CC BY
14
Владикавказский математический журнал 2011, Том 13, Выпуск 3, С. 22-35
УДК 517.928
АСИМПТОТИКА ПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С БОЛЬШИМИ ВЫСОКОЧАСТОТНЫМИ СЛАГАЕМЫМИ
Ишмеев М. Р.
Для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка, содержащих высокочастотные слагаемые, пропорциональные определенным положительным степеням частоты, построена и обоснована полная асимптотика периодического решения.
Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения, большие высокочастотные слагаемые, метод усреднения, асимптотика.
В работе В. Б. Левенштама [1] построена и обоснована полная асимптотика периодического решения для некоторого класса систем дифференциальных уравнений вида
х(и) = /о(х,шг) + ши/2/1(х,шг), ш » 1,
в окрестности невырожденного стационарного решения соответствующих усредненных систем уравнений. В данной работе аналогичные результаты получены для некоторого класса систем дифференциальных уравнений более общего вида (1) (см. ниже). В частности, нелинейные слагаемые в (1) могут содержать младшие производные соответствующих порядков.
1. Обоснование метода усреднения
Пусть п, т — натуральные числа, ш — большой параметр, О — область в Жт, I > 0. Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
[(и+1)/2]
£
¿=1
х(и) = > ш
£ ш(2з-1)/2 /¿-1 (х, хж([(п+1)/2]-л, шг) =1
[и/2]
+ ^ ш /23 (х,х,..., х([и/2]-3), шг) .
¿=0
Здесь вектор-функции /23-1(20,21,..., 2[(и+1)/2]-з,т) и /23(20, ¿1, • • •, 2[и/2]-з,т), которые заданы на множествах О[(и+1)/2]-3+1 х Ж и О[и/2]-3+1 х Ж соответственно, непрерывны
2011 Ишмеев М. Р.
и принимают значения в Ж™. Предположим, что указанные вектор-функции обладают непрерывными производными
дко дг f2j-l
дгг' д^Г1 ... д,г[9
¿1 ¿q
дг кад
г = 1,...,тах(2,п - [(п + 1)/2] + ^), г = 1,..., тах(2, п — [п/2] +
которые удовлетворяют равномерному условию Липшица. Пусть, кроме того, они /-периодичны по т, причем среднее всех вектор-функций по этой переменной, кроме, быть может, ко, равно нулю. Наряду с возмущенным уравнением (1) рассмотрим уравнение
Ф(у,у ,...,у([п/2])) = 0, (2)
которое будем называть усредненным. Здесь
/ дк, Ф(го, ■ ■ ■, 2[га/2]) = ( /о(2о, • • •, 2[п/2],т) + ^(20,т)</?„(20, т)
дкп-2,
+ + д/г _ ^аК^1)/2]"1^,
-(20, . . •,2[(г1+1)/2]-1 ,Т) ат[(га+1)/2]_1 (20, Г) ^
д2[(п+1)/2]-1
при п — нечетном;
д[п/2]
/ ( д[п/2]^> \ Ф(го, ■ ■ ■, 2К2]) = ^/о^о,..., 2[га/2] + дт[га/2]"(2о,т),т]
дкП/\1 ч д,/П-2, X
-(го,г)</?га(го,г) + —-(20,21,1-)—— (-го, г)
+-----+
д2о д21 дт
дк2 д[п/2]-1<
2 [п/2] —1, Г) Эт[га/2]_1 (20, Г ) }
д2[га/2]-1
при п — четном. Символом ^>п(2о,т) обозначено 1-периодическое по т с нулевым средним решение уравнения да^п (20,т) = /га(2о, т). Предположим, что существует стационарное
решение усредненного уравнения уо £ С такое, что Эт[п/2]п (Уо,т) £ С для любого г £ Ж, а Щ-(уо, 0,..., 0) — невырожденная матрица. Справедлива следующая
Теорема 1. Существуют такие положительные числа Шо и го, что при ш > Шо уравнение (1) имеет 1ш-1 -периодическое решение хш единственное в шаре ||х — уо||с*к(к) ^ го и при этом ||хш — УоЦск(к) = 0, где к = [(п — 1)/2].
