CC BY
62022
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
• Математика. Механика. Информатика •
Вып. 4(59)
Научная статья
УДК 531.381; 531.395
DOI: 10.17072/1993-0550-2022-4-29-35
Квазиперманентное движение сложной механической системы
Николай Николаевич Макеев
Саратов, Россия, nmakeyev@mail.ru, https://orcid.org/ 0000-0003-2807-977X
Аннотация. Исследуется движение механической системы с переменным составом массы и изменяемой геометрической конфигурацией, непрерывно изменяющимися во времени согласно заданной детерминированной программе. Свободная механическая система движется относительно центра масс под воздействием реактивных, вариационных, кориолисовых и линейных диссипативных сил так, что ее центр масс не перемещается относительно неизменяемой основы системы (тела-носителя). Движение частиц изменяемой части системы (присоединенных масс - рабочего тела) относительно носителя совершается непрерывно во времени и имеет безударный характер, определяющийся заданной управляющей программой. Рассматривается задача о нахождении необходимых условий существования системы, при которых одна из компонент абсолютной угловой скорости неизменяемой части системы постоянна (квазиперманентное движение). Эти условия интерпретируются как управляющие связи, наложенные на механическую систему, реализующие квазиперманентное движение. Данная задача решается с применением метода интегрального многообразия системы уравнений движения исследуемого объекта.
Ключевые слова: сложная механическая система; квазиперманентное движение; управляющая связь; интегральное многообразие
Для цитирования: Макеев Н. Н. Квазиперманентное движение сложной механической системы // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2022. Вып. 4(59). С. 29-35. DOI: 10.17072/1993-0550-2022-4-29-35.
Статья поступила в редакцию 01.11.2022; одобрена после рецензирования 08.11.2022; принята к публикации 10.11.2022.
Research article
Quasi-permanent Motion of a Complex Mechanical System
Nikolay N. Makeev
Saratov, Russia, nmakeyev@mail.ru, https://orcid.org/ 0000-0003-2807-977X
Abstract. The motion of a mechanical system with a variable mass composition and variable geometric configuration is studied, continuously changing in time according to a given deterministic program. A free mechanical system moves relative to the center of mass under the influence of reactive, variational, coriolis and linear dissipative forces so that its center of mass does not move relative to the unchanging basis of the system (the carrier body). The motion of the particles of the changeable part of the system (attached masses -the working body) relative to the carrier is continuous in time and has a shock-free character determined by a given control program. We consider the problem of finding the necessary conditions for the existence of the system under which one of the components of the absolute angular velocity of the unchanging part of the system is constant (quasipermanent motion). These conditions are interpreted as control relations imposed on the
Эта работа О 2022 Макеев Н. Н. лицензирована под СС ВУ 4.0. Чтобы просмотреть копию этой лицензии, посетите http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
mechanical system, realizing quasipermanent motion. This problem is solved using the integral manifold method of the system of equations of motion of the object under study.
Keywords: complex mechanical system; quasi-permanent motion; control connection; integral manifold
For citation: Makeev N. N. Quasi-permanent Motion of a Complex Mechanical System // Bulletin of Perm University. Mathematics. Mechanics. Computer Science. 2022;4(59):29-35. (In Russ.). DOI: 10.17072/1993-05502022-4-29-35.
The article was submitted 01.11.2022; approved after reviewing 08.11.2022; accepted for publication 10.11.2022.
1. Основные предпосылки
Объектом исследования является механическая система, структурная модель которой предполагает непрерывное изменение во времени состава массы и ее геометрической конфигурации [1], задаваемое априорно построенной для / е [0, +<х>) = Т управляющей программой. Эта программа определяет совокупность структурно-динамических параметров механической системы (в том числе и управляющих параметров) так, что система ее динамических уравнений является аналитически замкнутой относительно основных переменных - компонент вектора угловой скорости. При этом возможные ограничения, налагаемые на управляющие параметры системы, интерпретируются как управляющие связи, устанавливающие определенный режим состояния данной системы. Такого рода объекты, идентифицированные с описанной структурной моделью, названы сложными механическими системами (СМС).
Таким образом, механическая система с переменным составом массы, а также система с изменяемой геометрической конфигурацией являются частными видами СМС.
