Квазирелятивистская динамика электронных волновых пакетов в полупроводниках и низкоразмерных полупроводниковых структурах Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКА НАНОСТРУКТУР СО СПИН-ОРБИТАЛЬНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ

УДК 537.6, 538.9

КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОННЫХ ВОЛНОВЫХ ПАКЕТОВ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ И НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ СТРУКТУРАХ

© 2010 г. В.Я. Демиховский

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского ёеш1@рЬу8 .unn.ru

Поступила в редакцию 12.05.2010

Рассматривается пространственно-временная эволюция электронных волновых пакетов в различных системах и в том числе в 2Б электронном газе со спин-орбитальным взаимодействием, в графене (монослойном углероде) и в двухзонных полупроводниковых кристаллах. Рассчитаны и визуализированы электронные плотности вероятности, а также распределения спиновых плотностей. Обсуждается природа осцилляторного движения центров волновых пакетов или zitterbewegung, включая механизм затухания осцилляций. Показано, что в присутствии внешнего магнитного поля перпендикулярного плоскости двумерного электронного газа волновые пакеты расщепляются на две части, которые со временем распределяются хаотически по циклотронной орбите. Кроме этого, рассматриваются квантовые состояния и транспорт (квантовый эффект Холла) в сверхрешетках со спин-орбитальным взаимодействием. Целью проведенных исследований является не только поиск возможных приложений в спиновой электронике - спинтронике - но и предсказание новых эффектов фундаментального характера.

Ключевые слова: низкоразмерные полупроводниковые структуры, спин-орбитальное взаимодействие, графен, динамика волновых пакетов.

1. Введение

В настоящей работе рассматривается динамика электронных и дырочных волновых пакетов в кристаллических твердых телах и в наноструктурах. Подобно движению релятивистских электронов, описываемых уравнением Дирака, наблюдаемые величины (координата, скорость спиновый момент) испытывают на фоне плавного изменения быстрые осцилляции. Это явление, предсказанное Шре-дингером в 1930 году [1], получило название zitterbewegung. Примерно в тоже время был предсказан эффект нестандартного туннелирования релятивистских электронов, получивший название «парадокс Кляйна» [2]. В настоящее время подобные «квазирелятивист-ские» эффекты активно изучаются в объектах, имеющих совершенно иную природу.

Zitterbewegung (2Б) возникает всякий раз, когда имеет место интерференция состояний с различными энергиями и, как стало ясно в последнее время, является скорее правилом, нежели исключением. Так осцилляторная динамика вол-

новых пакетов подобная релятивистскому осци-ляторному движению, предсказана в кристаллических твердых телах [1], и в том числе в узкозонных полупроводниках [2], в углеродных нанотрубках [3], в 2Б электронном газе со спин-орбитальным взаимодействием [4-7], в моно-слойном и двухслойном графене [8, 9], а также в сверхпроводниках [10]. Эффекты типа zitterbe-wegung в фотонных кристаллах с дираковским участком спектра обсуждались в [11].

В серии публикаций, восходящих к работе [12], обсуждалась «квазирелятивистская» динамика охлажденных ионов, движущихся в магнитных ловушках, которые обычно используются для охлаждения ферми- и бозеатомов до сверхнизких температур. Соответствующие квантовые уравнения в такой системе аналогичны уравнению Дирака; при этом четыре функции, описывающие различные состояния ионов, аналогичны компонентам дираковских биспиноров, и при этом координата и импульс иона изменяются во времени как соответствующие характеристики релятивистской частицы со спином 1/2 .

В настоящей работе представлен обзор исследований, выполненных автором и его коллегами, преподавателями кафедры теоретической физики ННГУ. Во втором разделе обсуждаются результаты первого экспериментального наблюдения предсказанного Шрёдингером явления 2Б. В разделе 3 речь идет о нестандартной динамике волновых пакетов в двумерном электронном газе со спин-орбитальным взаимодействием Рашбы. Рассмотрена эволюция начальных состояний как в отсутствии магнитного поля, так и в перпендикулярном магнитном поле. Четвертый раздел посвящен исследованию динамики электронных волновых пакетов в монослойном графене. В пятом разделе рассчитаны и визуализированы волновые пакеты в 3Б полупроводниках ^-типа, описываемых с помощью гамильтониана Лат-тинжера. Раздел шестой посвящен анализу простейшего механизма 2Б в кристаллах, описываемых приближением слабо связанных электронов. Седьмой раздел посвящен изуче-

нию динамики волновых пакетов. В восьмом и девятом разделах обсуждаются результаты работ, посвященных родственной проблеме -расчету квантовых состояний и транспорта в структурах со спин-орбитальным взаимодействием, а именно, рассматривается квантовый эффект Холла в 2Б электронном газе, находящемся в поле периодического потенциала сверхрешетки, и квантовые состояния поверхностной сверхрешетки. В заключительном десятом разделе обзора обсуждаются варианты экспериментального наблюдения рассмотренных эффектов.

