CC BY
70
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м XI 19 8 0
№ 2
УДК 629.735.33.015.3:533.682
РАСЧЕТ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОФИЛЯ ВБЛИЗИ ЭКРАНА ПРИ ЗАДАННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ
Л. Г. Ивантеева, С. И. Коновалов, Г. А. Павловец
Предложен эффективный метод расчета потенциального обтекания профиля вблизи экрана, пригодный для проведения массовых расчетов по влиянию отдельных геометрических параметров профиля на его аэродинамические характеристики.
Теория потенциального обтекания профиля как в неограниченном потоке, так и вблизи экрана принципиально изучена. Существует ряд методов расчета профилей произвольной формы, а также многосвязных профилей, некоторые из них описаны в работах [1—4, 7]. Известно, что аэродинамические характеристики профиля вблизи экрана зависят нелинейным образом от изменения угла атаки и расстояния крыла до экрана. Поэтому при каждом значении угла атаки и относительного расстояния профиля до экрана расчет приходится проводить заново. Для проведения массовых параметрических расчетов необходимы весьма эффективные численные методы, требующие по возможности минимальных затрат времени. Один из таких методов излагается в настоящей работе. Он представляет собой дальнейшее развитие так называемого комбинированного метода, предложенного в работе [1]. Дано также описание способа построения гладкого контура профиля по заданным геометрическим параметрам.
1. Пусть контур профиля задан в системе координат так, что хорда профиля равна 1, начало координат соответствует передней кромке профиля, а точка (1,0) —его задней острой кромке (рис. 1). Задача о потенциальном обтекании ирофиля вблизи плоской границы СО эквивалентна задаче о построении комплексного потенциала течения для двух профилей, симметрично расположенных относительно линии СО (см. рис. 1). Если некоторая точка контура заданного профиля имеет координаты (ха, уа), то соответствующие координаты точки контура зеркально „отображенного11 профиля найдутся из выражений:
xb = 2 (h + sin a) sin a + Cos 2a -\~ya sin 2a,
yb = — 2 (A sin a) cos a -j- xa sin 2a —ya cos 2a.
Здесь h — относительное расстояние задней кромки профиля до экрана, a — угол атаки профиля.
Представим контур профиля параметрически в виде
*=cos3y> У=У(Ъ), 0<6<2т:, (1.1)
чтобы значения 0 = 0 и 0 = 2тг соответствовали задней кромке профиля, а изменение параметра 0 от 0 до 2п— обходу контура профиля против часовой стрелки.
{** ■ ь)
Рис. 1
Комплексный записать в виде:
W
потенциал рассматриваемого течения можно
2к
= Voo е-ыг + Г g (») In — .) г —
г - _£Л») М»)
db.
(1.2)
Здесь га — комплексная координата точки контура профиля, гь—комплексная координата соответствующей точки отображенного профиля, 1/а, — скорость невозмущенного потока.
Действительная функция £ (&) означает приведенную скорость течения на поверхности профиля, отличающуюся от комплексной
/ сіг,
скорости сомножителем —
db
О- (») = _ — ^а) dZo =
dw
dza dft
d(p
~сії
(1.3)
Обозначив через V скорость потенциального течения на поверхности профиля, формулу (1.3) перепишем в следующем виде:
(скорость V считается положительной, если при движении контур профиля остается справа).
Выражение (1.2) показывает, что решения задачи о потенциальном обтекании заданного профиля вблизи плоской границы сводится к нахождению функции g(0). Используя граничное условие непро-текания жидкости через контур профиля, для определения функции g(b) можно выписать интегральное уравнение Фредгольма второго рода, численное решение которого может быть найдено методом итераций [1]. Однако для профилей с малой относительной толщиной сходимость итераций к искомому решению ухудшается, соответственно растет необходимое время расчета. Более эффективным является так называемый комбинированный метод, когда вначале осуществляется конформное отображение внешности контура профиля на внешность некоторой кривой, близкой к окружности, а затем численно решается задача о потенциальном течении в отображенной плоскости.