2. Предварительные положения
Введем правые координатные ортобази-сы Гх, Г2 с общим началом в точке С, совпадающей с центром масс СМС: базис Г, неизменно связанный с носителем системы (структурно неизменяемым абсолютно твердым телом), и базис Г {С ххх), оси Сх^ которого для каждого t е Т направлены по главным в полюсе С осям тензора инерции СМС с матрицей 1(/) = diag \А1(г), А2(г), А3(0].
В силу непрерывного по t еТ изменения конфигурации и состава массы СМС базис Г в общем случае вращается относительно базиса Г с угловой скоростью (а') , зависимость которой от времени t, величин
A (t) и компонент V (t) (j = 1,2,3) относительной скорости частиц рабочего тела vr (t ) известна и приведена в работе [2].
Таким образом, непрерывные зависимости вида vr (t), юг (t), J (t), отнесенные к базису Г2, считаются программно заданными и, следовательно, известными в любой момент времени. При этом предполагается, что центр масс С СМС для t е T не перемещается относительно базиса Ц в силу выполнения достаточных условий его стабилизации.
В дальнейшем рассматривается движение относительно центра масс свободной от связей СМС под воздействием внешних сил. Это воздействие определяется результирующими моментами относительно полюса С следующих сил [1]:
— реактивных Lr (Lr ), обусловленных переносом рабочего тела за границы области D;
— вариационных Lv (Lj ), возникающих при переменной скорости этого переноса vr (t);
— кориолисовых сил инерции LK (LKj ) ;
— линейных диссипативных сил с результирующим моментом
LD (t, w ) =- Л(0 w, (1)
где обозначено: ю — абсолютная угловая скорость носителя СМС,
Л^) = diag [\(t), ), Хф)],
Х- (t ) — заданные нестационарные диссипатив-ные коэффициенты;
LK = A(t) w,
au ai2 ai3 "
A (t) = a2l — a22 a23
a3! a32 — a33_
где элементы матрицы A есть [3]
a11(t) = 2 Jp(х2 v2 + х3 vr ) dV (1, 2,3), (3)
D
atj (t) = 2fpxJ v]dV (i, j = 1, 2, 3; i Ф j).
D
В равенствах (3) D — ограниченная одно-связная область, занимаемая рабочим телом СМС; р (t, r) — локальная плотность рабочего
тела (функция класса C0); r (Xj) — радиус-вектор
текущей точки области D. Символ (1, 2, 3) здесь и всюду далее обозначает циклическую перестановку величин с индексами 1, 2, 3, каждый из которых относится к проекции вектора на соответствующую ось координат базиса Г2.
В дальнейшем предполагается, что на СМС не воздействуют другие внешние силы (через контактное воздействие или путем влияния силовых полей), помимо указанных выше.
Динамические уравнения, определяющие состояние СМС при условиях, содержащихся в принятых предпосылках, в проекциях на оси координат базиса Г2 имеют вид [4]
A(а\ + аг2щ - + (А3 - А2)а2аъ =
= Lr+ Lv+ LK+ Ld (1,2,3).
В силу соотношений (1)—(4) уравнения движения свободной СМС в проекциях на оси базиса Г2 имеют вид [3]
а1+a1a2a3 +(bx • ш) = F1 (l, 2,3), (5) где b n = [bni ]T (n - фиксировано, i = l, 2,3 ). В уравнениях (5) обозначено [3]:
ai(t) = A-ЧA3 - A2), bu(t) = A-1 (au +Л), bi2(t) = - К + A1 ai2), bi3 (t) = а - A[1 ai3,
(6)
-is tv . TV
Fi(t) = A-L + L) (1,2,3).
В равенствах (6) обозначено: А-(г) -
главные центральные осевые моменты инерции СМС (собственные значения оператора инерции); Я- (г) - диссипативные параметры системы. При этом циклической перестановке индексов в величинах щ, Ъ^ , определяемых
равенствами (6), подлежат значения всех индексов / , / В определяющих соотношениях (4), (5) величины а^, ау, Ьу, ^ (, - = 1,2,3)
полагаются программно заданными для г е Т явными функциями I, обладающими необходимой степенью аналитической гладкости. В силу этого основная ДС (5) аналитически замкнута по величинам со■.
Система уравнений (5) определяет динамику СМС с реактивным приводом относительно центра масс в режиме авторегулирования, соответствующую модельной схеме Р. Граммеля для неизменяемого твердого тела постоянного состава массы [5]. В соответствии с принятыми предпосылками эта система уравнений соответствует эволюционной детерминированной динамической модели данного объекта [3].
