CC BY
68
КАРТОГРАФИЯ И ГЕОИНФОРМАТИКА
УДК 519.87:004
ЛИНЕЙНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ПРИКЛАДНОЙ ГЕОИНФОРМАТИКЕ
Игорь Георгиевич Вовк
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, доктор технических наук, профессор кафедры прикладной информатики и информационных систем, тел. (383)343-18-53
Основным методом исследования систем является моделирование. Простейшими математическими моделями в прикладной геоинформатике являются линейные геометрические модели - прямые и плоскости. Используя эти математические модели, можно решать разнообразные геометрические задачи прикладной геоинформатики. В статье рассматривается применение линейных геометрических моделей для решения задач прикладной геоинформатики.
Ключевые слова: линейные геометрические модели, прикладная геоинформатика. LINEAR GEOMETRIC MODELS APPLICATION IN GEOINFORMATICS
Igor G. Vovk
Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10, Plakhotnogo St., Ph. D. Prof., Department of Applied Informatics and Information Systems, tel. (383)343-18-53
Modeling is the main technique for systems investigation. The simplest mathematical models in applied geoinformatics are linear geometric models (straight lines and planes). Application of linear geometric models for geoinformatics problems solution is described.
Key words: linear geometric models, applied geoinformatics.
Прикладная геоинформатика занимается изучением разнообразных объектов, процессов и явлений, происходящих на планете Земля, ее методы и результаты используются для прогноза и оценки риска последствий этих процессов и разработки эффективных методов управления ими [1, 2]. Непосредственное, прямое изучение объектов, процессов и явлений может быть невозможным, опасным и дорогим. Поэтому основным методом исследования в прикладной геоинформатике является системно-целевой подход [3, 4] и моделирование [5, 6]. Модель создается для того, чтобы исследование реальной системы заменить исследованием модели. Типичными примерами моделирования в геоин-
107
Картография и геоинформатика
форматике являются многие модели астрономии (модели Солнечной системы), геофизики (модели внутреннего строения Земли), геодезии (модели фигуры Земли), прикладной геодезии (модели пространственно-временного состояния естественных и искусственных систем), картографии (карты, как модели физической поверхности Земли) и другие. Модели, в которых отображение объектов осуществляется математическими средствами, называют математическими моделями. Прямые и плоскости - простейшие геометрические модели, которые находят применение в разнообразных задачах прикладной геоинформатики [7, 8, 9].
И прямая, и плоскость состоят из бесконечного множества точек, а в прикладной геоинформатике чаще всего они задаются некоторым конечным множеством точек. Данное противоречие разрешается благодаря тому, что и прямая, и плоскость могут быть определены конечным числом параметров. Например, любая пространственная прямая определяется радиусом-вектором одной точки, через которую она проходит, и направляющим орт-вектором этой прямой. Аналогично, любая плоскость определяется радиусом-вектором одной точки и двумя неколлинеарными орт-векторами, принадлежащими плоскости. Аналитическое описание линий и поверхностей может осуществляться по-разному. Среди множества вариантов их описания наиболее простым и удобным для применения является параметрический метод [7].
Пусть задан радиус-вектор Гм точки, принадлежащей искомой прямой. Направление прямой зададим вектором и = и (х, y, z). Радиус-вектор произвольной точки прямой обозначим r . Векторы и и r - rM коллинеарные, и поэтому их координаты пропорциональны, т. е.
Это и есть параметрическое уравнение прямой.
Для определения параметрического уравнения плоскости, кроме радиусвектора M точки, принадлежащей плоскости, необходимо задать в плоскости
два неколлинеарных вектора и1, и 2. Тогда параметрическое уравнение плоскости
r (t) = rM +1 ■ и .
(1)
r (t1,12) = Гм +11 ■ и1 +12 ■ и 2.
(2)
Так как нормаль к плоскости (2)
N = и1 х и 2,
(3)
то уравнение плоскости можно представить в следующем виде:
N ■ r - N ■ гм = N ■ r + D = 0.
(4)
108
Картография и геоинформатика
Используя эти геометрические модели, можно решать разнообразные геометрические задачи прикладной геоинформатики. Приведем формулы для определения основных скалярных характеристик, которые могут быть определены на основании линейных геометрических моделей [10].
