Асимптотическое разложение решения задачи Коши для одного дифференциального уравнения 3-го порядка с большим параметром Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.928

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 3-го ПОРЯДКА С БОЛЬШИМ ПАРАМЕТРОМ

© 2008 г. И.С. Шабаршина

The paper considers a Cauchy problem for one special third order differential equation which contains a rapidly oscillating addendum with large amplitude. A great attention is given to complete asymptotic expansion for its solution.

В работах [1, 2] осуществлено асимптотическое интегрирование задач Коши для систем дифференциальных уравнений вида

dnx dx

-= f 0 (x, —,

dtn dt '

i=i dt

i k 1 ik d x d x

" dt"'1

ik—i d x

TT'

x(0) = x0,

dx(0)

dt = Xj

dtk t, cot)

, t, cot) +

(1)

dn~lx{ 0)

1и-Ь

л 13 dtn-l

?е[0,Г], со» 1,

где пир- натуральные числа, причем 2р < п. к = п - р . Т> 0. Асимптотическое разложение решений представлено в виде рядов по целым

неотрицательным степеням малого параметра со '.

В настоящей работе получено распространение результатов [1, 2] для задачи

d 3 x dt3

r , dx _ 1/2 , . dx = /о (x,— ,t,a>t) + co fx(x, — ,t,o)t) +

dt

3/2

+ CO /2 (x, t, cot) + CO dx

*(0) = *o= — (0) = *i

dt

dt

/3 (x, t, cot),

(0) = x2,

(2)

d 2 x

dt

2

t<

I ,T~.

= l 1J f (t, s)ds. Будем предполагать, что выполнены

о

следующие условия:

1) данные функции являются / -периодическими по г ;

2) средние функций (е0,еь/,т), /¿(е0,/,г), / = 2,3, по г равны нулю;

3) /г, 0</<3, имеют непрерывные производные любого порядка по совокупности переменных е и г, и справедливо равенство /3 (е0,0, г) = 0 .

Асимптотическое разложение решения задачи (2) будем искать в виде

х(0 = Хсо~к/2ик(/)+ (3)

к=о к=з

где функции Уд- (7. г) являются / -периодическими по г с нулевым средним.

Пусть усредненная задача

d 3"

dt

dun

/о -dp-Ьf •0• ^t-i"

du

dK

-iio,t,T +<-(u0,t,z)F3(u0,t,T)>,

de.

(4)

: x2

S2ß 4

Со до", t e |,7\

которая не входит в класс (1). Для нее построено полное обоснованное асимптотическое разложение решения по степеням о-12. Уравнение 3-го порядка рассмотрено с той целью, чтобы провести исследования со всеми подробностями. Заметим, что, не нарушая общности рассуждений, полученные результаты можно распространить на случай систем дифференциальных уравнений п -го порядка..

Пусть Gt, г = 0,1, - конечные интервалы вещественной прямой, функции /j(e0 ,еь/,г), /=0,1, и f j (t'Q. L т). j = 2,3, заданы, соответственно, на множествах Qj = {(e0,ei,t,T): (е0,е1) е G0 / е [О,Г], т е [0,да)} и Q2 = {(e0,t,r): е0 eG0, /е[0,Г], ге[0,оо)}. Всюду далее символом < fit. г) > будем обозначать среднее функции fit, г) по т : < / (/. г) >-

ат

м0(°) = х0' ¿"о /пл _ й?2м0 л Л2

где функции /'з и /?4 будут описаны ниже (см. (8) и (9)), имеет решение и0 (г).

Введем теперь два вида задач: (А) задача Коши:

ёи

d3u

— = ах (?)^ + а2 (t)u + f (t\

dr dt

du

u( 0) = x0, —(0) = xb dt

d 2 " dt2

(0 ) = x2,te \,T;

где аI (г), / (г) - известные непрер^1вные на [0,Г] функции;

(В) задача о нахождении / -периодического по г с нулевым средним решения уравнения

g3v

ö7

= т)

где jj.it,т) - известная непрерывная по /. г. / -периодическая по г с нулевым средним функция.

