МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ АГРЕГАТА С ПРОГРАММНЫМ
УПРАВЛЕНИЕМ Макеев Н.Н.
Макеев Николай Николаевич - доктор физико-математических наук, профессор,
пенсионер, г. Саратов
Аннотация: приводится формализованное описание движения механического объекта, находящегося под воздействием программно заданного неавтономного управления. Объект является механической системой, для которой состав массы и геометрия её распределения непрерывно изменяются во времени так, что в каждый момент времени сохраняется реономная центральная кинетическая симметрия. Для заданного специального режима управления объектом получены результирующие аналитические соотношения, определяющие параметры скорости и ориентации механической системы. Ключевые слова: сложная механическая система, моделирование, управляющая связь, динамическая система, осциллятор.
SIMULATION OF THE MOVEMENT OF THE UNIT WITH SOFTWARE
CONTROL Makeev N.N.
Makeev Nikolay Nikolaevich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor,
PENSIONER, SARATOV
Abstract: a formalized description of the movement of a mechanical object under the influence of a programmatically specified non-autonomous control is given. The object is a mechanical system for which the composition of the mass and the geometry of its distribution continuously change over time so that at each moment of time the depending on time central kinetic symmetry is preserved. For a given special control mode of the object, the resulting analytical relations determining the parameters of the speed and orientation of the mechanical system are obtained.
Keywords: complex mechanical system, simulation, control constraint, dynamic system, oscillator.
УДК 531.381, 531.395
Введение. Сложная механическая система [1], называемая далее агрегатом, является механическим объектом, у которого состав массы и конфигурация (геометрия распределения частиц массы) непрерывно изменяются во времени заданным образом.
Целью данной работы является построение формализованного аналитического описания программно управляемого движения агрегата, происходящего вне воздействия заданных внешних силовых полей. Движение агрегата подчинено нелинейной динамической системе [2]
G + J"1G х G + X х G = L (t) (1) с начальным условием G (0) = G 0.
В уравнении (1) и далее обозначено: G е C2 - основная (базовая) функция;
X(t) еС1 {J(t), L(t)} еС0 - функции, заданные принятой управляющей программой. Здесь символы Сп (n = 0, 1, 2, ...) обозначают классы функций. Данные вектор-функции означают: G (t) - кинетический момент агрегата; к (t), L (t) - программно заданные управляющие вектор-моменты; J (t) - матрица тензора инерции агрегата, отнесённого, как и векторы к, L, к неподвижному полюсу О.
1. Описание кинетического режима движения агрегата. Зададим зависимость изменения конфигурации агрегата в виде [1]
J (t) = A(t) E, (2)
где: A(t) е С0 - программно заданная функция, E - единичная матрица.
Введём ортогональный координатный базис Г(0xjx2x3) с началом в полюсе О, неизменно
связанный с основой (абсолютно твёрдым телом) агрегата, и зададим проекциями в данном базисе вектор-функции времени: G (Gj), к (Xj), L (Lj). Здесь и аналогично далее символ (zj) обозначает
совокупность (zj,z2,z3). Тогда уравнение (1) в проекциях на оси базиса Г с учётом равенства (2) эквивалентно системе скалярных уравнений
G + ^G - ЛG2 = L (t) (1, 2,3). (3) Система (3) задана приведённым здесь уравнением-представителем. Остальные уравнения этой системы следуют из данного при циклической перестановке индексов 1, 2, 3, что здесь и всюду далее обозначается общепринятым символом (1, 2, 3).
Преобразуем уравнения системы (3). Дифференцируя каждое данное уравнение по t и тогда в силу заданного вида этих уравнений получаем
G + A (t) G = F (t), (4) где вектор-функция F = F (F ■), причём
Fi(t) = L + Л3L2 -¿2L3 (1,2,3), а матрица A [a^ (t)] задана элементами
ai1(t) = ¿2 + ¿3, ai2(t) = - + ¿í¿),
a3 (t) = 4 -¿Л (1,2,3).
