2) = 0,

к которым присоединим управляющую связь

р А + P2 L2 = 0. (12)

Для линейного по Gl, G2 интеграла (9) условие (11) переходит в соотношение

^ L + ^ Ц. = о.

Исключая этот случай, имеем р^ = р^ (О1, О2)

а = 1, 2).

Для интеграла вида (9) примем условия

и уравнение

Ц(0 = Ц2(Г) = 0 ^ еГ),

(13)

при которых условие (12) тождественно удовлетворяется, а интеграл (9) в силу условий (13) принимает автономную форму:

Рассмотрим интеграл вида (14) при ограничениях (11), (13). Поскольку равенство (10) является тождеством по переменной Оз, то в силу принятых условий имеем

$1 (Р) = N(Pl, Р2) - а3(4 *2 - 42 = 0

(15)

$ 2(Р) = К2 Р1 - К1 Р2 +^2 41 42 = 0 Здесь и всюду далее Ф . (/ = 1,... , 5) - символы линейных по Pj, 4 операторов. Обозначим:

ГЛ / Ш дМ

а, = а£2,+ (-1) а? -,

1 3 1 1 др

3-/

2 = (- 1)У+1 [(аз-у А3 да3-; +

+ (- 1)1 аОт--а-3-/],

д р. 1

°/ + 4 = 2а3-/ Щ-/ + (- 1)У а/а3 (/ = 1 2)-

Для операторов Ф/ введем скобку

Пуассона (коммутатор двух векторных полей на заданном многообразии) [9, с. 179]

$3 (Р) = [Ф 2, $1] = к2 т2 Р2 - К ЩР1 +

+ 01 41 + °2 42 , Ф4 (Р) = [$3, $1] = т т2 (кр - К Р2) +

+ а3(^3 41 +СТ4 42 ) , $5 (Р) = [$3, $2] = Каъ41 + кхОб42

$3(Р) = 0.

(16)

Полагая, что независимые уравнения (15), (16) образуют полную систему уравнений [10], отметим, что операторы $, $ в силу этого являются линейными комбинациями скобок Пуассона $ . (/ = 1,2,3). Следовательно, имеем

А(Р) = 0 С* = 1,2),

(17)

где А , А — определители систем уравнений $ (Р) = 0 с неизвестными р , 4. для а = 1, ... , 4 и ] = 1, 2, 3, 5, соответственно. При этом

(14) А =

щ щ а *2 а3 *1

к2 - к -01

кт к2 т2

к2щт2 -кхщ т2 а а3а4

а выражение для определителя ^2 находится заменой в определителе 0\ последней строки на следующую:

[0 0 к2&5 К1^6].

Согласно теореме существования независимых решений системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка [10] соотношения (17) составляют критерий существования по крайней мере одного решения системы уравнений (15) и, следовательно, интеграла (14).

Уравнение А = 0 (17) приведем к виду, при котором в определителе 0\ последняя строка заменена на [0 0 /х /2 ], где

// = а3 &/+2 +(-1) 1 т т «3-/ и = 1, 2) •

Соотношения (17) должны удовлетворяться тождественно по ^, , * , *2 .

В силу этого слагаемые данных равенств, содержащие общий коэффициент азР [11], обращаются в нуль тождественно по переменным S2 при выполнении по крайней мере одной из групп следующих условий [2]:

• Случай 1: при ) = А (?)Е ;

• Случай 2: при г ) = Г ) = 0; (18)

• Случай 3: при А (*) = А (*), Г (*) = 0

(1 = 1,2),

• Случай 4: К (г) = т;2 - щгГ^ Ф 0,

А (г) = А2 (г) = 2А3 (г), Л (г) = Л (г) = 0,

• Случай 5: К (г) = 0, щ (г) Ф 0,

; (г) Ф 0 (1 = 1,2).

В равенствах (18) обозначено: Е — единичная матрица, А (г) — собственное значение оператора инерции СМС для случая центральной структурной симметрии системы.