Теорема 1. Построение любой частичной суммы асимптотики (3) сводится к решению конечного числа задач видов (А) и (В).

l

Доказательство. Для нахождения коэффициентов разложения (3) подставим в уравнение и начальные условия (2) вместо х выражение (3), формально разлагая функции fi, / - 0.1. и / ■, у = 2,3 , в ряды Тей-

йип

лора с центрами (и0(г),-(г)) и ио (г) соответственно. В полученных равенствах приравняем коэффициенты при одинаковых степенях со. Придем к рекуррентной последовательности задач, которые расщепляются в свою очередь с помощью усреднения по т = ая на задачи для плавных п/( (/) и быстро осциллирующих фуНКЦИЙ Уд. (I. т).

Равенства коэффициентов при положительных степенях <х> имеют вид

a3v3

(t,T) = f3(u0,t,T), < v3(t, г) >= 0 ; (5)

д\

дтJ

df,

(t, г) = f2 (м0 ,t,r) + — («o, t, т)щ,

дт3 де0

< у4 (t, т) >= 0 ;

(33V<; 53Vq dur,

5-(t,T) = - 3-3-(t,T) + Mu0,^,t,T) +

(6)

дт3 dtdz

df2 , , З/з

де0 де0

< v5 (/, т) >= О

dt 1 92/з

+ -^L(UQ,t,T)ul +—(u0,t,T)u2 +--— (и0,1,т)щ

1 Зеп

(7)

Задача (5), в которой и о и г играют роль параметров, как известно, однозначно разрешима, и ее решение дается формулой

уз СО= и0,г,=

10 10

10

(8)

где RTg(z) = g(z)~ < g(z) > .

Из начальных условий задачи (2) вытекает требо-

вание на функцию V3 :

д2

. о v3

dr¿

= 0, которое выпол-

f=о

няется в силу условия (3).

Аналогично находим решения задач (6) и (7) Ч0, т) = рк(ий,...,ик_4,г,т) + а(и0,г, т)ик_ъ(0 , к = 4,5, (9)

где функции рк (к = 4.5 ) и а -/ -периодические по г с нулевым средним.

С учетом этого выводим задачу для главного члена ио асимптотики (3):

d 3uo

dt

3

duo df\ du()

=< fo (M0 ' , ,т) > + < ~~~ (mq , , t, r)x

dt

3e

dt

SF3 SA

x-(и0, r) > + <-(m0,r)F3(u0,t,r)> .

дт de0

dun dt

Ао„(О) = Х2-^(Ходо).

dt

2

ör

Получили усредненную задачу (4), которая по условию разрешима на временном отрезке [0,Г ]. После этого по формуле (8) находим у3 (/. т). Нетрудно установить, что задача для нахождения у6 имеет следующий вид:

а3у6

дт"

(t,T) = уß(Ui,U2,t,T) + b(t,T)u^(t) ,

<v6(t,T)>=0,

д/з

где b(t,т) = ——(u0,t,T). де0

Покажем, что если найдены и и v¿+3 для О<к<т, причем их построение свелось к решению конечного числа задач видов (А) и (В), то можно определить их и для к = т +1.

Выпишем задачи, определяющие коэффициенты vk :

дт3

(А = Гт+4 (А Т) + biß, Фт+1 (0 :

< vm+4 (t, z)>=0 ,

(10)

d3vk дт3

(t, z) = уk (и m+\ , ■ ■ ■, и i_4 , т) + Ь (t, т)и ¿_3 (0 ,

<V/c(t,T)>= 0, к = m + 5, m + 6. Здесь функция ym+4 вьфажается через коэффициенты и к и v/(, 3, 0 < к < m, а потому известна, причем < уmi 4(1. т) >- 0. Из соотношения (10) однозначным образом определяем

vm+4 (t, т) = Pm+A {t, т) + a(t, T)um+1 (t), (11)

где a(t,T) jj—(u0,t,s)ds\dT\ds[,

[о [о Ие0 J J J

Далее для упрощения записи вместо

oef

X(llQ,

dnUo ' dtn

,t,T), где n = 0 для y' = 2,3 и n = 1 для

/ р\

j - 0.1. будем коротко писать (/ ■ ) ' . Приравнивая

/и+1 2

коэффициенты при ¿у

d3um+l , i З3Vm+i+2i ,,

-—-2. 4>m+lUj )-

получим

3

dt

3

;=0 др-'дт' j=0

(12)

(P) .

