Построение эквивалентных профилей и приближенный расчет околозвукового обтекания корневого сечения стреловидного крыла Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

____ УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м XV 19 84

№ 4

УДК 533.6.011.34:629.7.025.1

ПОСТРОЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПРОФИЛЕЙ И ПРИБЛИЖЕННЫЙ РАСЧЕТ ОКОЛОЗВУКОВОГО ОБТЕКАНИЯ КОРНЕВОГО СЕЧЕНИЯ СТРЕЛОВИДНОГО КРЫЛА

Г. А. Павловец, А. Л. Шкадова

Дается метод расчета контура профиля, имеющего в плоскопараллельном потоке такую же эпюру давления, какая имеет место в корневом сечении стреловидного крыла. Полученные эквивалентные профили используются для расчета распределения давления в корневом сечении стреловидного крыла при больших дозвуковых скоростях потока. Результаты расчета сравниваются с экспериментальными данными.

1. В настоящее время при проектировании стреловидных крыльев дозвуковых и околозвуковых самолетов широко используются методы и программы расчета распределения давления по крылу как при малых дозвуковых, так и при околозвуковых скоростях потока. Существующие программы расчета позволяют учесть форму профилей в сечениях крыла, форму крыла в плане, влияние фюзеляжа и др. [1—6]. В то же время полный расчет пространственного обтекания сложных конфигураций требует большого расчетного времени на современных ЭВМ. Поэтому для проведения массовых инженерных расчетов нужны приближенные методы, которые позволяли бы достаточно быстро оценивать влияние формы профиля и геометрических параметров крыла на его аэродинамические характеристики. Для корневой области крыла таким приближенным инженерным методом оценки распределения давления в сечении может стать метод, основанный на понятии эквивалентного профиля. Такой подход был предложен в работе £7].

Эквивалентным профилем будем называть профиль, имеющий в неограниченном плоскопараллельном потоке такое же распределение давления вдоль хорды, какое имеет заданный профиль в корневом сечении стреловидного крыла. Для нахождения эквивалентного профиля необходимо решить прямую задачу обтекания стреловидного крыла, а затем по полученному распределению скоростей в корневом сечении решить обратную задачу построения контура профиля- При решении прямой и обратной задач можно использовать простые, достаточно быстрые способы расчета, разработанные для несжимаемой жидкости и приближенным образом учитывающие сжимаемость. Такие методы

правильно отражают качественную разницу в геометрии заданного корневого и эквивалентного профилей. Получившийся в результате эквивалентный профиль может быть затем рассчитан при заданном числе М набегающего потока с помощью современных стандартных программ расчета околозвукового обтекания.

В работе [7] данная идея была реализована в рамках линейной теории. В настоящей работе для решения прямой задачи обтекания стреловидного крыла и обратной задачи построения эквивалентного профиля привлекаются численные методы.

2. При численном решении прямой задачи потенциального обтекания стреловидного крыла будем исходить из системы интегральных уравнений относительно проекций скорости течения на два направления в касательной к поверхности крыла плоскости [2—4]. Для простоты изложения выпишем эти уравнения для случая обтекания бесконечного стреловидного крыла с одинаковым симметричным профилем в сечениях при нулевом угле атаки. В общем случае уравнения для крыла конечного размаха достаточно произвольной формы в плане с профилями произвольной формы и метод численного их решения изложены в работе [4].

Обозначим через Vi(6, г) и V2(B, z) проекции вектора скорости на направление t± по касательной к контуру профиля в сечении z = const

Рис. 1

крыла и направление Ь образующих крыла (рис. 1); х — угол стреловидности крыла; 61(0, г) и 62(8, г) —приведенные проекции скорости:

СЛ0, 2) = -^М->/х2+У; 0,(8, г)= ^(6сД .