2. Первое экспериментальное наблюдение ZB ионов, захваченных в магнитные ловушки

Как известно уравнение Дирака предсказывает ряд фундаментальных явлений, включая существование античастиц, наличие у электронов собственного механического и магнитного момента, а также позволяет рассчитать элек-

а)

3,0-

/~\ “ 1'6“

(х) (А)

1----1----1---1---1----'---1---'----1---'----1---'---1----'---1---'----г

ДС=0.62Л

б) 0.2

|v(x)|2 й.О -02.

' 1 0 20 ■ і 1 40 і 1 і 1 і 1 60 SO 100 t i 1 120 i 1 140 1 160

ґ = 0 ре j \ 6) ■f=75pa! j ; \J ■ f = 1ЭС I pa 1 . 4 \' 1 4b;

\ /Я) і і , і ■ 4—^ ■ ' ■ : i . - 1 1! ■ -■ 1! I ■

-5 5 -5 0 5 -5 0 5

х(А)

Рис.1. а) Zitterbewegung иона 40Са + в магнитной ловушке, описываемого волновым пакетом с шириной d

и ненулевым средним импульсом ^ (х, t = 0) = A exp

4d

2

Jx //

d Jl 1

. Осцилляции прекращаются, когда

пакет распадается на две не перекрывающиеся части. Сплошная кривая - результат численного моделирования,

I |2

б) плотность вероятности у(х) в моменты =75 мсек и =150 мсек, отмеченные стрелками на рис. 1а).

Заполненные площади - результат измерений, сплошные кривые получены численным моделированием

1

тронный спектр атома с учетом тонкой структуры. Предсказанные в релятивистской физике эффекты - ZB и парадокс Клейна - также играют ключевую роль в понимании особенностей релятивистской динамики, но, к сожалению, вплоть до последнего времени их не удавалось наблюдать экспериментально. Подобный эксперимент в настоящее время не представляется возможным, поскольку амплитуда дрожаний

электронов имеет порядок 10-10 см, а частота

осцилляций порядка 1021 Гц .

О первом экспериментальном наблюдении ZB сообщается в недавно опубликованной работе [13]; таким образом с момента предсказания эффекта до его экспериментальной реализации прошло 80 лет. Эксперимент проводился в институте квантовой оптики и квантовой информации в Инсбруке (Австрия) под руководством С. Яоо8. Для имитации релятивистской динамики электрона, описываемой уравнением Дирака [12], в работе [13] были использованы магнитные ловушки (см. [14]), в которых атомы и ионы различных химических элементов охлаждают до температур порядка 10-6 К . Эксперимент с ионами представляет собой квантовую имитацию электронного ZB.

Авторам [13] удалось с высокой точностью контролировать динамику захваченных в ловушку положительных ионов Са, которые могли находиться в состояниях

- 1/

, тТ —

2

X

т 7

число) и

Б.

5А т — 3

/2 7 '

магнитное квантовое

Были измерены ос-

циллирующие координаты ионов как функции времени для различных суперпозиций начальных состояний, относящихся как к положительным, так и к отрицательным энергиям (см. рис. 1). Эволюция волновых пакетов рассчитывалась с использованием одномерного уравнения Дирака вида

й— — Ну — (срах + те2аг )у , дг

где ах, аг - матрицы Паули, т - масса частицы, с - скорость света. В проведенных экспериментах наблюдался переход от «релятивистского» к нерелятивистскому режиму.

Как было показано в [12], совместная эволюция колебательных степеней свободы и внутреннего спинового состояния описывается теми же уравнениями, что и пространственная траектория свободных электронов. С помощью лазерных импульсов ионы переводились в заданное начальное состояние, и затем, через малый интервал времени наблюдалось их флуоресцентное излучение. По характеристикам этого излучения определялись параметры ZB.

3. Динамика волновых пакетов в двумерном электронном газе со спин-орбитальным взаимодействием Рашбы [7]

а) Эволюция двумерных пакетов в отсутствии внешних сил

Спин-орбитальное взаимодействие Рашбы возникает в том случае, когда электрон (или дырка) находятся в квантовой яме, несимметричной к инверсии координат, т.е. V(г) Ф V(-г)

а)

- I |2 I |2

Рис. 2. Электронная плотность р(г,г) — ¥1 + ¥2 • а) при kod — 2 в момент времени г — 5 (в единицах

/а ) и б) спиновая плотность (х, у, г) в момент г — 1.5 (в единицах )

(см. например, [15]). Гамильтониан такой системы имеет вид [16]

р2

Н — Н0 + Нк — — + а(руах - рхау), (1)

2т

где р — -ЙУ - оператор импульса, т - эффективная масса электрона, а - константа спин-орбитального взаимодействия Рашбы, а 1 -матрицы Паули. Собственные функции и собственные значения (1) есть

Фр,/? (° 2^

„фГ

1

- же

ІФ

Е± = р

2т

± ар

(2)

(3)

О* =

О

Т(г ,0) = С ехр| - г / 2 +

_1Р0 X/

(5)

у(і)=- 2-2к0

1 - ехр

/ у2Л

аі

а2

со8(2ак0і)

где ф - угол между вектором р и осью х, 5 — ±1 - индекс ветви. Для изучения эволюции электронных импульсов необходимо рассчитать фукцию Грина нестационарного уравнения Шредингера, которая является матрицей 2*2

' 0П ^12 I ^21 ^22 I ,

l{r, F', і) = ^ |арфрі (Г, і)фрк (г\і) . (4)

Рис. 3. Средняя координата у / а для пакета с

коа = 25

Полученное выражение явно демонстрирует тот факт, что средняя координата у (і) испытывает затухающие колебания с частотой 2ако и временем затухания а / а. График, иллюстрирующий осцилляции центра волнового пакета, представлен на рис. 3. В реальных 2Б структурах частота колебаний имеет порядок

1011 -1012 сек-1 для к0 = 106 -105 см-1.