< Доказательство теоремы проведем в 3 этапа. 1. Проведем в уравнении (1) замену типа Крылова — Боголюбова
х = Х1 + Ш-(п+1)/2<£п-1(Х1 + ш-п/2^п (хЬш£) = Х1 + . (3)
Здесь и ниже через ^(2о, 21,..., 2Г, т) мы обозначаем 1-периодическое по т с нулевым средним решение уравнения -^^-(го, 21,..., хг, т) = fj(z0,zl,...,zr,т). Будем пользоваться соотношением
п д* д"- / \ ¿=о
Для всех в случае нечетного п и для всех /, кроме /о, в случае четного п применим формулы
Зз (ж! +(рш,±1 + -^-у ■ >ЖГ; + ) = Л'(жь®ь- • -у^'уСЛ)
(г) . дГ Д , / • (г)
— .....ж Ч—-—.шг = /Лжьжь .. ^^ дЬ 1 дЬг ' ) п
1
0 1
[ д/з ( . а ■ , дд^ш (г) . ,дг Д
0
1
г
д/з I , а ■ , дд^ш (г) . ,дг Д дг
—— Ж1 + вшш,х\ + 0^—,... ,х\' + в——,шt ав——. дхг V ^ ' Ш 1 дУ' дУ
г
0
Аналогичные формулы используем для слагаемых в правых частях последних представлений, которые имеют порядок 0(1) при ш ^ то. Для /о в случае четного п воспользуемся представлением
1
+/ Ш .....+^
0
1
+/(,,+4"+ ^+
0
1
+-" + У 1 1 1 др +
о
тр ' ) тр '
где р = [п/2]. В результате получим
х1и) = ^(х1;х 1;..., х1р), шг) + 71 (х1; х 1,..., х1к), шг) +в1 (хьхь ... ,х1р),шг,ш) + ши/2-1д12(хьшг)х 1 + ши/2-3/2д13(хьшг)х 1
и
+ £ ши/2-/2 ¡Ни(х1,хс 1,... ,хр]-1) ,шг) + ди(хьшг)хр])1 (4)
¿=4 2и
и/2-¿/2
ш
¿=и+1
где в случае нечетного п
+ £ ши/2-г/2 Н1г (х1,хг 1 ,...,хр]-1),шг)+ д1г (х1, шг)хр])
д/ д/ <ф{го,..., 2[га/2]) = /о(гь, ■ ■ ■, г[п/2], т) + ^ (гь, г)срп(гь, г) + (гь, 21, г)
З^п, д,П Э[(п+1)/2]-1уга
+^(20, Г) + ... + &[(гг+1)/2Ь1 (20,..., М-ь^даррт^г),
а в случае четного п
( д [п/2]^п \ д/ ф(г0,...,г[п/2]) = /0( г0,...,г[п/2] + ^[га/2] (гь,г),г) + г)
д/п-^ . , , д/2 , д[п/2]-1^п.
512(^0,Г) = д13(го,т) = ,т).
Здесь компоненты вектор-функций Н^(2о, 21,..., 2[»/2]-, т) являются полиномами по компонентам 21,..., 2[»/2]-, коэффициенты которых, также как и компоненты матриц ди(2о,т) и вектор-функции в1(2о, 21,..., 2р, т, ш), непрерывны, удовлетворяют равномерному условию Липшица по 2* и 1-периодичны по т. Кроме того, справедливы равенства (01») = (Ли) = 0. И компоненты вектор-функций Нц не содержат произведений каких-либо компонент векторов 2j•1, 2^ при ^ + > п. Слагаемое в1 имеет порядок ш-1/2 при ш ^ то, а вид вектор-функции 71(2о, 21,..., 2Р, т) после этого очевиден. Перепишем это уравнение в виде системы
Х1 = У1,
У(п-1) = ^ (Х1, Х1,..., х1р) , + 71 (Х1, У1,..., -1), +в1 (Х1, ,..., у1р-1) , ш) + шп/2-1012 (Х1, + шп/2-1513 (Х1,
п
([¿/2]-2) , , , ,.ч„,([«/2]-1)
+ ^ шп/2-»/2 [Л1,(Х1, У1,..., уГ 2]-2), + 01» (Х1, Ш4)у1
¿=4 2п
+ £ шп/2-»/2 [Нь (Х1,у1,...,у1[</2]-2) ,ш4) + ЫХЬш%р/2]-1)
(5)
¿=п+1
В системе (5) произведем замену переменных
Х1 = Х1, У1 = Х2 + Ш-(п+1)/2^п-з(Х1,Х2,ш4) + Ш-п/2^п-2(Х1, Х2, + ш-(п+1)/2 ^3 (Х1, Х2, + ш-п/2^2 (Х1, Х2, ,
(6)
