Построение формы профиля в плоском канале, эквивалентного по распределению давления заданному профилю в неограниченном потоке Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XVIII 1987

№ 6

УДК 629.735.33.015.3.025.73

ПОСТРОЕНИЕ ФОРМЫ профиля в плоском КАНАЛЕ, ЭКВИВАЛЕНТНОГО ПО РАСПРЕДЕЛЕНИЮ ДАВЛЕНИЯ ЗАДАННОМУ ПРОФИЛЮ В НЕОГРАНИЧЕННОМ ПОТОКЕ

А. Л. Шкадова

В рамках линейной теории решена задача построения формы профиля, имеющего при потенциальном обтекании его в плоском канале такое же распределение давления вдоль хорды, какое имеет заданный профиль в неограниченном потоке. Приводятся примеры построения эквивалентных профилей.

Влияние границ потока на результаты экспериментальных исследований в аэродинамических трубах может быть существенным, если размеры моделей сравнимы с размерами рабочей части трубы [1—4]. Для уменьшения этого влияния обычно вводятся ограничения на размеры испытываемых моделей. Вследствие этих ограничений возникают трудности в моделировании натурных чисел Рейнольдса.

Поскольку развитие пограничного слоя на профиле, при фиксированном значении числа Рейнольдса и заданной степени шероховатости поверхности, главным образом определяется распределением давления, предлагается проводить исследование пограничного слоя на профиле большого размера, форма которого не совпадает с формой исходного профиля, а выбирается таким образом, чтобы распределение давления на нем с учетом влияния границ потока было таким же, как на исходном профиле в неограниченном потоке.

Форма эквивалентного профиля, моделирующего в плоском канале с твердыми стенками распределение давления на исходном профиле в неограниченном потоке, в данной работе определяется в рамках линейной теории. При этом используется методика решения аналогичных задач для профиля, изложенная в работах [5—7],

Пусть профиль, имеющий единичную хорду, расположен в середине плоского канала шириной 21г (рис. 1), скорость набегающего потока равна Уоо, число Маха Мс» (Моо<1), угол атаки профиля — а, ¿(я) и }(х)—функции, определяющие соответственно симметричную часть и среднюю линию профиля. Предполагая, что значения этих функций, их производных и угла атаки много меньше единицы, задачу обтека-

бия профиля в канале можно рассматривать в рамках теории малых возмущений.

Уравнение для потенциала возмущенных скоростей у(х, у) в линеаризованном виде и краевые условия на профиле и границах канала:

(1 — Ми) <?хх + = 0;

Ь |у-+±0 = V”» [— Я + f,(X) ¿¿Ч"*)]»

|у-*-±й

В соответствии с решением, найденным в работе [5], распределение давления вдоль хорды профиля может быть представлено в виде

ср = + т (л) — -2р-1 (^) ^ + м (х, $)1 йг,

о I- J

где ^(х) — плотность вихревого слоя, определяемая уравнением

1 1

Г _Ё_ ■ Г т(£) к (г ^ - а ~ /' (■*) ■

] 2* х-а -Г ) * 1У[Х, К)— р

о о

00

к(х ь)=У ____________(—■.!)*(* —6) ■

А \л> Ч (дг _ 5)2 + 4р2 ¿2 ¿2 >

р = у/1_М^;

м/* е\ — 2 V ____________£.~^_______•

(л;,_5)2 + 4р*йаАз »

знак «—» перед величиной у(-*0 соответствует верхней поверхности профиля, « + » — нижней.

Рассмотрим теперь задачу определения формы эквивалентного профиля, имеющего в плоском канале такое же распределение давления, какое имеет заданный профиль в неограниченном потоке. Пусть функции ¿0(*) и /о(*) определяют симметричную часть и среднюю линию исходного профиля, ао — его угол атаки. В рамках линейной теории распределение давления вдоль хорды исходного профиля

с ^

СрО

1 _

1 С то (£)

2п ] х-Ц

1

> ± -— /;± р экв р 0 следует

т(*)

1

/М, 37 + М (х,

Оі

®0—/о (Х) р

(1)

-МП

■М.

Таким образом,

Х — Ї

ДV (х) = V(х) — іо(х), Г (х) = - | М (х, &) <&.

(2)

Решение сингулярного уравнения (2) известно [5, 8]:

г 1

д*'(*)= 1

Ух (1-Х)

иіІМ^ + с

•1 * Х-І

Из условия замкнутости эквивалентного профиля §Ы'(х)йх~0 полу-

о

чается С = 0. Функцию Ь? (х) можно найти методом последовательных приближений:

к{х)=й[х)\

1

Т1{х) = -±1 и(1)Щх, 6) Л;

О

и, — Г £ПЕ1 ¿Е;

м ’ Ух{\—х) Л п Х — Ь

¿+1 (дг)= /о(х) + м\(х).

Определив производную У(х), восстанавливаем форму симметричной части эквивалентного профиля

і

X

(л) = ^(6) я?.

Средняя линия эквивалентного профиля и его угол атаки связаны соотношением [5]:

а —/'(*) = а0 - /о (л:) + і (х),

где

£(х)=4-/то(£)/Г(*> &)#•

О

Значение уоМ находим из уравнения (1):

1

“ / \ 2-1/1—л: Гао“/о^) Е

О

2ал т/1 — X , 1 - / ч

= -гУ-г- + Т^(х);

Ч/(х) = 1 д. ^ ~у/ - плотность вихревого слоя,

о

обусловленного кривизной средней линии.