1. Расстояние 5 от точки M до плоскости N • r + D = 0 равно
5 =
N • гм + D
+
N
(5)
Знак в знаменателе формулы (5) выбирается противоположным знаку D. 2. Расстояние d от точки M до прямой г = rk +1 • и равно
d = u х (гм - rk )
u
3. Кратчайшее расстояние d1 между двумя прямыми Г1 = Гм +1 • U1 и г 2 = гг +1 • и 2
(6)
равно
d1 =
|(гм - rk)х и1 • и 2|
|u1 х и 2|
4. Расстояние d2 между параллельными плоскостями N1 • r + D1 = 0 и N 2 • г + D 2 = 0
(7)
равно
d 2 = М
N 2
(8)
5. Угол у1 между двумя прямыми, направления которых есть и1 и и 2, определяется по формулам:
, и1 • и 2 . . и 1 х и 2
cosyl = . . .; siny1 = _ . _2
\и1\ • |и 2 |и 1 • |и 2
(9)
Прямые параллельны при cos у1 = 1 и взаимно-перпендикулярны при cos у1 = 0.
109
Картография и геоинформатика
6. Угол у2 между двумя плоскостями, нормали к которым есть N1 и N 2, определяется по формуле:
cosу 2 =
N1 х N 2
N1 ■ N 2
(10)
7. Угол между прямой с направляющим вектором и и плоскостью с нормалью N определяется по формуле:
. . N х и
sin у 3 = _ , ,.
N ■ U
(11)
Прямая параллельна плоскости, если sin у3 = 0, и прямая перпендикулярна плоскости, если sin у3 =1. Угол между прямой и нормалью к плоскости равен
п п
---у3.
2
8. Прямые
r1 = rM +t ■ u1; r 2 = rM +t ■ и 2
параллельны, если
r1 = rM +t ■ u1; u2 = %■ u1, или U1 хu2 = 0.
9. Прямая r1 = ?m +1 ■ u1 и плоскость N • r + D = 0 взаимно-перпендикулярны, если
u 1 = X ■ N, или u 1 х N = 0,
т. е. прямая параллельна нормали к плоскости (фактически прямая служит нормалью к плоскости).
Таким образом, зная линейные геометрические модели (1), (2), (4) объектов прикладной геоинформатики, на их основании находим различные числовые характеристики этих объектов. Такие модели могут быть использованы при изучении и определении геометрических характеристик систем и/или их пространственно-временного состояния [11].
Для практического использования приведенных формул необходимо знать радиус-вектор хотя бы одной точки, через которую проходит прямая или плоскость, орт-вектор направления прямой и два неколлинеарных вектора, принадлежащих плоскости. Эти данные должны быть определены заблаговременно.
Рассмотрим примеры применения линейных геометрических моделей в прикладной геоинформатике для определения радиусов-векторов точек. Пусть известны радиусы-векторы точек A и C, орт-векторы e1, e2 направлений
110
Картография и геоинформатика
AB и CD, горизонтальные углы U1 и U2 в плоскости OXY и зенитные расстояния Z1 и Z2 направлений AP и СР соответственно. Необходимо определить радиус-вектор точки Р (рис. 1).
Рис. 1. Исходная ситуация к определению радиуса-вектора точки Р
Для определения координат точки Р имеем три сценария.
Сценарий первый. Радиус-вектор точки Р определяется как радиус-вектор точки пересечения прямых АР и СР. Уравнения прямых АР и СР имеют вид:
L1(t1) = rA + xx1 • t1,
L2(t2) = ГС + xx 2 • 12,
(12)
где xx1, xx2 - орт-векторы направлений АР и СР соответственно.
Определение орт-вектора xx1 разделим на две части. Сначала определим его проекцию в плоскость OXY. Для этого имеем систему уравнений [12]:
xx1 • e 1 = q, xx 1 x e 1 = v.
(13)
Из решения этой системы находим проекцию орт-вектора xx1 в плоскости
OXY
xx1 =
^ xx10 ^ xx!:
V
0
Чтобы найти орт-вектор xx1 в пространстве OXYZ, необходимо его координаты преобразовать по формулам:
xx1 =
^ xx1o • sin(Z1)^ xx11 • sin(Z1) Vcos(Z1) y
(14)
111
Картография и геоинформатика
Аналогичным образом находим орт-вектор xx 2 направления CP и выполняем геометрическое моделирование решения задачи определения радиуса-вектора точки P (рис. 2).
