Асимптотическое разложение решения задачи Коши для систем дифференциальных уравнений с большим параметром Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.928

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С БОЛЬШИМ ПАРАМЕТРОМ

© 2009 г. И.С. Шабаршина

Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, Ростов н/Д, 344090, dnjme@math. sfedu.ru

Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, dnjme@math. sfedu.ru

Рассмотрена система дифференциальных уравнений, содержащих быстро осциллирующие слагаемые, пропорциональные оЮ/2 j = 0,1,...,« (ю — частота осцилляций), причем при j = 1,2,...,и слагаемые с нулевым средним. Для нее построена усредненная (предельная) задача, обоснован метод усреднения и построено полное обоснованное асимптотическое разложение решения

-1/2

по целым неотрицательным степеням малого параметра ю .

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, метод усреднения, быстро осциллирующие слагаемые, асимптотика.

The paper considers a Cauchy problem for the system of differential equations which contain a rapidly oscillating addendum with large amplitude. A great attention is given to complete asymptotic expansion for its solution.

Keywords: differential equations, averaging method, high-frequency terms, asymptotic.

В работах [1, 2] осуществлено асимптотическое интегрирование задач Коши для систем дифференциальных уравнений вида

dnx _ , dx — = /о( dtn dt

dk-1 x dkx

+ £ ®'/г (x, —,..., , ¿1 f (' dt' ' dtk-'

x(0) = x0 , dx(0) = x,

' dtk-1' dtk

dk-'x

t,at) +

t,at),

dn-1x(0)

xn-1 •

(1)

t e[0,T],

В настоящей работе результаты [1, 2] распространены на более широкий класс задач вида

С 1Р-]'

dn

dtn

= ¿v1

j=0

dx d1

/1-0( x' d

dp-1x

H2 r / dx + ®1/2/n(x,— ,■■■,

dt dtp-i

dt1-1

,t,at)

, t,at) +

(2)

dx

dn-1x

Ж "" dtn-l

а>>1, где п и р - натуральные числа, причем

2р < п, к = п - р , Т > 0. Асимптотическое разложение решений представлено в виде рядов по целым

-1

неотрицательным степеням малого параметра а .

г(0) = xn-1, t е [0,T],

х(0) = хо , —(0) = х, ....

Жг Жгп

где р = [п/2] и /р1 = 0 при р = п е N . Для них построена

усредненная (предельная) задача, обоснован метод усреднения и построено полное обоснованное асимптоти-

ческое разложение решения по степеням а

-1/2

Всюду далее символом < g(г) >, где g(г) - непрерывная I -периодическая вектор-функция, будем

dt

dp-

dtp-

-(t)). В полученных равенст-

\ вах приравняем коэффициенты при одинаковых сте-

обозначать ее среднее: < ^ >= I \g№ , а через пенях © . Придем к рекуррентной последовательно-

Rтg(т) - выражение g(т)_ < g(т) > .

Пусть О,-, ] = 0,1,...,р, - ограниченные области в

пространстве Rm, вектор-функции (е0,...,е ,, 1,г), 0 < j < р, 0 < г < 1, заданы на множествах

О j = {{в0,...,вр _j,: (е0,...,е р_,) е ° х ...х Оp_j,

t е[0,Г], ге[0,да)} и принимают значения в Rm. Будем предполагать, что выполнены следующие условия:

1) вектор-функции /ji, 0 < j < р, 0 < г < 1, являются I -периодическими по г ;

2) средние вектор-функций при j = 1,2,...,р и /д при j = 0,1,...,р по г равны нулю;

3) fji, 0< j <р, 0<г < 1, имеют непрерывные производные любого порядка по переменным е^ и t;

4) для j + г > 2 справедливы равенства

(еп,...,в„_,,0,г) = 0 , I = 0,1,..., 1 + г _ 2 .

&1 0 р ]

Кроме того, далее появится требование о разрешимости усредненной задачи, которая будет построена ниже (см. (8) и (9)).

Асимптотическое разложение решения задачи (2) будем искать в виде

ад ад

x(t) = z®- (t) + z®- ,2vk (t,ct),

(3)

u(0) = a0,

du

— (0) = ax dt

j=o dt] rln-1u

T(0) = a„-i,

dtn

сти задач, которые расщепляются в свою очередь с помощью усреднения по т = ю1 на задачи для плавных uk (t) и быстро осциллирующих vk (t,z) вектор-функций.

