CC BY
51
КАРТОГРАФИЯ И ГЕОИНФОРМАТИКА
УДК 519.87:004
ОТОБРАЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ НА ЗАДАННУЮ ПОВЕРХНОСТЬ В ЗАДАЧАХ ПРИКЛАДНОЙ ГЕОИНФОРМАТИКИ
Игорь Георгиевич Вовк
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, доктор технических наук, профессор кафедры прикладной информатики и информационных систем, тел. (383)343-18-53
В прикладной геоинформатике целью изучения систем является определение их пространственно-временного состояния, т. е. формы, размеров и положения в пространстве как функций времени. Форма и размеры системы определяются границей, отделяющей систему от внешней среды. Геометрическим образом такой границы служат линии и поверхности. Возникающие при этом задачи разнообразны. Одной из таких задач является отображение границ систем на заданную поверхность. В прикладной геоинформатике и картографии такие задачи решаются при изображении на плоскости рельефа физических полей Земли (рельефа земной поверхности, поля аномалий силы тяжести, магнитного, температурного и других полей). В общем случае граница системы определяется или множеством принадлежащих ей точек или определенной функциональной зависимостью. В работе рассматривается отображение линейных границ систем при параллельном и центральном проецировании на заданную поверхность.
Ключевые слова: центральная проекция, параллельная проекция, ортогональная (прямоугольная проекция), орт-вектор направления проектирования, плоскость проекции.
REFLECTING THE SPACE CURVES ON THE GIVEN PLAIN WHEN SOLVING TASKS OF APPLIED GEOINFORMATICS
Igor G. Vovk
Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Ph. D., Prof, of the Department of Applied Informatics and Information Systems, tel. (383)343-18-53
The purpose of studying systems in applied geoinformatics is defining their state in space and in time, i. e. their form, dimensions and their location in space as functions of time. The form and the dimensions of a system are defined by the border by which it is divided from the environment. The geometrical image of such a border is made up by lines and surfaces, whereas the tasks which may arise here are quite varied. One of the tasks is reflecting the borders of the systems on a given plain. In applied geoinformatics and in cartography the tasks of this kind are solved by means of depicting the relief of the physical fields of the Earth on a plain (the Earth surface relief, the fields of the gravity anomalia, the magnetic field, the temperature field and others).
112
Картография и геоинформатика
Generally the border of the system is defined either by the multitude of points which belong to it or by some functional dependence. The present work studies the ways of reflecting the linear borders of systems in their parallel or central projection on the given surface.
Key words: the central projection, the parallel projection, the orthogonal projection, the direction of projection orth vector, the plain of projection.
В прикладной геоинформатике целью изучения систем является определение их формы, размеров и положения в пространстве как функций времени [1]. Форма и размеры системы определяются границей, отделяющей систему от внешней среды. Геометрическим образом такой границы служат линии и поверхности [2, 3]. Возникающие при этом задачи разнообразны [4, 5, 6]. Одной из таких задач является отображение границ систем на заданную поверхность [7]. В прикладной геоинформатике и картографии такая задача решается при изображении на плоскости рельефа физических полей Земли (рельефа земной поверхности, поля аномалий силы тяжести, магнитного, температурного и других полей) [8, 9]. В общем случае граница системы определяется или множеством принадлежащих ей точек (это множество точек в статье называется облаком точек), или определенной функциональной зависимостью [10]. Каждая точка границы системы определенным образом проецируется на заданную поверхность. Операцию проецирования определяют следующим образом (рис. 1) [11].
Рис. 1. Геометрическое представление операции проецирования
Выбирают произвольную точку S пространства в качестве центра проецирования и плоскость P, не проходящую через точку S, в качестве плоскости проекций. Чтобы спроецировать точку а (прообраз) пространства на плоскость P, через центр проекций S проводят прямую Sa до ее пересечения в точке A с плоскостью P. Точку A (образ) называют проекцией точки а. Проекцией фигуры F называют совокупность проекций всех ее точек. Описанная проекция называется центральной, или конической. Проекция с бесконечно удаленным центром проецирования называют параллельной, или цилиндрической. Если плоскость P расположена перпендикулярно к направлению проецирования, то проекцию называют ортогональной, или прямоугольной.