3. Постановка задачи
Из множества возможных движений СМС, определяемых системой уравнений (5), выделим класс движений механической системы, для которого при t gT существует первый интеграл вида
a (t) = const = p. (7)
Предполагая, что выделенное подмножество значений заведомо не является пустым, определим аналитические условия, при которых интеграл (7) существует. Эти условия будут являться необходимыми условиями его существования и будут выражаться ограничениями, наложенными на структурно-динамические параметры данной СМС. Данные ограничения будут являться управляющими связями [6], если они будут содержать параметры, управляющие текущим состоянием механической системы (управляющими параметрами). Указанные связи будут определять характер относительного (по отношению к базису Г) движения рабочего тела системы при заданных управлениях F. (t) (j = 1, 2, 3).
По классификации П.В. Харламова [7] динамическая система, для которой имеет место интеграл вида (7), является системой с одним линейным интегралом. Вместе с тем, этот интеграл, если он существует, можно интерпретировать как дополнительный по Е. Уиттекеру [8] первый интеграл динамической системы (5).
При данных предпосылках следует ожидать, что для системы (5) первый интеграл вида (7) может существовать на некоторых программных управляющих связях или, по крайней мере, для отдельных значений начальных условий [9]. Аналогичная задача для случая движения СМС в пассивном режиме внешнего управления рассмотрена в работе [10] и в простейшем случае — при определенном движении, происходящем под воздействием системы реактивных сил и специальном заданном относительном движении рабочего тела СМС — в монографии [11, с. 272].
4. Необходимые условия
Получим требуемые условия, полагая, что для t еТ выполняется а3 Ф 0 (Л1 Ф А2). Если интеграл (7) существует, то [12] (Ъ3 ^) = сд3 (t) = 0 ^ е Т),
откуда в силу третьего уравнения системы (5) следует
3
а3 + ^ = - (®з = Р), (8)
1 = 1
3
аъ + ^[¿3;®; + (а ®з-у + 1=1
+ ¿31 а ] = /3 (а = 0). (9) Обозначим
k (t) = а31 а3 - tr B,
3
tr B = S h ,
j = i
(10)
и введем ненулевые антисимметрические векторы Ь3 (¿31, ¿32, ¿33)' Ь3 (613' ¿23 ' ¿33). Пусть
^) = (Ь3 • Е) - //3,
т1(0 = ¿31 - (¿l1 + ¿33) ¿31 - ¿21 ¿32 + а3 —2 (1,2),
т (t) = ¿33 - (ь • Ь3),
) = а2 ¿32 + а3 ¿23 (1,2).
Из равенства (9) в силу уравнений (5) и соотношений (10) следует
a- Q- Q>^2) +
+ а + А а2 + mp + m = 0,
(11)
где обозначено
С = a2p+bi, А = m - Кр (1,2).
Выделим класс движений СМС, при котором для t е T выполняется условие
аъ(oY + Ъ32 Ф 0.
Исключая из соотношения (11) величину Фг в силу равенства (8) и условия (12), в
результате получаем
&(©!) - (0®К = 0,
(13)
k = 0
4,(0 =Z Cs0 PS , 4(0 =Z Cs! PS
s = 0 s = 0
A (t) = CllP + C02, A (t) = clsp + C0s (s = 3,4),
c30(t) = а1 а3 Ъ33.
С20(0 = [а3(¿l2¿33 - 2а1 /3) - £,¿32]¿33,
С21(0 = (2 al¿31 - Ю а3 ¿33,
с10 (t) = аа^з + £¿32 - 2 а^^з) / +
+ (^2 ¿33 - т3 ¿32) ¿32 , С00^) = а3 ¿12—3 - т2 ¿32—3 - т0 ¿32, % (0 = (т2 ¿31 - т1 ¿32 - 2а3 т0) ¿32 -- (2 ¿^¿31 + ^¿32) а3 ^ С02(0 = [(¿12¿31 + т2) ¿31 + (¿21¿32 - 2) ¿32 +
+ ¿¿32 - а—)к - а3ш0]а,
С03 (t) = (2 ¿21 ¿32 + ^31 - т1) а32 , С04^) = а33 ¿21 ,
си (t) = (£¿32 + 2 ¿^¿31) - (2 ат +
+ £2 ¿31 - £1 ¿32) ¿32 + (£2 - 2 а1 ¿31) а3 -3 , С12 (t) = [(а2 ¿32 + 2 К) ¿32 + (^33 -
- ¿^¿31 - т) а ] а,
с13^) = (2 а2 ¿32 + £1) aз2,
) = а2 а33.