где ^2(Х1, Х2,т) является 1-периодическим по т с нулевым средним решением уравнения д" |2ТЬЖ2'Т) = 512(ж1,г)ж2, а Ь(х1,х2,т) — а" дт^}[Х2'т) = 51з(ж1,т)ж2. В результате этой замены в системе (5) будет уничтожено слагаемое, пропорциональное наивысшей степени ш, т. е. шп/2-1. Наивысшей степенью ш в преобразованной системе станет шп/2-2. Слагаемое с такой степенью уничтожается на следующем шаге путем аналогичных преобразований. Повторяя преобразования описанного выше типа к+1 раз, от уравнения (1) придем к системе уравнений вида
Хj = Хд+1 + ш-(п+1)/2^^¿-1(Х1,... ,х^+ьш4) + ш-п/(Х1, . . . , Хj+l, + ш-(п+1)/2^'+1 (Х1, . . . , Хj+l, + ш-п/2^ (Х1,... ,х^+ьш4), ^ = 1,...,к; х^ = ^(Х1,..., х^, + в(Х1,..., х^, ш) (7)
+ хо(Х1,..., Хк+1, + Во (Х1,..., Хк+1, ш£)Хк+1 + х(х1,..., х^+1, Хк+1, ш)
п-к-1
+ ^ А»(Х1,... ,Хк+1, + ш-п/2С(Х1,... ,Хк+1, ш^х!™--^ .
Здесь &(хь ... ,хг) = ^¿о(х1,... ,хг-1) + ^¿1(х1,... ,хг-1 )хг, ^>о = 0, при нечетном п элементы %о, Во являются нулевыми, а х имеет вид
Х(х1,..., х^+1, 2^+1, т, ш) = Х1 (х1,..., х^+1, т, ш) + А1 (х1,..., х^+1, т, .
Отметим, что Хо(х1,...,х^+1 ,т), х(х1,...,х^+ь 2^+1 ,т,ш), Х1(х1,... ,х^+1,т,ш) — вектор-функции порядка т, а Во(х1;..., х&+1;т), А^(х1,..., х^+1,т, ш), С(х1;..., х&+1;т) — квадратные матрицы-функции порядка т. Компоненты матриц А», а также вектор-функций хо, X, Х1, являются полиномами относительно компонент х8 и х5, 2&+1, в ^ 2, соответственно, причем коэффициенты этих полиномов, как компоненты матриц Во, С и вектор-функций в, , непрерывны, удовлетворяют равномерному условию Липшица по х» и 1-периодичны по т. Кроме того, указанные коэффициенты или компоненты элементов в, X, Х1, А являются бесконечно малыми при ш ^ то равномерно относительно своих переменных, а элементы ^, хо, Во, С имеют нулевые средние по т.
2. Разрешив последнее уравнение системы (7) относительно старшей производной, перепишем ее в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка
— = /(2, шЬ) + а(г, шЬ, ш), (8)
где
2 — (х1, ... , хи) ,
/ (2,т) = ^х2, ...,хи-1, [Е - ш и/2С (х1,...,х^+1,т)] ^ ^(х1, ...,хр+1,т) + Хо (х1, . . . , х^+1, т) + Во (х1, . . . , х^+1, т)х&+2^ ) ,
а выражение а(2, т, ш) после этого очевидно. Напомним, что мы рассматриваем задачу о 1ш-1-периодических решениях системы (1), а потому и такую же задачу для системы (8). Наряду с возмущенной системой (8), рассмотрим усредненную систему
и = <9>
где
ю = (Ю1 ,...,Юи )т, Е (ю) = (ю2,...,Юи-1, Ф(ю1,...,юр+1 ))т.
Очевидно, система (9) имеет стационарное решение юо = (уо, 0,..., 0), причем это решение не вырождено, так как матрица с первой наддиагональю (Е,..., Е), блоками ..., 0) в нижней строке и остальными нулевыми блоками, очевидно, обратима.
Лемма 1 [1]. Пусть ^ £ (0,1). Тогда существуют положительные числа г 1, ш1 такие, что при ш > ш1 система (8) в шаре ||2 — юо||см(к) ^ г1 имеет единственное 1ш-1-периодическое решение 2ш и при этом справедливо соотношение ||2ш — юо||см(к) =0.