Установим режим управления движением агрегата, при котором согласно условиям (5), выполняется ограничение
a33 (t) = A^(t) + ¿2 (t) = Q2, (6)
где: Q = const Ф 0. Условие (6) является реономной управляющей связью [1], наложенной на вектор к, годограф которого в пространстве переменных Xj представляется в виде многообразия круговых соосных цилиндров, ось симметрии которых совпадает с осью для квазикоординаты X3.
Условию (6) удовлетворяет система дифференциальных управляющих связей вида a32 = a31 = 0 :
4 -¿¿= 0, 4 + 0. (7)
Полагая управляющий параметр X3 ф 0 свободным от связей по переменным Xi, X2, при интегрировании системы (7) в результате получаем
(¿1, ¿2) = Q [sm(a + a), cos(a + a)], (8)
где обозначено:
t
<(t) = |Л (r) dr, (9)
а постоянная X определяется равенствами
(Л0, Л0) = Q (sin a, cos a), Л0 = Л (0) (r = 1,2).
Поскольку из трёх компонент вектора к только две связаны условием (8), то возможно наложение связи на свободную величину Х3 в виде
a21 = — ЛЛ = 0, (10)
откуда, согласно равенствам (8),
Q 2 t
Л (t) = Л0 + — I sin 2(< + a)dr. (11) 2 J
20
Из соотношений (9), (11) следует, что равенство (11) можно рассматривать как интегральное уравнение, определяющее зависимость вида Л3 (t). Если это решение известно, то соотношениями (8),
(9) устанавливаются зависимости вида Лх (t), Л2 (t).
В силу равенств (7), (10) уравнение (4) представляется в форме
G + B (t) G = F (t), (12)
где преобразованная (треугонализированная) матрица B имеет вид
B (t) =
а11 а12 а13 0 a22 a23
0 0 a33
0
с элементами a --(t) > к > 0 (k = const, j = 1, 2, 3), где
a12(t) = -Q2sin 2(a + a), ar3 = -2АгАз (r = 1,2). (13) Согласно соотношениям (6), (12) определяющее уравнение для зависимости G3 (t) имеет вид
G3 (t) + Q2 G (t) = F (t), (14)
а соотношениями для определения функций G2 (t), G (t) являются уравнения
G- + «22 (t) G- = Ф-^), (15) Gi + an(t) Gi = Oi(t). (16)
В уравнениях (15), (16) обозначено
ф 2(t) = f- (t) - a23 (t) g; ,
®,(t) = Fi(t) - a12(t) g;- «!3(t) G; .
(17)
1 1 12 2 13 3
В равенствах (17) величины G2, G3 являются решениями уравнений (15), (14), соответственно, а G*
есть решение уравнения (16).
Таким образом, динамическая система (4) введением управлений (8), (11) приведена к системе уравнений движения трёхмерного ортотропного гармонического осциллятора (14)-(16) с собственными
частотами yj^- (j = 1, 2, 3), находящегося под одномерными ортогональными динамическими воздействиями ф, Ф2, F. Этот осциллятор совершает вынужденные гармонические колебания в пространстве квазикоординат G-, являющимися его нормальными координатами [3; с. 142, 152]. 2. Определение ориентации агрегата
Рассмотрим ограниченную задачу определения ориентации основы агрегата по найденному решению G2 (G2). Введём координатный ортобазис Г, неизменно связанный с инерциальным пространством, и
углы Эйлера 0, р, у, устанавливающие ориентацию базиса Г относительно базиса Г. В пассивном режиме движения агрегата, при котором
L (t) = 0, (18) для динамической системы (3) имеет место первый интеграл [1]
||G||2 = H2 (H = const * 0). (19)
Введём орт g, неизменно связанный с базисом Г, и преобразованием G (G.) = H g (g.) приведём систему уравнений (3) при условии (18), а также интеграл (19), к безразмерному виду
g1 = X3 g 2 -X2 g3 (1,2,3),
и-=1. <20)
Обозначим
Z = (1 - g3)-1(g1 + ig-), X = 1(^2 + X) (i = >/"0, (21)
где: 0 < g3 < 1, XX* 0. Величина Z является текущей координатой точки экваториальной
плоскости единичной сферы (сферы Римана в пространстве координат g1, g2, g3), стереографическая проекция которой на эту сферу имеет данные координаты.
