Определение геометрических инвариантов пространственной кривой в прикладной геоинформатике Текст научной статьи по специальности «Математика»

ГЕОИНФОРМАТИКА

УДК 519.87:004

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ИНВАРИАНТОВ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ В ПРИКЛАДНОЙ ГЕОИНФОРМАТИКЕ

Игорь Георгиевич Вовк

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, доктор технических наук, профессор кафедры прикладной информатики СГГА, тел. (383)343-18-53

При изучении пространственно-временных свойств систем в прикладной геоинформатике с каждой системой связывают геометрический объект (множество точек, линия, поверхность и т. д.), который однозначно определяется некоторым набором скалярных величин и геометрических образов. Если перемещать такой объект как твердое тело, то эти скаляры не будут меняться, а геометрические образы будут перемещаться вместе с ним, не меняя своего относительного расположения. Скаляры и геометрические образы, обладающие указанными свойствами, называют геометрическими инвариантами объекта. Одним из таких геометрических объектов является пространственная кривая. Вычисление геометрических инвариантов пространственной кривой не вызывает принципиальных затруднений, если ее координатные функции известны. В прикладной геоинформатике такая ситуация является исключительно редкой. Как правило, кривая задается множеством точек с известными координатами и определение геометрических инвариантов по этим данным практически невозможно. Для преодоления этого противоречия необходимо по имеющимся данным получить аналитическое параметрическое описание пространственной кривой. Решение этой задачи позволит вычислять геометрические инварианты кривой.

Ключевые слова: геоинформатика, сплайн-интерполяция, геометрические инварианты, пространственная кривая.

DEFINING GEOMETRICAL INVARIANTS OF SPACE CURVE IN APPLIED GEOINFORMATICS

Igor G. Vovk

Siberian State Geodesic Academy, 630108, Russia, Novosibirsk, Plahotny St. 10, Doctor of Sciences, Professor of the Chair of Applied Geoinformatics, tel. (383) 343-18-53

In applied geoinformatics when studying some space-and-time properties of the systems every system of the is connected with some geometrical object (a multitude of points, a line, some surface, etc.), which is simply defined by a certain number of numerical values and geometrical images. If an object like a solid body is moved the values won’t change, whereas the geometrical

52

Геоинформатика

images will move together with the object and their relative disposition will remain unchanged. The numerical values and the geometrical images posessing these properties are called the geometrical invariants of the object. The space curve is one of such geometrical objects. No difficulties of principle arise in calculating the geometrical invariants of the surface curve if its coordinate functions are known. Such cases are extremely rare in applied geoinformatics. As a rule the curve is set up by a multitude of points with known coordinate parameters and it is next to impossible to define the geometrical invariants by these data. In order to overcome this difficulty and to solve the contradictory problem it is necessary to receive the analytical parametrical description of the space curve on the basis of the existing data. The solution of this problem will enable calculating the geometrical invariants of the curve and by their change to calculate the state of the objects in space and in time.

Key words: geoinformatics, spli-interpolation, geometrical invariants, space curve.

Математическое моделирование - основной метод изучения пространственно-временных свойств систем в прикладной геоинформатике [1, 2]. Для этого с каждой системой связывают геометрический объект (множество точек, линия, поверхность и т. д.), который однозначно определяется некоторым набором скалярных величин и геометрических образов, характеризующих пространственно-временные (геометрические) свойства системы. Если перемещать такой объект как твердое тело, то эти скаляры не будут меняться, а геометрические образы будут перемещаться вместе с ним, не меняя своего относительного расположения. Скаляры и геометрические образы, обладающие указанными свойствами, называют геометрическими инвариантами объекта. Этот принцип инвариантности геометрических понятий дает возможность применять математические методы для отделения величин и понятий, имеющих геометрический (или физический) смысл, от величин и понятий, лишенных этого смысла и связанных с выбором системы координат или условий эксперимента [3]. Одним из таких геометрических объектов является пространственная кривая, которая, исходя из принципов системно-целевого подхода [4], может быть применена при моделировании сценариев эволюции пространственно-временного состояния систем.

