Влияние спин-орбитального взаимодействия на зонную структуру полупроводниковых сверхрешеток Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.6, 538.9

ВЛИЯНИЕ СПИН-ОРБИТАЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НА ЗОННУЮ СТРУКТУРУ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ СВЕРХРЕШЕТОК

© 2010 г. А.В. Тележников, В.Я. Демиховский

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского telezhnikov@phys .unn.ru

Поступила в редакцию 12.05.2010

В кубических полупроводниках с решеткой цинковой обманки и минимумом зоны проводимости

в Г -точке присутствует спин-орбитальное взаимодействие, описываемое кубическим по k гамильтонианом Дрессельхауза. Рассчитан энергетический спектр, найдены блоховские функции электронов в сверхрешетках со спин-орбитальным взаимодействием данного типа. Изучено влияние периодического потенциала сверхрешётки на геометрию ферми-поверхности с учетом спин-орбитального взаимодействия. Получены спиновые поляризации электронов в сверхрешетках с прямоугольными потенциалами. Найденные особенности энергетического спектра и волновых функций, связанные со спин-орбитальным взаимодействием, необходимо учитывать при расчетах лазеров терагерцевого диапазона.

Ключевые слова: гетероструктура, сверхрешётка, спин-орбитальное взаимодействие, спиновая поляризация.

В последние годы нарастает интерес к изучению спиновых явлений в полупроводниковых сверхрешётках [1]. Расчёт квантовых состояний и изучение транспортных явлений в таких структурах представляет собой актуальную

проблему физики конденсированных систем в расщепляется на две части (рис. 1а). Следует связи с серьёзными перспективами их исполь-

где у - константа материала, к2 = кX + ку ,

ф - полярный угол в плоскости (кх, к у ).

Ферми-поверхность для свободных электронов из-за наличия СО взаимодействия [3]

зования в задачах электроники.

Ранее квантовые состояния и транспорт в латеральных сверхрешетках со спин-орбитальным (СО) взаимодействием Рашбы рассматривались в [2]. В настоящей работе рассмотрены муль-тислойные гетероструктуры (сверхрешётки) из кубических полупроводников с решеткой цинковой обманки и минимумом зоны проводимо-

отметить, что как ясно из явного вида гамильтониана (1) в точках кх = ку = к2 , где СО

взаимодействие Дрессельхауза равно нулю, вырождение по спину не снимается и две ферми-поверхности касаются друг друга в восьми точках. Эти точки отмечены на рис. 1а. Периодический потенциал сверхре-

Hd =Y

хкх - kl)+

' 2 Г 2

v+a г

ky (42 - kl)+ &zkz (kx2 - kl)

(1)

сти в Г-точке, в которых спин-орбитальное шётки п°лн°стью снимает выр°ждение п° взаимодействие записывается в виде [3] спину. Одна из таких точек на рис. 1б отмече-

на стрелкой.

Рассмотрим сверхрешетку, представляющую собой периодически повторяющуюся систему «яма-барьер», изображенную на рис. 2. Константы СО взаимодействия в яме У1 и в барьере У 2 различны. Хорошим примером такой структуры может служить соединение ОаБЪЛпБЪ в силу как небольшого различия постоянных решётки его составляющих, так и достаточно больших значений констант СО взаимодействия 3 _ пл лг !3

и называется спин-орбитальным взаимодействием Дрессельхауза. В случае ориентации сверхрешётки вдоль оси г гамильтониан (1) удобно переписать в виде

Hd = ук

0 ехр(іф) exp(- іф) 0

,\

д2

dz 2

— і

ikj| ^2ф

1 0

\

0 -і/

ddz+

+ ikji si^соэф

ex

- ехр(іф)

(2)

^ОаБЪ = 187 еУ-А , у^п^ъ = 220 еУ-А . Волновые функции в такой сверхрешётке удобно искать в виде

0

0

¥(p, z)= с exp(i-||p) $

(3)

где p - полярный радиус, -|| - модуль

вектора в плоскости

(-x, -у ).

