Асимптотика условно периодического решения дифференциального уравнения с большими высокочастотными слагаемыми Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2012, Том 14, Выпуск 4, С. 24-31

УДК 517.928

АСИМПТОТИКА УСЛОВНО ПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С БОЛЬШИМИ ВЫСОКОЧАСТОТНЫМИ СЛАГАЕМЫМИ1

М. Р. Ишмеев

Для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка, содержащих высокочастотные слагаемые, пропорциональные определенным положительным степеням частоты, построена с обоснованием полная асимптотика условно периодического решения.

Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения, большие высокочастотные слагаемые, метод усреднения, асимптотика.

В настоящее время имеется довольно много работ, посвященных асимптотическому анализу дифференциальных уравнений, содержащих высокочастотные слагаемые, пропорциональные положительным степеням частоты (см., например, [1-7]). Данная работа относится к тому же направлению, примыкает к работам [6, 7] и посвящена построению и обоснованию полной асимптотики некоторого условно периодического решения системы нелинейных дифференциальных уравнений вида

[(п+1)/2]

Ж(п) = £ Ш(2?-1)/2 /2^-^Ж,Х,...,Ж([(п+1)/2]-^) ,шЬ) 3 = 1

[п/2]

+ ^ Ш /23 (ж, ж,..., ж([п/2]-з), шЬ) 3=0

с условно периодической по т = шЬ правой частью

п

/з (20, ...,гг ,т) = ^ [^1(20,..., ) со в(ак т) + ^2(20,.. . ,2Г )йт(ак т )]. (2) к=1

Здесь ак, к = 1,..., п, — произвольные вещественные числа. В данной работе изучаются также вопросы устойчивости и неустойчивости по Ляпунову указанного решения.

© 2012 Ишмеев М. Р.

1 Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.А18.21.0356, и Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 12-01-00402-а.

(1)

1. Обоснование метода усреднения и исследование устойчивости

Пусть п, т — натуральные числа, ш — большой параметр, О — область в Жт. Рассмотрим дифференциальное уравнение (1). Здесь вектор-функции с -до (¿о,..., хг) со значениями в Жт заданы и непрерывны на множествах О х ••• х О. Предположим, что

г+1

указанные вектор-функции обладают непрерывными производными

' ^ ...а^ ' |а| =1''"' шах(2'п - [(п + 1)/2] +

'1 'д

д с2->ь ., |а| = 1,..., тах (2,п — [п/2] + ^), а = (а1 , ...,ад),

Ох"1... Ох"9

«1

'д

которые удовлетворяют равномерному условию Липшица по х«, г = 0, ...,г. Пусть, кроме того, /-, ] = 0, обладают нулевым средним по т (т. е. с-к1 = 0 для всех ] = 0, если

ак = 0).

Мы рассматриваем задачу об условно периодических решениях уравнения (1). Напомним [8], что условно периодической называется почти периодическая функция с конечным частотным базисом. Под частотным базисом понимается рационально независимый набор чисел, в виде целочисленной комбинации которых можно представить любой показатель Фурье почти периодической функции.

Наряду с возмущенным уравнением (1) рассмотрим уравнение

у(п) = Ф(у,у,...,у([п/2])), (3)

которое будем называть усредненным. Здесь

/ О/п

ф( хо ,...,Х[п/2]) = ( /о (хо,...,Х[„/2|,^ + охо (хо ,Т (¿0, т)

+ (хо ,х1,т ^ (хо,т ) + ... + ОхКя+1)/2]-1 (хо ,...,х[(™+1)/2]-1 ^ От [(п+1)/2]-1 (хо,т У, при нечетном п;

О [п/2]

I ( О [п/2]мп \ О/п

Ф(хо ,...,х[„/2^ = ( Л( хо,...,х[п/2] + От [п/2" (хо ,т),т ] + Охо (хо,Т) (хо,т)

О/2 ( ) О[п/2]-Уга, \

(хо ,х1 ,Т) (хо,т) +... + О—— (хо ,...,хк2]-1,^^тШ72-г(хо ,т V,

х[п/2]-1

при четном п. Символом (хо,т) обозначено условно периодическое по т с нулевым

средним решение уравнения дд^ГГ (хо,т) = /п(хо, т). Предположим, что существует стационарное решение усредненного уравнения уо е О такое, что (уо,т) € О для любого т € Ж, и, кроме того, уравнение

ОФ ОФ г /о, ОФ

+ АОФ + ••• + А^-^ — АпЕ =0 (4)

Охо Ох1 Ох[™72] (уо ,о,...,о)

не имеет чисто мнимых корней.