Систему интегральных уравнений относительно функций 0,(0, г) и 02(6, 2) запишем в виде

2к со

^(е, 2)+4г1 5[аль’ С)Л'(0’ С) +

+ С2(&, С) Z. (в, 2, ft, С)] rfMC = Fi(e, 2);

(1)

2тс оо

G2(9, z)----j [Gj (ft, QM(6, z, ft, 0 +

+ G3 (ft, C)jV(0, 2, ft, 0] <ШС = r2 (6, 2). (2)

В этих уравнениях

Л(б, 2)=-2л;; f2(0, 2) == 2tgх; Я(б, 2, 8, С) =-Mi СУ — v]) — у(х-i) + tgxy(z — С) sign С];

Г6

f-l-tgz(^-Ti), С<0,

М(В, z, ft, 0= г3

I О С> 0;

1(6, 2, ft, С);

г3

N(B, z, ft, C)=4-[i(JC-6)-S(^-4)-tgzi(2-C)];

Г6

Г = У(Х-^ + (у _ 7|)2+(2-С)2.

При этом контур заданного профиля в сечениях представляется параметрически

a:=cos2-^-; у =у(В), 0<6-<2ir,

так что значения 0 = 0 и 0 = 2я соответствуют задней кромке.

Выписанные уравнения справедливы для гладкой вихревой поверхности. Непосредственно в корневом сечении, где имеет место излом поверхности, эти уравнения имеют несколько другой вид. В частности, первое уравнение запишем так:

2те оо

в,(в. 0)

2х--------- J J [0,(9, С) К (6, 0, ft, С) +

/?(в)

w 0 -оо

где

+ G2(9, QL(B, 0, ft, Qldddt, (3)

1----— arcsin—- i.l1" 1 -г—-r . (4)

«(») “ -

Появление сомножителя (4) связано с особенностями поведения возмущенных скоростей вблизи линии излома вихревой поверхности.

Отметим также, что непосредственно в корне стреловидного крыла без сужения, имеющего во всех сечениях одинаковый профиль, имеет место следующая связь:

02(В, 0) = -О1(6, 0)-££1_ .

Х*+ у2

У стреловидных крыльев больших удлинений, установленных в потоке под малыми углами атаки, на значительной части их поверхности имеет место эффект скольжения. Существенное отличие распределения давления в сечениях крыла от распределения давления в средних сечениях наблюдается только вблизи корня крыла на расстояниях порядка корневой хорды и вблизи конца крыла- В работе [3] изложена приближенная методика расчета распределения давления в сечениях стреловидного крыла большого удлинения, основанная на использовании

эффекта скольжения. Согласно {3] в уравнениях (1) и (2) для приведенных скоростей в выражениях, стоящих под интегралами, вместо функций Gi(0, г) и G2(0, z) берутся функции GiCK(0) и G2cK(0)=tgx, соответствующие скользящему крылу. В результате после вычисления интегралов в уравнениях (1) и (2) получаем функции Gt(0, z) и G2(0, z) для сечений стреловидного крыла в первом приближении. При дальнейшем уточнении искомых функций требуется уже вычислять двумерные интегралы.

Применяя приближенную методику ;[3], получим следующее выражение для функции Gi^, 0) в корне стреловидного крыла:

2л

cos у;

Ог(0, 0) = /?(6)

— 2х—

/ Gj ск(9)К(0, 8)rf8 +

+

sin х cos х

2% “i

J Z (9, 8)d8 , 0 J

(5)

где

K(B, 8)= j K(B, 0, 8, QdC-.

(У — *))2 4~ (•* — Ю2 cos2 x

1 +

(x — £) sin x Y(X _ |)2 + (y-4f

L (0, »)= j L(b, 0, 8, C)dC =

(y i — x-q) У(у — 7j)2 4- (* — S)2

(у — 7))2 + (л: — Z)2 cos2 x

Для определения функции Gi ное интегральное уравнение

1 +

(х — £) Sin X

У(х-ф + (у -V])2 ск(0) необходимо решить одномер-

Gi ск(9) — —2л:+

sin х cos х

Г

J (у-

- х-i}) (х —:) sin2 х

(У — Tl)2 + (х — £)2 cos3 х

db —

cos х

2п

К

:(»)

Х(у — Ч]) — у (* — S)

(У - Ч)2 + (•* — ?)2 cos2 х

(6)

которое получается из уравнения (1) для г) при предельном пе-

реходе 2-^00.