Компоненты спи-

ется суперпозиция четырёх спиноров вида

bi

Y(z) = S а 7 I exp(kiz), i = 1,2,3,4.

(4)

лителя

2 , -л Л ; 2

2 • 2 2 / \ 2 k + iky—1| cos 2m + п (є - Vo )- —1|

2 , s iY—|3 sin 2 m exp (- i m)

- k2 y-ц exp (im)- -U----------^ pv ^

2í s iy-« sin 2m exp (im)

-k2y—||exp(-im)+ ^--------------------2 pv y

2 2 2 2 k - iky-12 cos 2m + п (є - Vo )- -12

= О,

(5)

а компонента спинора есть

bi =

волнового

k2 + ik~|2 cos(2m)ki + п2 (~ - k0 ) - ~ k~|2 exp(im)(k2 + i' sin m cos m exp(-

0)~- , xp(- 2im))

(б)

нора a(z), b(z) можно найти, подставив (3) в полный гамильтониан с учетом СО взаимодействия Дрессельхауза (2). В результате такой подстановки получается система из двух однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, решением которой в каждой области - в яме и в барьере - явля-

Возможные значения в (4) находятся, как обычно, из условия обращения в нуль опреде-

где у = 2т*у/Н2 (a + b), v0 = 2m*v0 (a + b)2 /n2H2 , є = 2m*e(a + b)2/ n2H2, ~ = k| (a + b) - безразмерные константа СО взаимодействия Дрессельхауза, высота барьера, энергия и компонента волнового

вектора в плоскости (кску) соответственно.

Найденные таким образом на периоде сверхрешётки волновые функции должны удовлетворять условиям «сшивки» на границе яма-барьер. Эти условия представляют собой, во-первых, непрерывность волновой функции и, во-вторых, непрерывность образа волновой функции после действия на неё оператора скорости

V

r4z )Л z і

а+0

= о, V

а-о

r4z )Л

V-Vz і

(а+Ь)+о

= о,

(7)

(а+Ь)-о

который в нашем случае имеет вид

^ ih д/ Y—|2 cos2m 2iy-1| exp(im)

* /& h h

F =

'д/

mh

2iy-и exp(- im)

h

д/

/Dz

-Jh. д/

y—2 cos2m

h

.(8)

2

*

m

Ещё одно условие, которому должны удовлетворять найденные функции (4) условие теоремы Блоха, а именно: ^(г) = ¥(г - (а + Ь))ехр(гК(а + Ь)), где К

квазиимпульс, а + Ь - период сверхрешетки.

Таким образом, для определения восьми коэффициентов аI (а через них и Ь ) мы имеем однородную систему из восьми линейных уравнений. Условие существования нетривиального решения этой системы - равенство нулю её де-

терминанта - позволяет получить зонный спектр сверхрешетки с СО взаимодействием Дрессельхауза. Также по найденным волновым функциям (4) нетрудно вычислить плотность вероятности, а также спиновые поляризации электронов в сверхрешётке по стандартным формулам:

$ (г )=¥+(г )стг- ¥(г). (9)

Результаты вычислений для первой зоны сверхрешётки ваБЬ/ТиБЬ приведены на рис. 3

и 4. Расчёты проведены для структуры с параметрами ~о =1, ~=1о, ф=о, ~=а(а+б)=о.9,

V = 33.4-Ш-4, ' = 12.5-Ю-4, £ = m1¡m2 = о.32. В области барьера волновая функция имеет большую по сравнению с функцией в яме амплитуду, что связано с тем, что при параметрах, для которых производился расчет, энергия электрона больше амплитуды периодического потенциала Uо, и волновая функция в области барьера осциллирует с большей частотой. В противном случае ( E < Uо ) волновая функция в барьере затухает. Заметим, что величина спин-орбитального расщепления этой зоны на две