Теорема 1. Существуют такие положительные числа wo и го, что при w > wo справедливы следующие утверждения:

1. Уравнение (1) имеет единственное в шаре \\х — y0||cfc(r) ^ г0 условно периодическое решение хш, частотный базис которого содержится в частотном базисе fj, и при этом

lim \\хш — yo\ck(R) = 0, где k = [(n — 1)/2].

2. Если все решения уравнения (4) лежат в открытой левой комплексной полуплоскости, то решение хш экспоненциально устойчиво.

3. Если хоть одно решение уравнения (4) лежит в открытой правой комплексной полуплоскости, то решение хш неустойчиво.

< Докажем утверждение 1. Как и в предыдущей работе [7] серией замен Крылова — Боголюбова придем от уравнения (1) к системе без больших слагаемых

х = xi + w-(n+1)/Vra_i (хь wi) + w-n/Vn(xi, wi); Xj = xj+1 + w_(n+1)/2 ^n_2j_i(xi, . . . ,xj+i,wi) + W_ra/V„_2j (xi, . . . ,xj+i,wi) + w_(n+i)/2^2j+i(xi,..., xj+i, wi) + w_n/2^2j(xi,..., xj+i, wi), j = 1,..., k; xi;_ik) = ^ (xi,..., x£ifc), wi) + в (xi,..., xj+_ifc), wi, w) + Xo (xi,..., xfc+i, wi) (5) + Bo(xi,... ,xfc+i, wi)xfc+i + x(xi,... ,xfe+i,xfe+i, wi, w)

ra_fc_i

+ ^ Ai(xi,... ,xfc+i,wi,w)xk+i + w_n/2C(xi,...,xfc+i, wi)xk+_1k).

j=2

Здесь &(xi,..., xj) = ^io(xi,..., xi_i) + ^ii(xi,..., xi_i)x», ^>o = 0, при нечетном n элементы xo, Во являются нулевыми, а x имеет вид

X(xi,... ,xfe+i,zfe+i,T,w) = Xi(xi,... ,xfc+i,T,w) + Ai(xi,... ,xfe+i,T,w)zfc+i.

Отметим, что Xo(xi,...,xfc+i,t), x(xi,... ,xfe+i, zfc+i,T,w), Xi(xi,..., xfc+b t, w) — вектор-функции порядка m, а Bo (xi,..., x^+i, t), Aj (xi,..., x&+i, t, w), C(xi,..., x^+i, t) — квадратные матрицы-функции порядка m. Компоненты матриц Aj, а также вектор-функций xo, X, Xi, являются полиномами относительно компонент xs и xs, Zk+i, s ^ 2, соответственно, причем коэффициенты этих полиномов, как компоненты матриц Вo, C и вектор-функций в, , непрерывны, удовлетворяют равномерному условию Липшица по xj и почти периодичны по т со вложенным в частотный базис fj частотным базисом. Кроме того, указанные коэффициенты или компоненты элементов в, X, Xi, Aj являются бесконечно малыми при w ^ то равномерно относительно своих переменных, а элементы £j, ^j, xo, Bo, C имеют нулевые средние по т.

Разрешив последнее уравнение системы (5) относительно старшей производной, перепишем ее в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка

ddi = f (z,wi) + a(z,wi, w), (6)

где z = (xi,... ,x„)T,

f (z, т) = (x2,..., x„_i, [E — w_n/2C(xi,..., xfc+i, т)] _i (^(xi,..., xp+i, т) +Xo(xi,... ,xfe+i,T) + Bo(xi,... ,xfe+i,T)xfe+2^ ,

а выражение a(z, т, ш) после этого очевидно. Наряду с возмущенной системой (6) рассмотрим усредненную систему

ä = F (w), (7) где T

W = (Wl, ...,Wn )T, F (w) = (W2, ...,Wn-i, Ф(®1, ...,Wp+i)) .