113
Вестник СГГА, вып. 4 (28), 2014
Рассмотрим отображение облака точек на плоскость в параллельной и центральной проекциях. Аналитическое решение этой задачи для отдельной точки достаточно известно [7]. Рассмотрим решение этой задачи для пространственной кривой, заданной или вектор-функцией, или облаком (множеством) принадлежащих ей точек.
В параллельной проекции все точки облака проецируются параллельно некоторому фиксированному направлению и на заданную плоскость проекции. Положение точки в плоскости проекции определяется в плоской системе координат. Начало плоской системы координат (точка F) определяется радиусом-вектором r0, а направление ее осей - орт-векторами U1, и2 (рис. 2). Орт-вектор направления проецирования облака обозначим и . Проекцию точки облака в плоскости проекции обозначим S, а ее координаты в плоскости проекции хх, yy.
Рис. 2. Плоская параллельная проекция
Орт-векторы и , и 1, и 2 не лежат в одной плоскости, и поэтому любой вектор можно представить их линейной комбинацией [12, 13]. Разложим вектор FP = r - r 0 по трем некомпланарным и неортогональным векторам и1, и 2, и и запишем
r - r 0 = хх • и1 + yy • и 2 + zz • и .
(1)
114
Картография и геоинформатика
Очевидно, что радиус-вектор точки S (проекции точки P в плоскость проекции) равен
rr = r0 + хх • u1 + yy • u2, (2)
а в системе координат Fu1u2 плоскости проекции
rr = xx • u1 + yy • u 2 = r - r0 - zz • u . (3)
Таким образом, задача определения координат проекции отдельной точки облака на заданную плоскость при параллельном проецировании решена. Применим полученное решение для проецирования облака точек в заданную плоскость.
Рассмотрим пример: пусть даны радиусы-векторы облака R, состоящего из пяти точек, лежащих в одной плоскости. Требуется определить радиусы-векторы этих точек после проецирования в направлении орт-вектора u в плоскость, проходящую через точку с радиусом-вектором r 0, нормаль к которой определяется орт-векторами u1, u 2
' 5 3,618 1,382 1,382 3,618 Л m
R = 5 5 5 5 5 ; г0 = 20
-4 -1,147 -2,237 -5,763 -6,853у v4>
На рис. 3 приведены три варианта проецирования облака R точек. Исходные точки расположены на плоской кривой, и на рисунках они соединены линией. Результаты проецирования зависят от направлений орт-векторов u1, u 2, u . На рис. 3, а эти векторы взаимно ортогональны, плоскость проецирования параллельна плоскости исходных точек и плоскости OXZ, направление проецирования ортогонально упомянутым плоскостям. В результате проецирования изменяется только значения y - координат точек на величину, равную расстоянию между плоскостью исходных точек и плоскостью проецирования. На рис. 3, б плоскость проецирования повернута относительно направления проецирования, оставаясь ортогональной плоскости OXY, и поэтому в результате проецирования изменяются только y координаты исходных точек. На рис. 3, в векторы ul, u2 взаимно ортогональны, а вектор u направлен произвольно, но плоскость проецирования остается параллельной плоскости исходных точек. Так как в параллельной проекции линии проецирования параллельны вектору u , то в результате проецирования происходит лишь смещение изображения без искажений. Направление смещения соответствует направлению проекции вектора u на плоскость проекции.
На рис. 4, а показаны результаты проецирования того же облака при условии, что орт-векторы ul, u2, u взаимно не ортогональны. На рис. 4, б результаты проецирования трехмерного облака точек на заданную плоскость при про-
115
Вестник СГГА, вып. 4 (28), 2014
извольно заданном направлении орт-векторов и 1, и 2, и (исходные точки обозначены круглыми точками, а результаты проецирования - квадратными).
а) б) в)
Рис. 3. Три варианта проектирования облака R точек
Рис. 4. Результаты проецирования облака R точек
При проецировании кривой, заданной аналитически некоторой векторфункцией в формулах (1), (2), (3), радиус-вектор r следует рассматривать как вектор-функцию r (t) [14]. В результате получим другую вектор-функцию rr (t), определяющую проекцию исходной кривой в плоскость проецирования.
