CC BY
89
Геодезия
УДК 519.87:004
МОДЕЛИРОВАНИЕ ФОРМЫ И ОЦЕНКА РАЗМЕРОВ СИСТЕМ В ПРИКЛАДНОЙ ГЕОИНФОРМАТИКЕ
Игорь Георгиевич Вовк
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, доктор технических наук, профессор кафедры прикладной информатики, тел. (383)343-18-53
Объектом изучения в прикладной геоинформатике являются разнообразные системы естественного и искусственного происхождения. Предметом изучения - их пространственновременное состояние, а основным методом изучения - метод математического моделирования (вычислительная геометрия и геометрическое моделирование). Важнейшей характеристикой любой системы являются ее форма и размеры. Модель формы системы зависит от назначения модели, а размеры - от имеющихся априорных и/или эмпирических данных. В статье рассматривается задача моделирования формы и размеров системы поверхностями второго порядка. Приведены примеры.
Такие модели могут использоваться для оценки и прогноза состояния и эволюции состояния систем в геодинамике, картографии, экономике, экологии, строительстве, безопасности жизнедеятельности и других сферах человеческой деятельности.
Ключевые слова: прикладная геоинформатика, вычислительная геометрия, геометрическое моделирование, граница системы, форма системы, размер системы.
MODELING THE FORM AND EVALUATING DIMENSIONS OF SYSTEMS IN APPLIED GEOINFOR
Igor G. Vovk
Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Doctor of Sciences, Prof., Chair of Applied Information Science, tel. (383)343-18-53
The object of studies in applied geoinformatics is made up by varied systems of both natural and artificial origins. The subject of the studies is made up by the state of these systems in space and time, whereas mathematic modeling (computerized geometry and geometric modeling) is the major method of studying them.
The form and the dimensions of a system are its major characteristics. The model of the form of any system depends upon the aim of the model and the dimensions are dependent on the existing apriority and/or empirical data. The present paper studies the task of modeling the form and evaluating the dimensions of the systems model by the surfaces of the second order. Let us consider the following examples. The models of this kind can be used to evaluate and to predict the state and the evolution of the systems state in geodynamics, cartography, economics, ecology, construction, safety of living and in some other spheres of human activity.
Key words: applied geoinformatics, computerized geometry, geometric modeling, limits of a system, the form of a system, dimensions of a system.
Как известно, форма - это внешнее выражение какого-либо содержания, способ его существования. Форма и содержание находятся в диалектическом единстве. В ходе развития образуется противоречие содержания и формы, ко-
17
Геодезия
торое разрешается возникновением новой формы, соответствующей развившемуся содержанию.
Существуют различные способы описания формы одной и той же системы. Например, описание формы может быть вербальным, графическим (геометрическим), математическим или каким-либо другим. Описание формы осуществляется человеком соответственно его представлению о цели, для достижения которой предназначено это описание, и поэтому всегда является приближенным. В данной статье рассматриваются только такие системы, форма которых может быть представлена некоторым геометрическим образом: множеством точек, линий, поверхностей, областей и их корректными комбинациями.
Форма и размеры систем определяются границей, отделяющей систему от внешней среды. Информация, необходимая для целостного описания формы, может представляться в двух видах - непрерывная и дискретная. Непрерывная информация обычно представляется как непрерывная функция координат и/или времени, она хранится в графическом виде или в виде какой-нибудь физической величины, изменяющейся непрерывно в определенной области пространства (линия, поверхность, область). Дискретная информация - последовательность отдельных сигналов, отделенных друг от друга конечными временными или пространственными интервалами. При этом количество различных состояний сигналов конечно [1]. Все реальные устройства получения, передачи и воспроизведения информации имеют ограниченную чувствительность, ограниченную пропускную и разрешающую способность, вследствие чего непрерывная информация распадается на конечную последовательность сигналов. Это обстоятельство обосновывает возможность замены непрерывной информации дискретной. Поэтому далее будем считать, что информация о форме систем определена в дискретном виде.
Изучением пространственных отношений объектов и их формы занимается геометрия. Она представляет собой математическую модель, воспроизводящую отношения между объектами [2]. В современном общем смысле геометрия объ-емлет любые отношения и формы, которые возникают при рассмотрении однородных объектов, явлений, событий вне их конкретного содержания и которые оказываются сходными с обычными пространственными отношениями и формами. Например, рассматривают расстояния между функциями, абстрагируясь от специальных свойств этих функций и реальных процессов, описываемых этими функциями [3].
В настоящее время в геометрии, как и в других науках, широко применяются компьютерные технологии. Вследствие этого появилось два новых направления, одно из которых получило название «Вычислительная геометрия», а другое - «Геометрическое моделирование». Эти два направления не тождественны друг другу, но имеют много общего.