Равенство (13) представляет собой полином, вид которого соответствует виду определяющего полинома, содержащегося в аналогичной модельной задаче [13]. Это равенство является тождеством по переменной в силу чего полагаем
Л, (0 = 0 (г = 0,..., 4). (14)
Условия (14) приводят к следующим структурным ограничениям:
а2р + ¿21 = 0, (15)
а3—2 (t) = ах р + а2 ¿31 + - ¿31, (16)
(12) F3(t) = -j Ш^Г) rfr], (17)
где обозначено:
а3 Ъ^ F1(t) = /2 (t), (18)
Ъ32Ф (t) + P3(F3) + £(p) = 0. (19)
В равенствах (16)-(19) обозначено:
(t) = К + 2а2Ъ32, а2 (t) = К + Ъи + Ъ33,
3
2
0
/(У) = exp |^ + Ъ33)dт,
о
Ф (t) = (^0 - а3 Р3) Ъ + Ъ32 (^3 - Ъ32
Р(*3) = 2 Ъп (У) (^3) п,
п = 0
3
& (р) = 2 сп (t) рп,
п = 0
Ъо(t) = Ъ32 - Ъ12Ъ31 - Ъ22Ъ32,
Ъ (У) = - [2ага3Ъ33р2+ (2а3Ъ12Ъ33 -
- k2 Ъ32)Р + Ъ0 Ъ32],
Ъ (У) = а3Ъ12, Ъ (О = ага3Р,
^) = а3 Ъ33Р - Ъ31Ъ32 , ) = (ДЪ33 + А Ъ32) Ъ32 , С2 (У) = (а3Ъ12Ъ33 - k2Ъ32)Ъ33 , С3 О) = а1 а3 (Ъ33)2'
Л (t) = (Ъ3-31 Ъ32) * Ъ33 - Ъ12Ъ31 , ) = Ъ13Ъ31 + Ъ23Ъ32 - Ъ22Ъ33.
Величины / (У), / (У), содержащиеся в равенствах (17), (18), в силу выражения (16) определяются соотношениями
/ (У) = а3-1 [(а3-1 с,2 - 3Ъ32СТ1)р + «Ъ32]
/2 (У) = #1Р 2+ #2 Р + #3 ¥2 + #4 ^3 +
(20)
+ #5 ^3 + #6,
где зависимости ^, выражаются равенствами (16), (17). В соотношениях (20) обо-
значено:
т(У) = а31(аЪ 1)* - (3k + Ъз)^ - 6Ъ21Ъ
32 '
#1(У) = а3(а1Ъ31 - а3Ъ13)Ъ33 ,
#2 (У) = а3 Ъ33(2 Ъ12Ъ31 + ЛЪ32) +
+ Ъ32 (£^2 - к2Ъ31 - 2а3т3)
#3(у) = - -аз(Ъз2)2,
#4(У) = а3[(Л2 - 2а1 Ъ31) Р -
- 2(Ъ12Ъ31 + Ъ32Ъ33) + ^32^ #5(У) = 2а3 Ъ32 ,
#б(У) = МА^'+Л Ъ32^
А (У) =
dt
32 V Ъ31У
- Ъ
) = Ъ11Ъ31 + Ъ21Ъ32 - Ъ31Ъ22 .
Равенство (15) является управляющей связью и при Д Ф Д может быть соотношением, определяющим величину р при остальных заданных параметрах, содержащихся в этом равенстве. Величину параметрар можно также выразить через известные структурные параметры СМС из равенства (16), если б\ Ф 0.
Соотношения (16)—(18) определяют выражения для активных управлений ¥. (] = 1,
2, 3), соответственно, которые имеют место в случае, при котором для системы (5) существует первый интеграл (7). Здесь управления ^2, ^з определяются при д Ф Д, а — при структурно-кинематическом условии
(Д - Д2)(Д3СГ - а32)(Д3С2Г + а31) Ф 0.
Равенство (19) является программным кинетическим условием, налагающем в силу соотношений связи (15)—(18) ограничение на характер относительного движения рабочего тела СМС, происходящего в области В.