+ Z ),

J=0

m+7 1

где Фи (/,-)= S -(/,.)

eÓ

[p/2]

X I I Clp{uk{t) + vk{t,T))P~l {u^+v^t,^)1,

i = 0 (p-i~)k+il=m + j 0< k<l

p=i p\ 4 .........

[ P /2]

Clx

i=0 (p—i)^i7—j ^ k<l

( duk dvk dvk+9 _ ч

I dt ot от

p

dui

ÔVi

x —+ ^ dt dt

dv

'1+2

(f,T) .

Поскольку ujç и vi+3 , О < к < m, найдены, то Фт+1 (/о) = (/о)'е0 "»7+1 + Фот(*> Т) ,

т+1 еп 11 ш 2 m

® т+\ (J~2 ) = ( J~2 Уе0и т+Ъ Х

1 2

х (м Iм m+2 + м 2 м т+1 ) + - (/з ) "з M1 M m+l + Ф2т (А :

®m+1(/з) = (/з) еп (um+4

x(u1um+3 + u2um+2+ u3um+l + v3um+lK

l2

\ 2 1 C4") 3

m+2 m+1 УЗт

2 eo 6 «o

^+1 (/о ) = (/о A + Ч>Ът (f, T) ,

1 dt

1 dt от ei

Г аЦ дуъ Л dum+l

где и - известные функции.

Усредняя полученную задачу (12) по «быстрому» времени т и учитывая (11), получаем однозначно разрешимую на отрезке времени [0,Т] линейную задачу вида (А):

Л "т+1- = (О + а2 (1)ит+1 + Хт+1 (0 ,

dt3

dt

Mm+i(0) = -vm+1(0,0), rf"™+l.(0) = -^»±1(0,0)-^±1(0,0)

dt d 2u

t

дт

dt2

-¡2 я2 (0) = - ° Vm+1 (0,0)-2 3 (0,0) -

t

t

~/3m+5 (um+l (0) АО) + «(0,0) • vm+2 (0,0), где xm+1 (0 ~ известная непрерывная на [0, 7] функция

и «1(0 =< (/о)^ +(ЛУе2 a2(t)=<(f0)'eo +

tfor

+ C/1)i^^T + C/3);2 V3+(Î3)'e0a> .

xt0(/)= I ® kl2Uj(t) + X fi> k'2Vj(t,û)t), i=0 i=3

для которого справедлива оценка

xffl (0 - Хй, (О

г+1

<crfi) 2 , /е[0,Г].

(13)

Под эффективностью понимается тот факт, что при известном решении ио(/) усредненной задачи (4) по-

г

строение приближения х сводится к решению однозначно разрешимых линейных задач Коши вида (А).

Доказательство. В силу теоремы 1 остается установить разрешимость задачи (2) на временном отрезке [0,Т] и получить оценку (13). Введем в рассмотрение вспомогательную функцию г+3 г+6

(0 = х а> (0 + Е ю V* (/, в*) +

£=г+4

+ («0® + «1*/ + «2й/ ) ,

г+6

где =- S ta kl2vk(0,0),

k=r+4

г+6

I

£=r+4

r+4

«1ю=- I ® -7—(O,O)-0 2 —:-(0,0),

3/ дт

1 k/2d2vk

«2 I ® ^

¿/fc=r+4 3/

r+4

(0,0)-® 2

32v

r+ 6

(0,0)-

r+3 2

"^^±7(0,0).

dt2

1 -+—ф 2

Тогда найдутся такие положительные сг1 и а»]. что при со > щ имеют место неравенства

г+3

\asco \ < сгу(о 2 , s = 0,1,2. Кроме того,

d\ dt3

■ = /о

dz,,

1 / ?

