Линейная теория эквивалентного профиля в задаче о влиянии перфорированных границ потока Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И

Т о м XV

1984

№ 5

УДК 533.6.011.35

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОГО ПРОФИЛЯ В ЗАДАЧЕ О ВЛИЯНИИ ПЕРФОРИРОВАННЫХ ГРАНИЦ ПОТОКА

Дается линейная теория построения формы эквивалентного профиля, имеющего такое же распределение давления вдоль хорды, какое имеет заданный профиль в канале с перфорированными границами. Приводятся примеры расчета и использования теории эквивалентного профиля для оценок распределения давления по заданному профилю в канале с перфорированными стенками при больших дозвуковых и околозвуковых скоростях.

1. Исследованию проблемы обтекания дозвуковым потоком тел в каналах с перфорированными стенками посвящено большое число работ [1—9]. Случай обтекания профиля несжимаемой жидкостью в канале в линейной постановке рассмотрен, в частности, в работе [7]. Ниже в рамках линейной теории приводится решение задачи обтекания для профиля, размещенного в середине канала с проницаемыми стенками. Задача сводится к численному решению сингулярного интегрального уравнения для плотности вихревого слоя, распределенного вдоль хорды профиля.

Пусть профиль, имеющий единичную хорду и помещенный в плоский канал ширины Н, обтекается дозвуковым потоком со скоростью на бесконечности К*, и числом Маха Мсо. Обозначим через а, угол атаки профиля, 21 (х)—распределение толщины профиля (симметричной части), /(*)—функцию, определяющую среднюю линию профиля. Относительно этих функций и угла атаки будем предполагать, что; они малы вместе со своими производными. Эти предположения позволяют рассматривать задачу обтекания в рамках теории малых возмущений.

Выпишем уравнение для потенциала возмущенных скоростей и краевые условия на профиле в линеаризованном виде:

Л. Г. Ивантеева, Г. А. Пав ловец

(1 — М^) 4'хх Н- Ьу = 0;

(1)

Ъ\у^+о = Уоо [— а + /' (х) + V (х)]; <Ру1у -*—0 — Уоо[— * +/'(*)— *'(*)]•

(2)

На перфорированных стенках канала краевые условия запишем в виде [1, 2]:

у = к = Я/2, <?'у + &р'х = 0; (4)

у = - Л, у], — = 0, (5)

где константа У? определяется величиной коэффициента перфорации о и находится, как правило, эмпирически.

Решение уравнения (1) будем искать в виде

* = [1п + + ( ^ агс^^ & +

о О

+ | + —А)1<« +

— 00

00 _______________________________

+ I Чг-1п + Р2 (У + А>2 <ь> (6)

—со

где р2=1—М^>, я(х)— распределение источников вдоль хорды профиля, 7(л:) — плотность вихревого слоя, Ях(х) и ^(-^ — плотность распределения источников на стенках канала.

Подставляя выражение для потенциала возмущенных скоростей (6) в краевые условия (4) и (5), приходим к следующим соотношениям:

00 СО

а Г 5 ?»(£)<*£ Г?з(£) /?(•«-6) + ря ^ _

] л Х-Ь ] 71 (л;—5)а + —

—00 —со

1 _ _ 1 _

_(*?(?) /?(*-$) +рл ^ , Г 7 (?) ЯрА-(*-5) ^е. /тч

J « (х — £)3 + ра А* 71 (л: - 5)2 + Ла ’ К )

О о

<« =

■ $)2 + ^ №

—СО —00

1 _ _

_Г?(6) Я(*-6) + рЛ-« Г 7(5) /грл — (лс — 6)

71 (л: — 5)3 + рз А2 J 71 (* — 5)3 + 83 Л2 ^

о

гярР_А п — -3— ~— 7 д - 41 ~_____£а_

где К- ^ , Я- ^ , 7- р^ » ^1- , Я2 рКоо •

Выписанные соотношения можно рассматривать как систему интегральных уравнений относительно функций я1 (х) и Цг{х). Нетрудно видеть, что

Я1(х) = дп(х) + д12(хУ, ?а (■*) = ?«(*)-<7и(*). (9)

где функции <7и (х) и ^12 (х) определяются распределением вдоль хорды профиля источников и вихрей соответственно. Уравнение относительно Яи(х) имеет вид

со со

- Г Я 7п (5) Г ^и(б) я (* - 5) + рЯ ^ _

} К х — 5 з ті (лг-і)2 + р2я*аі:

“Iі!

(5) /?(*-£)+ Р/г

(л: —5)2 + р«Л2

Л.

Будем искать функцию дц(х) в виде

<7п(*) =

*=о

Аи (-* — £) + Вк р (Л + йЯ)

(л: —5)2+ р2(Л + *Я)2

Л.

(П)

Подставляя выражение (11) в уравнение (10), после выполнения необходимого интегрирования получим для коэффициентов Аи и Вк следующие рекуррентные соотношения:

Л=-^-; В0 = ±=Ш-;

1 + Я2 1 + Я2

А„= 1 ~-^2 Аа_! + —д*_1; * 1 /?« 1 +Л2

в„=-

1 + Я2

1 +Я*

(12)

Аналогично может быть найдено решение соответствующего уравнения относительно функции д&{х):

СО со

14-%^+Н

-Iі!