Амплитуда осцилляций пропорциональна электронной длине волны в направлении оси х. При больших временах, когда осцилляции прекращаются, центр пакета смещается в направ-

Выбрав начальное состояние в виде гауссовского пакета с ненулевым средним импульсом р0 и шириной d

14

.0,

лении у на величину

1

'2кп •

можно детально проанализировать эволюцию начального состояния в моменты г > 0 . Пример такой эволюции приведен на рис. 2. Видно, что в процессе эволюции цилиндрическая симметрия начального распределения электронной плотности нарушается. Две части волнового пакета движутся в направлении х с разными скоростями. На рис. 2б. представлена спиновая плотность волнового пакета 5у (х, у, г).

Видно, что эта функция имеет разные знаки в областях, где находятся максимумы двух частей распавшегося пакета.

Движение пакета в направлении х сопровождается осцилляциями центра пакета в направлении у или ZB. Для достаточно широкого пакета, когда выполнено условие а — dko >> 1, удается получить простое выражение, определяющее среднее значение координаты у

б) Циклотронная динамика 2Б волнового пакета в перпендикулярном магнитном поле [7] Рассмотрим циклотронную динамику электронных волновых пакетов, вращающихся в постоянном магнитном поле, направленном по нормали к плоскости 2Б электронного газа. Соответствующий одноэлектронный гамильтони-

ан имеет вид

(р -

Н — -

2т (7)

+ а((рх - Ус Ау )ау - ру ах )+ ^Вг ,

где е - электрический заряд, g - множитель

Зеемана, цВ - магнетон Бора, А - векторный потенциал. Собственные значения гамильтониана (7), задаваемые тройкой квантовых чисел

(п, ke, 5 — ±1) образуют две группы

г-, ± ±,с, 2 , 2та2Н2

Еп — Й®сп ± (Е0 +------^----), (8)

Йю,

еВ

где Е0 = С2 -&Н-ВВ, П = 1,2,3..., юС =-----------------------------,

тс

(6) г = С1 -

магнитная длина. Соответственно

і

циклотронные частоты для двух групп уровней будут иметь различные значения, так, что их раз-

ность оказывается равной юС -юС =

2а2т

Е

юС .

При этом две части пакета, составленные из состояний двух различных групп, будут вращаться по циклотронным орбитам с различной скоростью. В момент, когда выполнено условие (ю-ю) і0 = п, две части окажутся в противоположных точках орбиты, а затем вновь образуют один пакет. Через несколько циклотронных периодов первоначальная электронная плотность распределится по всей орбите.

Подобную динамику иллюстрирует рис. 4. Ясно, что рассмотренные в [7] особенности циклотронной динамики в системах со спин-орбитальным взаимодействием должны сказаться на форме линии, а также других характеристиках циклотронного резонанса.

4. Электронные волновые пакеты в монослойном графене

Монослойный графит, кристаллизующийся в гексагональную решетку (графен), обладает рядом уникальных свойств. Это определяет по-

вышенный интерес физиков к подобной структуре. Двумерный гамильтониан, описывающий зонную структуру в монослойном графене, записывается как

Н — иар, (9)

где и * 108см/сек, р(рх, ру ) - оператор импульса, определенный вблизи точки касания зон. Элементарные возбуждения в этой модели имеют линейный энергетический спектр подобный релятивистскому спектру безмассовых частиц,

Ер,5 — ±ир .

Здесь знак плюс соответствует электронам проводимости, а знак минус - электронам валентной зоны. Соответствующие собственные функции есть

Фр,в (Г, І) =

1

ехр

2л/2лЙ

(рх + іру V р

. рг

I—---------1

Е^і \

1

еф

(10)

где е1ф —^ х

Эволюцию любого начального состояния можно рассчитать, если известна функция Грина нестационарного уравнения Шрёдингера. С использованием (10) в нашей работе [9] такая функция была найдена, после чего исследовалась зависимость характера эволюции от на-

П

чальной поляризации псевдоспина. Предполагалось, что в начальный момент времени электронный волновой пакет имеет форму

у(Г ,0) =

1

/(Г )

+ С

V с2

/(Г) = ~Г~Т ехР(-72 + ік0У), (11)

и п 2а2

где Йк0 - средний момент, направленный по оси у, коэффициенты с-1 и С2 определяют начальную поляризацию псевдоспина, т.е. распределение электронов на узлах двух подрешеток гексагональной решетки графена. Предполагается также, что ширина пакета а много больше постоянной решетки.