Основная задача вычислительной геометрии - преобразование (где это полезно) геометрических задач в вычислительную форму [4], т. е. построение алгоритма для численного решения геометрической задачи, а основная задача
18
Геодезия
геометрического моделирования - представление в компьютере, анализ и синтез информации о геометрическом образе [5]. Оба направления основываются на использовании дискретной информации для представления геометрических образов с помощью компьютера соответственно алгоритму решения задачи.
Применение методов вычислительной геометрии и геометрического моделирования в задачах прикладной геоинформатики дает возможность информацию о форме системы, ее внешнем облике, ее размерах, геометрических характеристиках, особенностях представить в компактном аналитическом виде в памяти компьютера. Это обстоятельство позволяет сохранять информацию о форме и геометрических свойствах системы в цифровом виде, осуществлять декомпозицию системы на части, легко визуализировать эти данные в числовом или графическом виде. Графическое представление системы на дисплее позволяет увидеть, как математически описанная система выглядит при ее рассмотрении из любой точки внешнего пространства. Имея достаточно обширный арсенал геометрических моделей, мы получаем возможность осуществлять их агрегирование и моделировать форму системы по заданным требованиям в соответствии с поставленной целью. Эти требования могут быть заданы точно или в качественном виде. Поэтому агрегирование желательно осуществлять в интерактивном режиме, когда человек может, имея изображение системы на дисплее, управлять процедурой агрегирования так, чтобы удовлетворить предъявляемые к результату формальные и эвристические требования.
Пусть, например, необходимо увидеть, какая форма образуется при вращении ломаной линии около заданной оси вращения. Исходная ситуация показана на рис. 1 слева. На основании вычислительного алгоритма найдены координаты точек поверхности вращения и построена сама поверхность вращения, показанная на рис. 1 справа. Форму поверхности вращения можно изменять в интерактивном режиме или изменяя координаты вершин исходной ломаной, или изменяя положение оси вращения, подбирая их так, чтобы получить желаемый результат.
(X1 ,Y1,Z1), Lu
Рис. 1. Иллюстрация моделирования поверхности, полученной при вращении ломаной линии около заданной оси
19
Геодезия
Геометрическим образом границы системы служат линии и поверхности. И линии, и поверхности состоят из бесконечного множества точек, а в прикладной геоинформатике чаще всего линии и поверхности задаются некоторым конечным множеством их точек. Данное противоречие разрешается благодаря тому, что и линии, и поверхности могут быть определены конечным числом параметров. Например, любая пространственная прямая определяется радиус-вектором одной точки, через которую она проходит, и направляющим орт-вектором этой прямой. Аналогично, любая плоскость определяется радиус-вектором одной точки и двумя неколлинеарными орт-векторами, принадлежащими плоскости. Аналитическое описание кривых и поверхностей может осуществляться по-разному. Среди множества вариантов описания кривых и поверхностей наиболее простым и удобным для применения при моделировании формы систем является параметрический метод. Например, для получения графического представления кривой или поверхности достаточно вычислить последовательно координаты их точек, соответствующих заданному множеству значений параметров.
Для определения формы системы по данным о координатах конечного множества (облака) ее точек необходимо, в соответствии с целью, выбрать геометрический образ, который принимается в качестве модели формы, и определить требования (критерии), которым этот образ должен удовлетворять. После этого нужно оценить значения конечного числа параметров, необходимых для математического описания выбранного геометрического образа формы системы соответственно предъявляемым требованиям.
В качестве критериев оценки приемлемости полученной модели формы системы чаще всего используются требования непрерывности градиента и кривизны линий и поверхностей, из которых складывается форма. Однако выполнение этих требований часто не обеспечивает приемлемости результатов моделирования. Это происходит потому, что данные критерии дают возможность оценки приемлемости той или иной функции для аппроксимации эмпирического множества точек, но не позволяют оценить приемлемость геометрического образа этих функций для описания формы системы. Например, на практике для аппроксимации облака эмпирических данных часто применяют алгебраические или тригонометрические полиномы, которые в области определения могут иметь сколь угодно много разного рода осцилляций. Кроме этого, системы, форму которых требуется определять, имеют сложную структуру, не допускающую описание их формы простыми аналитическими функциями. Вследствие этого моделирование формы систем осуществляется по частям.