Далее для упрощения записи вместо

д rfdP-ju

-— (ua,...,-—, t,z) будем применять

деП 0 dtp-j ' р

(f i)('r . Равенства коэффициентов при положитель-

ных степенях с имеют вид

д nv

-(t,T) = f i(u0,t,T);

дт'

(4)

д'

n+1

дтп д nv

fpl

(t, т) = fp,o(uo, t, т)(u0, t, T)ui;

де,

0

-nn+L(t,T) = W n+2 (u0 , uU t,T) +

дт

fl / +--(u0, t, T)u2 - n

деп

дtдт'

-(t,T);

(5)

д nv,

дтп fp,1

-(t,T) = W2n-1(u0,...,Un-2, t,T) + 1 ^ l д "V2l-1

+-£r(u0>t,T)un-1- z ^n^n-S-(t,T)

i=p+1 д дт1

к=0 к=п

где вектор-функции \к (}, г) являются I -периодическими по г с нулевым средним.

Далее будет описан основанный на методе двух-маштабных разложений эффективный алгоритм построения асимптотики (3). Он сводится к решению задач двух описанных ниже типов:

и р и

(А) - задача Коши: -=£Л,(^—- + /^)

^п

< vk (t,r) >= 0, к = n, n + \...2n-1, где

1

Wn+2 (u0, uUt,T) = fp-1,1 + (fp,0 )e0 u1 +~ ifp,1 Ye2 u1

W2n-1 (u0,...,un-2, t,T) = f0,1 +

(

1

+z

i=0

p-12j+i-1 p-j 1 [r ¡2\

z z z -.(j fr z

j=1 r=1 m=0 r! e

z

cq

(dmut V(dmu V

m q=0 (r-q)k+ql=2j+i-1 0<k<l

dtm

dtm

2p+1-1 1 . {r) [r/21 + z Sfp,i} r z z cr \uk

e0 q=0 (r-q)k +ql=2 p+i-1 0<k<l

. \J p,i> „r

r=1+i r! r

z Cqr u )r-q \u )q

Задача (4), в которой и 0 и t играют роль параметров, как известно, однозначно разрешима, и ее решение дается формулой

Уп (г = (6)

= Rт \ I ..Я, 11 Rт || /рЛ(и0, ^ з)а\аг I .Аз I := ¥п (и0, ^ г).

t е[0,Г], где л, - известные матрицы; /^) - известная непрерывная на [0,Г] вектор-функция;

(В) - задача о нахождении I -периодического по г

дпу , ч

с нулевым средним решения уравнения -= ¡л(1, г),

дгп

где г) - известная непрерывная по t, г , I -периодическая по г с нулевым средним вектор-функция. п

Рассмотрим подробно случай п = 2р + 1 (при Аналогично находим решения задач (5) п = 2р рассуждения аналогичны). Для нахождения Уп+к(*,т) = Рп+к(и0,...,ик_ъt,т) + a(uo,t,т)uk(),

коэффициентов разложения (3) подставим в уравне- к = 1,2,...,п _1, (7)

ние и начальные условия (2) вместо х выражение (3), где вектор-функции Рк и а - I -периодические по г формально разлагая вектор-функции ^, 0 < 1 < р, с нулевым средним. Из начальных условий задачи 0 < г < 1, в ряды Тейлора с центрами (2) вытекает требование к вектор-функции ук:

u

0

д v

0

+

д n—\

дт"-1-' dt'

t=0

n — 3

= 0, l = 0,1,..., ———, k = n,n+l,...,2(n—l) — 3,

которое выполняется в силу условия 4).

Выпишем равенство коэффициентов при а0:

Жпи0 " I дпу21

0 +2 С'п--г2— = /00 +

dtn i=p+i dt дт p UPj 1.. гЛг12\

. \j j, о / j j=1r=1m=0 r! em

+zzz 1(fJT I I cq

( m \r—q uk

m q=0 (r—q)k+ql=2j 0<к <l

dt

m

dt

m

P

+ I

j =0

f

P—j—1

1 ( fj , 1) em

f im

d u

V / V Л

2j+1

V

dtm

V /

+

+ j 'ep— j

^ dP Ju2j+1 + dP J v2p+1 ^

dtP—J дтр—!

+

/

j P—J 1 - . ллИ]

r=2 m=0 r!" -1'1' e',.