,t,o>t) + co f\(z

dt

dz„

dt

, t, cot) +

+ m f2{zœ,t,(0t) + ®3/2 f3(zm,t,û)t) + a(0(t), (14) dz„

zm{ 0) = x0, (0) = xj, dt

d2z„

dt2

" (0) = x2 ,

От

'ef 3 е0

Определив решение данной задачи nm \ , можно по формуле (11) восстановить функцию vm+4. Теорема доказана.

Теорема 2. Существует а>0 > 0 такое, что при ю>®0 задача (2) имеет на отрезке |0.7| единственное решение xw (t). Кроме того, для любого г = 0,1,2,... найдутся такие положительные числа сог (> со{) ) и сг, что при а>>о)г эффективно строится приближение

где а0)(I) - сколь угодно гладкая на отрезке |0.7 | функция, такая, что для некоторых сг2 >0 и со2>со\ при всех / е [0,Г] и со > ®2 выполняется г+1

\асо(1:)\<сг2СО 2 . Заметим, что а80) подобраны так, чтобы для 2(ч были выполнены начальные условия задачи (2).

Из (2) и (14) вытекает задача для у = х - гю

У , , .Л 1/2

—— = а00 (/,»/)>' +а01(/, су/)--Н® х

Л

dt3

х а10(/, cot)y + öj j (/, — + соа20 (t, cot)y +

dt )

3/2

+ cy a^{$,at)y-am(i) = i^{y,t,at,co)

(15)

Г

у(0) = ^(0) = ^(0) = 0,

где

dt

dtz

О дej

dy

dz,

{t,r) = \^\ey(t) + zo)(t),0^-(t) + -^(t),t,T X

dt

dt

ряющее неравенству |y(t)| I (-\()Jf!, | и интегральному уравнению

f (t)

d2y

dt2

(t)

<c,

Сt~s)2 ö

cos, aic^s, /е[0, tro].

о 2

Покажем, что, применяя метод интегрирования по частям, в правой части последнего равенства можно

k=1, 2, 3, и пе-

избавиться от коэффициентов л/ 2. рейти к уравнению вида

'Г dy

y(t) = J ¿»о (/, 5, ÎO^X5) + (/ - (t, CÙ, S, cas)-(s) +

ov

? ö?2 V

+ (t-s) bj (t, со, s, cos) —J (s)

ds

\

ds

d^ —

-I

t (t-s)2

al0(s)ds,

(16)

о 2

В котором функции ( СО > 0>2 ) являются

полиномами относительно г, коэффициенты их сколь угодно гладкие относительно 5 и г , / -периодичны по г и равномерно ограничены. Действительно,

t

g2co(f) = 0)\

(f-sY 2

■ а20 (s, a>s)y(s)ds =

О

f (( - s)2

= О)J---#20 (Я5), z(0 (s), s, cos)y(s)ds .

0

2

такая, что

8т

-h m O) = Xi (Х-?),z® ß») • T0№ dha> _ dy ^ dx2 dzm

ds du ds dv ds

+ + =Ç2a> + ®#20-

os

Применяя метод интегрирования по частям и учитывая, что >>(0) - 0, получим

g2œ(t) = \

Ut-s)2 dÀ2o}

О

2

(sM^-J

ds o

(t~s)2 2

■Ç2m(s)x

xdв = #у. \у(!), 2Ю (/), ^ (0, ■^ (0, ^ j при = 0,1 ,

1 дГ

«¿0 с. = I+ (ЯЛт^е =

05е0

= #ю ^ при / = 2,3, — / -периодические

по г функции, причем < (/. г) >= 0 для 7 Ф 0 .

