CC BY
53
КАРТОГРАФИЯ И ГЕОИНФОРМАТИКА
УДК 519.87:004
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМ,
РАССМАТРИВАЕМЫХ КАК АБСОЛЮТНО ТВЕРДОЕ ТЕЛО
Игорь Георгиевич Вовк
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, доктор технических наук, профессор кафедры прикладной информатики и информационных систем, тел. (383)343-18-53, (383)351-61-19
При определении пространственно-временного положения систем, когда деформации систем отсутствуют или пренебрегаемо малы, систему рассматривают как абсолютно твердое тело. Положение такой системы в пространстве определяется положением какой-нибудь одной ее точки. В статье обсуждаются алгоритмы определения пространственно-временного положения абсолютно твердого тела, основанные на решении систем линейных алгебраических уравнений, и приведены геометрические модели траектории движения абсолютно твердого тела при его поступательном движении и вращении около стационарной и нестационарной оси вращения.
Ключевые слова: пространственно-временное положение систем, уравнение прямой, уравнение плоскости, вращение абсолютно твердого тела около стационарной и не стационарной оси.
MOTION PATH MODELING FOR SYSTEMS CONSIDERED AS PERFECTLY RIGID BODY
Igor G. Vovk
Siberian State University of Geosystems and Technologies, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St, Ph. D., Prof., Department of Applied Informatics and Information Systems, tel. (383)343-18-53, (383)351-61-19
When determining spatio-temporal position of the system without deformations (or with those negligibly small) it may be considered as a perfectly rigid body. Spatial position of such system is determined by that of some of its points. The algorithms for determining spatio-temporal position of the perfectly rigid body based on the solution of combined linear algebraic equations are considered. Geometrical models for the motion path of the perfectly rigid body (with translational motion), which is rotating about stationary and non-stationary axis are presented.
Key words: spatio-temporal position of system, equation of line, equation of plane, rotation of absolutely rigid body about stationary and non-stationary axis.
62
Картография и геоинформатика
В любой сфере деятельности люди имеют дело с системами [1]. Важнейшей характеристикой любой системы служит ее пространственно-временное положение (ПВП). Непосредственное, прямое изучение пространственновременного положения систем может оказаться невозможным, опасным и дорогим. Поэтому реальные системы заменяются их моделями [2]. Для этого с каждой системой связывают геометрический объект, и ПВП этого объекта принимают в качестве модели ПВП рассматриваемой системы.
Определение ПВП естественных и искусственных систем необходимо при решении разнообразных задач геодезии [3, 4] и геодинамики [5, 6], геологии и геофизики [7, 8], экологии [9], экономики [10, 11] и в других науках.
Изменения пространственно-временного положения систем проявляются в их движениях и деформациях. Если деформации системы отсутствуют или не выходят за ограниченные, заранее заданные пределы, то ими пренебрегают и рассматривают систему как абсолютно твердое тело (АТТ), в котором взаимное расположение точек не изменяется. Как известно [12], положение в пространстве АТТ определяется положением какой-нибудь одной его точки.
Для определения положения точки в трехмерном пространстве достаточно знать или уравнения трех некомпланарных плоскостей, или уравнения двух не-коллинеарных прямых, или уравнение одной прямой и одной плоскости. Теоретические основы решения таких задач рассматриваются в курсах аналитической геометрии и линейной алгебры [13, 14, 15].
В трехмерном пространстве уравнение прямой и плоскости, проходящих через фиксированную точку Q, имеют соответственно вид
r(t) = rQ + t^u, (1)
f(t1, t2) = rQ + t1 • и 1 + t2 • и2, (2)
где й - направляющий орт-вектор прямой; й 1, й 2 - два неколлинеарных вектора, принадлежащих плоскости; t, t1, t2 - параметры.
На практике исходными данными для составления таких уравнений служат: углы, измеренные между направлением на точку с известными координатами и направлением на определяемую точку, и/или расстояния, измеренные от точки с известными координатами до определяемой точки.
Рассмотрим методы составления уравнений (1), (2) по измеренным углам и расстояниям [16, 17, 18].