Характер эволюции волновых пакетов в гра-фене зависит от начальной поляризации псевдоспина. Рисунок 5 иллюстрирует основные черты эволюции пакета, для которого в начальный момент С1 — 1 и С2 — 0. Можно видеть, что

при г > 0 пакет расщепляется на две части, которые движутся в противоположных направлениях. При этом ширина каждой части увеличивается со временем и электронная плотность распределяется равномерно на двух подрешет-ках гексагональной решетки.

Осцилляции центра пакета происходят в направлении перпендикулярном оси у. На рис. 6 представлен график зависимости средней координаты х(г) от времени для пакета с псевдоспином, направленным при г — 0 по оси х ( С1 — с2 — 1).

Рис. 6. Зависимость средней координаты пакета от времени (Т0 — ) для различных значений параметра

а — kod

При а >> 1 для средней координаты можно получить следующее простое выражение

г 1 ,2

х(г) — —— +-е sin(2aг), (12)

2а2 2а

из которого следует, что скорость центра пакета имеет постоянную составляющую. Одновременно происходят затухающие осцилляции центра пакета.

Полученная информация о динамике электронных волновых пакетов, несомненно, должна быть учтена при анализе различных транспортных и оптических явлений в графене, включая парадокс Кляйна.

5. Волновые пакеты легких и тяжелых дырок в полупроводниках, описываемых гамильтонианом Латтинжера с эффективным угловым моментом 3/2

В полупроводниках А3В5 с проводимостью р-типа спин-орбитальное взаимодействие как правило является более сильным чем в материалах п-типа. В работе автора, Максимовой и Фроловой [17] исследована пространственновременная эволюция в 3Б полупроводниках с эффективным спином (угловым моментом) 3/2, описываемых гамильтонианом Латтинжера. Получены аналитические выражения для компонент волновой функции, плотности вероятности и плотности углового момента.

Как известно дырки вблизи края валентной зоны в типичных полупроводниках (ве, GаAs и др.) характеризуются эффективным угловым моментом 3/2 и описываются изотропным 4 х 4 гамильтонианом Латтинжера

Н = (-Ї1 + ^2У2)к2 - 2У2(^к)2 !

(13)

где у1 и у2 - параметры Латтинжера, т - масса электрона в вакууме, 5 - векторная матрица

с

2

с

2

4 х 4, соответствующая моменту 3/2. Компо-

ненты Б имеют следующий вид

Бу =

0

-Ч

0

0

0

0

0

0

/3/

0

/3/

0 V 0 - «Л

( 3/ /2 0 0 0 4

Б = 0 1/2 0 0

0 0 -1/2 0

V 0 0 0 - 3/2,

(14)

т+ (?, г = 0) = Ф* (?)(1 - і

Л/2

0 0),

где

1

Ф(Г) = —,= ехр(--------------2 + ік0х) .

Рис. 7. Плотность углового момента Б у (г, г) для гауссовского волнового пакета со средним волновым вектором к0 = 2 ■ 10 6 см 1 и шириной а = 3 ■ 10 6 см

Собственные значения гамильтониана (13), отвечающие тяжелым и легким дыркам есть

Ен (к) — - н ^т (у1 + 2у 2)k2

и ЕЬ (k) — -Н/2т (^1 - 2У2^2.

При моделировании динамики пакетов дырок было установлено, что характер эволюции определяется величиной параметра а — kod, где ^ - средний волновой вектор, d - ширина пакета. Если при а >> 1, то первоначальный пакет с течением времени расщепляется на две части и при этом среднее значение координаты наряду с монотонным изменением испытывает затухающие осцилляции. При а << 1 распределение плотности вероятности не теряет цилиндрическую симметрию, но на периферии возникают осцилляции плотности, период которых уменьшается с увеличением расстояния до центра. 2Б осцилляции в этом случае отсутствуют.

Показано, что в латтинжеровской системе распределение плотности углового момента в пространстве имеет нестандартный, мульти-польный характер. При этом угловой момент прецессирует в отсутствии какого-либо магнитного поля, что связано с интерференцией состояний легких и тяжелых дырок. На рис. 7 представлено распределение ^-компоненты эффективной спиновой плотности в момент г = 0,5 для начального состояния

Рис. 8. Затухающая во времени прецессия среднего углового момента в плоскости (<5х, Б у ) вокруг вектора

4 , параллельного оси Ох, для пакета при а — 1. Пун-

ал/П

2а2

ктирная линия соответствует прецессии дырок в плоской волне

Плотность углового момента и её среднее значение находились по формулам

$ — ¥+ (Г, г)Р¥(г, г) и $■ (г,г) — |т+(?,г)Дт(?,г)Г соответственно, где Т(г, г) - это четырехкомпонентная функция и Т+ (г, г) - эрмитово-

сопряженная функция.

В работе [17] была рассчитана и визуализирована зависимость плотности углового момента от времени. Пример такой зависимости представлен на рис. 7. Показано, что усредненные компоненты момента прецессируют в отсутствии внешнего или внутреннего магнитного поля. Эта прецессию следует интерпретировать как результат интерференции состояний легких и тяжелых дырок. Для первоначально локализованных состояний прецессия затухает со временем (рис. 8).