Здесь С^(М) — обычное гельдерово пространство заданных на оси г £ Ж вектор-функций со значениями в Мти.
3. Из леммы 1, с учетом вытекающего из (3) равенства
хш
= 2ш1 + ш-(и+1)/2 ^и-1(2ш1 ,шг) + ш-и/2^и(2ш1 ,шг), (10)
следует существование такого шо > 0, что при ш > шо уравнение (1) имеет 1ш-1-периодическое решение хш, для которого выполняется указанное в теореме предельное соотношение.
Осталось доказать утверждение о локальной единственности решения хш. Для этого достаточно показать, что для тройки чисел Г1, ш1 фигурирующих в лемме 1, найдется такая пара чисел го,шо ^ ш1, что при ш ^ шо каждому решению хш уравнения (1), удовлетворяющему неравенству
к II ^
\\хш - = Е ~ Уо\ с(т ^ г°> (п)
¿=о
отвечает решение гш уравнения (8) такое, что
||2Ш — шо||№(к) < Г1. (12)
Из соотношения (3), первых к-равенств (7) и соотношения (11) легко видеть, что
к+1
Итп = У2||2ш— Шо|с(к). (13)
го ^о, ^—' ш^те ¿=1
Рассмотрим теперь последнее уравнение системы (7), в котором х» = 2». Покажем, что поскольку 2ш», г = 1,...,к + 1, — равномерные относительно ш ^ шо, ограниченные 1ш-1-периодические вектор-функции, то найдется не зависящая от ш постоянная с, при которой выполняется оценка
п п-к
Е ||2шг Ус (К) = Е ||2Ш?к+1Ус(М) < с. (14)
¿=к+1 ¿=1
При этом воспользуемся следующим вспомогательным результатом.
Пусть г — натуральное число, М — произвольное множество и для каждого а £ М задано число > 0. Для дифференциального уравнения
х(г) + (¿)х(г-1) + ... + х = к (¿), (15)
где (¿) — квадратные матрицы-функции, а к (¿) — вектор-функции, непрерывные и ¿о--периодические, справедливо следующее утверждение.
Лемма 2 [1]. Пусть существует такое число со, что при каждом а £ М уравнение (15) имеет -периодическое решение (¿), и выполнены неравенства
|С(К) ^ со, ||к|С(К) ^ c0, ||хст|С(К) ^ со. Тогда найдется такое число С1, что при всех а £ М справедливо неравенство
|С(К) < С1.
¿=о
Рассмотрим последнее уравнение системы (7) сначала при нечетном п. В этом случае указанное уравнение можно переписать в виде
п- к- 1
хкп+-1к) + Е Аш(*)х|»1 = кш(¿), (16)
¿=1
где
Аш(t) = — [E - w-n/2C(xi(t),..., (t), wt)]- Ai(xi(t),..., (t), wt, w), /(t) = [E — w-n/2C(xi(t),..., xfc+i(t), wt)]-1 [^(xi(t),..., xfc+i(t), wt) +ß(xi(t),... ,xfc+i(t),wt,w) + Xi(xi(t),... ,xfc+i (t),wt,w)].
