CC BY
78
ГЕОИНФОРМАТИКА
УДК 519.87:004
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ПРИКЛАДНОЙ ГЕОИНФОРМАТИКЕ
Игорь Георгиевич Вовк
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, доктор технических наук, профессор кафедры прикладной информатики СГГА, тел. (383)343-18-53
Непосредственное, прямое изучение объектов, процессов и явлений в прикладной геоинформатике может быть невозможным, опасным и дорогим. Поэтому основным методом их исследования служит математическое моделирование. В настоящее время в прикладной геоинформатике применяют два основных метода математического моделирования: аналитический и имитационный. Аналитический метод математического моделирования состоит в получении результатов моделирования в виде утверждений, истинность которых устанавливается на основании доказательства. Если аналитическое моделирование не представляется возможным, то применяют имитационное моделирование. Процедура имитационного моделирования состоит в разработке моделирующего алгоритма процесса функционирования структуры системы, с учетом выбранного уровня детализации, и воспроизведении его на компьютере так, чтобы иметь возможность управлять ходом процесса имитации. В статье приведено описание этих методов моделирования и приведены примеры.
Ключевые слова: геоинформатика, математическое моделирование, аналитическое моделирование, имитационное моделирование.
MATHEMATICAL MODELING IN APPLIED GEOINFORMATICS
Igor G. Vovk
Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Ph. D., Prof., Department of applied information SSGA, tel. (383)343-18-53
Direct studying of objects, processes and phenomena might be impossible, dangerous and expensive in applied geoinformatics. Therefore mathematical modeling becomes the basic method of their research. At present there are two basic methods of mathematical modeling: analytical and simulation. The analytical method of mathematical modeling lies in the obtaining of modeling results in the form of statements which validity is established on the basis of proving. If analytical modeling does not occur to be possible, simulation modeling is applied. The procedure of simulation modeling lies in the modeling algorithm development of a system structure functioning process,
94
Геоинформатика
taking into account the chosen level of detailed elaboration, and its reproduction on the computer in the way to have a possibility to operate the course of a simulation process. The description of these modeling methods and their examples are adduced in the following article.
Key words: geoinformatics, mathematical modeling, analytical modeling, simulation modeling.
Прикладная геоинформатика занимается изучением разнообразных объектов, процессов и явлений, происходящих на планете Земля, ее методы и результаты используются для прогноза и оценки риска последствий этих процессов и разработки эффективных методов управления этими процессами. Непосредственное, прямое изучение объектов, процессов и явлений может быть невозможным, опасным и дорогим. Поэтому основным методом исследования в прикладной геоинформатике служит моделирование. Модель создается для того, чтобы исследование реальной системы заменить исследованием модели. Типичными примерами моделирования в геоинформатике являются многие модели астрономии (модели Солнечной системы), геофизики (модели внутреннего строения Земли), геодезии (модели фигуры Земли), прикладной геодезии (модели пространственно-временного состояния естественных и искусственных систем), картографии (карты, как модели физической поверхности Земли) и другие.
Модели, в которых отображение объектов осуществляется математическими средствами, называют математическими моделями. В настоящее время в прикладной геоинформатике применяют два основных метода математического моделирования: аналитический и имитационный.
Аналитический метод математического моделирования состоит в получении результатов моделирования в виде утверждений, истинность которых устанавливается на основании доказательства. Доказательством называют конечную последовательность формул, каждая из которых либо является аксиомой, либо получается из предыдущих формул этой последовательности в соответствии с правилами вывода [3]. В результате устанавливают аналитическую зависимость искомых результатов от исходных данных, влияния внешней среды, состояний объекта и других его характеристик. В общем случае эта зависимость определяет связи между входными X и выходными Y переменными исследуемой системы (процесса, объекта) в виде
F-X^Y; X е Qx, Y е Qy, (1)
где Qx., Qy - множества значений входных и выходных переменных моделируемой системы.
Как известно, многие модели представляются системами уравнений вида
Lu = /, (2)
где ue U, f е F; U, F - функциональные пространства, а L - оператор отображения U в F.
95
Геоинформатика
Аналитический метод моделирования состоит в получении, исследовании и решении этого уравнения. В результате формулируют выводы о существовании и единственности его решения, корректности решения, получают, если это возможно, формулы для нахождения значений искомых неизвестных и т. д. Большим достоинством аналитического моделирования является возможность получения точного решения задачи. Однако из-за большой размерности исследуемых процессов и явлений и ряда других причин область использования аналитических методов моделирования ограничивается.
В качестве примера аналитического моделирования рассмотрим модель для определения координат точек физической поверхности Земли геодезической пространственной линейной засечкой [7]. Целью моделирования здесь является определение декартовых прямоугольных координат точки по измеренным расстояниям от нее до некоторого количества точек с известными координатами.