При численном решении уравнения (6) либо аналогичного уравнения в задаче обтекания скользящего крыла с подъемной силой используем итерационный метод [2, 4].

3. Решение обратной задачи состоит в построении контура профиля по заданной эпюре давления либо заданному вдоль хорды профиля распределению скоростей. При решении обратной задачи воспользуемся уравнением, связывающим геометрию профиля с распределением скоростей на его поверхности [2, 8],

У(е) = Уо-Н-*-*о^« —

2я

2к cos

J VF+?,n

db,

(7)

где

Х=С082-^-, £ = С082у, Х0 = л(0), у0=_у(0).

Рассмотрим вариацию контура профиля г/(0) относительно некоторого исходного контура при малом изменении в распределении при-

Как видим, в отличие от сложного нелинейного интегродифферен-циального уравнения (7) для функции г/(в) интегральное уравнение (8) относительно вариации функции А у (в) является уже линейным. При расчете вариации Дг/(0) контур профиля, т. е. функция </(0) и ее производные у (В) и у(0), не меняются; второй интеграл в уравнении (8) не зависит от А'г/ (0) и его можно считать известной функцией ^(О). Уравнение (8) можем записать так:

образом. Для некоторого исходного профиля решается прямая задача и находится распределение скоростей У0 (в). По разнице АУ’(0) = = У(0) — Уо(0) между заданным и полученным распределениями ско-

тегральное уравнение (8) для вариации Аг/(0), соответствующее функции Д(7(0). Затем контур профиля поправляется на найденную вариацию. Для новой функции у ('в) определяются необходимые для расчета производные г/ (0), г/ (0) • При изменении контура профиля изменяется и фактический угол атаки, поэтому необходимо производить соответствующий пересчет угла атаки и значений ординат для того, чтобы хорда профиля находилась на оси Ох (см. [8]).

Затем процесс повторяется: рассчитывается распределение скоростей Уо(б) на новом профиле, вновь вычисляется функция Дб(0), затем вариация Аг/(0) и снова поправляются координаты профиля. В результате нескольких итераций получаем контур, имеющий с достаточной точностью заданное распределение скоростей.

Численное решение интегрального уравнения относительно распределения скоростей Уо(0) производится итерационным методом |[2]. При численном решении уравнения (8) для вариации Ау(0) также эффективен метод последовательных приближений. В результате 3—5 итераций получаем нужные значения искомой функции.

При расчете эквивалентного профиля для корневого сечения стреловидного крыла величина У(0) представляет собой распределение скоростей в корне стреловидного крыла, рассчитанное по описанной в статье методике. Выбор исходного профиля при решении обратной

веденной скорости ДО(0) = А У (0) V х2

(8)

Ду(0)^(6)1/0(»)Ф(Ду, 6, Дт], Ъ)М.

о

Решение обратной задачи в данной работе строится следующим

ростей вычисляется функция ДО = ДУ \/Гх2+у2. Численно решается ин-

задачи достаточно произволен. В настоящих расчетах в качестве исходного принимался профиль корневого сечения стреловидного крыла.

4. Изложенные методы численного решения задачи обтекания стреловидного крыла и обратной задачи для профиля в плоскопараллельном потоке были положены в основу специально разработанной для ЭВМ БЭСМ-6 программы построения эквивалентных профилей корневого сечения стреловидного крыла. Программа позволяет найти форму эквивалентного профиля за две—три минуты расчетного времени.

Сжимаемость газа при использовании настоящих методов может быть учтена путем применения преобразований Прандтля—Глауэрта, позволяющих свести задачу обтекания крыла сжимаемым газом к соответствующей задаче для несжимаемой жидкости. Преобразования Прандтля—Глауэрта, широко используемые в линейной теории крыла, справедливы для течений с относительно небольшой дозвуковой скоростью. Поэтому предлагаемая методика построения эквивалентных профилей может считаться достаточно обоснованной лишь для течений с дозвуковой скоростью. Тем не менее можно предположить, что применение изложенных методов решения прямой и обратной задач с приближенным учетом сжимаемости позволит достаточно правильно определить форму эквивалентного профиля и при таких дозвуковых скоростях набегающего потока, когда в течении на профиле появляются местные сверхзвуковые зоны. Проверкой высказанной гипотезы могут служить непосредственные расчеты околозвукового обтекания эквивалентных профилей и сравнения с результатами численного расчета околозвукового обтекания стреловидных крыльев либо с результатами эксперимента.