Применяя лемму 2 к уравнению (16), получаем неравенство (14) в случае нечетных n. При четных n оценка (14) выводится аналогично. Действительно, в этом случае вектор-функция xk+i равномерно ограничена относительно w ^ wo, а потому возможная нелинейность относительно этой производной слагаемых ß, X уравнения (7) не препятствует применению леммы 2. Так что при четных n мы по-прежнему ее применяем к уравнению (16), в котором /ш содержит дополнительное слагаемое [E—w-n/2C]-i[x0 +x], элементы ß зависят от xk+i и Ai заменено на Bo. Из соотношений (13), (14) и известного мультипликативного неравенства
llnlb(R) < (2||n||c(R))i-M(IMb(к)Г, П е Ci(R),
вытекает соотношение
lim — w0|cm(r) = 0,
ш^те
из которого в свою очередь следует неравенство (12). >
2. Асимптотика периодического решения
2.1. Продолжим рассмотрение системы (1). Дополнительно к условиям §1 будем полагать, что вектор-функции / имеют непрерывные производные по -о,-1, • • •, -[п/2] любого порядка. Асимптотику периодического решения жш, о котором говорится в теореме 1, будем искать в виде
п— 1 те
(¿) = Уо + Е г/Ч + Е г/2К + ^М)], (17)
¿=1 г=п
где и £ Ж™, «¿(т) — 1-периодические функции со значениями в Ж™ с нулевым средним. Для нахождения коэффициентов асимптотики подставим ряд (17) в (1), разложим вектор-функции /, ] ^ 0, в случае нечетного п, и /, ^ > 0, в случае четного п, в ряды Тейлора по переменным с центром = (Уо, 0, • • •, 0). Разложим /0 в случае четного п в ряд Тейлора по переменным го,г\,..., -г[га/2] с центром = ^уо, 0,..., 0, ^'[„/г") • После этого приравняем коэффициенты в обеих частях полученного равенства при одинаковых степенях ш. Обозначим через А(/, — д/2) слагаемые при ?/2, получающиеся при разложении вектор-функции /. Заметим, что для А(/, — д/2) справедливо представление
-9/2) = Е -Г
¿0,1 +...+(п—1)го,п-1 +пго,п +•••+.? ¿0,3 +...+(п—2г)гг,п+...+^«г,з+2г =
X (ui0'j . . . ujo^1-1 (Un + v„)i0- ... (ui + Vj )i0,j . . . . . . Vj(r)irj+2r
где ши и/2 = 0 при четном п. Итак, приравнивая коэффициенты при ш(и г)/2, получим
(и)
^и+г
, — (г + 3 — п)/2). (19)
¿=о
Пользуясь формулами (18), (19), выведем уравнения для коэффициентов при положительных степенях ш. Средние от их правых частей равны нулю. Решая задачи о нахождении ¿-периодических с нулевым средним решений уравнений вида = д(т), где д(т) — известная 1-периодическая с нулевым средним вектор-функция, найдем Vи и вид ^, 3 = п + 1,..., 2п — 1:
Vn = ^и (уо,т),
V' = и(уо ,т )п^-и + С (П1,...,П^-и-1,Уо,т), (20)
где и(го,т) = , Cj(ul,... ,Uj-n-l,yo,т) — известные вектор-функции с нулевым
средним по т. Действуя аналогично, придем к уравнению для коэффициентов при шо. Учитывая при этом, что уо — решение (2), найдем:
V2n = и(уо,т)Пи + С2и(П1, . . . , Пи-1, уо, т),
где С2и(и1,..., и2и-1, уо, т) — известная вектор-функция с нулевым средним по т. Тем же способом получим уравнение для коэффициентов при ш-1/2. Потребуем теперь, чтобы среднее от правой его части равнялось нулю. Подставляя vu+l и перенося известные в правую часть, получим
д Ф
— (уо,0,... ,0)п1 = а, д2о
где а — известный вектор Мт. Определив из этой системы линейных алгебраических уравнений с невырожденной основной матрицей 0,... , 0) вектор щ, найдем из (20)
vu+1. Теперь определим
V2n+1 = и(уо,т )Пи+1 + С2и+1(П1,...,Пи,Уо,т),
где С2и+1 (и1,... ,и2и,уо,т) — известная вектор-функция с нулевым средним по т. С помощью метода математической индукции легко доказать возможность нахождения описанным выше образом любых коэффициентов ряда (17). 2.2. Обозначим
5 5+и-1
хш>я(г) = уо + ^ ш-г/2Пг + ^ ш-г/Ч(шг).
г=1 г=и
Справедлива следующая
Теорема 2. Для любого в = 0,1,... найдутся такие положительные числа е8, ш5, что при ш > ш5, справедлива оценка
||хш — х^вНсьдо < С5ш-(5+1)/2, (21)
где к = [(п — 1)/2]. Построение приближения хш>5 при известном векторе уо сводится к нахождению I-периодических с нулевым средним решений в уравнений вида ^^ = ц(т), где д(т) — известная 1-периодическая с нулевым средним вектор-функция, и к решению в систем линейных алгебраических уравнений с единой невырожденной основной матрицей §^(ро>0, ■ ■ ■ ,0) и известными свободными членами.
< Введем обозначение
5+и 5 + 2и
уш>в(г) = уо + ^ ш-г/2Пг + ш-г/2 ^М).