Ограничения (18) в случае 4 эквивалентны условиям = /2 = 0, причем

(А1 = А2 = 2А3) ^ (а5 = а6 = 0), (а)

поскольку последние условия приводят к равенствам

2(А3 - А3-1) + А., = 0 (1 = 1,2). (19)

В дальнейшем применяются структурные условия (18) для случая 5, имеющие вид

т., (г) Ф 0, Г (г) Ф 0 0' = 1,2). (20)

Соотношения (17) при условиях (18), (20) удовлетворяются тождественно по О1, О2, если на управляющей связи [2]

о; = А^; = 0 (1 = 1,2), (21)

при которой управляющий вектор X коллине-арен оси структурной симметрии СМС, выполняются ограничения (19), приводящие к условиям (а). Эти условия, принятые совместно с ограничениями (21), содержатся в структурно-динамических соотношениях, определяющих существование аналога интеграла Ковалевской для СМС [3].

При данных структурных условиях соотношение (18) для случая 5 в виде К = 0, рассматриваемое при А1 Ф А3, принимает вид ;2 + ;22 = 0, откуда ; (г) = ; (г) = 0, что противоречит условиям (20). Следовательно, соотношения (17), рассматриваемые при условии (18) в случае 5, не выполняются.

Таким образом, в силу ограничений (13), (18), условия [2]

С (г) = ^ х (г) = 0 (в)

и второго условия (11), полученные структурно-динамические условия соответствуют следующим аналогам случаев существования интеграла вида (14), определяемым соотношениями (18): центральной структурной сим-

метрии (случай 1); Эйлера-Жуковского (случай 2 при Г3 = 0 согласно условию (11)); Ла-гранжа (случай 3); Ковалевской (случай 4).

Из всех приведенных случаев интеграл вида (14), независимый по отношению к другим интегралам данной системы, существующим при указанных условиях, имеет место только для обобщенного аналога случая Ковалевской [3]. Это утверждение справедливо и для интегралов вида

F (Gj, G3, sp S3) = h (j = 1,2),

однотипных с интегралом вида (14).

Таким образом, не существует дополнительного первого интеграла, независимого по отношению к обобщенному интегралу Ковалевской, зависящего от двух переменных Gj и величин Sj (j = 1, 2, 3). Этот результат допускает обобщение на случай, когда, в противоположность условию Г3 = 0, имеем Г3 ф 0. Пусть теперь интеграл (6) имеет вид

F(t; G,G,G,S) = h. (22)

Тогда, в соответствии с представлением (22) соотношение (8) принимает вид

F + (Р • L) + (k х p + q3 w) s +

+ (П х p) G = 0, ( )

где обозначено

w = w(П2,-Qi,0), p = p(pj) (j =1,2,3).

Введем ограничение

Ft + (p • L) = 0, (24)

которое при L = 0 позволяет от интеграла (22) перейти к его стационарной форме:

F (G, G, G, S ) = h, (25)

рассматриваемой в дальнейшем.

К интегралам вида (25) относится обобщенный аналог интеграла Горячева [7]:

(G + G2)G - 4nsG = h , (26)

где (n = const), критериальные условия существования которого известны [2].

Рассмотрим вопрос о существовании дополнительных первых интегралов системы уравнений (4), (5) вида (25), независимых по отношению к другим интегралам системы.

Так как равенство (23) является тождеством по переменной S2, то, согласно условию (24), имеем

$ (Р) = к3Р\ - кр - ^ 4 = 0,

(27)

(28)

$ 2 (Р) — ^ • р) + 02 *143 = 0 где вектор W (^ ) определяется равенством

w = (а х в) + к х $,

в котором *2 (£) ^ 0.

Обозначим

V = т О +Л, V = т О -Л, V = тО -Л, 0 = (2О - )к + щк, 02 = Щ2 к1 + 01 к2, введем операторы

$3( Р) = [$ 2, $1] = 01Р 2 - 02Р1 +

+ у2к3Рз + аЩъ,

$4(Р) = [$3, $1] = к3[а1 кР1 +

+ (2 т2 - а1) ] + 2 а102 43 ,

$5 (Р) = [$3, $2] = - (V 01 + 2а к^ +

+ тк^2 + щ^к)Р + + (2а -

- т2) к1 + т2 к3^3 - Щ1 V к3]Р2 + (^2 02 -

- + т3 ^2^3 + [(а2 01 - а1 к2 02) *1 +

+ а (уз^2 + )]43 и составим уравнение

$3(Р) = 0. (29)

Поскольку равенства (27), (29) образуют полную систему независимых уравнений, то, аналогично предыдущему, получаем условия вида (17) (^-условия), составленные для операторов (28) и системы уравнений (27), (29). Система этих ^-условий составляет критерий существования дополнительного интеграла вида (25).

