Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Высокочастотные асимптотики Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.928

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ВЫСОКОЧАСТОТНЫЕ АСИМПТОТИКИ1

© 2012 г. Е.В. Крутенко

Крутенко Елена Владимировна — младший научный со- Krutenko Elena Vladimirovna — Junior Scientific Researcher, трудник, кафедра алгебры и дискретной математики, Department of Algebra and Discrete Mathematics, Faculty of факультет математики, механики и компьютерных Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, е-mail: [email protected]. 344090, е-mail: [email protected].

Рассматривается задача Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка с высокочастотными слагаемыми. При этом амплитуды некоторых слагаемых пропорциональны положительным степеням частоты: в случае стационарного коэффициента показатель старшей степени p, а осциллирующих — 2p ~1, p — натуральное число, большее 2. Построена и обос-

Р

нована полная асимптотика решения.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, асимптотическое разложение, осцилляция.

In work the problem of Kashi for the linear differential equation of the second order with the high—frequency composed is considered. Thus amplitudes of some composed are proportional to positive degrees of frequency: in cases of stationary factor an indicator of the senior degree ofp, and ostsilliruyushchy — 2 Р ~ 1, p — natural number more than 2. It is constructed and proved full асимптотика decisions.

Р

Keywords: differential equation, asymptotic decomposition, ostsillyation.

В работах [1-8] и других построены полные асимптотики решений различных нелинейных эволюционных задач, содержащих высокочастотные по времени слагаемые, амплитуды которых пропорциональны определённым положительным степеням высокой частоты. При этом временные средние таких больших слагаемых предполагаются нулевыми. Последнее означает, что большие слагаемые уравнений [1-8] содержат «быстрые» по времени составляющие, но не содержат «медленных» (терминология метода усреднения [9]). В [10-13] построение полных асимптотик решений выполнено для линейных эволюцион-

ных задач, содержащих как большие «быстрые», так и большие «медленные» слагаемые. Настоящая работа примыкает к последней группе.

В данной работе рассматривается задача Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка с высокочастотными слагаемыми. При этом амплитуды некоторых слагаемых пропорциональны положительным степеням частоты. Построена полная асимптотика решения. Аналогичная задача, но без высокочастотных слагаемых, исследована в монографии Н.Н. Моисеева [14].

Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.А18.21.0356 «Теория функциональных пространств, операторов и уравнений в них».

Для T>0 и натурального p > 2 рассмотрим задачу Коши

2 p-1 ( 1

+ О

2 p-1

а2 a (t) + X а 2 b (t,at)

i=0

Л

x(t) = 0 , (1)

p

— Л1 2 1

х(0) = х0, ¡8(0) = а2 хх, (2)

где параметр а >> 1; функции а(г)и Ь((,т) определены, вещественны и непрерывны на множествах t е [0, Т], т) е [0, Т] х [0, ж) соответственно, причём Ь - 2я>периодические по т ; а(}) Ф 0, Vt е [0,Т]; х0, х1 - заданные числа.

Из вещественности коэффициентов в уравнениях (1) и начальных условий (2) в силу единственности решения задачи Коши следует его вещественность.

Асимптотическое разложение решения задачи Коши (1), (2) будем искать в виде

t p

а

Р-2

p-l

J (о 2 Л-i k(s)+ X о 2 Ml к (s,os)+o2Ä2 k(s) ds

x(t) = X e

к=1

(t) + X( 2 {uj,k(t) + Vjk(t,T))

j=i

(3)

где функции V. к(:,т) , ] = 1,2, К , к = 1,2 , и м1к (!,т), / = 1,2, К , р - 2, к = 1,2, имеют нулевые

/ \ 1 2* средние, т.е. (vJ к^, т)) = — |vJ к^, = 0.

' , '2л 0 '

В дальнейшем точкой будем обозначать дифференцирование по первой переменной t, штрихом - по второй переменной т, а также будем использовать запись т)} = w(t, т) - (w(t, т)).

Для нахождения неизвестных коэффициентов подставим (3) в (1) и (2). Приравняем в левой и правой частях коэффициенты при одинаковых функциях. Отметим, что указанные функции имеют вид

t Г р р-2 р-! I '

т | а2 ¿1,к 0)+ X а 2 М/ ,к (..,а.у)+а2 ¿2,к (.) &

т 0 V /=1 J

а 2 е К ; ,

т = 2р,2р -1, К , к = 1,2 .

В результате придём к бесконечной цепочке уравнений. Первые из них: (¿¿2k(t) + а2(о)и01с(!) = 0. Им удовлетворяют функции ) = 1а($) , ¿2 ) = -1с() .