( m.. Y—q

+ I 11(fj^ I I cq

m q=0 (r—q)k+ql=2j+1 0<k<l

dt"

mq

dt"

С учетом (6) и (7) выводим задачу для главного члена и0 асимптотики (3):

dt

dku0 ~dtF

- =< f0,0 >+I< j'ep

j=1

-(0) = Xk , к = 0,1'...,p.

dku0 (0) = X k—PCl+ P дßP+2l 0 0)

"(0) = ^ — S C dtk l—PTP '

д p—jF— дтP—j

-(U0,t,t) > ,

(8)

dt

k

dn

dtn

=< f0,0 >+I<

P dfj,o дP—J F„

де дт1

(u0, t,T) > +

j=1 деP—j

+ I<- J,

j=0 дег

(дP—jßn+1i . дP—ja. -i-n±1 (un, t, t) +-(un, t, t)u,

дт P—j дт P—j

д2fj1 dP—дP—jF,

де P—j dtP—j дт P—1 dkun

■K,t,T) > , t e[0,T], (9)

dtk dku,

(0) = xk, k = 0,1,..., P — 1,

dtk

0(0) = Xk — C

д F„

k k дtk-p дтP

(X0,0,0) —

k—P l+p д ß2 P+2l

l=1

, -;—;-;-(X0,0,...,0) , k = p,...,n — 1,

k дtк-l-P дТ+P ( 0,-,-^0) , P, , '

2l+1

у у , dp 1u0 dpu0 дPFn

где f0i := f0l(u0,...,--0 +-n,t,т) и

0,i 0,i 0 dtp—1 dtp дТ

fji := fji K,...,^^p0,t,T), 1 < j < p, 0<i < 1, dtp

Fn (u0, t, т) := Rt |T..R |jRr |Tfp,0 (u0, t, s)ds|dT l. ..ds j

a(u0, t, т) := RT|j ..R |jRTij (u 0, t, s)ds jdT l...ds l

10 10 10 де0

ßn+1 (u0, t, T) := Rt | J ...Rs i J Rt |t fp—1,1 u, t, s)ds ldT l. ..ds ^.

По формуле (6) находим уп (г, т). Нетрудно установить, что задача для нахождения У2п имеет вид

д nv.

2n

дТ

(г, т) = /2п (и1,...,ип-1, г, т)+Ь(г, Фп (г), д/р 1

<У2п(г,т) >= 0, где Ь(г,т) = (и0,г,т).

де0

Покажем, что если найдем вектор-функции и и ук+п для 0 < к < т , то можно определить их и для к = т + 1. Выпишем задачи, определяющие коэффициенты ук (< Ук (г, т) >= 0):

д nv

m+1+n

дТ

(t,T) = Ym+1+n (t,T) + b(t,T)um¥l(t) , (10)

д nv,

k+n

дТ

(t, T) = 7k+n (um+1,.. .,uk—1, t, T) + b(^ T)uk (t) =

к = р + 1,...,п -1.

Эту задачу назовем усредненной и будем предполагать, что она разрешима на временном отрезке [0,Т].

Отметим, что в случае п = 2р усредненной будем называть задачу

к = т + 2,...,т + п.

Здесь вектор-функция ^т+1+п выражается через коэффициенты ик и ук+п, 0 < к < т , а потому известна, причем < ут+]+п (г, т) >= 0. Из соотношения (10) однозначным образом определяем

^т+1+п (г> т) = Рт+1+п (г, т) + «(г, т)ит+1(г) , (11)

где Рт+\+п и а - I -периодические по т с нулевым средним.

т+1

Приравнивая коэффициенты при а 2 , получим

Жпи , п , дпу , „, р 1 т+1+2]+г р-j 1

Ж ит+1+псп ^тт=2 ^ 2 2 V,,)(:} х

dtn l=0 д^ lдт j=0i=0 r=1 rj=0 [r/2] (

q=0 (r—q)k+ql=m+1+2 j+i 0<k <l

cq

cr

d"uk n s dt* + h4

y—q

k+2s

дТ

idnu1 | nycs +2s

dtn s=0 n &n—sдТ

(12)

здесь у1 = у2 =... = уп-1 = 0.

Усредняя задачу (12) по «быстрому» времени т и учитывая (11), получаем однозначно разрешимую на отрезке времени [0,Т ] линейную задачу вида (А):

m+1

dtn

= I Aj (t)-

m+1

j=0

dtj

+ Xm+1(t) :

dru™±!(0) = —iIC1r дrVm+1+2f (0,0) , r = 0,1,...,n — 1,

dtr S> r дГ!дт1

n

n

n

m=0

k

u

0

+

X

x

где 1(0 выражается через коэффициенты и^ и ук+п, 0 < к < т , а потому известна непрерывная на [0,Т] вектор-функция и

р д р_1а

А0(0 =< /0Л0 + I (/л)'е ^Гаа + (/рл)"е2 Уп > ,

1=0 ер_1 дгр -1 е0

д

Л10) =< (/0,0)'е1 + (/р_ >. Определив ре-

шение данной задачи ит+х, можно по формуле (12) восстановить вектор-функцию Ут+х+п.