о

Представим дп(х) в виде

(Є) /?(* — £) + ря

(*-5)2 + рт і

(*—5)2 + рзЛ2

а\

(13)

Я12

°°

(*> = Я^2

/2=0

С»(х -6)+ />»?(*+ *Я)

(а: — 5)2 И- Э2 (Л + 6Я)2

£Й.

(14)

Для коэффициентов Си и £)& имеют место следующие рекуррентные соотношения:

1—Д2 2/?

С„ = .

------— , £>„ —---------------— ,

1 + /?а 1 + Л2

С* = - С*_,--------^ £ ;

* 1 + /?2 1 + Л2

г» 2Я ^ 1-Т?2

<■>*-1------;----=— І'А-І •

1 + Я2

(15)

2. Итак, возмущенные скорости течения около профиля в канале с перфорированными границами могут быть выражены только через

распределения источников и вихрей вдоль хорды профиля. В частности,

_ 1 _ 00 —

-'I ___1_£(£>! о Г хШ. _ о Г Я13 (5) . п6ч

сЫ.у-*±0—± 2 " Р;) 2п х-; Р 3 к (х— 5)2+р2Л2 > (1Ь)

'Рдг|у-»-±о:

, ?(*) , Г ?«) Й5 , Г 911(5) (ДС-6)Л П7Ч

‘ 2 "г ] 2* л: - £ ^ 3 71 (* _ 5)2 + рз Л2 • ^ /

Подставляя выражения (16) в краевые условия (2) и (3), после несложных преобразований получим

2л

6

+ /С(х, 6)

ии

где К(х, 6) = 2^ ■С*-1 (* “?) +

(л: — I)2 + р2 Л2 ^2 й = 1

Таким образом, плотность распределения источников определяется так же, как и для профиля в неограниченном потоке, а для распределения плотности вихревого слоя \(Л0 получено сингулярное интегральное уравнение (19). Численное решение уравнения (19) может быть найдено известными методами (см., например, [10]).

Выпишем теперь выражение для коэффициентов давления, полученное в рамках линейной теории для профиля в канале о перфорированными стенками,

1 1 _ ср±= — 2?х = + ^(х)-- 2 М (х, (20)

О о

ос

чтрсь М (х Вк—\(х 5) А/г_1 Р&/У

здесь М (Х, К) ^7^ (л: — 5)3-1-Р3 Л* №

д=1

Знак минус перед величиной у(х) в формуле (20) соответствует верхней поверхности профиля, знак плюс — нижней.

3. Назовем эквивалентным профиль, который имеет в неограниченном потоке такое же распределение давления вдоль хорды, какое имеет заданный профиль в канале с перфорированными стенками.

Согласно линейной теории для эквивалентного профиля можем записать

1 _

сР± = + 1(х)-[^-^(21) ^е(х)=-?-й(х); (22)

Учитывая выражения (20) и (21), для нахождения функции де{х), связанной с формой симметричной части эквивалентного профиля, получим следующее интегральное уравнение:

Г 1еЩ_ = Г1М- -|-2 ГМ(х, £)(24)

Обозначим через ^t(x) — te(x)— t(x). Имеем

= 1^-М(х, !■)</!. (25)

о о

Решение сингулярного интегрального уравнения типа (25) хорошо известно [10]:

г 1

1

М'(х)=г--------1 * 6(1~-е-)-^ + С . (26)

v ' ■■ |Ле(1 -X) 3 51

Требование замкнутости контура эквивалентного профиля приводит к условию

| М' (х)йх = 0,

вследствие чего константу С следует положить равной нулю.

Определив численным методом значения производной функции Д/(я), после интегрирования получим саму функцию ie(x), характеризующую форму симметричной части эквивалентного профиля.

Найдем теперь форму средней линии и угол атаки эквивалентного профиля. Из соотношений (19) и (23) следует

+ (2?)

где £(х)=-ч{Х)К(х,\)&.

о

В результате для угла атаки эквивалентного профиля в неограниченном потоке получаем

1

ае—л+&а. = а-{-$^(х)йх. (28)

о

Форму средней линии нового профиля найдем по формуле

Л (*) =/ (*) + д ах — Р | ё (*) йх • (29)

о

4. Итак, выписанные выше соотношения позволяют рассчитать

в линейном приближении обтекание профиля, размещенного в сере-

дине канала с перфорированными стенками, а также найти форму эквивалентного профиля. При этом в качестве граничного условия на стенках использовался закон Дарси для пористой стенки при ламинарном течении вязкого газа. В результате наличие перфорированных границ потока учитывается только коэффициентом

В конкретных расчетах использована эмпирическая зависимость числа Д от величины коэффициента перфорации о, предложенная в ЦАГИ

Я-318(^).

На рис. 1—5 приведены некоторые результаты расчетов при Н=3, а=0,18. (Такие значения параметров имели место при экспериментальном исследовании околозвукового обтекания ряда профилей в аэродинамической трубе.)