2 p-1 а 2 )

имеют вид

Следующие (при

0к (t) = 0 , откуда найдём

Mi,к (t,T) = -

bo(t,T)

2^1,к (t)Mi0+и(t, T) + ai0+1MI+-1(^ T) +

. 2

+ ßl0+M+3-p (U т) + bi0+1 (t, ф0,к (t) = 0 • (4)

0 [ 1,l = 2n, n e Z a ¡1, l + 2 - p > 0

Здесь и далее al =•! ' ; ß, =\' r

l [0, l = 2n + 1,n e Z l [0, l + 2 - p < 0

Из (4) Mh+1,к (t,r) =

bl0+1(t, T) + al0+1MI+1(t, *) + ßl0+M+3-P,k (t, T) ___2_

= 2\k (t) •

Перейдём к рассмотрению равенства коэффициен-

p+1

тов при а 2 •

(

2К„к (t)^2,k (t) + ap-Mp-1 (t, т) + bp-2 (t, T) +

+ m'u (t, T) + 2 X Ml,кT)Mm,k (t, T) I U0k (t) +

l,m, l+m=p+1 J

+2Xy k (t)v'xk (t,T) = 0 , к = 1,2 • (5)

Применяя к (5) операцию усреднения < ... >, получим

^2,к (t) = -

ap-1M2p-1(t,T) + bp-2 (t,T)i 1\,к (t)

м[,к (t,T) + 2 X Ml,к (t,T)Mm,k (t,T)

l,m, l+m=p+1

2^1,к (t)

Из (5) и (6) находим

(6)

ap-1Ml-1 (t, T) + bp-2 (t, T) \U0,к (t)

v'u (t,T) = -

2\к (0

Покажем, что из последующих (р - 2) уравнений находятся все щк , к = 1,2 . Предположим, что нашли все щ1к, V/ < /0. Покажем, что аналогичным образом могут быть определены щ+1 к. Для этого рассмотрим

2 р-/0-1

коэффициенты при а 2

2^ (О

м[,к ^,т) + 2 2 Щк <4,т)Мш,к ^,т)\и0,к

/,т, /+т=р+\ I

2А,к ^) '

Отсюда получим V к ^, т) = $к ^, т)щ к (0, где ^, т) - известные 2^-периодические по т функции с нулевым средним.

Перейдём к равенствам коэффициентов при а 2

2¿2,k (~)Щк (Ъ + ар-2М2р-2 (и т) + ¿¡к (0 + м\,к ($, т) +

V 2

+ ьр-1^,т) + 2 X М,,к (ит)Мтк (^т)| (!) +

/,т, /+т= р )

+ (2\к Ш.2,к (0 + Ьр-2 (^ т))(ии (Г) + VU (^ т)) +

+ 2Яц,к (^(Щк (^ + (!,т))+

+2Мк ($, т>'и (^ т) + у^к (!т т) = 0, (7)

\1, р = 3 где у = |о,рФ3 .

Применяя к (7) операцию усреднения по т , получим уравнения с известными коэффициентами

2\к (() + /к (!)ыол (() = 0, ¿=1,2. (8)

2

2

2

X

X

u

0,к

2

Найдём соответствующие уравнению (8) начальные условия и01 (0) и и0 2 (0). Для этого в х(:) и Х&)

подставим t = 0 и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях ю

иод(0) + ио,2(0) = Хо [11,1(0)иод(0) + ^,2(0)^,2(0) = Х •

По теореме Крамера эта система имеет единственное

Л,2(0)Х0 " Х1 Х1 -Л,1(0)Х0

решение и01(0) = —:-, щ 2(0) = '

Л,2(0)-Л, х(0Г 0'2^ Л,2(0)-Л, 1(0)

Применяя к (7) операцию { ... }, получим

У2, к

(: , т) = г2 к (: , т) + як (: , т)и

,к(:) , где Г2,к(:,т) и Я (:,т) - известные 2я>периодические по т функции с нулевым средним. То есть у2 к (:, т) = щ2 к (:, т) + ^ (:, т); щ к(:,т) - также известные 2 ^-периодические по т

функции с нулевым средним.