Положение точки M в пространстве определяется ее радиус-вектором

Т = Т (M). (1)

Если точка M перемещается в пространстве, то ее радиус-вектор опишет некоторую траекторию, уравнение которой

r = r (t)

Т (t) j

ry (t)

, rz (t) ,

i • Гх (t) + J • Гу (t) + k • Т (t)

(2)

определяет векторное уравнение линии в пространстве. В этом уравнении i, J, к - орт-векторы координатных осей; rx(t), ry(t), rz(t) - скалярные коорди-

53

Геоинформатика

натные функции вектор-функции r (t); переменная t e[a, b] называется параметром, позволяющим задавать множество точек кривой или их координат значениями функций этой переменной. Желательно, чтобы каждому значению параметра t соответствовала единственная точка кривой. Пространственную кривую называют параметризованной, если она представлена в виде (2). При этом предполагается, что функция (2) имеет в промежутке [a, b] непрерывные производные первого, второго и третьего порядка включительно.

Говорят, что кривая проходит через точку x0, если существует значение t0 параметра t такое, что r (t0) = Т0. Точка r(a) называется началом кривой, а точка r (b) - ее концом.

Вектор-функция (2) называется гладкой кривой, если координатные функции rx(t), ry(t), rz(t) имеют непрерывные производные, не обращающиеся одновременно в нуль, т. е. являются гладкими на [a, b] функциями.

Наиболее просто геометрические инварианты пространственной кривой определяются, когда кривая задана в параметрической форме и в качестве параметра выбрана длина дуги s. В этом случае говорят, что кривая отнесена к натуральному параметру s. Значение параметра s отсчитывается от начальной точки на кривой. Использование натурального параметра обеспечивает однозначность отображения (2).

Геометрическими инвариантами кривой служат [3, 5]:

- орт-вектор касательной

_ dr Т = ~ds ’

(3)

- орт-вектор главной нормали

_ 1 dT

K ds ’

(4)

где K - кривизна кривой,

- орт-вектор бинормали

в = XXV.

Скалярными инвариантами кривой служат кривизна кривой

K = d т

ds

d T K •V

ds

и кручение кривой

_ dp

X = — V • —-

ds

(5)

(6)

(7)

54

Геоинформатика

Вычисление геометрических инвариантов пространственной кривой не вызывает принципиальных затруднений, если ее координатные функции известны. В прикладной геоинформатике такая ситуация является исключительно редкой. Как правило, кривая задается множеством точек с известными координатами и определение геометрических инвариантов по этим данным практически невозможно. Для преодоления этого противоречия необходимо по имеющимся данным получить аналитическое параметрическое описание пространственной кривой. Решение этой задачи позволит вычислять геометрические инварианты кривой.

Для аналитического описания неизвестной функции, заданной на конечном множестве точек, применяются различные методы интерполяции полиномами фиксированной степени. Такое решение дает приемлемые результаты, когда исследуемая кривая имеет достаточно простую структуру. На практике приходится иметь дело с кривыми, имеющими сложную форму, не допускающую описания простыми аналитическими функциями. Такие кривые приходится определять по частям, обеспечивая непрерывность и гладкость кривых в местах соединения частей выбором параметризации по обе стороны соединения. На практике для этого используются полиномы невысокой степени (сплайны), рассчитываемые для каждого интервала по заданным точкам. Очень часто в качестве таких полиномов используется кубическая парабола. Применение сплайн-интерполяции позволяет получить аналитическое описание координатных функций при параметрическом представлении кривой и использовать их для вычисления геометрических инвариантов кривой. Процедура получения непрерывного описания кривой с помощью метода кубической сплайн-интерполяции достаточно известна [6]. В настоящее время имеются стандартные средства реализации этой процедуры, например, в математической системе MathCAD [7].

Применим процедуру кубической сплайн-интерполяции для параметрического представления пространственной кривой, когда известны только координаты конечного множества точек этой кривой. Для достижения поставленной цели необходимо координатные функции кривой, заданной координатами некоторого конечного множества точек кривой, представить непрерывными функциями параметра - длины дуги кривой. Рассмотрим решение этой задачи на простом примере.