3

2

0

2

0

0

2

3

0

2

2

0

2

6. Осцилляторная динамика электронных волновых пакетов в кристаллических твердых телах [18]

Механизм 2Б, вызывающий осцилляции наблюдаемых величин (средней координаты, скорости и момента) в различных системах, может иметь не одинаковую природу. Русиным и Завадским [19] рассматривалось движение пакетов, сформированных из электронных состояний, относящихся к двум соседним близко расположенным зонам. Найдена амплитуда и частота осцилляций. Авторы [19] показали, что механизм продольных осцилляций скорости и координаты волнового пакета в кристаллических твердых телах имеет простую природу -он связан с осцилляциями скорости электронов, движущихся в периодическом поле. Такие же осцилляции скорости испытывает классический электрон, движущийся в периодическом поле.

Рассмотрим пространственную эволюцию волновых пакетов, сформированных из блохов-ских состояний, описываемых в рамках модели слабой связи. Спиновые состояния электронов при этом вообще не рассматриваются. Исследуется изменение формы пакета и в том числе расщепление, приводящее к прекращению осцилляций. Расчеты будут проведены в модели слабо связанных электронов.

Как известно, в приближении слабо связанных электронов блоховская волновая функция,

характеризующаяся квазиимпульсом k , вблизи границы зоны Бриллюэна может быть представлена в виде

V?(г) — 1

Єк? (ск+—еіЬГ + с,- ), (15)

, х 1 (Ед + Д^

1Ф+>= N

V-

уъ

и Ф-> =

- V- '

Ед + Ду

(16)

а собственные значения есть (см. рис. 9)

— Є ГГ + Є- —

Е± (к) = к +\ к ± Ед (к), (17)

Рис. 9. Двухзонный электронный спектр вблизи границы зоны Бриллюэна. Пунктирной линией показан спектр свободного электрона, сплошной линией -спектр, рассчитанный в модели слабой связи. Волновой пакет строится из состояний двух зон с квазиимпульсами, лежащими вблизи границы зоны Бриллюэна

В координатном представлении функции (16) удобно записать «в строчку» как

т+ (2, г) =

фк (г)

N

(Ед+Д)ейг + V-

Т- (г, г) =

ф— (Г)

N

[- V- <*г + (Ед+Д)

.Е-і

(18)

'Я

где коэффициенты с—+- и ск определяются из

уравнения Шредингера, Ъ - вектор обратной решетки. Две собственные функции гамильтониана, отвечающие соседним зонам, при этом имеют следующий вид (см. например, [11]):

где ф? (г) - плоская волна.

В качестве примера рассмотрим здесь простую ситуацию, когда одномерный волновой пакет составлен из состояний (4) с волновыми

векторами ? — (0,0, ?), лежащими вблизи границы зоны Бриллюэна. Вектор обратной решетки запишем как Ь — (0,0,-2/О). В этом случае

волновая функция пакета в момент г, построенная из функций ¥± (г, г) , входящих в разложение с равным весом, есть

Т( г, і) =

^^2N

Едг

(єк+д +Єк| .Еді

Фк Ше~1 (еЩ2 (Ед+д) + V- ) +

[С(к) е 2й ф, (г)]е Н (еЧг

+ е Н (-V\,ещг + (Ед+д))^ак.

(19)

где введены обозначения: д = ^ (ек+Ъ -гк);

Ед (к) = ^|2 +д2 , N = 4 2Ед (Ед + д), V- -фурье-образ периодического потенциала.

Распределение по импульсам в (5) будем считать гауссовским

С(к) =

а12 -.

п14

а2(к-к0)2

(20)

Е+і

-і

п

е

-і

е

где 1 - ширина пакета по оси г . Можно показать, что при этом начальное распределение электронной плотности симметрично относительно точки г = 0. Из (5) следует выражение для г(1):

г(0 =—(| + ко)1 -Н |8т(2Б* . (21)

т 2 2т 2 Бд Н

Согласно (7) распределение электронной плотности с течением времени смещается в направлении отрицательных г (см. рис. 11), что отвечает первому слагаемому в (7). Второе слагаемое ответственно за осцилляции средней координаты пакета (гitterbewegung) с частотой « 2Vg|Н. Эти осцилляции с течением времени затухают. Очевидно, это связано с разделением пакета на две неперекрывающиеся части, что иллюстрирует рис. 11. Время такого разделения по порядку величины равно 1/ус , где Ус определяется первым слагаемым в формуле (7).

Н гС2(к) . Б*

Рис. 10. Электронная плотность |^(г, t)| в момент времени t = 5. Период модуляций по оси г равен постоянной решетки а . Расчет проведен для следующих

параметров модели:

Vg = 0.76 еУ

к0 = % а '

-8 -7

а = 5.6 • 10 см , 1 = 5 • 10 см

Таким образом, в кристаллах с многозонным электронным спектром можно наблюдать характерные особенности 2Б, включая продольные затухающие осцилляции средних координат волновых пакетов, а также расщепление пакетов (см. рис. 11). Следует подчеркнуть, что в этой модели такое поведение не связано со спиновыми степенями свободы -его нужно рассматривать как результат интерференции состояний, относящихся к различным энергетическим зонам.