1. Пусть заданы радиус-векторы точек A, B, C, D (рис. 1). На этом рисунке строчными буквами обозначены проекции точек в плоскость OXY. Горизонтальный угол abp, измеренный в точке B по ходу часовой стрелки, обозначим UB. Зенитное расстояние в этой же точке, измеренное в направлении на определяемый пункт P, обозначим ZB. По этим данным составим уравнение прямой, проходящей через точку B в направлении на определяемый пункт P.
63
Вестник СГУГиТ, вып. 1 (29), 2015
(М |<0>, М,{1>, м| 2> ),(М0( 0>, М У, М 0<2>),
zb z2> z3> z4, z5
Рис. 1. Исходная ситуация для определения направления ВР
Обозначим р 1 - орт-вектор направления ВР; р0 - орт-вектор направления Ьр в плоскости OXY; к - орт-вектор оси OZ. Известный орт вектор направления BA в плоскости OXY обозначим Ьа. В принятых обозначениях имеем
pi = р0 • sin(ZB) + к • cos(ZB). (3)
Для определения р 0 запишем систему уравнений
ba • р0 = cos(UB);
' — — (4) ba х p0 = - k • sin(UB),
из решения которой найдем
p0 = ba • cos(UB) + (-k • sin(UB)) х ba (5)
ba•ba ba•ba
и запишем уравнение прямой, проходящей через точку B в направлении на определяемый пункт Р
r (t) = rB +t • pi- (6)
Двух таких уравнений, отнесенных к двум различным опорным точкам B и C, достаточно для определения местоположения точки P (см. рис. 1).
Замечание. На практике из-за ошибок измерений прямые, полученные предложенным методом, в трехмерном пространстве могут не пересекаться. Однако их проекции в плоскости OXY, OXZ, OYZ пересекутся обязательно. Поэтому решение данной задачи целесообразно осуществлять в два шага. На первом шаге определить координаты точки P в плоскости OXY, OXZ, OYZ. При этом значения xP, yP, zP будут вычислены дважды.
Так как векторы р0 и р1 (формулы (3) и (5)) принадлежат одной плоскости ортогональной плоскости OXY (см. рис. 1), то на основании формулы (2) имеем
64
Картография и геоинформатика
возможность записать уравнение плоскости, проходящей через исходную точку B и определяемую точку P
r(ti, t2) = r(B) + tl • p0 + t2 • pi. (7)
Решая совместно систему линейных уравнений, составленную из уравнения (7) и уравнения прямой, проходящей через точку C в направлении CP, найдем координаты точки P. Такая ситуация схематически показана на рис. 2.
R, r
C
T
1) / t V2)
A , A
Рис. 2. Определение положения точки P пересечением прямой и плоскости
2. Пусть заданы радиус векторы точек A, B, C (рис. 3). Составим уравнение прямой линии по измеренным в определяемой точке P горизонтальным углам Q1, Q2 и зенитным расстояниям на точки A, B, C.
Если по углам Q1 и Q2 и координатам исходных точек A, B, C найти углы W1 и W4, то возникает ситуация, рассмотренная в п. 1. В работе [18] показано, что значения углов W1 и W4 можно получить из решения системы уравнений
65
Вестник СГУГиТ, вып. 1 (29), 2015
W1+ W 4 - Q = 0
AB sin(W1) BC sin(W 4), (8)
sin(Q1) sin(Q2)
где обозначено
Q = 2 • п - W2 - W3 - Q1 - Q2. (9)
Зная углы W1 и W4, по аналогии с уравнением (5) запишем уравнение двух прямых, направленных в определяемую точку P, одна из которых проходит через исходную (опорную) точку A, а другая - через точку C. Из решения системы этих двух линейных уравнений, с учетом замечаний, сделанных в п. 1, найдем координаты точки P.
3. Составим уравнение плоскости PP, проходящей через определяемую точку P и ортогональной вектору N = г2 — г 1, по расстояниям d1 и d2, измеренным от исходных пунктов 1 и 2 (рис. 4).
В работе [16] показано, что уравнение искомой плоскости имеет вид
где обозначено
N(r -Pq ) = 0,
_ r1 + Xr2
pQ =~. : i
^ 1+ X
d =
r 2 + r1
X
= d4 - (d22 - d,2)2
= (d2 + (d22 - d:2))2
(10)
(11)
(12)
(13)
66
Картография и геоинформатика
- скалярный множитель, численно равный отношению длин отрезков, на которые точка Q делит отрезок г 2 — г 1.