Очевидно, система (7) имеет стационарное решение w0 = (y°, 0,..., 0), причем матрица dW(w0) не содержит чисто мнимых собственных чисел, так как уравнение (4) не имеет чисто мнимых корней.

Лемма 1. Пусть ß £ (0,1). Тогда существуют положительные числа ri, Wi такие, что при ш > Ш1 справедливы следующие утверждения:

1. Система (8) в шаре \\z — w°\\cm(r) ^ r1 имеет единственное условно периодическое решение z^, частотный базис которого содержится в частотном базисе f + а, и при этом справедливо соотношение lim \\z^ — w°\\cm(r) =0.

2. Если спектр матрицы ^ (ад0) лежит в открытой левой комплексной полуплоскости, то решение экспоненциально устойчиво относительно ш и начальных условий.

3. Если спектр матрицы (ад0) содержит хотя бы одну точку открытой правой комплексной полуплоскости, то решение неустойчиво.

Здесь СМ(Ж) — обычное гёльдерово пространство заданных на оси £ £ Ж вектор-функций со значениями в .

< Заменой г = v + ад0 уравнение (6) приведем к виду

— - ^ = f (V + ад°,ш£) + а^ + ад0- Av = (8)

где А = ^(ад0). В силу отсутствия точек мнимой оси в спектре матрицы А система (8) эквивалентна интегральному уравнению (см., например, [8])

+те

v(i) = У - йв = [Т(V, ш)](£).

—те

Здесь

с =1-S diag (е"+ ,0) 5—1, 0,

где Б — невырожденная матрица такая, что

А = 5 diag(J—,)5—1,

а — матрицы жордановой формы, характеристические числа которых лежат в левой и, соответственно, правой открытой комплексной полуплоскости. Введем в рассмотрение отображение М : См(Ж) х (0, +то>] ^ СМ(Ж) такое, что М= Тпри ш < и

+те

М= J - (v + ад0,5)) - Av] йв.

—те

Отображение Ми его производная Фреше (Е^Мнепрерывны в точке (0, при этом М(0, =0 и (^М)(0, = 0 — нуль-операторы. Применяя

теорему о неявных отображениях, получим справедливость утверждения леммы для ограниченного решения. Докажем его почти периодичность. Пусть т — е-почти период вектор-функции / + а. Имеем

IV(£ + т) — ф)| = J О(4 + т — в) ¿в — ^ О(4 — в) Д(«,шв,ш)

О(4 — в) Д(ф + т), ш(в + т), ш) — Д(ф), шв,ш)

¿в

О(4 — в) /(юо + ф + т), ш(в + т)) — /(юо + ф), шв) — Аф + т)

+Аф) + а(юо + ф + т), ш(в + т), ш) — а(юо + «(в), шв, ш)

< /1 + /2 + /э.

Так как т — е-почти период / + а ив силу свойств функции Грина О

/1 = / О(4 — в) I/(юо + «(в + т),ш(в + т)) — /(юо + «(в + т),шв)

(9)

+ а(юо + «(в + т ),ш(в + т ),ш) — а(юо + «(в + т ),шв,ш)

^ / ||О(4 — вир/(юо + «(в + т),ш(в + т)) + а(юо + ф + т),ш(в + т),ш)

(10)

—/(юо + ф + т), шв) — а(юо + «(в + т), шв, ш)

<

4се

7 ,

где с — константа, 7 — минимальная по модулю вещественная часть точек спектра, найдется шо такое, что для любого ш > шо справедливы оценки

/2 =

О(4 — в) /(юо + ф + т),шв) — /(юо + ф),шв) — Аф + т) + Аф)

< / О(4 — в) /(юо + «(в + т),шв) — /(юо + ф),шв)

—+ «(в + т)) + + «(в))

+ / ||О(4 —

х вир

<

+ «(в + т)) — + ф)) — Аф + т) + Аф) 1

/О(4—•)/

О/

Ох

(юо + «(в) + 0(ф + т) — ф)) ,шв)

— ¿ю ^ + «(в) + #(Ф + т) — ф)))

¿(в + т) — ф))