Рис. 11. Электронная плотность |^(г, t)| в момент

времени t = 20. Исходный волновой пакет сместился вправо и распался на две слабо перекрывающиеся

7. Квазиодномерный канал со спин-орбитальным взаимодействием: квантовые состояния и zitterbewegung

В задачах спинтроники обычно приходится рассматривать электронные и дырочные волновые пакеты, распространяющиеся в различных полупроводниковых структурах с СО взаимодействием. Подобные используются в приборах, предназначенных для управления спиновыми состояниями носителей тока - электронов и дырок. Так в работе [20] изучались особенности явления 2Б в квазиодномерном канале со спин-орбитальным взаимодействием Рашбы, разделённом на две равные части 5 -образным барьером. Расчеты проводились с использованием функций Грина нестационарного уравнения Шрёдингера.

В отсутствии СО взаимодействия и при большой высоте барьера и0 решением стационарного уравнения Шрёдингера являются функции ^(х) = У^а - а)] и

х$2п (х) = //“ял(к2пх\ где 2а - ширина канала / Ыа

вдоль оси х, к2п-1 ~пп/а -б (б<< 1),

к2п =пп /а. Каждый уровень такой системы является двукратно вырожденным по спину [15]. Эти функции удобно выбрать в качестве базиса.

В квазиодномерном канале с СО взаимодействием электронная функция Грина имеет вид [23]

Су(x, х\ y, у\0 =

= £ |А^пЛку,i(x, y, 0^* ^,у (x', У',0)

п,$

Т а) ■ б)

Рис. 12. Электронная плотность волнового пакета в момент времени г = 1 (в едини-

цах а%!а~ 2.8 -10 12 с) (а) и затухающие колебания центра волнового пакета (б) для параметров

а / Й = 3.6 -106 см/с, т = 0.05то , а = 2 -10 6 см, а = 10 5см, ко у = 2.5 -105 см 1

где

Ґ да Л

^ 4’п 8Іп(пкг/а)

к=1

да

^ аЦ’п 8Іп(пІх/а)

І=1

ехр(ікуу) ехр(- іБпі/Н).

Тогда «хорошими» квантовыми числами, определяющими состояние волнового пакета в канале, являются номер нерасщеплённого спин-орбитой «ямного» уровня в канале п, проекция волнового вектора на направление вдоль канала ку, а также индекс ветви 5 = «+» или «-» расщеплённого СО взаимодействием п-го энергетического уровня.

Волновой пакет, приготовленный в виде

Т(х, у, ї = 0) = —ехр(- у 212а 2 + ік0 уу) х \ гіау] п

х 5Іп(пх/а)

= /(х у)

с начальной ориентацией спина вдоль оси г, в последующие моменты времени будет иметь плотность вероятности, представленную на рис. 12а. Из рисунка видно, что пакет вследствие СО взаимодействия расщепился на две части, распространяющиеся с различными скоростями коуН/т ±а/Н . В то же время центр волнового пакета осциллирует в поперечном оси канала направлении (zitterbewegung), при этом частота осцилляций пропорциональна произведению константы взаимодействия Рашбы на проекцию начального волнового вектора пакета ко у и равна ю2 = 2ако у! Н. На временах порядка т = На/ а осцилляции затухают, что соответ-

ствует окончательному «разбеганию» пакетов друг относительно друга (рис. 12б).

Рассмотренные особенности динамики волновых пакетов, движущихся в каналах, необходимо учитывать при анализе работы приборов спинтроники таких как спиновые полевые транзисторы, фильтры и др.

8. Квантовый эффект Холла в двоякопериодических полупроводниковых структурах со спин-орбитальным взаимодействием

В последнее десятилетие активно изучаются квантовые состояния носителей тока, а также транспорт и другие кинетические явления в полупроводниковых структурах со спин-орбиталь-ным взаимодействием. Интерес к подобным задачам связан не только с ожидаемыми приложениями в спиновой электронике (спинтрони-ке), но и с поиском новых физических эффектов фундаментального характера. В работе [21] нами был рассчитан холловский кондактанс двумерной электронной системы со спин-орбитальным взаимодействием Рашбы в присутствии внешнего периодического потенциала сверхрешетки и перпендикулярного магнитного поля. Расчеты произведены для электронного газа с параметрами, типичными как для системы со слабым СО взаимодействием (АЮаА8/ОаА8), так и относительно сильным (1пОаА8/1пА8) взаимодействием Рашбы при рациональных значениях магнитного потока через элементарную ячейку сверхрешетки. С помощью формулы Кубо кондактанс полностью заполненной подзоны определялся как интеграл по магнитной зоне Бриллюэна от кривизны Берри - топологической характеристики маг-

1

0

1 2 3 .5.

б)

Рис. 13. Кривизна Берри магнитных подзон при трех квантах магнитного потока через элементарную ячейку сверхрешетки: (а) - в структуре АЮаАв/ваАв; (б) -в структуре ваАБЛпваАБ

нитных блоховских состояний (см. рис. 14). Было обнаружено, что при изменении параметров системы, таких как амплитуда периодического потенциала, константа СО взаимодействия и электронный ^-фактор, в момент, когда происходит касание соседних магнитных подзон, меняются топологические инварианты, определяющие закон квантования холловского кон-дактанса.