Непрерывность и гладкость кривых и поверхностей в местах соединения отдельных частей достигается выбором параметризации в местах соединения. Так как при этом возникает необходимость вычислять дифференциальные характеристики, то нужна такая параметризация, для которой легко производится операция дифференцирования. Удачным для многих приложений оказались кубические уравнения и поэтому большинство методов моделирования кривых и поверхностей основано на использовании параметризации с помощью куби-
20
Геодезия
ческих функций - сплайнов [6]. Это связано с тем, что построение сплайнов сводится к решению системы линейных уравнений с трехдиагональной матрицей, имеющей доминирующую главную диагональ. Например, ломаная линия с узлами х0 <хг <---<хп есть сплайн первого порядка.
Форма любой системы определяется набором интегральных и дифференциальных характеристик. Интегральными характеристиками, например, являются геометрические свойства всей системы - возможность ее представления одним геометрическим телом, его размеры, площадь поверхности, объем занимаемого пространства, числовые значения инвариантных характеристик [7, 8] и другие. Дифференциальными характеристиками системы служат направления касательных и нормалей к поверхностям и/или линиям, ограничивающим систему, их кривизна, площади частей поверхности и длины линий, охватывающих эти части, и другие. Методы определения этих характеристик рассмотрены в работах [9, 10], практические примеры приведены в [7, 8].
Пусть, например, требуется определить модель для описания формы облака точек в трехмерном пространстве. Предположим, что начало координат совпадает с точкой, координаты которой равны среднему арифметическому из координат точек облака. В трехмерном пространстве всегда существует три линейно независимых орт-вектора Uj (j = 0, 1, 2) таких, что все остальные векторы могут быть представлены линейными комбинациями этих векторов. Обозначим Rt (i = 0, 1, 2, ..., N) - радиус-векторы исходных точек облака и выберем искомые орт векторы Uj так, чтобы функционал
F(Uj) = Ef=T01(^i- № -г^О-йу)2 = min. (1)
Результат решения такой задачи в графическом виде показан на рис. 2.
Рис. 2. Графическое представление с двух различных точек обзора решения задачи определения трех взаимно ортогональных векторов в облаке точек,
удовлетворяющих условию (1)
21
Геодезия
На рис. 2 показаны точки, составляющие исходное облако, и решение в виде трех взаимно ортогональных векторов, удовлетворяющих условию (1). Векторы Uj в заданном облаке точек образуют новую систему координат. Обозначим Q - матрицу, составленную из векторов Uj, RRt - радиус-векторы точек облака относительно системы координат, составленной из векторов Uj, и запишем
Ri = Q-RRi . (2)
Формула (2) устанавливает связь между координатами векторов Rt в исходной системе координат и координатами этих же векторов в системе координат, составленной из векторов Uj.
Как известно, поверхность в аналитической и алгебраической геометрии -это множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению определенного вида. В трехмерном евклидовом пространстве наиболее простыми и изученными поверхностями (после плоскостей) являются поверхности второго порядка. Существует 17 классов таких поверхностей, среди которых имеются поверхности мнимые и вырожденные, т. е. такие, которые отображаются прямыми линиями и плоскостями. Мнимые и вырожденные поверхности исключим из рассмотрения.
Форма поверхности второго порядка определяется ее каноническим уравнением, а размеры - числовыми значениями параметров a, b, c, входящих в каноническое уравнение. Эти параметры являются скалярными инвариантами поверхности второго порядка и имеют определенный геометрический смысл. Например, для эллипсоида это числовые значения его полуосей, для конуса - значения a, b - полуоси эллипса, удаленного от вершины на расстояние c, и т. д.
Следовательно, зная в облаке точек три взаимно ортогональных орт-вектора, имеем возможность определить модель его формы одной из поверхностей второго порядка. Выбор типа поверхности осуществляется или на основании априорных сведений о форме поверхности, отображаемой этим облаком, или исходя из поставленных целей определения модели формы. В работе [11] в качестве модели формы облака выбрана сфера. Этот выбор позволил оценить некоторые интегральные геометрические характеристики исследуемого облака.
После выбора модели формы поверхности для определения ее размеров необходимо оценить числовые значения геометрических инвариантов, которые определяют размер поверхности. Для простоты будем считать, что центр или вершина поверхности второго порядка совпадает с точкой, радиус-вектор которой равен среднему арифметическому из радиус-векторов точек облака и эта точка совпадает с началом координат. Числовые значения инвариантов поверхности второго порядка положим равными среднему квадратическому значению проекций радиус-векторов Rt точек облака на направления Uj - базисных орт-векторов и вычислим их значения по формуле
22
Геодезия
и = (b) = Gr sfL"°1('?i 'й>)2)1/2 • (3)
Принимая за основу одну из поверхностей второго порядка, по полученным данным имеем возможность выполнить геометрическое моделирование и построить изображение модели поверхности.