-22

подзоны Лє « о.1єо = 1.23 -1о Дж, что соответствует разнице в длине волны Лv « о.2 ТГц. Однако, в случае, когда угол

Ф = п /4, 3п /4, 5п /4, 7п /4 гамильтониан

СО взаимодействия (2) в силу возникшей симметрии в плоскости {kx, -y ) принципиально

упрощается: исчезает слагаемое, пропорциональное д / Dz . В этом случае матрица гамильтониана диагонализируется волновой функцией Y±,k^z,p)= exp(i-||P)X±M±,-y (z) [4, 5],

где x± =(1,+ exp(- im))T /42, а скалярные функции u± -1| (z) в областях ямы (1) и барьера (2) имеют вид:

u±,-у (z) = (a1±2 exp(k"1,2z)+ B1±2 exp(- k±,2zJx± , (1о)

где индекс ± отвечает состояниям с различной спиновой поляризацией,

k± (а + b) = i

п2~ - -:||2 ± й'3 / 2

1 ± ~1-1|

k± (а + b) = i.

(є - ~о) - ^k|2 ± ^у2—1|3 / 2

Ф ± ~2 —'|)

£ = ml*/m2 • С11)

Таким образом, в данном случае зонный спектр представляет собой две независимых серии зон, причём состояния каждой серии отвечают двум различным спиновым поляризациям «+» и «-».

Следует отметить, что в самом общем случае П неоднородностей на периоде сверхрешетки расчет зонного спектра сводится к исследованию на наличие нетривиальных решений однородной системы из 4п линейных алгебраических уравнений, что принципиально не меняет схему расчета.

Спин-орбитальное взаимодействие, таким образом, расщепляет каждую зону сверхрешётки на две подзоны, снимая тем самым вырождение по спину. Это, в свою очередь, должно сказаться на характере блоховских осцилляций в рассмотренных сверхрешетках, привести к изменению характеристик каскадных лазеров, излучающих в терагерцевом диапазоне и т.д.

Авторы выражают благодарность Г.М. Максимовой за многочисленные полезные советы и обсуждения.

Наетоящая работа поддержана грантом РФФИ (09-02-01241-а) и программой Минобрнауки РФ «Развитие научного потенциала выешей школы в 2009-2010 гг.» (грант 2.1.1.2686).

Список литературы

1. Zutic I., Fabian J., Das Sarma S. // Rev. Mod. Phys. 2004. 76. Р. 323-410.

2. Demikhovskii V.Ya., Khomitsky D.V. // JETP Letters. 2006. 83. Р. 340-345.

3. Dresselhaus G. // Phys. Rev. 1955. 100. Р. 580586.

4. Perel’ V.I., Tarasenko S.A. and Yassievich I.N. // Phys. Rev. B. 2003. 67. 201304-1-201304-2.

5. Glazov M.M., Alekseev P.S., Odnoblyudov M.A. et al. // Phys. Rev. B. 2005. 71/ 155313-1-155313-5.

п

INFLUENCE OF SPIN-ORBIT INTERACTION ON THE BAND STRUCTURE OF SEMICONDUCTOR SUPERLATTICES

A. V. Telezhnikov, V. Fa. Demikhovskii

In cubic semiconductors with the zincblende lattice and the conduction band minimum in the G-point the spin-orbit interaction is described by the Dresselhaus Hamiltonian. In this paper, we calculated the energy spectrum and Bloch functions of electrons in superlattices with spin-orbit interaction of this type. The effect of the periodic superlattice potential on the geometry of the Fermi surface with the spin-orbit interaction is studied. We calculated and visualized the electron probability densities as well as spin polarizations electrons in the lowest energy bands in superlattice with rectangular potentials. The established features of the energy spectrum and wave functions associated with the spinorbit interaction should affect the characteristics of cascade terahertz lasers.

Keywords: heterostructure, superlattice, the spin-orbit coupling, spin polarization.