2c

+--sup

Y seR

dw +«(•)) - A

(v(s + T) - v(s)) + 0((v(s + т) - v(s))2)

^ 1 sup |v(s + T) — v(s)| + 1 sup |v(s + T) — v(s) I = 1 sup |v(s + T) — v(s) I

8 seR 8 s6R 4 sgR

(11)

'3 =

— те

J G(t — s) a(w0 + v(s + t),шв,ш) — a(w0 + v(s),ws,w)

-те

^ / ||G(t — s)||dssup a(w0 + v(s + t),шв,ш) — a(w0 + v(s),ws,w)

J seR

(12)

^ 2c ^ — sup

Y sgR

da

"da (w0 + v(s),ws,w) (v(s + T) — v(s)) + 0((v(s + T) — v(s))2) ^ 1 sup ^(s + T) — v(s) |.

4 seR

Учитывая формулы (9)—(12), получим

sup |v(t + t) — v(t) | ^ + 1 sup |v(t + T) — v(t) |, sup |v(t + T) — v(t) | ^ teR Y 2 teR teR Y

Значит t — ^-почти период v, а в силу произвольности е получаем почти периодичность v.

Пусть теперь {tm} — (/ + а)-возвращающая последовательность, т. е.

sup /(v,w(i + tm)) + а(«,ш(£ + tm),ш) — / (v,wi) — a(v,wi,w) ^ em ^ 0, m ^ то, teR

Также как описано выше легко показать

I / \ / \ I 8сет sup |v(t + т) — v(t)| ^--> 0, m ^ то,

teR Y

т. е. tm — v-возвращающая последовательность, поэтому, как известно [8], частотный базис v вложен в частотный базис / + a.

Таким образом, утверждение 1 леммы доказано. Утверждения 2, 3 доказаны в монографии В. Б. Левенштама [4, гл. 3, лемма 1.8]. >

Из леммы 1, с учетом вытекающего из первого уравнения (5) равенства

Xa = Zai + W —(n+1)/2 <„— 1(ХШ1 ,wi) + n/2 <„(ZaiM), (13)

следует существование такого ш0 > 0, что при ш > ш0 уравнение (1) имеет условно периодическое решение xa с указанным в теореме базисом частот, для которого выполняется, указанное в теореме предельное соотношение. Его единственность доказывается как и в предыдущей работе [2], с учетом того, что используемая там лемма 2 верна и для уравнений с ограниченными коэффициентами.

Докажем теперь утверждения 2, 3 теоремы 1. Перепишем теперь (6) в виде системы уравнений, у которой в левой части стоит неизвестная x и ее производные, а в правой — Xj. Применяя теорему о неявных функциях к первым k + 1 уравнениям системы, получаем, что существуют такие положительные числа P0, Pi, Ш0, что при ш > Ш0 каждому решению ш уравнения (1), удовлетворяющему условию |x(t)| ^ P0 отвечает единственное

решение системы (6), удовлетворяющее условию ^ рь При этом существуют

такие положительные величины С1(ш) и С2 (ш), что для любых решений ж1 и ж2 уравнения (1) и соответствующих им решений ¿1 и ¿2 системы (6) выполняются оценки

п— 1

С1 мм*) - ¿1 м

3=0

[ж2 - ж11 ^ 1 -1

Таким образом, утверждения 2 и 3 теоремы являются следствиями утверждений 2, 3 леммы 1. >

Замечание. Утверждения 2 и 3 доказанной теоремы верны и для рассмотренного в работе [2] класса систем.

2. Асимптотика условно периодического решения

Продолжим рассмотрение системы (1). Дополнительно к условиям §1 будем предполагать, что вектор-функции / имеют непрерывные производные по ¿0, ¿1,..., ¿[п/2] любого порядка. Асимптотику условно периодического решения жш, о котором говорится в теореме 1, будем искать в виде

п—1 те

жш(*) = У0 + ш—¿/2и + ^ ш—¿/2[иг + «¿(ш*)], (14)