Из системы уравнений (20) согласно соотношениям (21) следует определяющее для величины Z уравнение Дарбу-Риккати [4, с. 130]
Z = %Z2- iX,Z + X, (22)
где: X - величина, сопряжённая переменной /.
Решение уравнения (22) может быть найдено известным стандартным методом в гипергеометрических рядах. Если решение Z известно, то, обращая зависимости (21), в результате получаем
(g1, g-) = 2(R + 1)- 1(Re Z, Im Z), R = | Z\2,
1 2 (23)
g3 = (R +1)- (R -1).
Согласно соотношениям связи (23) параметры ориентации (углы Эйлера) определяются равенствами (sin р, cos р) = -^=(Re Z, Im Z), cos 0 = g (0 <0<n). (24)
Из кинематического уравнения Эйлера, выражающего проекцию угловой скорости агрегата на ось Ox3 базиса Г, в силу системы уравнений (20) следует
t
w (t) = w 0+ J [ A—1H — (1 + R—l)Re(ixZ)] dr, (25)
0
где: y/°= ^(0), g3 Ф 1.
Соотношения (24), (25) полностью определяют ориентацию агрегата при известной зависимости вида Z (t).
Приведём уравнение (22) к канонической осцилляторной форме, выполнив преобразование
Z = (2х) \P — 2U lU), (26)
где: U (t) - функция класса С2, х Ф 0, причём
p (t) = л — х' x.
Преобразование (26), реализующее точную линеаризацию уравнения (22), приводит к определяющему для функции U уравнению
U + QU = 0, (27)
где обозначено:
Q (t) = \Х\2 - 1P2 -1P.
12 1 p 2 4 2
Если в уравнении (27) функция Q е C и Q (t) > n > 0 (n = const) при t > 10 > 0, то это уравнение
определяет осцилляционный режим движения агрегата и имеет бесконечное множество нулей.
Выделяя в уравнении (27) естественным образом действительный большой параметр р, для функции Q получаем
Q (t) = Р2 q (t, р) (28)
и уравнение (27) с учётом выражения (28) принимает вид
Ü +р2q(t, p)U = 0, (29) где: U = U (t, р), а функция q такая, что lim q (t, p) при р^+да существует при любом фиксированном значении t > to.
Основываясь на положениях метода фазовых интегралов (метода ВКБ) [5], для решения уравнения (29) при данных условиях получаем асимптотическое по параметру р ^ + да представление
Ü(t, р) = q ^ exp [± ipJ(t)][1 + О (р-')], (30)
где обозначено:
t
J(t) = jjq dz.
В выражении (30) дано О(р *) равномерно по переменной ( [5].
В общем случае, при котором, в отличие от условия (18), тождественно Ь ф 0, определение ориентации агрегата достигается другим способом [6].
о
Список литературы /References
1. Макеев Н.Н. Интегралы сложных систем на управляющих связях. Саратов, 1989. 123 с. Деп. в ВИНИТИ 14.03.89. № 1656-В 89.
2. Макеев Н.Н. О некоторых движениях гиростата переменной массы // Проблемы механики управляемого движения. Сборник науч. тр. Пермь, 1974. Вып. 6. С. 71-78.
3. ПарсЛ.А. Аналитическая динамика. М.: Наука, 1971. 636 с.
4. Аминов М.Ш. Некоторые вопросы движения и устойчивости твёрдого тела переменной массы // Труды Казанского авиационного ин-та. Казань, 1959. Вып. 48. 118 с.
5. Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ). М.: Мир, 1965. 238 с.
6. Перегудин И.Н. Ориентация направления твёрдого тела, содержащего симметричные маховики, под действием возмущённых управлений // Динамика систем и управление. Сборник науч. тр. Саранск, 1988. С. 90-95.