Известно, что три плоскости пересекаются в одной точке, если смешанное произведение векторов - нормалей этих плоскостей не равно нулю. Следовательно, существует единственное решение, когда имеется четыре пункта, не лежащих в одной плоскости. Обозначим радиус-векторы этих пунктов fj (j = 1,4). Четыре таких исходных пункта обеспечивают возможность определения трех векторов R1, R2, R3, смешанное произведение которых не равно нулю. Обозначим их орт-векторы п1)п2)п3. Уравнение плоскости, проходящей через определяемую точку P и имеющей нормалью один из векторов nj(i = 1,2,3), имеет вид
(рр- pi)^ni = 0, (3)
где р = P(Qd - радиус-вектор точки Q
На рис. 1 приведена схема для определения одного из векторов p(Qi).
P
Рис. 1. Схема для определения радиус-вектора p точки Q
96
Геоинформатика
Таким образом, задача сводится к определению радиус-вектора pj.
Точка Q делит вектор R = г2 — г'.1 на пропорциональные отрезки, так что справедливо равенство
р— i1 = X • (i' — 11)
(4)
и, следовательно,
Гх+Я-
1+Я ’
(5)
где X - скалярный множитель, численно равный отношению длин отрезков, на которые точка Q делит R. Для определения значения X, введем обозначения (см. рис. 1)
х = г' — р; rfl = I'1 — р|; d2 = I'1 — р|. (6)
Умножая уравнение (2) скалярно на (г2 — р) и учитывая обозначения (4), найдем
(d-x)-x
|х|2
X.
Так как (г2 — rl) • (гр — р) = 0, то имеет место уравнение
dl2 — (d — х)2 = d22 — х2,
из которого найдем
2 • d • х = d2 + (d22 — dl2). Подставим в (9) тождество
(7)
(8) (9)
х = d — (d — х)
и запишем
2 • d • (d — х) = d2 — (d22 — dl2). (10)
Формулы (7), (9) и (10) позволяют получить
л = d4-(d22-d12)2 (11)
(d2+(d22-d12))2' ( )
Формулы (5) и (11) позволяют находить координаты радиус-вектора р Теперь в уравнении (3) неизвестным остается только искомый вектор рР . В рассматриваемом нами случае имеется три вектора, не лежащие в одной плоско-
97
Геоинформатика
сти, поэтому можно составить три таких уравнения и из решения полученной системы найти радиус-вектор
Рр
Рг-ni •и1+р2т2-и2+р3п3-и3
Пг-П2ХП3
(12)
где обозначено п1 = п2 X п3, п2 = n3 X П1; П3 = n2 X п3.
Таким образом, получена аналитическая модель для определения координат точки пространственной линейной засечкой.
Не всякая аналитическая модель позволяет получить точное численное решение. В таких случаях аналитическая модель преобразуется в вычислительный алгоритм для получения численных результатов с приемлемой точностью [2].
Вычислительный алгоритм - точно определенная последовательность действий над данными, позволяющая преобразовать за конечное число операций исходный массив данных в массив выходных данных. Для каждого компьютера и заданного вычислительного алгоритма вычислительный процесс является строго детерминированным, т. е. заданному входному массиву данных однозначно соответствует последовательность операций данного компьютера, последовательность состояний компьютера и выходной массив данных. Реальный вычислительный алгоритм состоит из абстрактного вычислительного алгоритма, не связанного с конкретным компьютером и записанного или в общепринятых математических терминах или на каком-либо алгоритмическом языке, и программы (совокупности компьютерных команд), описывающей вычислительный алгоритм и организующей реализацию вычислительного процесса в конкретном компьютере. Вычислительный алгоритм характеризуется точностью, устойчивостью и экономичностью. Точность вычислительного алгоритма - это погрешность преобразования массива входных данных в массив выходных данных. Она обусловлена погрешностями модели, погрешностями аппроксимации абстрактного алгоритма вычислительным алгоритмом, погрешностями входных данных и погрешностями округления при представлении чисел в компьютере. Устойчивость вычислительного алгоритма позволяет судить о скорости накопления суммарной вычислительной погрешности. Она определяется структурой абстрактного алгоритма и влиянием ошибок округления. Чем выше устойчивость абстрактного алгоритма, тем меньше результаты вычислений зависят от выбора компьютера. Экономичность вычислительного алгоритма определяется временем работы компьютера, необходимым для получения результатов вычислений с заданной точностью.
После создания вычислительного алгоритма на одном из языков программирования пишется и отлаживается программа для выполнения вычислений на компьютере и выполняются вычисления. Вычисления ведутся по плану, предусматривающему возможность проверки и программы вычислений, и алгоритма, и результатов. Для этого должны использоваться избыточные данные, получен-
98
Геоинформатика
ные из независимых источников. Результаты вычислений анализируются, и принимается решение об их приемлемости или необходимости внесения изменений в модель, алгоритм или программу.
