CC BY
0УДК 531.395+531.381
Макеев Н.Н.
доктор физико-математических наук, профессор независимый исследователь (г. Саратов, Россия)
МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ И РЕЗОНАНС В СЛОЖНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ
Аннотация: рассматривается стационарное движение сложной механической системы, при котором её телоноситель вращается с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижного полюса. Предполагается, что апекс вектора кинетического момента системы совершает малые движения в окрестности стационарного состояния системы, находящейся в резонансном режиме. Получено резонансное соотношение и условие существования нулевого собственного значения матрицы линейной части динамической системы механического объекта. Приводится геометрическая интерпретация резонансного состояния системы в пространстве её квазикоординат.
Ключевые слова: сложная механическая система, динамическая модель системы, стационарное движение, малые движения, резонанс.
Рассматривается движение объекта, называемого сложной механической системой (СМС). Величина массы СМС и её конфигурация непрерывно изменяются во времени вследствие переноса тел её присоединённой подсистемы (рабочего тела) внутри объекта и (или) их выноса за его пределы. Вследствие этого СМС является структурно изменяемым механическим объектом переменного состава массы и изменяемой во времени конфигурации [1]. Предполагается, что СМС движется так, что её телоноситель (абсолютно твёрдое тело) вращается вокруг неподвижного полюса О под действием программно заданного результирующего момента реактивных сил L (t) (t е [0, + ю) = T).
1603
Введем правые координатные ортобазисы Гр Г2, Г3 с общим началом в полюсе О: неподвижный гр; базис Г2, неизменно связанный с носителем системы, и базис Г3 (Ox1x2x3), оси которого Ox} (j=1,2,3) для каждого момента
времени teT направлены по главным в полюсе О осям тензора инерции СМС с матрицей J(t) = diag[4(t),A2(t),A3(t)\ В силу непрерывного по teT изменения конфигурации и состава массы СМС базис Г3 в общем случае вращается
относительно Г2 с угловой скоростью rar (аг}), зависимость которой от величин
заданных компонент Aj (t) тензора инерции СМС J (t) известна [2].
Таким образом, непрерывные и непрерывно дифференцируемые зависимости вида rar (t), J (t), отнесённые к базису Г3, считаются программно заданными и, следовательно, известными в любой момент времени te т. Обозначим [1]:
G = J га + Gr, X (t) = rar - J-1Gr, О = га + гаr = J -1G + X,
где га, О (Q j) - абсолютные угловые скорости носителя СМС (базиса Г )
2
и базиса г3, G (Gj), Gr (t) - кинетические моменты относительно полюса О всего
объекта и рабочего тела, соответственно (последний - относительно базиса Г2),
Л (Aj) - эффективная угловая скорость носителя как непрерывная функция времени, Aj (t) (j = 1,2,3) - главные осевые моменты инерции СМС
(диагональные элементы матрицы тензора инерции J), определённые для каждого момента времени t eT в осях базиса Г3. Заданные векторпараметры
L (L}), Gr (Grj) являются управляющими, каждый из них определён для t e T соответствующей временной программой.
1604
Пусть s (Sj,s2,s3) - орт, неизменно связанный с ортобазисом Г^.
Движение СМС при данных предпосылках характеризуется неавтономной эволюционной динамической системой [1]:
G + J G х G + X х G = L(t). (1)
В проекциях на оси базиса Г3 уравнение (1) эквивалентно системе:
Gj + miG2 G3 + Я2 G3 - A3 G2 = L1, (2)
mj(t) = A-j(t) - A - 40 (1,2,3). Приведённые выше соотношения составляют динамическую модель
СМС.
Уравнения (2) образуют нелинейную многопараметрическую систему эволюционного типа с квадратичной нелинейностью. Предполагается, что СМС, характеризуемая уравнениями (2), находится в состоянии, при котором её телоноситель совершает перманентное движение:
w (t) = w0 = const, (3)
в силу чего для механической системы имеем:
G (t) = J (t) w 0+ Gr (t) = G * (t). (4)
Тогда, согласно соотношениям (2)-(4), движение СМС определяется системой уравнений для вектора G * (G;), идентичной системе (2).
Рассмотрим малые движения апекса вектора G, определяемого равенством (4), гипотетически происходящие в окрестности данного состояния. Эти движения являются малыми отклонениями (вариациями w}),
выражающимися ограниченными функциями класса C1. В силу этого имеем:
G(t) = G*(t) + w (Wj) (j = 1,2,3). (5)
Здесь символ (1, 2, 3) обозначает циклическую перестановку данных индексов, применяемую для определения остальных уравнений системы по данным уравнениям представителям. Далее индекс * при величинах Gj опускается.
1605
Согласно равенствам (5) система уравнений (2), представленная в вариациях Wj, принимает вид:
щ + т1w2Wз + а2w3 -р3w2 = 0 (1,2,3), (6)
где обозначено:
^ (г) = т^) О 2 + А(г), Рз (О = - т (г) Оз + Аз (г) (1,2,3). (7)
Характеристическое уравнение линейной части системы (6) имеет вид:
|А= 0, (8)
где обозначено:
(9)
" 0 - P3 "
A = CT3 0 - P1
Pi 0
E - единичная матрица формата (3 х 3), р = const, а величины , р}
определяются равенствами (7). Согласно равенству (9) представим уравнение (8) в виде:
Л3 + рл + q = 0, (10)
где обозначено:
p(t) = Е Pi, q(t) = ПР ).
j=1 j=1
Представим условие существования нулевого собственного значения матрицы А. Из уравнения (10) следует, что значение ¡ = 0 имеет место тогда и только тогда, когда q = 0. Этому условию в пространстве квазикоординат Gj однозначно соответствует реономная поверхность с уравнением:
2Пm1G] +£[(ту - +j)m} + 2 Gj +! - mj л,+1]AJ + 2 Gj = 0 (j + 2 < 3, t e T). (11)
j=1 j=1
1606
Здесь и всюду далее под реономной поверхностью понимается поверхность, уравнение которой содержит коэффициенты, являющиеся функциями времени, в уравнении (11) и далее индекс * при величинах 0}
опущен. Отметим, что это уравнение имеет место в силу тождества:
ш1(г) + ш2(г) + ш3(г) = 0 (г е Т).