¿=1 ¿=п

где и € Ж™, «¿(т) — условно периодические функции со значениями в Жт, с нулевым средним. Для нахождения коэффициентов асимптотики подставим ряд (14) в (1), разложим вектор-функции /, ] ^ 0, в случае нечетного п, и /, ^ > 0, в случае четного п в ряды Тейлора по переменным ^ с центром ад0 = (у0, 0,..., 0). Разложим /0 в случае четного п в ряд Тейлора по переменным ¿0, ,..., ¿[п/2] с центром = (у0, 0,..., 0, ддттг/гг). После этого приравняем коэффициенты в обеих частях полученного равенства при одинаковых степенях ш. Более подробно процесс построения описан в предыдущей работе. Обозначим

5 5+П—1

жш,5 (*) = У0 + ^ ш—¿/2и» + ^ ш—¿/2V»(ш*).

¿=1 ¿=п

Теорема 2. Для любого в = 0,1,... найдутся такие положительные числа с5, что при ш > справедлива оценка

||жш - жШ)5||с к (Я) ^ с5 ш—(5+1)/2,

где к = [(п - 1)/2]. Построение приближения жШ;5 при известном векторе у0 сводится к нахождению условно периодических с нулевым средним решений в уравнений вида = д(т), где д(т) — известная условно периодическая с нулевым средним вектор-функция вида (2) и к решению в систем линейных алгебраических уравнений с единой невырожденной основной матрицей (у0, 0,... , 0) и известными свободными членами.

< Доказательство практически полностью повторяет, приведенное в [7], доказательство теоремы 2. Отличие в том, что теперь мы разыскиваем ограниченное решение системы

и = Ви + / (и, ш).

А для него при достаточно больших ш, как мы уже видели в § 1, справедливо представление и(*) = /—те - в)/(и(в),в,ш)^в = [Д(и, ш)](*). Здесь

С [ -5 diag (в"+ ,0)5—1, *< 0, = { 5 diag (0,в"- —1, *> 0,

где Б — невырожденная матрица такая, что С = 5 diag(J—) 5—1, а — матрицы жордановой формы, характеристические числа которых лежат в левой и, соответственно, правой открытой комплексной полуплоскости. Оператор й(и, ш) обладает всеми необходимыми для продолжения доказательства свойствами. >

В заключении автор выражает благодарность своему научному руководителю Валерию Борисовичу Левенштаму за постановку задачи и внимание к работе.

Литература

1. Юдович В. И. Вибродинамика и виброгеометрия механических систем со связями. Части 1-111 // Успехи механики.—2006.—Т. 4, № 3.—С. 26-158.

2. Басистая Д. А., Левенштам В. Б. Асимптотика решений обыкновенных дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми // Изв. вузов Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Спецвыпуск. Математика и механика сплошной среды.—2004.—С. 46-48.

3. Левенштам В. Б. Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми // Докл. АН.—2005.—Т. 405, № 2.—С. 169-172.

4. Левенштам В. Б., Хатламаджиян Г. Л. Распространение теории метода усреднения на дифференциальные уравнения, содержащие быстроосцилирующие по времени слагаемые // Изв. вузов. Математика.—2006.—№ 6.—С. 35-47.

5. Левенштам В. Б. Дифференциальные уравнения с большими высокочастотными слагаемыми.— Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2008.—368 с.

6. Левенштам В. Б. Асимптотические разложения периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми // Дифференц. уравнения.— 2008.—Т. 44, № 1.—С. 52-68.

7. Ишмеев М. Р. Асимптотика периодического решения дифференциального уравнения с большими высокочастотными слагаемыми // Владикавк. мат. журн.—2011.—Т. 13, вып. 3.—С. 21-34.

8. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости.—М.: Наука, 1967.—472 с.

Статья поступила 7 декабря 2012 г.

Ишмеев Марат Рдшидович Южный федеральный университет, студент факультета математики, механики и компьютерных наук

РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а E-mail: [email protected]

THE ASIMPTOTICS OF CONDITIONALLY PERIODIC SOLUTION OF DIFFERENTIAL EQUATION CONTAINING GREAT HIGH-FREQUENCY TERMS

Ishmeev M. R.

It was constructed and justified the full asimptotic of conditionally periodic solution for the systems of non-linear differential equations containing items proportional to some degrees of frequency.

Key words: differential equations, high frequency terms, averaging method, asimptotic.