В качестве примера рассмотрим проецирование пространственной кривой (рис. 5, б), расположенной на поверхности сферы (рис. 5, а). Далее эту кривую будем называть исходной кривой.
116
Картография и геоинформатика
Sf, L
L
а)
б)
Рис. 5. Исходная пространственная кривая
На рис. 6 показаны результаты проецирования этой кривой в плоскость OXY (трехмерное (см. рис. 6, а) и плоское (см. рис. 6, б) изображение).
Рр,1,(о№ ,Q$> ,0&>)
а) б)
Рис. 6. Проекция исходной кривой в плоскость OXY
На рис. 7 показано трехмерное (см. рис. 7, а) и плоское (см. рис. 7, б) изображение проекции исходной кривой при
' 0,577Л ' 0,712" '0,087 ^
и = 0,577 ; u1 = 0,641 ; и 2 = 0,612
v 0,577, v0,285у v0,786у
117
Вестник СГГА, вып. 4 (28), 2014
На этом рисунке исходная кривая показана непрерывной линией, ее проекция в заданную плоскость - линией с точками, плоскость проецирования изображена прямоугольной областью.
pp,l,(q&\qiP,qiP)
а) б)
Рис. 7. Проекция исходной кривой в произвольную плоскость
При параллельном проецировании пространственной кривой на «кривую» поверхность рассмотренные формулы непригодны. В этом случае координаты точек проекции находим из решения системы уравнений, составленной из уравнения поверхности и уравнения линии проецирования, проходящей через одну из точек проецируемой кривой. В качестве примера рассмотрим проецирование кривой на поверхность сферы. Исходная ситуация показана на рис. 8.
а) б)
Рис. 8. Исходная ситуация:
а) пространственная кривая; б) поверхность сферы, на которую кривая проецируется
118
Картография и геоинформатика
На рис. 9 приведены два варианта проецирования кривой. На рис. 9, а про-
(1}
ецирование выполнено в направлении вектора и
0
л
на рис. 9, б — в направ-
лении вектора и =
1
\b
На рисунке изображается проекция не всей исходной
кривой, а только ее части.
rP,
(r0TГ,(r0T)<0,(r0T f J,rL,(,<f,Q<2>) rP, LfrO"Г,(r0 f,(r0T f J,rL,(,Q1,Q(2>)
<0> / ^<0 / ^<2>"
а)
б)
Рис. 9. Результаты проецирования пространственной кривой
на поверхность сферы
Рассмотрим схему центральной проекции (рис. 10).
В отличие от параллельной проекции орт-вектор направления проецирования в центральной проекции не остается постоянным для всех точек облака, а определяется направлением линии, соединяющей проецируемую точку облака с центром проецирования (точкой наблюдения). Учитывая это обстоятельство, имеем возможность для проецирования облака точек в центральной проекции использовать формулы (1)—(3), заменив в них неизменный орт-вектор и векторфункцией и (t) = r (t) - rQ. Выполним центральное проецирование облака R точек из примера 1. Результаты представим в графическом виде на рис. 11.
На рис. 11 исходные точки, обозначенные кружками, лежат в одной плоскости, точки — результаты проецирования, обозначенные квадратами, — в плоскости проекции. Центр проектирования обозначен ромбом.
119
Вестник СГГА, вып. 4 (28), 2014
Точка
Рис. 10. Центральная проекция
О 40 30 20 ^10 — 30 — 20 — 10 — 0
Рис. 11. Результат центрального проецирования плоского облака из пяти точек
На рис. 12 приведены результаты центрального проецирования облака, состоящего из пяти точек, не лежащих в одной плоскости, на заданную плоскость. Обозначения те же, что и на рис. 11.
Соответствие между исходными точками и точками проекции на рис. 11 и рис. 12 легко увидеть, если соединить исходную точку с центром проектирования. Соответствующая точка проекции будет лежать на этой линии или ее продолжении.