Рис. 2. Геометрическое решение задачи определения радиуса-вектора
точки P по первому сценарию
Сценарий второй. Радиус-вектор точки P определяется как радиус-вектор точки пересечения трех плоскостей:
R1 (й, t2) = RA+ t1 • xx 1 +t2 • k,
< R 2(t 3, 14) = RC +13 • xx 2 +14 • k, (15)
R3(t 5, 16) = RA +15 • xx1 +16 • xx 2.
Геометрическое решение задачи приведено на рис. 3.
Рис. 3. Геометрическое решение задачи определения радиуса-вектора
точки P по второму сценарию
На рис. 3 показаны три плоскости, заданные уравнениями (15), две линии пересечения этих плоскостей и искомая точка пересечения.
112
Картография и геоинформатика
Сценарий третий. В этом сценарии используется запись уравнений плоскости в виде (4):
(RP - RA) • (xx1 х k ) = 0,
< (RP - RC) •(xxl х k ) = 0, (16)
(RP - RA) • (xx! х xx2) = 0.
Если определитель этой системы линейных уравнений не равен нулю, то ее решение определяет радиус-вектор RP точки пересечения плоскостей.
Рассмотренное решение задачи определения координат точки P позволяет исследовать влияние геометрической структуры на качество решения. Дело в том, что решение системы (16) геометрически отождествляется с точкой пересечения плоскостей, уравнения которых составляют систему. Если определитель системы близок к нулю, то существуют, по крайней мере, две плоскости, угол между которыми близок к нулю или л. Следствием этого обстоятельства является то, что матрица системы уравнений (16) будет плохо обусловленной, и малые ошибки в исходных данных будут вызывать значительные возмущения в решении системы. Для оценки меры такого возмущения служит число обусловленности матрицы системы
А) =
А
-1
(17)
где |А| - знак нормы матрицы [13], [14]. Число обусловленности является мерой чувствительности решения системы линейных уравнений с матрицей A к погрешностям исходных данных. Чем больше число обусловленности, тем сильнее влияние ошибок исходных данных на результат решения системы уравнений. Это обстоятельство позволяет оценивать зависимость определения координат от геометрической структуры задачи.
Рассмотренные линейные геометрические модели нетрудно применить для определения радиусов-векторов точек, традиционно вычисляемых по формулам классических геодезических засечек. Для линейной пространственной засечки такое решение приведено в работах [6, 15]. Далее рассмотрим применение линейных геометрических моделей при определении радиусов-векторов точек пространственными угловыми засечками.
В качестве примера рассмотрим гипотетическую систему, изображенную на рис. 4.
Предположим, что координаты всех пяти точек в условных единицах заданы в матрице R.
R
г 8 4 7 15 14 >
3 8 12 12 5
112 9 8 8 4 V
113
Картография и геоинформатика
O
C
Рис. 4. Схема определения радиуса-вектора точки P геодезическими засечками
В этой матрице каждый столбец в порядке следования - радиус-вектор одной из точек A, B, C, D, P. По этим данным рассчитаем горизонтальные углы, зенитные расстояния и длины сторон между точками системы. Горизонтальные углы и зенитные расстояния зададим в радианах, расстояния между точками -в условных единицах. Полученные результаты поместим в табл. 1.
Таблица 1
Исходные данные
Горизонтальные углы (радиан) Расстояния (условные единицы) Зенитные расстояния (радиан)
w1 = 1,923786714621807 SAB = 7,0710678118654755 zAB = 2,008945357379067
w2 = 0,6045985900934767 SBC = 5,0990195135927845 zBC = 1,7681918866447772
w3 = 1,2187520124794793 SCD = 8 zCD = 1,5707963267948966
w4 = 1,4288992721907325 SAP = 10,198039027185569 zAP = 2,4726285793213862
w5 = 0,7853981633974482 SBP = 11,575836902790225 zBP = 2,0174325908572137
w6 = 1,4288992721907325 SCP = 10,677078252031311 zCP = 1,9547986714951056
Q1 = 0,6132073488745095 SDP = 8,124038494663596 zDP = 2,0856022819147073
Q2 = 0,4939413689195813
Q3 = 0,9272952180016122
Будем считать, что точки A, B, C, D - исходные, а точка P - определяемая. Рассмотрим задачу определения координат точки P прямой пространственной угловой засечкой с точек A и B.