Зададим радиус-векторы множества точек {Mi}, (i = 1,2,..., N; N = 19) кривой в массиве

' 3 5 9 10,6 10,5 9 7,5 5,4 4,2 7 9 11 11,8 11,5 10,7 10 9,3 15,9 14 N

R = 8 11,2 12,8 12 10 7,8 6,6 5,8 4,5 3 3,2 56 7,2 7,8 7 5 6 3,8

26 21 23 22 20 17 16 24 25 27 29 28 26 22 19 19 21 22 19 у

В каждой строке этого массива указаны в условных единицах значения координатных функций x(ti), y(t), z(t) в точках кривой. Положение каждой точки Mi на кривой однозначно определяется ее расстоянием у от начальной точки. Выполним сплайн-интерполяцию координатных функций, используя в качестве

55

Геоинформатика

аргумента значения у. Полученные параметрические функции кривой агрегируем в вектор-функцию

r(ss) =

' xx(ss)

yy(ss)

z(ss)

(8)

где xx(ss), yy(ss), zz(ss) - координатные функции кривой, полученные по результатам сплайн-интерполяции. Результаты представим в графическом виде на рис. 1.

а)

б)

10'----------------------------

0 20 40 60 80

ss, t

Рис. 1. Результаты сплайн-интерполяции координатных функций: а) в плоскости OXY; б) вертикальный профиль кривой

На этом рисунке жирными точками обозначены исходные точки, а линией - результаты сплайн-интерполяции. На рис. 2 приведено изображение результата сплайн-интерполяции в пространстве. На этом рисунке крупные точки - точки исходных данных, мелкие точки обозначают положение точек интерполирующей функции.

Рис. 2. Пространственное представление вектор-функции, полученной по результатам сплайн-интерполяции координатных функций, заданных дискретно

56

Геоинформатика

Определение функции (8) позволяет вычислять расстояния между любыми точками кривой, параметризованной с помощью метода сплайн-интерполяции. Вычислим, например, расстояние между точками А^п) и В^к) кривой,

s = 65 k

DL = J

s = 10

n

V

d_

dss

xx(ss)

+

d_

dss

yy(ss)

+

d

dss

xx(ss)

dss = 56,49.

После определения параметрических функций получаем возможность определения всех геометрических инвариантов этой функции.

Чтобы получить представление о качестве получаемых результатов, применим предлагаемый метод для простой и хорошо известной пространственной кривой, например для винтовой линии.

Винтовая линия образуется при вращении точки вокруг неподвижной оси и одновременном скольжении точки вдоль оси вращения так, что перемещение пропорционально углу поворота. Параметрические уравнения винтовой линии

x = a • cos(t)' y = a • sin(t) l, z = h • t

(9)

где a - расстояние точки от оси вращения; h - перемещение точки вдоль оси при повороте на один радиан; t - угол поворота.

Рассмотрим дугу винтовой линии, которая образуется при повороте вокруг оси на угол, равный 2п. Значение a = 1, значение h = 0,5. Вычислим координаты 12 точек, равномерно расположенных на этой дуге, и используем эти данные для получения параметрических уравнений данной дуги предлагаемым методом. Исходные данные поместим в массив

О 00 as os 0, 5 0 -0,5 -0,866 -1 -0,866 -0,5 0 0,5 0,866 1

R = 0 0,5 0,866 1 0,866 0,5 0 -0,5 -0,866 -1 -0,866 -0,5 0

v0 0,262 0,524 0,785 1,047 1,309 1,571 1,833 2, 094 2,356 2,618 2,88 3,142

На рис. 3 показаны исходные точки и дуга винтовой линии, полученная по результатам параметризации.

Рис. 3. Дуга винтовой линии, полученная по результатам параметризации

57

Геоинформатика

Как известно, винтовая линия имеет следующие инварианты: 1) кривизна винтовой линии постоянна и равна

K =

a

2 ’

a + h

2) кручение винтовой линии постоянно и равно

h

(10)

X:

a2 + h

(11)

3) касательная т к винтовой линии образует постоянный угол с осью Oz,

h

т • к

yja2 + h'

(12)

4) орт v главной нормали ортогонален оси Oz, т. е. скалярное произведе-

ние

V • к = 0;

(13)

5) скалярное произведение орт-вектора b бинормали на орт-вектор оси Oz величина постоянная, равная

b • к

a

4

a2 + h

(14)

Для параметризованной дуги винтовой линии вычислим геометрические инварианты и сравним их с теоретическими значениями. Значения кривизны и кручения приведены в графическом виде на рис. 4.