Если аналитическое моделирование не представляется возможным, то применяют имитационное моделирование. Любое воспроизведение в компьютере динамического процесса и анализ множества вариантов его реализации называют имитацией [13].
Возникновение имитационного моделирования связано с необходимостью проектирования и изучения сложных систем, недоступных для натурного или лабораторного эксперимента с целью оптимизации выбора их структурных и функциональных характеристик. В геодезии и геоинформатике имитационные модели использовались для имитации физических или информационных процессов с целью установления зависимости фазовых переменных от времени [4,
9, 5, 8, 10].
Характерной особенностью имитационного моделирования является возможность человека вмешаться в процесс моделирования с целью управления процессом на основании своего опыта и интуиции. Следовательно, процедура имитационного моделирования состоит в разработке моделирующего алгоритма процесса функционирования структуры системы, с учетом выбранного уровня детализации, и воспроизведении его на компьютере так, чтобы иметь возможность управлять ходом процесса имитации. В отличие от аналитического метода моделирования, позволяющего получать аналитические зависимости искомых неизвестных от внутренних характеристик системы и внешних условий, одиночное имитационное испытание модели может дать лишь значение некоторого неизвестного при заданных характеристиках системы. Для получения аналитических или графических зависимостей необходимы многократные испытания.
При имитации многомерных динамических систем необходимо определить правило развертывания процессов функционирования множества элементов в системе в последовательный моделирующий алгоритм [1]. Для этого интервал времени [0, T], в течение которого рассматривается работа системы, разбивается на интервалы длиной At. В пределах каждого интервала последовательно вычисляются приращения всех процессов в модели, и производится, если это необходимо, изменение состояния отдельных элементов модели. При достаточно малых At получают хорошее приближение имитируемых процессов к процессам в реальной системе. Очевидно, что точность моделирования при этом достигается ценой больших затрат времени. Такой метод является наиболее универсальным методом построения имитационных моделирующих алгоритмов, хотя и наименее экономичным с точки зрения вычислительных ресурсов. Чаще всего он применяется для моделирования непрерывных динамических систем. Примером такого моделирования служит моделирование геодезических измерений в переменном поле силы тяжести [5, 4, 10, 8].
99
Геоинформатика
Однако данный способ малопригоден для имитации систем, динамика которых состоит в переходе из состояния в состояние, причем в промежутках между переходами состояние системы остается неизменным. Каждый такой переход связан с наступлением некоторого события в системе, например, приход входного или управляющего дискретного сигнала, отказ элемента, достижение некоторой характеристикой системы заданного порогового значения и другие. При построении алгоритма имитации функционирование системы рассматривается как совокупность параллельно протекающих процессов, состоящих из последовательности событий, изменяющих состояние системы. Событие, возникающее в системе, определяется как особое состояние [1]. Процессы в общем случае не являются независимыми, а взаимодействуют между собой. Примером может служить процедура оценки риска возникновения опасных состояний в естественных и искусственных системах.
Имитационные модели не всегда могут быть реализованы из-за неопределенности выбора вариантов моделирования среди множества альтернатив или неопределенности внешнего воздействия. В таких условиях в имитационную модель вводится неформальный элемент, с помощью которого разрешаются эти проблемы. Неформальным элементом имитационной системы служит интуиция и опыт человека.
Включение неформального элемента в имитационную модель осуществляется за счет организации диалога «человек - компьютер» [11, 13]. Диалоговый режим применяют для решения таких задач, программа решения которых в момент начала не полностью известна. Человек следит за процессом обработки в компьютере, фиксирует промежуточные результаты и по ходу решения выдает компьютеру инструкции, управляя его работой. Промежуточные результаты используются, например, для уточнения условий натурного эксперимента, они генерируют новые идеи относительно изучаемого объекта и позволяют создать новую имитационную модель, определить разнообразные свойства объекта и значения некоторых его характеристик. Главным в организации диалога является создание своеобразного алгоритма - системы вопросов, ответы на которые получают в процессе имитационного моделирования, используя формальные и неформальные методы анализа. В условиях неопределенности для повышения эффективности имитационного моделирования заблаговременно формулируются гипотезы о возможных состояниях и поведении системы и создаются модели, соответствующие этим гипотезам и сравнительно просто и эффективно реализуемые в условиях диалога.
В результате использования диалогового режима взаимодействия человека и компьютера возникает имитационная система - совокупность моделей, описывающих исследуемый объект, объединенная со специализированной системой вспомогательных программ и необходимой информационной базой. В ней объединяются интеллект человека и формальные математические методы, опирающиеся на современные вычислительные системы.