Распределения холловского кондактанса в магнитных подзонах для систем АЮаА8/ваА8 (см. эксперимент работы [22]) и 1пваА8/1пА8 показаны на рис. 14а и б, соответственно при трех квантах магнитного потока через элементарную ячейку сверхрешетки. Показано, что в сверхрешетках АЮаА8/ваА8 с периодом больше 56 нм, когда энергия СО и зееманов-ского расщепления меньше расщепления уровня Ландау в периодическом потенциале, квант холловского тока несет центральная магнитная подзона каждой группы из трех подзон, что соответствует поведению холловского кондак-танса бесспиновых частиц (рис. 2а). В случае, когда СО и зеемановское расщепление сравнимо с расщеплением уровня Ландау периодическим полем сверхрешетки, распределение холловского кондактанса по шести подзонам в единицах -в2/Ь подчиняется новому закону: 0, 2, -1, 1, 0, 0 (рис. 14б).

2- 1 ^\>/(-еУЬ) а)

1

0- /

\ 1 Е/к) \ 1 ^ Ец(к)

' Сху/с-е2/И) б)

2- - ,

1' / -

0- —''

\ 1 / Ец(к) ' 1 , ' ЕДк)

Рис. 14. Распределение холловского кондактанса

по магнитным подзонам

9. Блоховские спиноры и спиновая плотность в одномерной поверхностной сверхрешётке [23]

Взаимное влияние пространственно неоднородного потенциала и спин-орбитального взаимодействия можно проиллюстрировать на примере квантовых состояний и спиновой плотности для электронов в одномерной сверхрешётке на основе ваА8 со спин-орбитальным взаимодействием [1]. Гамильтониан такой структуры можно записать в виде Н = Н0 + V(х), где в

2

слагаемом Н0 = — + а (схру -с урх) учтено

2т у у

спин-орбитальное взаимодействие Рашба, а функция V (х) = V (х + а) описывает периодический потенциал одномерной искусственной сверхрешетки. Для моделирования периодического (электростатического) потенциала одномерной сверхрешетки можно выбрать простейшую периодическую функцию вида V(х) = V со8 2ях/а , где а есть период сверхрешётки, а V) представляет собой регулируемую амплитуду потенциала. Решение стационарного уравнения Шрёдингера можно построить в виде блоховской функции, представленной в виде

ряда по собственным функциям гамильтониана но- тк (X У) = Е аПх(к п )^к п (х У)- Здесь со-

п\

стояния задаются квазиимпульсом к, определенным в одномерной зоне Бриллюэна

- п/а < кх < п/а, а также номером зоны 5. Согласно общим методам зонной теории твёрдых тел, разложение ведётся по волновым

функциям ^ к п гамильтониана Но с импульсом к п (кх + Ьп, ку), сдвинутым на вектор, кратный вектору обратной решётки (Ьп, 0), где

Ьп = 2пп/а.

Одним из главных аспектов при исследовании данной задачи является расчет физически измеримого пространственного распределения

спиновой плотности 5гк (х, у) = у+агук в элементарной ячейке сверхрешетки для конкретной ветви спектра и различных точек к в зоне Бриллюэна. В силу однородности структуры вдоль направления Оу для любых точек к компонента у спина всюду равна нулю, поэтому векторное поле (5х (х, у), Бу (х, у)) является двумерным. На рис. 15 показаны примеры распределения спиновых проекций (5х (х, у), Бу (х, у)) для двух точек кх = п /а, кх = ±0.05 п /а на границе зоны Бриллюэна. Известно, что в силу периодических граничных условий две данные точки также связаны преобразованием инверсии г ^ -г, поэтому для показанных на рис.15 спиновых проекций в каждой точке элементарной

ячейки справедливо соотношение 5 (г) = -5(-г). Полученные результаты для распределений спиновой плотности в сверхрешётках со спин-орбитальным взаимодействием представляют интерес для создания структур спинтроники с различными конфигурациями распределений заряда и спина.

10. О возможности наблюдения квазирелятивистских эффектов в полупроводниках и полупроводниковых сруктурах

Возможные методы формирования электронных и дырочных волновых пакетов в полупроводниках и в полупроводниковых структурах, а также способы наблюдения эффектов 2Б обсуждались в ряде работ, опубликованных в последнее время. Такие пакеты можно создавать оптическими методами с использованием поляризованных лазерных импульсов, сообщая электронным и дырочным пакетам определенную спиновую поляризацию [24]. При облучении могут одновременно рождаться электронные и дырочные импульсы, которые затем можно разделить с помощью внешнего электрического поля. В работе [25] отмечается, что типичный период рассмотренных здесь осцилляции центров волновых пакетов имеет ту же величину, что и период электронных блохов-ских осцилляций в сверхрешетках, помещенных в электрическое поле. Подобные блоховские осцилляции наблюдались в работе [26] и, сле-

(а) к=- к = 0.05— 5(х) = (Ял(х),Яя(х))

у х а у а

(б) кх=~ ^=-0.05- ВД = (£л (х), (х))