Некоторые результаты расчетов эквивалентных профилей приведены на рис. 2—4. На рис. 2 представлены в эпюрном масштабе формы эквивалентных профилей для стреловидных крыльев х = 30° и % = 45° в сравнении с исходным симметричным профилем (М = 0; а = 0). Рис. 2 иллюстрирует влияние угла стреловидности. Видно, что с увеличением угла % уменьшается максимальная толщина профиля, положение г/тах смещается к задней кромке профиля. Особенно заметно отличие формы эквивалентных профилей от заданного в области носовой и хвостовой частей: толщина носовой части и величина радиуса носка эквивалентного профиля становятся очень малыми, в области задней кромки эквивалентные профили имеют значительную толщину. На рис. 3 показаны формы эквивалентных профилей для стреловидного крыла %=30° при двух различных числах М потока (линия—• корневой профиль). Видно, что увеличение числа М потока, так же как увеличение угла стреловидности крыла, приводит к большей толщине эквивалентного профиля в его хвостовой части и уменьшению его толщины в носовой части.

Полученные для разных чисел М потока эквивалентные профили были рассчитаны по программе околозвукового обтекания профиля, разработанной С. В. Ляпуновым. На рис- 4 приведен пример распределения давления вдоль хорды эквивалентных профилей, соответствующих корневому сечению стреловидного крыла Х = 30° с симметричным профилем. Здесь же для сравнения приведены результаты расчета околозвукового обтекания заданного корневого профиля плоскопараллельным потоком, а также результаты, полученные при использовании линейной теории эквивалентного профиля [7]. Полученные в расчете эпюры давления сравниваются с результатами специального экспериментального исследования распределения давления в корневом

ос-О

сечении стреловидного крыла с одинаковым симметричным профилем при околозвуковом обтекании {9].

Анализ результатов показывает, что настоящий расчет правильно отражает особенности распределения давления в корне стреловидного крыла при больших дозвуковых скоростях потока, а также качественную перестройку эпюры давления по сравнению с плоским потоком.

ЛИТЕРАТУРА

1. Белоцерковский С. М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа.—М.: Наука, 1965.

2. П а в л о в е ц Г. А. Методы расчета обтекания сечений крыла идеальным несжимаемым потоком.—Труды ЦАГИ, 1971, вып. 1344.

3. Ираклионов В. С., Павловец Г. А. Приближенный расчет распределения давления на стреловидном трапециевидном крыле в несжимаемой жидкости.—Труды ЦАГИ, 1974, вып. 1585.

4. Вернигора В. Н., Ираклионов В. С., Павловец Г. А. Расчет потенциальных течений около крыльев и несущих конфигураций крыло—фюзеляж. — Труды ЦАГИ, 1976, вып. 1803.

5. Савицкий В. И. Численное решение задачи об околозвуковом обтекании крыла с фюзеляжем. — В сб.: Гидродинамика, ИГМ АН УССР,

1982, № 46.

6. Владимирова Н. А. Обтекание прямых и стреловидных крыльев большого удлинения при околозвуковых скоростях. — Ученые записки ЦАГИ, 1983, т. XIV, № 4.

7. П а в л о в е ц Г. А. Линейная теория построения эквивалентного профиля для корневого сечения стреловидного крыла. Труды ЦАГИ, 1983, вып. 2176.

8. Павловец Г. А., Самознаев Н. Д. Численный метод построения контура крылового профиля по заданному распределению скоростей на его поверхности. — Труды ЦАГИ, 1970, вып. 1271.

9. Боксер В. Д., Кириллов Л. Н., Николаева К. С., Серебрийский Я. М. Околозвуковое обтекание корневого сечения стреловидного крыла.—Ученые записки ЦАГИ, 1981, т. XII, № 1.

Рукопись поступила 6/ХП 1982 г.