Из полученных ^-условий, являющихся тождествами по , * (/ =1,2,3), следуют

нижеприведенные аналоги случаев, при которых эти тождества удовлетворяются в заданном классе программных ограничений:

• Случай центральной структурной симметрии СМС, определяемый условием (18), пункт 1, на управляющей связи (в);

• Случай Эйлера-Жуковского, определяемый условием (18), пункт 2, при дополнительном условии гз = 0;

• Обобщенный случай Лагранжа-Пуассона, соответствующий условиям (18), пункт 3, на управлении (21).

Ни в одном из этих случаев невырожденный интеграл вида (25) не существует. Следовательно, интеграл (26) является единственным представителем класса дополнительных первых интегралов вида (25).

Это утверждение относится также и к интегралам вида

Р(01, 02, в3, ) = Н (1 = 1,2),

однотипным с интегралом (25).

Если интеграл (6) имеет форму

Р(V; 01, *1, *2, *3) = Н,

то в силу тривиального интеграла системы (4), (5) он приводится к интегралу с тремя переменными вида

Р (£; 0 , *2 , * ) = Н,

рассмотренному в работе [11]. К этому же виду приводятся однотипные интегралы вида

Р(?; О/, *1, *2, *э) = Н (1 = 2,3).

4. Дополнительные интегралы с числом переменных более четырех

Рассмотрим случаи существования дополнительных интегралов, содержащих пять и шесть переменных О., * • (/ = 1, 2, 3). Если интеграл (6) имеет вид

Р (Р;0,0, *, *2, *з) = Н

(30)

то в силу тривиального интеграла системы (4), (5) он приводится к виду интеграла (9). Это же относится и к интегралам вида

Р (Щ , 03, ^ *2 , *3) = Н О = 1,2),

однотипным с интегралом вида (30).

Пусть интеграл (6) представлен в форме

Р ад, 02, О3, *1, *2) = Н

(31)

и является независимым по отношению к интегралам данной системы уравнений.

Рассмотрим интеграл (31), определенный на многообразии структурно-динамических параметров СМС, для которого вместе с равенством (31) существует интеграл [2]:

($ • в) = Н (Н = сопЛ).

(32)

Исключая из соотношения (32) величину 5з в силу тривиального интеграла, получим равенство

+ ± 1 - - = Н, (33)

также являющееся первым интегралом системы уравнений (4), (5). Исключая затем из равенства (31) одну из компонент О] в силу соотношения (33) (например, О3), приведем интеграл (31) к виду интеграла (9).

Аналогичное приведение может быть совершено и для интегралов вида

Е(г; 0„О2,О3,,¿3) = к (1 = 1,2), (34)

однотипных с интегралом (31).

В случае, при котором интеграл (6) содержит шесть переменных О., £ •, в силу тривиального интеграла, существующего для любых СМС, он приводится к одной из форм интегралов (31), (34).

Итак, дополнительный интеграл, содержащий более четырех переменных О/, Sj при ограничениях, заданных на допустимом множестве программных управлений, приводится к форме, содержащей по крайней мере четыре данных переменных. Следовательно, дополнительный первый интеграл системы уравнений (4), (5) с числом заданных переменных более четырех, независимый по отношению к остальным первым интегралам этой системы, не существует.

Заключение

Классическая задача о нахождении условий существования дополнительного алгебраического интеграла системы уравнений Эйлера-Пуассона для неизменяемого твердого тела была поставлена С.В. Ковалевской.

Отметим, что первый интеграл системы уравнений (6) является алгебраическим, если функция Е — алгебраическая и, следовательно, может быть представлена в виде линейной комбинации полиномов различных степеней от переменных О. ^ (1 = 1, 2, 3) [12,13].

Задача о существовании многообразия дополнительных по Уиттекеру [4] алгебраических интегралов уравнений движения СМС, содержащего неполное количество (менее шести) определяющих переменных, включает несколько случаев, соответствующих числу выделенных переменных.

Эти случаи, рассмотренные в работе [11] и в настоящей статье, объединены единой парадигмой, устанавливающей общую картину построенного интегрального многообразия уравнений движения СМС в классе задач, относящихся к однородному полю силы тяжести.