В силу теоремы Пикара-Линделефа найдутся с > О и 10) с |0.7 |. такие, что на отрезке |0. 1Г) | существует единственное решение >>(/) задачи (15), удовлетво-

х y{s)ds = \{t- (s) - —^ ç2o) (s) IX

2 as J

Рассмотрим

8m (0 = ®1/21 ^ «h №) =

0 2

= CD

1/2

(t-s)2

- #h I уОО, Zm (s), ^ (s), (s), s, cos | x

dy — (

ds

ds

d'y

x—~(s)ds = со

ds1

1/2 г (t'*)2 dÀ>

2

ds

1C0 (s)——{s)ds-

-- 1/2 =

o

2

ds1

dsi О

ds.

2 ) м 2

г = 0,1.

Здесь функция /{,1Дм1,у1,м2,у2,5,г) - / -периодическая по г с нулевым средним такая, что дХ\ г

х| y{s),zco{s),^{s),^{s),s,CDs ds ds

Çiw = S

j=1

2 CdXli dJy + dzi, dJz Л

"m

Su, dsJ dv, dsJ

8Xh

ôs

v

Далее, применяя дважды метод интегрирования по частям, введя / -периодическую по г с нулевым сред-

ним функцию Хъ ("-v-s,Г) ■

. 8Хз

дт

= #30, и определив

д2Хз ( dy)2

о о

| 2а 7з dydzm | ö j3

ds ds j2_

ôv

2

ds

ds2

Эгз <izz„ 32Гз + -+ —4т1, получим

Sv ds2

2

Поскольку функция л-г) /-периодическая

по г с нулевым средним, то существует / -периодическая по т с нулевым средним функция ^С"^5?7")

g3o,(t) = C° \

ds

3l2's(t-sY

2

■ «зо (s, cos)y(s)ds =

= #20 • Положим для краткости

О

= соЪ'2 j ^ ^ #30 (^(s), (s), s, cos)y(s)ds = 0

2

= ет

-1/2

j(t-s)| -

О

^ f Зю (s)y(s) - 2A3w (s) ^ (s) + 2 ds

2

2

ds2

_i j 2

ds + со i^-за) (s)y(s)ds .

a

У

2

о

О

2

t

i

о

Тем самым представление (16) обосновано.

Обозначим Tj(t) = |v(/)|

>

d2y

dt2

(t)

. Тогда

из соотношения (16) для некоторого Kq = К{) (с) вытекает неравенство

( г+1

О

Оценки

dt1

(t )

<Kt\ri(s)ds + 0 о

te[ 0,/ö], (17)

Г+1 A

2

I=1, 2,

получаем путем дифференцирования равенства (16) и

( Г+П 2

с учетом (17). Тогда r/(t)<K3j?](s)ds + 0

о

со

/е[ 0,/J.

Отсюда, согласно лемме Гронуолла-Беллмана,

г+1

имеем rj(t) < К4со 2 , а>>со2, /е[О,/0]. В результате приходим к неравенствам

г+1

(t) < K 4о 2 , ' = 0,1,2 , а> >0)2 , te [0, ^ ], (18)

d'y

dt1

которые позволяют при больших со продолжить функцию y(t) на отрезок / е [tC0,mm(2tC0,T)] и получить на этом отрезке оценки (18). Повторив проведенные рассуждения соответствующее число раз, мы установим существование такого числа п{) >со2, что при со > со о задача (2) разрешима на отрезке t е [0, Т] и при этом справедливо неравенство \x(0{t)-z(g{t)\ <

г+1

<К5со 2 .

Из последнего неравенства и структуры функции z^ следует оценка (13). Теорема доказана.

Автор выражает искреннюю благодарность профессору В.Б. Левенштаму за постановку задачи и полезные обсуждения результатов работы.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 06-01-00287).

Литература

1. Левенштам В.Б. // Дифференциальные уравнения. 2005.

Т. 41. № 6. С. 761-770.

2. Левенштам В.Б. // Дифференциальные уравнения. 2005.

Т. 41. № 8. С. 1084-1091.

Южный федеральный университет

5 сентября 2007 г.

2