Ко, i

Рис 4. Кривизна K и кручение х в различных точках параметризованной

дуги винтовой линии

58

Геоинформатика

Для рассматриваемой дуги винтовой линии теоретическое значение кривизны K = 0,8, а кручения х = 0,4. Приведенные на рис. 4 результаты свидетельствуют, что на границах дуги кривой кривизна и кручение определяются плохо и поэтому при решении практических задач дугу необходимо брать с «запасом» в начале и в конце кривой. Повысить точность определения скалярных инвариантов кривой можно, разделив ее на большее число частей.

Значения скалярных произведений (12), (13), (14), вычисленные в 100 точках параметризованной дуги винтовой линии, отличаются от теоретических значений не более чем на 0,001. Приведенный пример свидетельствует, что предлагаемый метод может использоваться для определения геометрических инвариантов пространственной кривой, заданной множеством точек.

Для параметризованной кривой, показанной на рис. 2, приведем результаты вычисления кривизны Wk и кручения Wx в 100 точках области ее определения. Результаты представим в графическом виде (рис. 5).

Рис. 5. Кривизна Wk и кручение Wx параметризованной кривой,

заданной дискретно

Изменения пространственно-временных свойств систем обязательно будут сопровождаться изменением геометрических инвариантов кривой - геометрического объекта, связанного с данной системой. Предположим, что радиусвектор одной из точек кривой (пусть это будет точка с номером 3), изображенной на рис. 2, получил приращение

59

Геоинформатика

А =

Г+П

-1

V+Ъ

На рис. 6, 7 показаны графики участка исходной кривой, изображенной на рис. 2, от точки 0 до точки 8 до и после возмущения координат. Жирные точки обозначают точки исходных данных, обычные точки - точки на модели кривой, точка номер 3 отмечена знаком «*».

CreateSpace(r, 0, ssg, 50), (x1, y1, z1), (R3^, R3^, R3^)

Рис. 6. Участок исходной линии

CreateSpace(r, 0, ssg, 50), (x1, y1, z1), (R3^, R3^, R3^)

Рис. 7. Участок исходной линии после возмущения координат в точке номер 3

Как и следовало ожидать, изменения координат одной точки влечет изменения формы кривой в окрестности этой точки и, следовательно, изменения значений геометрических инвариантов в точках этой окрестности. Вычислим изменения значений геометрических инвариантов в этой точке.

Значения геометрических инвариантов до изменений следующие:

"0,688" "-0,086" " 0,837 ^

т = 0,642 ; ь = 0,83 ; v = -0,24

, 0,858 у ,-0,552 у ,-0,492,

; K = 0,0826; х

0,039,

60

Геоинформатика

а после изменений -

т = " 0,681 0,653 ; ь = "-0,086" 0,822 ; v = " 0,840 " -0,244 ; K = 0,0832; х

ч0,850у ч 0,563 у v-0,485,

0,051.

Приведенный пример свидетельствует, что даже малые изменения координат точки кривой проявляются в значениях геометрических инвариантов этой кривой. Поэтому по изменениям геометрических инвариантов кривой можно оценивать и анализировать изменения пространственно-временных свойств таких систем, моделями которых служит пространственная кривая. Если кривую связать с поверхностью системы, то в изменениях геометрических инвариантов кривой будут проявляться изменения пространственно-временных свойств поверхности системы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вовк И.Г. Математическое моделирование в прикладной геоинформатике // Вестник СГГА. - 2012. - № 1 (17). - С. 94-103.

2. Вовк И.Г. Моделирование в прикладной геоинформатике // Вестник СГГА. -2012. - № 1 (14). - С. 69-75.

3. Лаптев Г.Ф. Элементы векторного исчисления. - М.: Наука. - 336 с.

4. Вовк И.Г. Системно-целевой подход в прикладной геоинформатике // Вестник СГГА. - № 2 (18). - C. 115-124.

5. Постников М.М. Лекции по геометрии. Т. 2. - М.: Наука. - 312 с.

6. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве. - М.: Мир. - 304 с.

7. Макаров Е. Инженерные расчеты в MathCAD 15. - СПб.: Питер. - 400 с.

Получено 30.08.2012

© И.Г. Вовк, 2012

61