г=1
Из проведенных в этом параграфе рассуждений следует равенство
у (и) =
[(и+1)/2]
£ ш(2^-1)/2/2;-1 (уъ>в,уы>в,...,у( ¿=1
[и/2]
¿=о
([(и+1)/2]-^) ,шг)
(22)
+ ^ ш" (у^,у^,...,у([и/2]-л,шг) + 7я(г,ш),
где вектор-функция 75(г,ш) равномерно относительно г £ М удовлетворяет соотношению = 0(ш-(5+1)/2). Полагая 2 = хш — уш>5 и вычитая из уравнения (1) уравнение (22),
получим равенство
2(и) =
[(и+1)/2]
Е
¿=1
[(и+1)/2]-л
1
ш
№■-11/2 ^ I аЛг-1 ( + ^ 9(1(г+1)/21-Д
Е
г=о
о
д2г
[и/2]
¿=о
[и/2]-^
(23)
г=о
+ , . . . , у([и/2]-^) + 02([и/2]-'), шг) ^02.
д2г
— (г, ш).
Преобразуем правую часть уравнения (23). Для простоты изложения продемонстрируем преобразование одного из слагаемых в правой части (23).
1 1 шп/2 I' Щп ( + в = шп/2 + вг (19г
д2о д2о
оо 1 1 2
+ и)п'2 I (10 I ^(уо + вг + вг^-уо),^) йв^у^ - у0)г
оо
д2о
д2
д2 /и,
о
где
1 1
гп(г) =^п/2 I ¿в I ^(уо + вгвг,^) Лвхх
оо
1 1
+ ип/2 I (10 I ^(уо + вг + вг^-уо),^) <М1
оо
/ 5+и
х ( Е ш-г/2П + ^2 ш-г/2^(шг) ] 2
\ г=1
5 + 2и
£
г=и+1
1 1 1
+1 (1в I йвг I ^{уо + в2(вг + в1(уш,3-у0)))М2(вг + в1(уш,3-у0))упг
о о о
1
2
В результате получим уравнение
дг%
+ ип/^(г, г,..., г([п/2]), и) + М(г, г,..., г([п/2]), и^ и) - (¿, и), где в случае нечетного п
5(го,...,г[га/2],г) = ^(г0,...,г[п/2],т)г
[п/2] г [п/2]— л „
+ Е и(2з -1)/2 ^ О
5 = 1 %=0
[(п-1)/2] [(п—1)/2]— з
+ Е и Е
3= 1 %=0
п— 1 [(3—1)/2]
+ Е и(п —3)/2 Е
3= 1 %=0
+... + и
дг[(п+1)/2]—3
-я 92кз~1 я (¿о,. . ■,
дг([(п+1)/2]—3)дг0 [( ] 3
+ ■ ■ ■ + + Ц^о, тК(т)г + £ §£(«>, • • •, ^/2]> г)г«
0 ¿=1 %
[(п+1)/2] [(п+1)/2]—3 2
5 = 1 %=1 дг[(п+1)/2]—3 дг%
в случае четного п
д(г0,...,г[п/2],т) = ^(г0,..., г[п/2] + (т),т)г
0/0 .. I ..(Ъ/2П/_ч _ч..(Ъ/2П , , , „7
(24)
. (го,..., -2[п/2] + е/21)(Г), г),([™/21) + ... + ..., ,[„/2]-,, т)^/2ЬЛ
дг[п/2] дг[п/2]—з
^ (¿о,..., ,К2]-„г)е/21-Л^ + ■ ■ ■ + ^/^(уо,т)г + д^(уо,т)уп(т)г
[п/2]
3' п "' дго дг2
1
[п/2] [п/2]-л 2,
+ Е Е
3=1 ¿=1 д2[п/2]-3 дг%
Здесь компоненты вектор-функции Л?%(и1,..., 2%,т) являются полиномами относительно компонент щ,..., 2% с непрерывными, 1-периодическими с нулевым средним коэффициентами, а компоненты вектор-функций N(г0,..., 2[п/2], т, и) и М(го,..., £[п/2],т, и) являются полиномами не выше второй степени относительно компонент переменных го,..., £[п/2] с непрерывными, 1-периодическими по т и равномерно
ограниченными относительно |ц%| < 1 и ш > 1 коэффициентами. Отметим что N содержит лишь слагаемые второй степени. В уравнении (24) наивысшей степенью ш является шп/2. Для уничтожения линейных слагаемых с таким коэффициентом проведем в этом уравнении замену переменных
п— 1
2 = Ж1 + ш—п/2Х1 М)Ж1 + ^ ш—(п+^)/2С1^ М)Ж1 = Ж1 + ш—п/2К1 М, ш)ж1, (25)
¿=1
где матрица-функция Х1 (т) является 1-периодическим с нулевым средним решением
уравнениях^ = §Й"(?/о,т), а (у (г) - = 0,..., 0, г) + ..., Щ-2г, т).