а ' а

0 ^////Й\ ш -

"Щ\ 1

Рис. 15. Примеры распределения спиновой плотности 5(х)-(5х (х, у), Бу (х, у)) в ячейке одномерной сверхрешётки со спин-орбитальным взаимодействием для двух состояний с квантовыми числами кх = П /а, кх = ±0.05 П /а. Преобразование инверсии, связывающее выбранные точки на границе зоны Бриллюэна, отвечает взаимно антипараллельному для любого значения х распределению спинов на рис. (а) и (б) соответственно

довательно, подобный метод может быть использован и для наблюдения ZB. Информация о динамике электронных и дырочных пакетов представляет интерес в контексте использования для анализа работы приборов спинтронных устройств (в том числе спиновых полевых транзисторов типа Датты и Даса). При этом следует иметь в виду, что для наблюдения особенностей электронной динамики необходимо, чтобы частота ZB была больше частоты электронных

столкновений x-1s .

Автор благодарен своим коллегам преподавателям кафедры теоретической физики ННГУ -соавторам работ, вошедших в настоящий обзор, за плодотворное сотрудничество.

Работа поддержана Программой Министерства образования и науки «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект 2.1.1.2686) и РФФИ (грант 09-02-01241-а).

Список литературы

1. Schrodinger E. // Peuss. Akad. Wiss. Phys. Math. KI.

24, 418 (1930). (See also Barut A.O. and Bracken A.J. // Phys. Rev. D. 1981. 23. 2454.

2. Klein O. // Z. Phys. 1929. 53, 157-1165.

3. Ferrari and G. Russo // Phys. Rev. B. 1990, V. 42, P. 7454-7460.

4. Zawadsky W. // Phys. Rev. B 2005. V. 72, P. 085217.

5. Zawadski W. Zawadsky W. // Phys. Rev. B. 2006. V. 74, P. 205439-205443.

6. Schlieman J. // Phys. Rev. Lett. 2006. 94, 206801.

7. Demikhovskii V. Ya, Maksimova G.M., Frolova E.V. // Phys. Rev. B. 2008. V. 78. P. 115401-115406.

8. Katsnelson M. // Eur. Phys. J. B. 2007. V. 51. P. 157.

9. Maksimova G.M. // Phys.Rev. B. 2008. V. 78. P.235321-235327.

10. Lurie D. and Cremer S. // Physica (Amsterdam). 1970. V. 50. P. 224-227.

11. Xiangdong Zhang // Phys. Rev. Lett. 2007. V. 100. P.113903-113907.

12. Lamata LI. // Phys. Rev. Lett. V. 98, P. 253005253009.

13. Gerritsma R., Kirchmair G., Zahringer F., Solano E. Blatt R. and Roos C.F. // Nature. 2010. 463.

14. Kirchmair G. et al. Deterministic entanglement of ionnes in thermal states of motion // New J. Phys. 3009.

11, 023002.

15. Демиховский В.Я. Низкоразмерные структуры спинтроники. Курс лекций. Изд-во Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2007.

16. Бычков Ю.А., Рашба Э.И. // Письма в ЖЭТФ. 1984. 66.

17. Demikhovskii V.Ya. // Phys. Rev. B. 2010. V. 81, P. 115206-11511.

18. Демиховский В.Я., Максимова Г.М., Фролова Е.В. // Труды первого международного, междисциплинарного симпозиума «Среды со структурным и магнитным упорядочением», Ростовский федеральный университет. 2009. С. 64-67.

19. Rusin N.M. and Zawadski W. // J. Phys. Condence. Matter, 2007. 19. 136219.

20. Демиховский В.Я., Тележников А.В. // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2010. Вып. 5.

21. Demikhovskii V.Ya. and Perov A.A. // Phys. Rev. B. 2007. 75, 205307.

22. Albrecht C., Smet J.H. and von Klitzing K. et al. // Phys. Rev. Lett. 2001. 86, 147.

23. Демиховский В.Я., Хомицкий Д.В. // Письма в ЖЭТФ. 2006. Т. 83. Вып. 8. С. 399-404.

24. Culcer D., Yao Y. and Niu Q. // Phys. Rev. B. 2005. 72, 085110.

25. Zawadski W. and Rusin T // arXiv.909.0463 (unpublished).

26. Lyssenko V.G. et al. // Phys. Rev. Lett. 1997. 79, 301.

QUASIRELATIVISTIC DYNAMICS OF ELECTRON WAVEPACKETS IN SEMICONDUCTORS AND LOW-DIMENSIONAL SEMICONDUCTOR STRUCTURES

V.Ya. Demikhovskii

The space-time evolution of electron and hole wave packets in different systems including 2D electron gas with spin-orbit coupling, graphene and narrow gap semiconductors is considered. The electron probability densities and spin densities are calculated and visualized. The nature of zitterbewegung oscillation is analyzed. In the presence of the magnetic field oriented perpendicular to the 2D electron gas plane the wave packet splits into two parts, which rotate with different cyclotron frequencies. The aim of investigations performed recently is not only a search of new applications in spintronics, but also the prediction of new fundamental effects in physics of low dimensional structures.

Keywords: low-dimensional semiconductor structures; spin-orbit coupling; graphene; dynamics of wavepackets.