Определяемая точка P (рис. 4) есть точка пересечения трех таких некомпланарных плоскостей. Радиус-вектор определяемой точки P вычислим по формулам [19],
р р -
р1 • ni • U\ + Р2 • n2 ' U 2 + p3 ' n3 ' U3 n1 • n2 x n3
(14)
где n1, n2, n3 - нормали к плоскостям;
щ = п2 X п3; и2 = п3 X щ; и3 = п2 X щ.
Рис. 5. Определение положения точки пересечением трех некомпланарных плоскостей
Таким образом, задача определения ПВП АТТ в фиксированный момент времени сводится к решению систем линейных уравнений (уравнений прямых и плоскостей). Процедуры составления таких уравнений рассмотрены выше.
С течением времени, под влиянием внешней среды и внутренних процессов, ПВП АТТ изменяется. Траектории точек твердого тела, движущегося поступательно, представляют собой конгруэнтные кривые. Следовательно, поступательное движение твердого тела вполне определяется движением какой-нибудь одной из его точек.
Всякое перемещение АТТ в пространстве может быть осуществлено поступательным перемещением какой-нибудь одной из его точек, называемых полюсом, и одним поворотом вокруг оси, проходящей через полюс [12]. Ось вращения при этом может изменять или не изменять свое положение в пространстве. Следовательно, для определения траектории движения твердого тела необходимо определить траекторию поступательного движения, определить траекторию движения оси вращения и характеристики поступательного и вращательного движения: направление, скорость и ускорение [12, 20]. В работе [21] выполнен вычислительный эксперимент для определения положения стационарной оси вращения абсолютно твердого тела по результатам имитационного моделирования многократных геодезических измерений. В качестве примера приведем геометрические модели движения твердого тела (рис. 6).
67
Вестник СГУГиТ, вып. 1 (29), 2015
Рис. 6. Траектории движения твердого тела
На рис. 6 приведено четыре сценария траектории движения твердого тела. Во всех сценариях скорость поступательного движения и угловая скорость вращения постоянны, направление поступательного движения неизменно. Ось вращения неподвижна. Сценарий a - поступательное движение отсутствует, и тело вращается около неподвижной оси; сценарий b - тело вращается и движется поступательно в направлении, составляющим угол у с осью вращения; сценарий c - тело вращается и движется поступательно в направлении, перпендикулярном к оси вращения; сценарий d - тело вращается и движется поступательно в направлении, параллельном оси вращения.
На рис. 7 на поверхности единичной сферы показан годограф радиусвектора точки, вращающейся около нестационарной оси, и годограф оси вращения (линия с точками), вращающейся против хода часовой стрелки. На этом рисунке слева точка вращается по часовой стрелке, а справа - против часовой стрелки. Скорость вращения оси и точки одинаковая.
—|—
--Л—
r, G\, FF, T <0) rM о f T <1)) rM о , т <2) rM о r, G\, FF, т <0) rM 0 f T <Dl rM о , т <2)) rM о
Л J V J VJ VJ VJ V J_
Рис. 7. Траектория вращения стационарной точки около нестационарной оси; скорость вращения точки и оси одинаковые
68
Картография и геоинформатика
На рис. 8 приведены результаты геометрического моделирования траектории точки, вращающейся в два раза медленнее оси (слева - по часовой стрелке, справа - против часовой стрелки).
r, G\, FF,
(rM oT )(°>, (rM oT )<!>, (rM oT )<2>
r, G\, FF,
(rM oT )^°>, (rM oT )(1>, (rM oT /2>
Рис. 8. Траектория вращения стационарной точки около нестационарной оси; скорость вращения точки в два раза меньше скорости вращения оси
На рис. 9 приведены результаты геометрического моделирования траектории точки, вращающейся в два раза быстрее оси (слева - по часовой стрелке, справа - против часовой стрелки).