В результате проведенного анализа установлены следующие типы алгебраических первых дополнительных интегралов.

Интегралом, содержащим четыре переменные, образующие пары величин Gj, Sj с одинаковыми индексами j = 1, 2, 3, является обобщенный аналог интеграла Ковалевской

[3]. Других первых интегралов данного вида, независимых по отношению к этому интегралу, данная система уравнений не имеет.

Интегралом, содержащим четыре переменные: три величины Gj и одну Sj, является обобщенный аналог интеграла Горячева [7]. Других первых интегралов этого вида, независимых по отношению к данному интегралу, исходная система уравнений не имеет.

Интегралы, зависящие от одной из величин Gj и трех переменных Sj, не существуют.

Дополнительные первые интегралы, содержащие более четырех переменных Gj, Sj, на непустом непрерывном множестве программных ограничений, не существуют.

Таким образом, для системы уравнений

(4), (5) на допустимом структурно-динамическом ограничении не существуют новые дополнительные алгебраические первые интегралы, содержащие четыре и более переменных, независимые по отношению к упомянутым выше. К таким интегралам относятся обобщенные аналоги классических первых интегралов Ковалевской и Горячева [3, 7].

Аналогичная задача для неизменяемого твердого тела постоянного состава массы и неизменяемой конфигурации в традиционно принятой классической постановке рассмотрена в монографии [13], а также в статье [14].

Список литературы

1. Макеев Н.Н. Некоторые случаи интегрируемости уравнений движения тяжелого гиростата переменной массы // Проблемы механики управляемого движения: межвуз. c6. науч. тр. / Перм. ун-т, Пермь. 1976. С. 99-104.

2. Макеев Н.Н. Интегралы сложных систем на управляющих связях / Саратовский поли-техн. ин-т. Саратов, 1989. 123 с. Деп. в ВИНИТИ 14.03. 89, № 1656-В89.

3. Макеев Н.Н. Интеграл Ковалевской для уравнений движения сложной механической системы // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2019. Вып. 1(44). С. 22-30.

4. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М.; Л.: ОНТИ, 1937. 500 с.

5. Макеев Н.Н. О существовании первых интегралов движения управляемого гиродина // Дифференциальные уравнения и теория функций: сб. науч. тр. / Саратовский ун-т. Саратов, 1984. С. 58-64.

6. Макеев Н.Н. О некоторых движениях гиростата переменной массы в случае типа Эйлера // Проблемы механики управляемого движения: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. ун-т. Пермь, 1974. Вып. 6. С. 71-78.

7. Макеев Н.Н. Интеграл Горячева для уравнений движения сложной механической системы // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика.

2019. Вып. 1(44). С. 31-38.

8. Макеев Н.Н. Интеграл Гриоли для уравнений движения сложной механической системы // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика.

2020. Вып. 3(50). С. 41-49.

9. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974. 432 с.

10. Гюнтер Н.М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных. М.; Л.: ОНТИ, 1934. 359 с.

11. Макеев Н.Н. Об алгебраических интегралах уравнений движения сложной механической системы // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2021. Вып. 2(53). С. 29-36.

12. Макеев Н.Н. Линейный и квадратичный интегралы сложной системы / Саратовский политехн. ин-т. Саратов, 1989. 86 с. Деп. в ВИНИТИ 14.03.89, № 1657- В 59.

13. Архангельский Ю.А. Аналитическая динамика твердого тела. М.: Наука, 1977. 328.

14. Богаевский В.Н. К вопросу об общих интегралах уравнений движения твердого тела в жидкости // Прикладная математика и механика. 1966. Вып.4. С. 782-783.

The field of algebraic integrals of equations of motion of a complex mechanical system

N. N. Makeyev

Problems of Precision Mechanics and Control Institute Russian Academy of Sciences 24, Rabochaya st., Saratov, 410028, Russia nmakeyev@mail.ru; (845) 272-35-33

Criteria for the existence of certain types of algebraic first integrals of the equation of motion of a mechanical system of variable mass composition and variable configuration are given. The carrier body of the system (base body) rotates around a fixed pole in a stationary homogeneous gravity field under the influence of specified nonstationary forces. The types of partial integrals are indicated and restrictions are established that determine their existence.

Keywords: Algebraic integral; criterion for the existence of a particular integral; integrability of a dynamic system; complex mechanical system.