120
Картография и геоинформатика
Рис. 12. Результат центрального проектирования трехмерного облака точек
На рис. 13 показан результат центрального проецирования пространственной кривой, когда орт-векторы U1, U2, U взаимно не ортогональны. На рис. 13, а показана проецируемая пространственная кривая, на рис. 13, б - результат центрального проецирования в заданную плоскость (трехмерный вариант); на рис. 13, в - результат проецирования в заданную плоскость (двухмерный вариант).
Г
pp ,f
f(t)0
а)
б)
в)
Рис. 13. Результат центрального проецирования пространственной кривой
При центральном проецировании пространственной кривой на «кривую» поверхность, как и в случае параллельного проецирования, координаты точек проекции найдем из решения системы уравнений, составленной из уравнения поверхности и уравнения линии проецирования, проходящей через одну из точек проецируемой кривой и центр проецирования. В качестве примера рассмотрим проецирование кривой на поверхность сферы. Исходная ситуация показана на рис. 8. Результаты проецирования показаны на рис. 14.
На рис. 14 исходная кривая показана линией с точками, центр проецирования показан ромбовидной точкой, результат проецирования части исходной кривой - утолщенной линией на сфере.
121
Вестник СГГА, вып. 4 (28), 2014
rP,
(r0T)<0>,(r0Tf,(r0" ) ],rL, (0>,Qe<2), )cPT f,(cPT f,(cPT)
(2)'
Рис. 14. Проецирование пространственной кривой на поверхность сферы
Таким образом, полученные результаты дают возможность находить границы естественных и искусственных систем, когда эти границы представляются пространственными кривыми. Знание границ систем позволяет находить их форму, вычислять размеры и их изменения во времени [15, 16, 2].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Вовк И. Г. Системно-целевой подход в прикладной геоинформатике // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 3 (19). - С. 52-61.
2. Вовк И. Г. Моделирование формы и оценка размеров систем в прикладной геоинформатике // Вестник СГГА. - 2013. - Вып. 2 (22). - С. 115-124.
3. Вовк И. Г. Определение геометрических инвариантов поверхности в прикладной геоинформатике // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 4 (20). - С. 59-69.
4. Вовк И. Г. Математическое моделирование в прикладной геоинформатике // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 1 (17). - С. 94-103.
5. Вовк И. Г. Моделирование в прикладной геоинформатике // Вестник СГГА. - 2011. -Вып. 1 (14). - С. 69-75.
6. Перегудов Ф. И., Тарасенко Ф. П. Основы системного анализа. - Томск: НТЛ, 1997. -
396 с.
7. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве; Под ред. К. И. Бабенко, перев. Г. П. Воскресенский, Г. П. Бабенко. - М.: Мир, 1982.
8. Вовк И. Г. Вариации гравитационного поля при изменении уровня водохранилища // Геодезия и картография. - 1982. - № 9. - С. 12-15.
9. Вовк И. Г. Математическое моделирование эволюции геофизических полей // Геодезия и картография. - 1997. - № 8. - С. 8-11.
10. Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления. - М.: Наука, 1975. - 336 с.
11. Виноградов И. М. Математическая энциклопедия. Т. 4; Под ред. И. М. Виноградова. - М.: Советская энциклопедия, 1984. - С. 688-689.
122
Картография и геоинформатика
12. Ильин В. А., Позняк В. Г. Линейная алгебра. - М.: Главная редакция физико-
математической литературы, 1974. - 296 с.
13. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики; Под ред. Б. П. Демидович. - М.: Физматгиз, 1963. - 660 с.
14. Вовк И. Г. Определение геометрических инвариантов пространственной кривой в прикладной геоинформатике // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 3 (19). - С. 51-62.
15. Обиденко В. И. Разработка и исследование специализированной программы для определения метрических параметров территории Российской Федерации // Вестник СГГА. -2012. - Вып. 3 (19). - С. 18-29.
16. Обиденко В. И. Технология определения метрических параметров территории Российской Федерации по геопространственным данным // Вестник СГГА. - 2012. -Вып. 3 (19). - С. 3-13.
Получено 03.11.2014
© И. Г. Вовк, 2014
123