Таким образом, в данной задаче на изначально заданное число независимых параметров системы (5) из программного множества ^ (У), д (У), яг (у), а, (У) (/,] = 1, 2, 3)
наложено меньшее или равное число ограничений. Следовательно, остальные параметры этой системы являются свободными от связей. Это обстоятельство открывает дополнительные возможности для программного управления состоянием данной СМС.
Ограничения (15)—(19) составляют искомое необходимое условие существования первого интеграла (7) системы уравнений (5).
5. Отдельные случаи квазиперманентного движения
Рассмотрим частные виды квазиперманентных движений, возможных при определенных ограничениях, наложенных на структурно-динамические параметры СМС.
Случай 1
В отличие от общего случая положим
Д (У) = 4(0 (У еТ) (21)
и, кроме того, пусть Ъ32 Ф 0. Последнее условие эквивалентно следующему:
Сг (У) Ф Д1 а32 (У) (У е т). (22)
Условие (21) определяет кинетическую симметрию СМС относительно оси Ох3 базиса Г2, совпадающей с главной центральной
осью инерции системы, а ограничение (22) устанавливает определенный характер относительного движения рабочего тела системы; при этом в силу равенства (21) выполняется условие со\ (t) = 0 [2].
Принимая а3 (t) = 0 в силу ограничения (21), из соотношений (8), (11) получаем
Ф^рМ + Ф2 (р) = 0, (23)
где обозначено:
Ф1( P) = К ъэ1 - ^2) Р + Y, ф 2 (р) = К ЪээР 2 + Zp + X, x = да0ъ32 + mF,
Y = щЪг - ЩЪЪ1,
z = шъг - ш2ъъг - .
Поскольку равенство (23) является тождеством по переменной то должны выполняться условия
Ф1(р) = 0, Ф2(р) = 0. (24)
Исключая из системы равенств (24) параметр p, в результате получаем необходимое условие существования квазиперманентного движения СМС, обладающей осевой кинетической симметрией вида (21). При этом достаточное условие существования действительных значений параметра p определяется дис-криминантным условием
Z2- К2ЪъъХ > 0, (25)
выполняющемся при аЪЪз Ф 0.
В случае равенства в соотношении (25) значение параметра p является единственным; в остальных случаях для этого параметра существует пара различных значений.
Случай 2
Пусть выполняется условие (21) и кинетические ограничения:
Л3сог2 + а31 = 0, Л3С - а32 = 0, да) а33 + A = 0, F (t) = 0 (t еТ).
В силу третьего уравнения динамической системы (5) получаем Ъ3. (t) = 0 (j = 1,
2, 3), ®3 = 0, что при F3 = 0 и определяет существование первого интеграла (7).
Таким образом, ограничения (21), (26) выражают достаточное условие существования данного интеграла для динамической системы (5) в случае осесимметричности СМС.
В частности, если в условиях (26) для t е T положить
vr(t) = wr(t) = 0, Л(t) = 0, то получаем случай, приведенной в работе [1].
Случай 3
Если усилить структурно-кинетические ограничения (21), (26), присоединив к ним дополнительные условия для t е T :
bl2(t) = b13(t) = Fi(t) = 0, ¿21 (t) = b23(t) = F2(t) = 0, то вид динамической системы (5) будет идентичен виду соответствующей системы, построенной в задаче о реактивном демпфировании [11, с. 272], имеющей прикладное значение. В этом случае для системы уравнений (5) также имеет место первый интеграл (7).
Список источников
1. Аминов М.Ш. Некоторые вопросы движения и устойчивости тела переменной массы // Труды Казанского авиационного института. Казань, 1959. Вып. 48. 118 с.
2. Макеев Н.Н. О некоторых свойствах главных осей инерции тела переменной массы // Проблемы механики управляемого движения. Оптимизация процессов управления. Пермь, 1978. Вып. 10. С. 126-131.
3. Макеев Н.Н. Асимптотика вращений сложной механической системы // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы. Пермь, 2004. Вып. 36. С. 52-73.
4. Карагодин В.М. Некоторые вопросы механики тела переменной массы // Труды Московского авиационного института. М.: Обо-ронгиз, 1956. Вып. 63. 32 с.
5. Граммель Р. Теория несимметричного гироскопа с реактивным приводом // Механика: Периодический сб. переводов иностранных статей. 1958. № 6. С. 145-151.