Итак, установлено, что построение любой частичной суммы асимптотики (3)

г г г

Хю(0:= 1©_/2ик(0 + !©~к>2ук^,©0 сводится к

к=0

к=n

X©(t) - X©(t)

< cr© 2 , t е[0,Г].

(13)

имеют место неравенства 5 = 0,1,...,n-1. Кроме того,

dnz© p ,f -= X© Jj,0\zrn

\aS©\< cr1©

dtn

j=0

fi0( z©, dpjc, tct) +

f,0( ©, dt dtp-1 )

dz© d z с

\

dt

dtp

t,©t)

+ am(t), (14)

dz„

dn-xzr.

z©(0) = X0, (0) = X1,..., (0) = Xn-1

dtn

r+1

,(t) <«

'r 2с

. Из (2) и (14) вытекает задача для

У = x - z©

dnv p p-1 1/9 dky

— = zc z (bjAk(t,ct) + a> bjXk(t,©t))-j~-

dtn j=0 к=0

-a©(t) = E(y,t,©t,©),

=f (0)=■■■-dn-У (0) ■ 0,

где (t,r) =

dt

(15)

= } Jl

0 дек

d p-j y dp-jz

9y(t) + za(t),.,0 ^y (t) + d zc

Л

решению конечного числа задач видов (А) и (В). Сформулируем теперь основной результат работы. Теорема. Пусть усредненная задача ((8) в случае п = 2р + 1 и, соответственно, (9) для п = 2р) имеет

решение и0 (^ , t е[0,Т]. Тогда существует ©0 > 0 такое, что при © >©0 задача (2) имеет на отрезке [0,Т] единственное решение х©(С). Кроме того, для любого г = 0,1,2,... найдутся такие положительные числа ©г(>©0) и сг, что при ©>©г эффективно

г

строится приближение х© (С), для которого справедлива оценка

j,i,k

dtp-

dp- jy

y(t), z©(t),..., —У (t)

dtp-j

dtp-j d p-j

(t ),t,T

de-

Л

dtp

-(t ),t,T

I -периодические по г вектор-функции, причем

< Ь10 к (^ г) >= 0 при j > 1 и < Ъ1Хк (}, г) >= 0 при

j > 0. В силу теоремы Пикара-Линделефа найдутся с > 0 и t© е[0,Т ], для которых на отрезке [0,©] существует единственное решение у(1) задачи (15) та-

кое, что

\y(t)\ -

(t)

+... +

dn-1 y

dtn

f(t)

< c, t e [0,t©] . Это

решение удовлетворяет интегральному уравнению

y(t) = 0

f (t - S)

0 (n -1)!

\y(s),s,©s,©)ds, t e[0,t©].

Применяя метод интегрирования по частям, в правой части последнего равенства избавимся от коэффициен-

тов ©к 2, к = 1,2,...,n, и перейдем к уравнению вида

t p+1 dj v

y(t) = 0 z (t - s)J dj (t, со, s, cos) —— (s)ds -0j=0 dsJ

Доказательство. В силу проведенных выше исследований остается установить разрешимость задачи (2) на временном отрезке [0,Т] и получить оценку (13). Введем в рассмотрение вспомогательную вектор-функцию

г+п г+2п п_1

z© ф = х © (0 + ^ © Ук (^ ©^) + I ,

к=г+п+1 1=0

где векторы а}© подобраны так, чтобы для z© были выполнены начальные условия задачи (2). Тогда найдутся такие положительные сг1 и ©1, что при © > ©1

г+п

' ' 2

-0

(t - s) n-1 0 (n -1)!

■a©(s)ds ,

(16)

в котором вектор-функции А!(I,©,я,г) (©>©2) являются полиномами относительно t, коэффициенты которых сколь угодно гладкие относительно з иг , I -периодичны по г и равномерно ограничены.