Рассмотрим несколько примеров моделирования формы облака точек поверхностью второго порядка. В качестве модели формы поверхности выберем поверхность трехосного эллипсоида (рис. 3).
Рис. 3. Графическое представление модели формы облака точек в виде трехосного эллипсоида с трех различных точек обзора
На рис. 3 показаны исходные точки облака, три взаимно ортогональных вектора, полученные в результате минимизации функционала (1), и поверхность трехосного эллипсоида, полуоси которого вычислены по формуле (3). Изображение показано с трех различных точек обзора.
Полученное решение не является единственным. Например, вместо поверхности эллипсоида можно выбрать другую поверхность (конус, цилиндр, параболоид и т. д.) и получить другое решение. Выбор зависит от априорных сведений о поверхности, цели моделирования и других обстоятельств. На рис. 4 для того же облака точек приведено решение, когда моделью формы поверхности выбрана поверхность однополостного гиперболоида (катеноид),
а на рис. 5 - поверхность гиперболического параболоида (слева) и поверхность цилиндра (справа). На этих рисунках в графическом виде показаны исходные точки облака, векторы Uj и модель формы поверхности облака. Во всех приведенных примерах векторы Uj и значения инвариантов (3) одни и те же, так как исходное облако точек остается неизменным.
23
Геодезия
RR, R<J>,R<2>), L0,L1, L2 RR, (r<0\ R^\ R<2^), L0, L1, L2 RR, , R^, R<2>), L0, L1, L2
Рис. 4. Графическое представление модели формы облака точек в виде однополостного гиперболоида с трех различных точек обзора
RR, (<0>, R^, R^), L0, L1, L2
Рис. 5. Графическое представление модели формы облака точек в виде гиперболического параболоида (слева) и цилиндра (справа)
Приведенные примеры иллюстрируют возможности моделирования формы и размеров системы, отображаемой облаком точек, поверхностями второго порядка. Геометрические инварианты полученной модели поверхности функционально связаны с радиус-векторами исходных точек облака. Изменения положения точек облака будут проявляться в изменениях геометрических инвариантов поверхности.
В прикладной геоинформатике такие модели могут использоваться [12, 13, 14] для оценки и прогноза состояния и эволюции состояния систем в геодинамике, картографии, экономике, экологии, строительстве, безопасности жизнедеятельности и других сферах человеческой деятельности.
24
Геодезия
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Энциклопедия кибернетики / Отв. ред. В.М. Глушков. - Киев: Главная редакция Украинской советской энциклопедии, 1975. Т. 1.
2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М.: Наука, 1976.
3. Советский энциклопедический словарь / Ред. М.Ф. Прохоров. - М.: Сов. энциклопедия, 1989.
4. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение. - М.: Мир, 1989.
5. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве. - М.: Мир, 1982.
6. Математическая энциклопедия / Ред. М. Виноградов. - М.: Сов. энциклопедия, 1977.
Т. 5.
7. Вовк И.Г. Определение геометрических инвариантов пространственной кривой в прикладной геоинформатике // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 3 (19). - С. 51-62.
8. Вовк И. Г. Определение геометрических инвариантов поверхности в прикладной геоинформатике // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 4 (20). - С. 59-69.
9. Лаптев Ш.Ф. Элементы векторного исчисления. - М.: Наука, 1975.
10. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр II. - М.: Наука, 1979.
11. Вовк И.Г., Бугакова Т.Ю. Математическое моделирование пространственновременного состояния систем по геометрическим свойствам и оценка техногенного риска методом экспоненциального сглаживания // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 4 (20). - С. 47-58.
12. Карпик А.П., Никитин А.В. Теория моделирования пространственной длины трассы // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2013. 1Х Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 3 т. (Новосибирск, 15-26 апреля 2013 г.). - Новосибирск: СГГА, 2013. Т. 1. - С. 49-53.
13. Кузин В.И., Лаптева Н.А. Математическое моделирование стока из бассейна реки Лена // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2013. 1Х Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Дистанционные методы зондирования Земли и фотограмметрия, мониторинг окружающей среды, геоэкология» : сб. материалов в 2 т. (Новосибирск, 15-26 апреля 2013 г.). - Новосибирск: СГГА, 2013. Т. 2. - С. 3-7.
14. Крапивко Е.А., Михайлов И. О. Основные принципы моделирования трехмерного пространства объектов // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2013. 1Х Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «СибОптика-2013» : сб. материалов в 2 т. (Новосибирск, 15-26 апреля 2013 г.). - Новосибирск: СГГА, 2013. Т. 1. - С. 84-88.
Получено 13.05.2013
© И.Г. Вовк, 2013
25