114
Картография и геоинформатика
Имеем исходные данные:
' 8" Г 4 ^
RA = 3 II 10< 8 , w1 = 1,924, w2
V12 , V 9,
0,605, zAP = 2,473, zBP = 2,017.
Значения горизонтальных углов и зенитных расстояний приведены в сокращенной записи. По этим данным составляем систему линейных уравнений (16), из решения которой найдем
(
14
\
RP =
5,000000000000001 . V4,000000000000001^
Сравнивая вычисленное значение RP с заданным в матрице R, убеждаемся в их совпадении.
Рассмотренное решение легко распространяется на случай обратной угловой засечки. Для этого достаточно найти значение угла w1 или w4 (рис. 4). В обратной угловой пространственной засечке исходными служат пункты A, B, C с известными радиусами-векторами RA, RB, RC и значения углов Ш, Q2 и зенитных расстояний ZPA, ZPB, ZPC (см. рис. 4).
Из простых геометрических соображений получим систему уравнений
w1 + w4 - Q = 0,
AB -
sin(Q1)
BC
sin(w4)
sin(Q2)
(18)
где обозначено
Q = 2 -n- w2 - w3 - Q1 - Q2.
Учитывая, что
ZAD =n- ZD А и ZBD =n- ZDB
и вычислив значение угла w1, задачу вычисления координат точки из обратной угловой засечки сведем к задаче вычисления координат из прямой засечки.
Таким образом, применение линейных геометрических моделей (1)-(4) позволяет:
- легко и просто по формулам (5)-(11) вычислять скалярные характеристики геометрических моделей систем для оценки их пространственно-временного состояния;
115
Картография и геоинформатика
- унифицировать решение задач геометрического моделирования, сводя их к решению систем линейных алгебраических уравнений по формулам (12)-(18);
- конструировать нетрадиционные структуры для определения радиусов-векторов точек в задачах прикладной геоинформатики.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Акимов В. А., Воробьев Ю. Л., Фалеев М. И. Безопасность в чрезвычайных ситуациях природного и техногенного характера. - М.: Высшая школа, 2006. - 592 с.
2. Бугакова Т. Ю. Оценка устойчивости состояний объектов по геодезическим данным методом фазового пространства: автореф. дисс. канд. техн. наук. - Новосибирск: СГГА, 2005. - 22 с.
3. Вовк И. Г. Системно-целевой подход в прикладной геоинформатике // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 3 (19). - С. 52-61.
4. Вовк И. Г., Бугакова Т. Ю. Основы системно-целевого подхода и принятие решений. -Новосибирск: СГГА, 2011. - 152 с.
5. Вовк И. Г. Моделирование в прикладной геоинформатике // Вестник СГГА. - 2011. -Вып. 1 (14). - С. 69-76.
6. Вовк И. Г. Математическое моделирование в прикладной геоинформатике // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 1 (17). - С. 94-103.
7. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве. - М.: Мир, 1982. - 304 с.
8. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: введение / под ред. Ю. М. Бая-ковского. - М.: Мир, 1989. - 478 с.
9. Вовк И. Г. Линейные геометрические модели в прикладной геоинформатике // Сборник материалов междунар. науч.-метод. конф. в 3 ч. (Новосибирск, 3-7 февраля 2014 г.). -Новосибирск: СГГА, 2014. Ч. 2. - С. 279-292.
10. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров / под ред. Л. Я. Цлаф, И. Г. Араманович. - М.: Наука, 1976. - 720 с.
11. Бугакова Т. Ю., Вовк И. Г. Математическое моделирование пространственновременного состояния систем по геометрическим свойствам и оценка техногенного риска методом экспоненциального сглаживания // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 4 (20). - С. 47-58.
12. Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления. - М.: Наука, 1975. - 336 с.
13. Ильин В. А., Позняк В. Г. Линейная алгебра. - М.: Главная редакция физикоматематической литературы, 1974. - 296 с.
14. Ланкастер П. Теория матриц / пер. С. П. Демушкин. - М.: Главная редакция физикоматематической литературы издательства «Наука», 1978.
15. Вовк И. Г. Еще один алгоритм определения координат из пространственной линейной засечки // Вестник СГГА. - 2000. - Вып. 5. - С. 137-139.
Получено 05.05.2014
© И. Г. Вовк, 2014
116