Таким образом,

I ----- 1

£(х)=-%-( V ~^-К(х, 6)^ + 4 (,Т/(5)К(*. %)й%. о ' о

Угол атаки эквивалентного профиля

1

а — а0 + | g (х) йх = а0 + Даа + Да/, о

1 1 __

где Да„ = I Т/1 ~ -АГ(х, 5) (1хй\ — приращение, связанное с на-” о о личием угла атаки исходного

профиля;

1 1

Да/=тИт/(^(*. %)йхй\ — приращение, связанное с фор-71 О о мой средней линии исходного

профиля (не зависящее от а0). Форма средней линии эквивалентного профиля

X

/ (х) = /о (х) + (а — а0) х - | g (Т1) й-ц = /0 (х) + Д/„ (*) + Д/Д*),

О

, 1 1 _____ ж 1 _____ \

д/а(х) = -*2- 11 у /С(ч, 5) ¿е*) - и |/-^-К(ч, №¿-4),

где Д/а (х) — деформация средней линии профиля, связанная с наличием угла атаки а0 и не зависящая от формы исходного профиля, а

II X 1

А//(*)==-г I [т/ЮЯ'Сч, 6) - 4 | ]"?/(*) К-О?, Ъ)йЫ%,

0 0 0 0

Д//(х)— деформация средней линии профиля при а0 = 0.

2— «Ученые записки» № б

17

Рис. 2

Интересно отметить, что величина ß входит в функции g(x) и Т (X) только в виде произведения ß/i. Таким образом, влияние сжимаемости на форму эквивалентного профиля сводится к уменьшению относитель1-ной ширины рабочей части трубы пропорционально ß.

На рис. 2—4 приведены результаты расчетов. В качестве примеров симметричных профилей были рассмотрены профили относительной толщины с = 0,1: профиль 1 (t0{x) = -^г [Ух{\ — х).+ I — х),

с* — нормировочный коэффициент); эллиптический профиль 2 (t0(x) = c Ух{\— х)); параболический профиль 3 (¿0(х) = 2сх(1 —х)). На рис. 2 показано изменение функции t(x) для профиля, эквивалентного профилю 1, при различных значениях параметра Н= 2фН и относительные изменения ät—t3кв —10 для трех рассмотренных профилей. Видно, что Дt главным образом определяется величиной Н, и при одинаковой относительной толщине слабо зависит от формы исходного профиля. В качестве примеров несимметричных профилей были рассмотрены профили 4 и 5, средние линии которых составлены из дуг окружностей разного радиуса. Средняя линия профиля 4 определяется формулами f(x) — —12,24 + + ■/150,3076 — (х- 0,7)2, *<0,7; /(*) = —2,24 + /5,1076—(х— 0,7)2, х >0,7, а профиля 5 — /(*) = - 2,24 + 1/5,1076 — (х — 0,3)2, х<0,3; /(*) = —12,24 + /150,3076 —(х—0,7)2, х>0,3.

Максимальное значение функции f(x) для обоих профилей одинаково и равно 0,02. На рис. 3 приведены формы средних линий профилей, эквивалентных профилю 4, наклоненному под углом атаки ао=3, при разных Я и функции Д/а(х) и Д/^х), определяющие деформации средней линии, связанные с углом атаки и формой исходного профиля. Приведенная функция Afa соответствует ссо=3°, функции Aff приведены для профилей 4 и 5. Эти результаты показывают, что деформация средней линии эквивалентного профиля существенно зависит как от Н, так и от формы исходного профиля fo(x). Влияние угла атаки и формы исходного профиля на угол атаки эквивалентного профиля иллюстрируют результаты расчетов, приведенные на рис. 4,

Да^ ~ ~

на котором представлены зависимости ---------(Я) и Да/(Я) для профи-

«0

лей 4 и 5. В зависимости от формы средней линии исходного профиля приращение Да/ может быть как положительным, так и отрицательным.

В целом проведенные исследования показали, что при уменьшении относительной ширины рабочей части аэродинамической трубы Я для моделирования распределения давления по поверхности профиля в неограниченном потоке нужно изменить угол атаки эквивалентного профиля, уменьшить его относительную толщину и кривизну средней линии.

ЛИТЕРАТУРА

1. Быркин А. П., Межиров И. И. Численное исследование индукции проницаемых стенок рабочей части аэродинамической трубы малых скоростей.—Ученые записки ЦАГИ, 1977, т. 13, № 6.

2. Фонарев А. С. Исследование влияния проницаемых стенок трансзвуковых аэродинамических труб на обтекание профилей. —• Труды ЦАГИ, 1980, вып. 2028.

3. Маревцева Н. А. Обтекание профиля в канале с проницаемыми стенками. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1980, № 2.

4. Глазков C. A., Иванова В. М. Исследование индукции проницаемых стенок аэродинамической трубы по известным параметрам потока вблизи них. •— Ученые записки ЦАГИ, 1982, т. 13, № 4.

5. Ивантеева Л. Г., Павловец Г. А. Линейная теория эквивалентного профиля в задаче о влиянии перфорированных границ потока.— Ученые записки ЦАГИ, 1984, т. 15, № 5.

6. Па в л о в е ц, Г. А. Линейная теория профиля в сжимаемом газе при дополнительном обдуве струей. — Ученые записки ЦАГИ, 1984, т. 15, № 1.

7. Павловец Г. А., Ивантеева Л. Г. Расчет аэродинамических характеристик профиля при дополнительном обдуве струей сжимаемого газа. — Труды ЦАГИ, 1984, вып. 2235.

8. Weber J. The calculation о! the pressure distribution on the surface of thick cambered wings and the design of wings with given pressure distribution.— ARC R. and М., 1957, N 3026.

Рукопись поступила 26jVIIl 1986