Условие # = 0 является необходимым признаком существования линейного первого интеграла линейной динамической системы [3]. В этом случае корнями характеристического уравнения (10) являются значения:
¡л = 0, /л = ±л[—р,
в силу чего условие существования простого резонанса (вида 1:1) сводится к равенству:
р(г) = 0 (г е Т). (12)
В пространстве квазикоординат 0} реономное резонансное соотношение (12) принимает вид:
¿[ту+1 ш}+2 а2 + ш+1 - ш}+2)л]о] - л2] = 0 (] + г < 3) (13)
]=1
и определяет реономную поверхность второго порядка.
Произведём классификацию реономных поверхностей на основе уравнения (13). Введём реономные геометрические инварианты:
д (г) = -11 4
21Л2+Х шу л2(ш 2 +, + ш 2 + 2)
у = 1
(у + г < 3, г е Т),
л2(г) = £ л 2 (г), 8(г) = 12, I (г) = П ш;.
1 = 1 у = 1
В структурно несимметричном случае, при котором все значения Ау различны, и величина 5ф 0, поверхность (13) является невырожденной реономной центральной поверхностью второго порядка. В этом случае при д> 0, д< 0 имеем однополостный и двуполостный гиперболоиды, соответственно, а при д = 0 - конус. Случаи, при которых имеют место
1607
центральная структурнокинетическая симметрия (^ = A2 = A3), соответствуют нецентральной реономной резонансной поверхности, для которой S(t) = 0.
3
Тогда инвариант 2 m jmj+1 m} + 2 = 0 (j + r < 3, t e T) и поверхность с
j=1
уравнением (12) является либо реономным параболическим цилиндром, либо распадается на две плоскости. Это соответсвует структурно вырожденным случаям динамической системы, при которых для t e T имеет место условие:
3
2к - m3 + 1)2(mj + 2 X + 2)2 = 0 (j + r < 3). (14)
j = 1
В частности, при A1 (t) = A2 (t) условие (14) тождественно удовлетворяется
при X(t) = X2(t), т.е. на управлениях вида Gr = Aj<arJ (j = 1,2). Эти ограничения
соответствуют структурнокинетическим условиям обобщённого аналога случая Лагранжа, для которого данная система имеет ось структурнокинетической симметрии Ox3.
Отметим некоторые частные случаи резонансного соотношения (12). Простейший из них определяется условиями:
X (t) = 0, Gr (t) = 0 (t e T). Согласно соотношению связи между этими векторфункциями получаем условие стабилизации координатных осей ортобазиса Г3 относительно
ортобазиса базиса Г2: юr (t) = 0. В этом случае СМС становится симметрично изменяемой по структуре и ограничение (12) принимает вид:
2mj +1 mj + 2 (Aj j = 0 (j + r < 3). (15)
j=1
Развёрнутая форма условия (15) представляется равенством:
2 Aj (Aj - Aj+2)(Aj+1 - Aj )(< )2 = (16)
j=1
Нулевой индекс, содержащийся в равенствах (15), (16), относится к значениям величин при t = 0.
1608
Из соотношения (16) следует, что при А1 = А3 имеем:
(А - А2К = 0, (17)
в силу чего либо А1 = А2, либо < = 0. Это означает, что условие (17) тождественно удовлетворяется либо в случае центральной структурной симметрии системы (А1 = А2 = А3), либо в случае, при котором вектор ю
ортогонален координатной оси Ох2 ортобазиса Г3.
В общем случае структурное условие (15) тождественно удовлетворяется при любых значениях компонент <(! = 1,2,3) в случае
центральной структурной симметрии. В остальных случаях номер нулевой компоненты < ° совпадает с номером одного из трёх главных осевых моментов
инерции А} данной системы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Аминов М.Ш. Некоторые вопросы движения и устойчивости твёрдого тела переменной массы // Труды Казанского авиационного института.1959. Вып. 48. 118 с;
2. Макеев Н.Н. О некоторых свойствах главных осей инерции тела переменной массы // Проблемы механики управляемого движения: межвуз. сб. науч. тр. Пермь. Пермский унт, 1978. С. 126-131;
3. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М.: Мир, 1973. 167 с
1609
Makeev N.N.
independent researcher (Saratov, Russia)
SMALL MOVEMENTS AND RESONANCE IN A COMPLEX MECHANICAL SYSTEM
Abstract: the stationary motion of a complex mechanical system is considered, in which its carrier body rotates with a constant angular velocity around a fixed pole. It is assumed that the apex of the systems kinetic moment vector makes small movements in the vicinity of the systems stationary state, in resonant mode. A resonance relation and a condition for the existence of a zero eigenvalue of the matrix of the linear part of the dynamic system of a mechanical object are obtained. A geometric interpretation of the resonant state of the system in the space of its quasicoordinates is given.
Keywords: complex mechanical system, dynamic model of the system, stationary motion, small movements, resonance.
1610