6. Макеев Н.Н. Интегралы сложных систем на управляющих связях / Саратовский по-литехн. ин-т. Саратов, 1989. Депониров. в ВИНИТИ 14.03.89, № 1656 - В 89. 123 с.
7. Харламов П.В. О решениях уравнений динамики твердого тела // Прикладная математика и механика. 1965. Т. 29. Вып. 3. С. 567-572.
8. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М.; Л.: ОНТИ, 1937. 500 с.
9. Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. М.: Наука, 1979. 320 с.
10. Макеев Н.Н. О некоторых движениях гиростата переменной массы в случае типа Эйлера // Проблемы механики управляемого движения. Пермь, 1974. Вып. 6. С. 71-78.
11. Магнус К. Гироскоп. Теория и применение. М.: Мир, 1974. 526 с.
12. Харламов П.В. О линейных интегралах уравнений движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки // Докл. АН СССР. 1962. Т. 143, № 4. С. 805-807.
13. Харламов П.В. Полиномиальные решения уравнений движения тела, имеющего неподвижную точку // Прикладная математика и механика. 1965. Т. 29. Вып. 1. С. 26-34.
References
1. Aminov M.Sh. Nekotorye voprosy dvizheniya i ustoychivosti tela peremennoy massy. Trudy Kazanskogo aviatsionnogo instituta. Kazan, 1959;(48): 118. (In Russ.).
2. Makeev N.N. O nekotorykh svoystvakh glavnykh
osey inertsii tela peremennoy massy. Problemy mekhaniki upravlyaemogo dvizhe-niya. Optimi-zatsiya protsessov upravleniya.
1978;(10): 126-131. (In Russ.).
3. Makeev N.N. Asimptotika vrashcheniy slozhnoy
mehanicheskoy sistemy. Problemy mekhaniki i upravleniya. Nelineynye dinamicheskie sistemy. Perm, 2004;(36):52-73. (In Russ.).
4. Karagodin V.M. Nekotorye voprosy mekhaniki tela peremennoy massy. Trudy Moskovskogo
aviatsionnogo instituta. M.: Oborongiz. 1956;(63):32. (In Russ.).
5. Grammel R. Teoriya nesimmetrichnogo giro-skopa s reaktivnym privodom. Mekhanika: Pe-riodicheskiy sbornik perevodov inostrannykh statey. 1958;(6): 145-151. (In Russ.).
6. Makeev N.N. Integraly slozhnykh system na up-
ravlyayushch svyazyakh. Saratovskiy poli-tekhnicheskiy institut. Saratov, 1989. Deponi-rovano v VINITI 14.03.89, № 1656-V89. 123 p. (In Russ.).
7. Kharlamov P.V. O resheniyakh uravneniy dina-miki tvyerdogo tela. Prikladnaya matematika i mekhanika. 1965;(29:3):567-572. (In Russ.).
8. Uitteker E.T. Analiticheskaya dinamika. M., L.: ONTI; 1937. 500 p. (In Russ.).
9. Dzhakalya G.E.O. Metody teorii vozmushche-niy dlya nelineynykh system. M.: Nauka; 1979. 320 p. (In Russ.).
10. Makeev N.N. O nekotorykh dvizheniyakh giroc-tata peremennoy massy v sluchae tipa Eylera. Problemy mekhaniki upravlyaemogo dbizhe-niya. Perm, 1974;(6):71-78. (In Russ.).
11. Magnus K. Giroskop. Teoriya i primenenie. M.: Mir; 1974. 526 s. (In Russ.).
12. Kharlamov P.V. O lineynykh integralakh uravneniy dvizheniya tyazhyelogo tvyerdogo tela vokrug nepodvizhnoy tochki. Dokl. AN SSSR. 1962. (143:4):805-807. (In Russ.).
13. Kharlamov P.V. Polinomialnye resheniya uravneniy dvizheniya tela, imeyushchego nepodvizhnuyu tochku. Prikladnaya matematika i mekhanika. 1965;(29:1):26-34. (In Russ.).
Информация об авторе:
Н. Н. Макеев - доктор физико-математических наук, профессор, AuthorlD 374535, WoS AAW-4380-2020.
Information about the author:
N. N. Makeev - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, AuthorlD 374535, WoS: AAW-4380-2020.