Рис. 2

Как следует из расчетов, значения с* профиля в канале с перфорированными стенками при Н = 3, 0 = 0,18 значительно меньше соответствующих значений с* в неограниченном потоке. Линейная теория дает прямо пропорциональную зависимость угла скоса потока Аа = а—ае от коэффициента подъемной силы су (рис. 2). Важно отметить, что эти зависимости Да(су) при указанных значениях Я и а одинаковы для профилей, имеющих различный характер эпюры давления, т. е. не зависят от распределения нагрузки вдоль хорды и определяются фактически только суммарной величиной су.

На рис. 3 показана форма симметричной части и средней линии одного из рассчитанных профилей, а также функции А/(л:) и М(х), характеризующие отличие в геометрии заданного и эквивалентных профилей при а = 2°; Н=3; сг = 0,18; М<Х) = 0,6; 0,74 и 0,78. Видно, что влияние границ потока при рассмотренных значениях параметров сводится, главным образом, к отличию углов атаки эквивалентного и заданного профилей, т. е. к скосу потока; отличие формы поверхности эквивалентных профилей от заданного незначительно.

Разумеется, изложенная линейная теория профиля в канале с перфорированными стенками и построения соответствующего эквивалентного профиля имеет пределы своего применения как по числам Мм потока, так и по расстояниям профиля до границ канала. Она может быть обоснована лишь при умеренных дозвуковых скоростях потока. Очевидно, например, что при околозвуковом обтекании профиля, когда скачок уплотнения достигает стенок канала, данная теория неприменима.

Можно предположить, что при достаточно большой ширине канала рассматриваемая теория дает качественно правильные выводы о форме эквивалентных профилей не только при дозвуковом обтекании, но и при течениях с небольшими сверхзвуковыми зонами на профиле. Основанием для этого является тот факт, что в теории эквивалентного профиля задача в конечном счете сводится к нахождению относительно небольших различий эквивалентного и заданного профилей, вызванных дополнительными возмущениями из-за присутствия

границ потока. При дозвуковом потоке в канале и достаточно большой ширине канала эти возмущения малы и могут быть оценены в рамках теории дозвуковых течений.

В соответствии с высказанными соображениями можно рассматривать расчет формы эквивалентных профилей и последующий расчет околозвукового обтекания эквивалентного профиля точными численными методами в совокупности как приближенный метод расчета обтекания профиля в канале с перфорированными стенками.

На рис. 4 дан пример расчета эпюры давления при околозвуковом обтекании эквивалентного профиля, которая согласно данной теории характерна для заданного профиля в канале с перфорированными границами. Как видно из сравнения с эпюрой давления для профиля в неограниченном потоке, влияние перфорированных стенок аэродинамической трубы при Н = 3; а = 0,18 на околозвуковое обтекание профиля весьма значительно. Однако, если произвести сравнение эпюр давления для профилей в неограниченном потоке и в канале с перфорацией стенок при одинаковых значениях коэффициента подъемной силы Су, то, как и следовало ожидать, получается, что различий в эпюрах давления практически нет (рис. 5). Это подтверждает, что все влияние границ потока при указанных значениях параметров сводится практически только к изменению угла атаки профиля.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гродзовский Г. Л., Никольский А. А., Свищев Г. П., Таганов Г. И. Сверхзвуковые течения в перфорированных границах. —

М.: Машиностроение, 1967.

2. Р i n d z о 1 а М., L о С. F. Boundary interference at subsonic speed in wind tunnels with ventillated walls. — AEDC, TR-69-47, 1969.

3. Быркин А. П., Межиров И. И. Численное исследование индукции проницаемых стенок рабочей части аэродинамической трубы малых скоростей. — Ученые записки ЦАГИ, 1977, т. XIII, № 6.

4. Л и ф ш и ц Ю. Б., Фонарев А. С. О влиянии границ потока

на параметры трансзвуковых течений около тел вращения. —• Изв. АН

СССР, МЖГ, 1978, № 3.

5. Маревцева Н. А. Об индукции аэродинамических труб с малой перфорацией. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1977, № 6.

6. Третьякова И. В., Фонарев А. С. Влияние проницаемых границ трансзвукового потока на обтекание тел вращения. — Ученые записки ЦАГИ, 1978, т. IX, № 6.

7. Маревцева Н. А. Обтекание профиля в канале с проницаемыми стенками. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1980, № 2.

8. С а я д я н К. Г., Ф о н а р е в А. С. О малоиндукционных ре-

жимах обтекания профилей и тел вращения в трансзвуковых трубах. — Ученые записки ЦАГИ, 1981, т. XII, № 1.

9. Г л а з к о в С. А., Иванова В. М. Исследование индукции проницаемых стенок аэродинамической трубы по известным параметрам потока вблизи них. — Ученые записки ЦАГИ, 1982, т. XIII;- № 4.

10. W е b е г J. The calculation of the pressure distribution on the

surface of thick cambered wings and the design of wings with given

pressure distribution — ARC RM, 1957, N 3026.

Рукопись поступила 21/III 1983 г.