Таким образом, Х1(т) = а^ (Уо,-?")- В итоге придем к уравнению
= (г/о, 0, ■ ■ ■ , о, Ш1)Х1 + о,..., 0, чЛ)Ж1
дЦп/2] 1
Цп/
[п/2] Г [(п+1)/2]—3
Е
¿=1
+ Е Е ^(2/0,0,...,0,^)ж« ¿=1 % [(п—1)/2] г [п/2]— 3
+ Е ^ Е ^(Уо,0,...,0,^)ж«
3=1 %=
п—3 [(3—1)/2]
+ ш(п—3)/2 Ми1,...,Пз — 2% ,ш^)ж1%)
(26)
3=1 %=1
п 2п
+ £ ш(п—%)/2С1%(ш^)ж1[%/2]) + £ ¿1%М,ш)ж1[%/2])
%=2 %=п+1
+ шп/2^ (ц, Ц,..., Ц([п/2]), Ж1, ж 1,..., ж1[п/2]), ш)
+М1 (ц, Ц,..., Ц([п/2]), ж1, ж 1,..., ж1[п/2]), ш) +ш—1/2Р (ц, ¿,..., ц([п/2]), ж1, ж 1,..., ж1[п/2]), ш) - (¿, ш).
Здесь матрицы-функции С1%(т) и ^1%(т,ш) непрерывны и 1-периодичны по т, причем (б1%) = 0, а ^1% — бесконечно малые при ш ^ то равномерно относительно т £ Ж. Компоненты вектор-функций N1(^0,..., Ц2[п/2]+1, т, ш), М1 (^о,..., Ц2[п/2]+1, т, ш) и Р^Цо,..., ^2[п/2]+1,т, ш) являются полиномами не выше второй степени относительно компонент переменных Цп/2],..., ^2[п/2]+1 с непрерывными, 1-периодическими по т и равномерно ограниченными относительно |ц%| < 1, I = 0,..., [п/2] и ш > 1 коэффициентами. Отметим что N1 содержит лишь слагаемые второй степени. Перепишем уравнение (26) в виде системы
ж 1 = У1,
У{г~1) = Ц(?/о, 0,..., 0, иЛ)х, + Ц(у0, 0,..., 0, ш1)У1
< п п ^ ([п/2]—1) + ... + --(г/0,0, ...,0,ш1)у\1
дЦ[п/2]
[п/2] г [(п+1)/2]—з
+ Е Е
3=1 %=1
[(п—1)/2] г [п/2]—з
+ Е Е
з=1 %=
п—3 [(3 —1)/2]
+ Е и(п—3)/2 + Е ^з%(п1,..., щ-—2%, и*)у(%—^ 3=1 %=1
+ Еи(п—%)/2С1%(и^)у([%/2]—1) + ^ ^1%(и^,и)у([%/2]—1)
%=2 %=п+1
+ иn/2Nl (г, г,..., г([п/2]), Х1, У1,..., у([п/2]—1), и*, и)
+М1 (г, г,..., г([п/2]), х, ш,..., у([п/2]—1), и*, и)
+и—1/2Р1 (г, г,..., г([п/2]), Х1, У1,..., у([п/2]—1), и*, и) - ъ (*, и).
В этой системе наивысшей степенью и в линейных слагаемых является ип/2—1. Для избавления от соответствующих больших слагаемых вновь проведем замену переменных
ж1 = х1,
п-3
У1 = ¿2 + Е и—(п+3)/2(23 М)Ж2 + и—п/2П2 М)Ж2 = ¿2 + и—п/2К2 (и*, и)ж2,
з=0
где матрица-функция (23 (т) является 1-периодическим с нулевым средним решением уравнения
йГ1] = 0, . . . , О, г) + /131 («!,..., Пз+2г, Г),
а П2(т) — п2п—1) = с12 (т), ^01 = 0. Повторяя описанные выше преобразования к + 1 раз, от системы (23) перейдем к системе уравнений
¿3 = ж3-+1 + и п/2К3+1(и*,и)ж3-+1, ] = 1,...,к,
= Р~(Уо> 0, • • •, 0, си1)Х1 + ... + тР^Ы, 0,..., 0, иЬ),
к+1 дг0 дг[п/2]
п—к
(%)
¿к+12] [(п 1)/2]) + Л0 (и*)х к+1 + Е ^к+1,%(и*,и)жк%++1 (27)
%=1
+ ип/2N3+1 (г, г,..., г([п/2]), ¿1, Ж 1,..., хк[+12]—[(п—1)/2]), и*, и) + М3+1 (г, гг ([п/2]), ¿1 , Ж 1,..., жк^^[(п—1)/2]), и*, и) + и—1/2Р3+1 (г, г,..., г([п/2]), ¿1, ж 1,..., жк[+(2]—[(п—1)/2]), и*, и) - Ъ (*, и).