2. Конформное преобразование внешности профиля осуществляется в два этапа. Вначале удобно перейти к вспомогательной плоскости 2,, комплексные координаты точек которой связаны с комплексными координатами точек исходной физической плоскости соотношением
(2Л)
где Z — X + iy] Z,=Xi-M,Vi; р — некоторое число, близкое по своему значению к половине радиуса кривизны контура профиля в передней точке (предполагается, что точка с координатами (р, 0) находится во внутренней области, ограниченной контуром профиля).
Отображение внешности контура профиля в плоскости zt на внешность кривой, близкой к окружности, осуществляется с помощью функции Жуковского
z'=t(; + t)' <2-2>
Пусть С = ; + ir\— ге1Л = e^+tt .
Разделяя действительную и мнимую части в формуле (2.2), получим соотношение, связывающее координаты профиля в плоскости zx с так называемыми эллиптическими координатами <]>, ? в плоскости С:
X) = ch ']> cos у, jVi = sh sin 7. (2.3)
Уравнения (2.3) могут быть разрешены относительно 6 и j. В результате:
8И= ± yf V\Х1 + У\~ !)+ V(x\ + У\— 1 )2 + 4у? ,
sin -\ = ±у= V — (А + У'\— 1) + V(А +Уг — !)2 + 4У: >
причем
sign (sh ф) = sign ух sign (it — 6), sign (sin 7) = sign (it — 0).
Для вычисления координат Ьа, г\а точек контура тела в плоскости С (рис. 2) имеем выражения
Е = 2х*г- , т] = г sin 7, г = sh 4» + V\ + sh2 Ф. г2 + 1
Функции Еа(0), у]а (0) дают параметрическое представление для контура профиля в плоскости С. Для производных этих функций
; • (1т1п
£ = —, 7]=—^ нетрудно получить выражения
%Х1 (г4 + Уд - 5‘а) + 4У1 5а % г*+ 2,2-26* + 1
*1 =
2у, (г* + — ф — 4^! 5Д г,а
Г4 + 27)2 _ 252 + 1
При переходе из физической плоскости г в плоскость С с помощью преобразований (2.1) и (2,2) контур второго профиля также деформируется (см. рис. 2). Координаты Ъь, т]й соответствующих точек контура в плоскости С найдем из соотношений
5511Ф “ У И* + У\ь -!) + ]/ (Л?* + — I)2 + 4у2,,
Г = +1/1+^^, ^ = 2-^-2, =
/-2 + 1
3. Комплексный потенциал течения в плоскости С может быть записан в виде
1г.
ТО
С-Св(») Сб(»)
(3.1)
где Коо — скорость потока на бесконечности, равная
1 - Р
1/ос.
Поскольку при параметрическом представлении контура заданного профиля и контура кривой в плоскости С используется один
и тот же параметр, то функция £•(&) в (3.1) та же, что и в выражении (1.2).
Относительно функции £■(&) может быть выписано интегральное уравнение Фредгольма второго рода [1]:
е {<>) ~ ~к Iг (9) К(-6'8) =т' (3-2)
я о
где /(0) = — 2\/оо — сое а — 21/ос -^-эПт а,
М йб
. ^ На (б) - (&)] - ^ [Ъа (в) - -Па (»)1
— К (В &) = —_____________________________________
2 ’ [?в(в)-?а(»)]2+Ьа(е)-^(^)]3
^ [£а (в)-5* (»)] —~ [-Па 00 - Ч* (&)]
[5в(в)-гй(»)1з + ьлв)-1й(®)]*
Из условия Жуковского — Чаплыгина о конечности скорости на задней острой кромке профиля следует, что при выбранном нами параметрическом представлении контура (1.1) значения искомой функции § (О) на концах интервала [0, 2^] должны быть равны нулю:
й (0) = е (2*) - 0. (3.3)
Таким образом, задача сводится к решению интегрального уравнения (3.2) при условии (3.3). При численном решении уравнения (3.2) используем следующую итерационную схему:
*о(0)=/(е)-/(0),
а(в) =/(«)+ |(») К (8, #> <*»,
(3.4)
где индекс г обозначает номер приближения.