Действительно, рассмотрим одно из слагаемых

t (t - s)

n-1

d'y

g,©(t) =© 0V", , b0X, (s,©s)Z-J(s)ds =

0 (n - 1)! ds

_l/2 t (t - s) n-1 , v 0 (n -1)!

dpy

y(s), z©(s),..., —py (s),

Л

dsp

-(s), s,©s

^ (s)ds.

dsi

где ат($') - сколь угодно гладкая на отрезке [0,Т] вектор-функция такая, что для некоторых сг2 > 0 и ©2 > ©1 при всех t е [0,Т] и © > ©2 выполняется

Так как вектор-функция (и1,у ,...,ир+1,ур+1,я,г) -

I -периодическая по г с нулевым средним, то существует I -периодическая по г с нулевым средним вектор-функция х0ц (и\, У1,...,ир+1, ур+\, я,г) такая,

д%0,\,1 г т-т

что -— = д0 ^. Положим для краткости

дг '

2

a

z

W

r

dz

СО

X

¿iw(s) = Х0,1,

( dP v dPz Л

y(s), za(s),...,—. (s), —^ (s), s,ws

dLm P+1 Тогда = I

ds j=1

ds P ds P

д%00Хг djy дХ0,1,г dJZa

V дuJ ds1 dvJ ds1

,—1/2 t (t — s)n 1 d^iw ,4 d'y

тывая, что —— (0) = 0, получим

dsi

gW(t) = W-1'2 J _ .

giw() J (n — 1)! ds - dsi

n1 d i

^,w(s) —У (s)ds =

(s)—r(s)ds —

-1/21 (t — s) — W J

0 (n — 1)!

t f* \n-2 f

-1/2 t (t — s)

= W I-

J (n — 2)! n — 1 dsM ( )

dsi

Aiw(s) — ^f ] —-V (s) — n — 1 / ds

ds

i = 0,1,...,p .

2j+i

Аналогично, применяя к а 2 J

(t — s) n— J (n — 1)!

-bji,k X

dkV

х (?, а?) —— формулу интегрирования по час-

тям необходимое число раз, получим выражение, в котором нет слагаемых, пропорциональных положительным степеням а . Тем самым представление (16) обосновано.

Обозначим n(t) = y(t) +

—V (t) dt

+... +

jn-1

d y

dt

n—1

(t)

. То-

гда из соотношения (16) для некоторого K0 = K0(c)

( r+1 Л

вытекает

неравенство |y(t)| < K0 Jn(s)ds + O

а

г е[0, гт].

Дифференцируя равенство (16) нужное число раз, получаем оценки для г е [0, га]

( Г+1 Л

d1 y

—y (t)

dti

< K (c)Jn(s)ds + O

i = 1,2,..., p + 1.

v / ( r+A

Тогда rj(t) < K (c)Jn(s)ds + O 0

а

t e [0,tw].

Отсюда, согласно лемме Гронуолла-Беллмана,

r+1

имеем n(t) < L1(c)w 2 , w>w2 , t e[0,tW], (17)

Следовательно,

, д%0,и г г

+ —— + W#0,1,i = Яга + W4o1i .

дs

Применяя метод интегрирования по частям и учи-

—У,

dt

(t)

< L2(c)w

Аналогичные оценки получаем для г = р + 2,...,п -1, дифференцируя далее равенство (16) и учитывая (17). В результате приходим к неравенствам

--У , ч

-г.y (t)

dt'

< L2 (c)w

r+1 2

i = 0Д,...," — 1,

а > а2, г е [0, га], (18)

которые позволяют при больших а продолжить вектор-функцию у(г) на отрезок г е [га,шт(2га,Т)] и получить на этом отрезке оценки (18). Повторив проведенные рассуждения соответствующее число раз, установим существование такого числа а0 >а2, что при а >а0 задача (2) разрешима на отрезке г е [0,Т]

г+1

и при этом справедливо |ха (г) - 2а (г)| < Ьъа 2 .

Из последнего неравенства и структуры вектор-функции 2а следует оценка (13):

Xw(t) - Xw(t)

< L3w 2 +

< Xw(t) - Zw(t)| +

Zw(t) - Xw(t)

X а (t) — Xw(t) + I W k/2vk (t,Wt)|

k=r+n+1

n—1

I ajWtJ

j=0

r+1 r+1 r+n r+1

< Lа 2 + Ьла 2 + Lsа 2 < cга 2 .

Тем самым теорема полностью доказана.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 06-01-00287).

Автор выражает искреннюю благодарность проф. В.Б. Левенштаму за постановку задачи и полезные обсуждения результатов работы.

Литература

1. Левенштам В.Б. Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений, содержащих быстро осциллирующие слагаемые с большими амплитудами. I // Диф. уравнения. 2005. Т. 41, № 6. С. 761-770.

2. Левенштам В.Б. Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений, содержащих быстро осциллирующие слагаемые с большими амплитудами. II // Диф. уравнения. 2005. Т. 41, № 8. С. 1084-1091.

Поступила в редакцию

29 мая 2008 г.

+

2

r

r

<

r

+

+

2

0

v

/

2

W

0

2

ч

/