100
Геоинформатика
Имитационное моделирование создает информационную базу для решения проблемных ситуаций, когда способ действия для достижения результата неизвестен, приводит к нетрадиционным способам получения новых знаний и поднимает общую культуру мышления.
В качестве примера рассмотрим имитационную модель изменения пространственно-временного состояния системы.
Строительство и эксплуатация технических систем сопряжено с риском возникновения в них опасных состояний, которые сопровождаются материальным ущербом и человеческими жертвами. Причины возникновения опасных состояний разнообразны, но многие из них проявляются в движениях и деформациях системы. Анализируя движения и деформации системы, можно судить об опасности ее состояния и принимать необходимые меры для снижения риска и ущерба от возникновения опасных состояний. Разрушение многих сооружений можно было бы предвидеть при своевременном выполнении работ по наблюдению и анализу движений и деформаций системы. Движения системы -это изменения ее положения в пространстве относительно принятой неизменной системы отсчета, а деформации - движения частей системы относительно друг друга, сопровождающиеся изменениями формы и размеров всего сооружения или отдельных его частей. Форма, размеры и положение в пространстве ТС, отнесенные к некоторому моменту времени, определяют ее пространственно-временное состояние (ПВС), а функции, характеризующие ПВС системы, -характеристики состояния.
Моделирование изменений ПВС системы представляет достаточно сложную задачу. Поэтому, основываясь на принципах системно-целевого подхода [6] выполним декомпозицию этого сложного движения на сумму более простых. Для этого заметим, что оно складывается из движения системы как абсолютно твердого тела и движения частей системы относительно друг друга (деформаций системы). Как известно [12], всякое перемещение абсолютно твердого тела в пространстве может быть осуществлено поступательным перемещением вместе с полюсом и одним поворотом вокруг оси, проходящей через полюс. Формальная математическая модель движения абсолютно твердого тела имеет вид (рис. 2)
КО = ro'(t) + r'(0, (13)
где r (t) - радиус вектор произвольной точки тела; r0, (t) - радиус вектор полюса вращения тела;
r'(t) - радиус вектор произвольной точки тела относительно полюса; t - время.
101
Геоинформатика
Рис. 2. Определение положения твердого тела в пространстве
Обозначим
rrL(t) - радиус-вектор деформаций в произвольной точке тела;
~tf(t) - случайный стационарный процесс с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией r.
Случайный стационарный процесс ^(t) характеризует влияние различных случайных помех на ПВС системы.
Теперь можем записать формальную имитационную модель изменений ПВС системы
r(t) = r0f(t) + r'(t) + rd(t) + ^(t). (14)
Следовательно, для имитации изменения ПВС системы необходимо создать модели движения системы, как абсолютно твердого тела, модели деформаций системы и модель случайного стационарного процесса с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией. Имея достаточно обширный арсенал таких моделей, получаем возможность имитационного моделирования пространственно-временного состояния систем.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Вентцель Е.С. Исследование операций. - М.: Советское радио, 1972.
2. Математическая энциклопедия. Т. 5. Гл. редактор И.М. Виноградов. - М.: Советская энциклопедия, 1982.
3. Математическая энциклопедия. Т. 1. Гл. редактор И.М. Виноградов. - М.: Советская энциклопедия, 1982.
4. Вовк И.Г. Вариации гравитационного поля при изменении уровня водохранилища // Геодезия и картография. - 1982. - № 9. - С. 12-15.
5. Вовк И.Г. Математическое моделирование результатов угловых измерений в переменном поле силы тяжести // Геодезия и картография. - 1993. - № 2. - С. 8-10.
6. Вовк И.Г., Бугакова Т.Ю. Основы системно-целевого подхода и принятия решений. - Новосибирск: СГГА, 2011.
102
Геоинформатика
7. Вовк И.Г. Еще один алгоритм определения координат из пространственной линейной засечки // Вестник Сибирской государственной геодезической академии (СГГА). -2000. - № 5. - С. 137-139.
8. Вовк И.Г. Математическое моделирование результатов геометрического нивелирования в переменном поле силы тяжести // Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. -1984. - № 3. - С. 72-75.
9. Вовк И.Г., Горленко Н.М. Неприливные вариации силы тяжести в окрестности рудного месторождения. Повторные гравиметрические измерения, 1984. - С. 78-79.
10. Вовк И.Г., Суздалев А.С. Влияние техногенных вариаций силы тяжести на положение отвесов плотин ГЭС // Геодезия и картография. - 1990. - № 2. - С. 14-16.
11. Энциклопедия кибернетики. Т. 1. Гл. редактор В.М. Глушков. - Киев: Главная редакция украинской Советской энциклопедии, 1975.
12. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. Т. 1. - М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1982.
13. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. - М.: Наука, 1981.
Получено 27.02.2012
© И.Г. Вовк, 2012
103