r, G\, FF,
(rM oT )<o>, (rM oT )<!>, (rM oT/2>
r, G\, FF,
(rM oT )^o>, (rM oT )(['>, (rM oT )<2>
Рис. 9. Траектория вращения точки около нестационарной оси; скорость вращения точки в два раза больше скорости вращения оси
Таким образом, алгоритмы (3)—(11) позволяют из решения систем линейных уравнений (уравнений прямых и плоскостей) определять местоположение систем, рассматриваемых как абсолютно твердое тело, в фиксированный момент времени. По этим данным, используя алгоритмы теоретической механики, имеем возможность рассчитать траекторию движения абсолютно твердого тела как функцию времени.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Перегудов Ф. И., Тарасенко Ф. П. Основы системного анализа. - Томск: НТЛ, 1997.
396 с.
69
Вестник СГУГиТ, вып. 1 (29), 2015
2. Вовк И. Г. Математическое моделирование в прикладной геоинформатике // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 1 (17). - С. 94-103.
3. Обиденко В. И. Разработка и исследование специализированной программы для определения метрических параметров территории Российской федерации // Вестник СГГА. -2012. - Вып. 3 (19). - С. 18-29.
4. Обиденко В. И. Технология определения метрических параметров территории Российской Федерации по геопространственным данным // Вестник СГГА. - 2012. -Вып. 3 (19). - С. 3-13.
5. Современная геодинамика Дальнего Востока по результатам геофизических и геодинамических измерений / В. Ю. Тимофеев, Д. Г. Ардюков, В. М. Соловьев, С. В. Шибаев, А. Ф. Петров, П. Ю. Горков, Н. В. Шестаков, Е. В. Бойко // Вестник СГГА. - 2012. -Вып. 3 (19). - С. 30-37.
6. Ярославцева Т. В., Рапута В. Ф. Моделирование продуктов вулканического извержения // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 3 (19). - С. 89-95.
7. Бровар В. В., Магницкий В. А., Шимбирев Б. П. Теория фигуры Земли. - М.: Геодез-издат, 1961. - 256 с.
8. Гравиразведка. Справочник геофизика. - М.: Недра, 1981. - 397 с.
9. Белов П. Г. Системный анализ и моделирование опасных процессов в техносфере. -М.: Издательский дом «Академия», 2003. - 512 с.
10. Сульгина Л. Ю. О возможности построения геоинформационной системы торговой сети поселения // Вестник СГГА. - 2014. - Вып. 2 (26). - С. 94-106.
11. Голиков Ю. А. Теория притяжения супермаркета // Вестник СГГА. - 2014. -Вып. 1 (25). - С. 114-125.
12. Лойцянский Л. Г., Лурье А. И. Курс теоретической механики. Т. 1. - М.: Наука,
1982.
13. Ильин В. А., Позняк В. Г. Линейная алгебра. - М.: Главная редакция физикоматематической литературы, 1974. - 296 с.
14. Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр II. - М.: Наука, 1979. - 312 с.
15. Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия, 1977. Т. 4.
16. Вовк И. Г. Еще один алгоритм определения координат из пространственной линейной засечки // Вестник СГГА. - 2000. - Вып. 5. - С. 137-139.
17. Вовк И. Г. Линейные геометрические модели в прикладной геоинформатике // Сборник материалов Международной научно-методической конференции 3-7 февраля 2014 г., в 3 ч. Ч. 2. - Новосибирск: СГГА, 2014. - С. 279-292.
18. Вовк И.Г. Линейные геометрические модели и их применение в прикладной геоинформатике // Вестник СГГА. - 2014. - Вып. 2 (26). - С. 107-116.
19. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1976. - 720 с.
20. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. - М.: Физмат-гиз, 1963. - 660 с.
21. Бугакова Т. Ю., Вовк И. Г. Определение вращательного движения объекта по ре-зультам многократных геодезических измерений // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2013. IX Междунар. науч. конгр., 15-26 апреля 2013 г., Новосибирск : Междунар. науч. конф. «Раннее предупреждение и управление в кризисных и чрезвычайных ситуациях: предпринимаемые шаги и их реализация с помощью картографии, геоинформации, GPS и дистанционного зондирования» : сб. материалов. - Новосибирск : СГГА, 2013. - С. 88-91.
Получено 09.02.2015
© И. Г. Вовк, 2015
70