Согласно схеме (3.4) в каждом приближении из функции £*(6) вычитается величина ^(0), поэтому точка на контуре в плоскости С, соответствующая задней кромке профиля, в процессе приближений остается критической ^0 = 0, ~ = 0, £-(0) = 0 . Вводимая в(3.4)
поправка на решение эквивалентна наложению некоторой циркуляции на течение вокруг профиля и вокруг контура тела в плоскости С.
Поскольку контуру профиля в плоскости С соответствует кривая, близкая к окружности, процесс итераций (3.4) является быстро сходящимся |1, 5]. В практических расчетах оказывается достаточно пяти — семи итераций. Ядро интегрального уравнения К(0, 0) в рассматриваемом случае является достаточно гладкой функцией. Интегралы в (3.4) могут быть вычислены обычными способами численного интегрирования (например, по формуле трапеций).
После расчета функции £*($) распределение скорости и коэффициента давления по поверхности заданного профиля определится по формулам:
Знание эпюры давления позволяет рассчитать суммарные аэродинамические характеристики профиля вблизи экрана.
4. Изложенный метод расчета потенциального обтекания профиля вблизи экрана был положен в основу специальной программы, предназначенной для проведения параметрических расчетов. Программа составлена на языке ФОРТРАН для ЭВМ БЭСМ-6. Время расчета для заданных значений угла атаки и расстояния профиля до экрана при 100 расчетных точках на профиле составляет 7-9 с.
В качестве примера расчета на рис. 3 приведены эпюры давления по симметричному профилю с относительной толщиной с=0,1, форма контура которого определяется уравнением
у = + 0,26 ]/х(1 -х).
Здесь же даны зависимости коэффициента подъемной силы профиля от угла атаки как вблизи экрана, так и в неограниченном потоке. Из рис. 3 видны перестройка эпюры давления на профиле вблизи экрана и нелинейность зависимости Су(а).
Для случая обтекания плоской пластинки вблизи экрана в работе [6] получено точное решение. Сравнение результатов расчета по данному методу с результатами работы [6] приведено на рис. 4. Результаты практически совпадают.
5. При проведении параметрических расчетов аэродинамических
характеристик профилей вблизи экрана целесообразно использовать единый алгоритм построения контуров профилей но заданным геометрическим параметрам. Рассмотрим один из возможных способов построения контура профиля, выбрав в качестве заданных геометрических параметров следующие: с—относительную толщину профиля, л*с — положение максимальной относительной толщины вдоль хорды профиля, рн —относительный радиус кривизны контура в носке профиля, ф — угол в острой задней кромке, /—максимальное значение ординаты средней линии профиля (вогнутости), х/ — положение максимальной вогнутости профиля,/'(0) и /'(^ — наклоны средней линии профиля в передней и задней кромках. Такой выбор геометрических параметров позволяет строить среднюю
линию и симметричную часть профиля независимо друг от друга.
При параметрическом представлении (1.1) и заданных значениях перечисленных выше геометрических параметров функция ?(0), соответствующая симметричной части профиля, и ее производные должны удовлетворять следующим условиям:
6=0, < = 0, * = 0, (5.1)
6 = 6С = 2 агс з1п V 1 — ,ч:с, (= , ( — 0, (5.2)
е=*, ;=о, * = (5.3)
б
Рис. З
Заметим, что в точке 0 = *: допустим разрыв второй производной функции £(0). при этом кривизна контура профиля в носке изменяется непрерывно.
Аппроксимируем искомую функцию Ь (6) на интервале [0, тг] кубическим сплайном, удовлетворяющим условиям (5.1) — (5.3). Для этого разобьем интервалы [О, 0С] и [9С, -] на три равных вспомогательных участка [0,-, 0|+1]. Па каждом таком участке
< = АГ,+ М<+1Л7 - (9 - 6,), (Д, = е|+1 —6,, М1 = П0,)),
Д/
^=^4-мдв-е,).