Здесь матрицы-функции к3-(т, и), А0(т) непрерывны и 1-периодичны о нулевым средним по т, К3, также равномерно ограниченны относительно и > 1, а А0 при нечетных п нулевая. Элементы ^к+1,%, ^+1, Мк+1 и Рк+1 аналогичны элементам ^1%, N1, М1 и Р1 соответственно. Вектор-функция г считается известной. Систему (27) перепишем в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, разрешив ее
относительно старшей производной
и = Си + / (и, ¿, ш), (28)
где и = ..., хп)т, С = [Е — (см. выше), а выражение /
после этого очевидно. Пусть То > 0 такое число, что еЛ'То = 1, где А% — собственные числа С. Мы воспользовались тем, что А% = 0 при достаточно больших ш. Положим = [Т01—1ш]1ш—1. Согласно [2, с. 34], всякое -периодическое решение уравнения (28) удовлетворяет уравнению
и(£) = [Е - е^с] —1 У е(^ т)с/(и(т), т, ш) ^т
, 0 (29)
+ I е(*—т)с/(и(т),т,ш) ^т = [Л(и,ш)](4). 0
Для ^ £ (0,1) определим величину гш = 2||Д(0,ш)||см(0,т0). Можно доказать, что при достаточно больших ш оператор Д(и, ш) в шаре : ||и||см(0,т0) ^ г ад является сжатием. Этот факт является следствием соотношений
\\Я(и2, ш) - -й(П1,ш) 11^(0^0) ^ ^\\и2 - щ\\с»(о,т0), ш>1,
|| Д(0, ш)||с„(0,То) = 0(ш—(5+1)/2), ш ^ то,
на доказательстве которых мы не останавливаемся. Из принципа сжатых отображений следует существование единственного в шаре -периодического решения, а значит, как легко убедиться, и 1ш—1 -периодического решения иш(¿). Причем это решение подчинено оценке
|К< с51ш—(5+1)/2. (30)
Вспомним, что ц = жш — Из (25) и установленной в теореме 1 локальной единственности решения жш уравнения (1) вытекает соотношение
жш — = иШ1 + ш п/2К1 (ш£, ш)иШ1. Из последнего соотношения, первых к уравнений системы (27) и оценки (30) следует
||жш — Уа>,5||с к (К) ^ С52 ш—(5+1)/2.
Учитывая, что
5+п 5 + 2п
— жШ)^)= ш—(*+1)/2 ^ ш(*+1—%)/2и% + ш—(*+п)/2 £ ш(*+п—%)/Ч(ш*),
%=5 + 1 %=5+п
делаем вывод, что последняя оценка справедлива и при замене на жШ;5. >
Автор выражает благодарность своему научному руководителю Валерию Борисовичу Левенштаму за постановку задачи и внимание к работе.
Литература
1. Левенштам В. Б. Асимптотические разложения периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми // Диф. уравнения.—2008.— Т. 44, № 1.—С. 52-68.
2. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траектории дифференциальных уравнений.—М.: Наука, 1966.—312 с.
Статья поступила 26 февраля 2010 г.
Ишмеев Марат Рдшидович Южный федеральный университет,
студент факультета математики, механики и компьютерных наук РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а E-mail: [email protected]
THE ASIMPTOTICS OF A PERIODICAL SOLUTION OF DIFFERENTIAL EQUATION WITH GREAT HIGH-FREQUENCY TERMS
Ishmeev M. R.
The full asimptotics of a periodical solution for the systems of non-linear differential equations, containing terms proportional to a degrees of frequency is constructed.
Key words: differential equations, great high-frequency items, averaging method, asimptotic, substan-tion.