Предположим, что найдены все и/к и у+хк,

к = 1, 2, V/ < /0. Покажем, что аналогичным образом

могут быть определены иЛ+1А. и ^ 2 к. Для этого

p-J0 2

рассмотрим равенство коэффициентов при ю Применяя к найденному выражению операцию { . }, получим у'/0+и (:, т) = Г/0 +2,к(:, т) + Як (А т)и/0+1,к(:), где гю+2 к (:, т) - известные 2я>периодические по т функции с нулевым средним. Таким образом, +2,к (:,т) =

= Щ0+2,к & т) + 5к (t, т)иЛ +1,к (:) > где Щ/0+2,к (:,т) - известные 2я>периодические по т функции с нулевым средним.

Р-/0 -1

Рассмотрим следующие уравнения при ю 2 . После применения к ним операции усреднения получим выражения

2Л,к (О^+и (:) + Л (: )%+и (:) = +и(:), (9)

где /к (:) и я/0+и (:) - известные функции.

Уравнениям (9) соответствуют начальные условия

/ и/0+1,1 (0) + и/0+1,2 (0) = ^0+1 1,2(0)и /0+1,2 (

J

хИ (t ) =2 е

k=1

p-2

Р-'

j2 Ä2,k (s)+ 2 m 2 )+®2Л.2,к (s)

;=i

t(t)+22 2 (j (t)+j (t,r))

j=i

n e N, ряда x(t) бу-

дем называть n-м приближением задачи Коши (1), (2).

Теорема. Для любого n е N приближение xn решения x(t) задачи Коши (1), (2), как и само решение, вещественно, и справедливы оценки

n+1 n+1~ p

sup |x(t) ~ xn (t)| < C1a~^ , sup \x(t) ~ M (t)| < C>",

te[0J ]' 1 te[0,r ]' 1

где C и C2 - постоянные, не зависимые от со .

где d,+1 и

[Л,1 (0)и/0+1,1 (0) + Л,2 (0)и/0+1,2 (0) = Р/0+1 ' ^ 10+1 рЛ+1 - известные числа.

Таким образом будут найдены и и и , а

затем У/0 + 2,1 и У/0 +2,2 •

Обоснование асимптотического разложения опустим, так как оно проводится аналогично обоснованию для более частной задачи [11]. Сформулируем основной результат. Частичную сумму

Литература

1. Юдович В.И. Вибродинамика и виброгеометрия механических систем со связями // Успехи механики. 2006. Т. 4, № 3. С. 26 - 158.

2. Левенштам В.Б. Асимптотические разложения периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми // Диф. уравнения. 2008. Т. 44, № 1. С. 52 - 68.

3. Левенштам В.Б., Хатламаджиян Г.Л. Распространение теории усреднения на дифференциальные уравнения, содержащие быстро осциллирующие слагаемые с большими амплитудами. Задача о периодических решениях // Изв. вузов. Математика. 2006. № 6. С. 35-47.

4. Басистая Д.А., Левенштам В.Б. Асимптотика решений обыкновенных дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2004. Спецвыпуск. Математика и механика сплошной среды. С. 46.

5. Левенштам В.Б. Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми // Докл. АН. 2005. Т. 405, № 2. С. 169 - 172.

6. Левенштам В.Б. Обоснование метода усреднения для задачи конвекции при высокочастотной вибрации // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, № 2. С. 92.

7. Левенштам В.Б. Обоснование метода усреднения для параболических уравнений, содержащих быстроосцил-лирующие слагаемые с большими амплитудами // Изв. РАН. Серия математическая. 2006. Т. 70, № 2. С. 25 - 56.

8. Левенштам В.Б. Асимптотическое разложение решения задачи о вибрационной конвекции // Журн. ВМ и МФ. 2000. Т. 40, № 9. С. 1416.

9. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М., 1963. 470 с.

10. Далецкий Ю.Л. Асимптотические методы для некоторых дифференциальных уравнений с осциллирующими коэффициентами // Докл. АН СССР. 1962. Т. 143, № 5. С. 1027 -1029.

11. Крутенко Е.В., Левенштам В.Б. Асимптотика решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с большими слагаемыми // Сиб. мат. журн. 2010. Т. 51, № 1. С. 74 - 89.

12. Крутенко Е.В., Левенштам В.Б. Асимптотический анализ некоторых систем линейных дифференциальных уравнений с большим параметром // Журн. ВМ и МФ. 2009. Т. 49, № 12. С. 1 - 13.

13. Левенштам В.Б. Асимптотический анализ линейных дифференциальных уравнений с большим параметром. Резонансный случай // Сиб. мат. журн. 2012. Т. 53, № 1. С. 124 - 131.

14. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М., 1981. 340 с.

Поступила в редакцию

24 сентября 2012 г.

х

u

p

ds

2

X