М:., —М,
4+1 >-у2,
2Л£
t — ^ (0 — б/) +
В частности, При 0 = 0;+1 1
(О _ е<)* м1+1 - лг,
+
6Д;
(6 - 0г)3
^+1—+ М;) А,-; ^ - (Л4/+1 + 2УИ,) Д ?. (5.4)
2 о
Выписав соотношения (5.4) для всех шести участков [0г, 6/+1], нетрудно получить
М2 = - —М\ + — М4 + — 4- , г 6 6 2 ь\
Мъ = - — Л?4 + — М,— ------------------------------------
5 6 6 7 2 (тс —6С)Я
+
±-М, + —----------
6 5 2 (тс
У±
к-вс
с)2
(5.5)
Значения /И4 и /И7 неизвестны. Найдем их из условия минимизации следующего функционала:
(м[+1~ МЛ* Д1
(5.6)
Подставляя в (5.6) выражение (5.5) и выполняя условия
дм,
О,
<Ш,
О,
получим систему двух линейных алгебраических уравнений относительно уИ4 и М7. В результате
232 ас (и - йс) 3364 тс — 961 6Г
31 М1
4 0С
2079
Рн
2
243
58
16 (тс - 6С)2
27
(тс _ 6с)з
I
____________И5----------------
58 1 58 (тс — вс)2 29 тс —I
Аналогично поступим при построении средней линии профиля. Для функции /(х) имеем следующие условия:
х = 0, /=0, — =/' (0),
ах
x = xf, /=/,
7- df
dx
о,
df
(5.7)
х—Ь /=0, ^-=/'(1).
Разобьем весь отрезок [0, 1] на четыре вспомогательных интервала:
0,
Ы [-
Хр Х{
х'-т+тх']’ [т + т^ 1
Для кубического сплайна, удовлетворяющего условиям (5.7),
^ /■
выпишем выражения для вторых производных — (л:,) функции
dx2
/(х) в узловых точках:
М,
7
Ms + 12 4—-6 Г (0) xf
6
xf /'(1)
(I-*/)2
1 —
Ж2 = -Ж3-б4- + —.
Xf Xf
Ж5 = жз+ 12-----^-----f-6-/>(1)
(1 -xfy
1 — Xf
Значение второй производной функции /(х) в точке х = х; найдем из условия минимизации функционала гладкости кривой
-6/
х)+ о
4(i
о
1 -
f + 2/' (0) ■
*/
*/)
*/
2/d)
1 — Xf
Выписанные формулы позволяют определить координаты контура профиля и необходимые для расчета производные.
ЛИТЕРАТУРА
1. Пав л овец Г. А. Методы расчета обтекания сечений крыла идеальным несжимаемым потоком. Труды ЦАГИ, вып. 1344, 1971.
2. Серебрийский Я. М. Обтекание крыловых профилей произвольной формы. „Инженерный сборник", т. III, вып. 1, 1946.
3. В a g I е у J. The pressure distribution on two-dimensional wings near the ground. ARC R. and М., N 3238, 1961.
4. Jacob K-, Riegels F. W. Berechnung der Druckverteilung endlich dicker Profile ohne und mit Klappen und VorflOgeln. ZFW, N 9,
1963.
5. Павловец Г. А., Ираклионов В. С., Петров А. С. Особенности применения итерационного метода решения интегрального уравнения для скоростей на поверхности крылового профиля. Труды ЦАГИ, вып. 1530, 1973.
6. Tomotika S., Nogamiya Т., Takenouti N- The lift on a flat plate placed near a plane wall special reference to the effect of the ground upon the lift of a monoplane aerofoil. Report of the Aeronautical Research Institute, Tokyo Imperial University, N 97, 1933.
7. Козорезов М. А., Михайлов Ю. С., Серебрийский Я. М. Метод расчета потенциального обтекания профиля с механизацией в несжимаемой жидкости. „Ученые записки ЦАГИ“,т. 8,
№ 1, 1977.
Рукопись поступила 17/1 1979 г.
