Научная статья на тему 'Эволюция волновых пакетов в двумерных структурах со спин-орбитальным взаимодействием Дрессельхауза'

Эволюция волновых пакетов в двумерных структурах со спин-орбитальным взаимодействием Дрессельхауза Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
150
35
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
СПИН / ДИНАМИКА ВОЛНОВЫХ ПАКЕТОВ / ZITTERBEWEGUNG / SPIN / WAVE PACKET DYNAMICS

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Фролова Елена Владимировна, Кравец Наталья Анатольевна

Исследована временная эволюция спин-зависимых 2D волновых пакетов в системе со спинорбитальным взаимодействием Дрессельхауза. Рассмотрен эффект осцилляций центра волнового пакета, т.е. zitterbewegung. Показано, что осцилляции не продолжаются бесконечно долго, а затухают с течением времени.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Фролова Елена Владимировна, Кравец Наталья Анатольевна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

WAVE PACKET EVOLUTION IN TWO-DIMENSIONAL STRUCTURE WITH DRESSELHAUS SPIN-ORBIT COUPLING

The time evolution of spin-dependent 2D wave packets has been studied in a system with the Dresselhaus spinorbit coupling. The effect of wavepacket center oscillations (zitterbewegung) has been considered. It is shown that oscillations do not continue indefinitely, but decay over time.

Текст научной работы на тему «Эволюция волновых пакетов в двумерных структурах со спин-орбитальным взаимодействием Дрессельхауза»

УДК 537.6, 538.9

ЭВОЛЮЦИЯ ВОЛНОВЫХ ПАКЕТОВ В ДВУМЕРНЫХ СТРУКТУРАХ СО СПИН-ОРБИТ АЛЬНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ ДРЕССЕЛЬХАУЗА

© 2010 г. Е.В. Фролова, Н.А. Кравец

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского frolova_el@mail.ru

Поступила в редакцию 13.05.2010

Исследована временная эволюция спин-зависимых 2Б волновых пакетов в системе со спин-орбитальным взаимодействием Дрессельхауза. Рассмотрен эффект осцилляций центра волнового пакета, т.е. zitterbewegung. Показано, что осцилляции не продолжаются бесконечно долго, а затухают с течением времени.

Ключевые слова: zitterbewegung, спин, динамика волновых пакетов.

Необычная динамика электронов и дырок в системах со спин-орбитальным взаимодействием изучалась в работах [1-4]. В системах, где полная система собственных функций образована состояниями с различной киральностью, проявляется нестандартная динамика волновых пакетов. При этом временная эволюция пакетов зависит от начальной ориентации электронного спина. Подобные эффекты рассматривались в ряде работ [1, 5-7] для пакетов со спинами, ориентированными в начальный момент в различных направлениях. В частности, в этих работах изучался эффект дрожания центра волнового пакета (zitterbewegung). Этот эффект был предсказан Шредингером еще в 1930 году [8, 9], однако получил экспериментальное подтверждение только несколько месяцев назад [10].

Рассмотрим временную эволюцию волновых пакетов в системах со спин-орбитальным взаимодействием Дрессельхауза [11]. Гамильтониан такой системы выглядит следующим образом:

*2

Н = Н0 + Ип =

р

- + Р(рх6х - ру6у )

(1)

Фрь(Г) =

1 1

Л (2лй):

ехр

(2)

Собственные значения гамильтониана (1), соответствующие двум ветвям с индексами ь = ±1, выглядят как

2

е±(Р)=

2 т

± Р Р

(3)

Из (1) видно, что гамильтонианы систем со спин-орбитальным взаимодействием Рашбы и Дрессельхауза связаны преобразованием: х ^у. В связи с этим в качестве начальной поляризации спина волнового пакета мы используем пример, который не рассматривался ранее ни в одной работе.

Для анализа временной эволюции электронного волнового пакета воспользуемся функцией Грина, матричные элементы которой определяются как

С к (Г, 5', /) =

= X |^рф Рь,; (г , t)ФРьк (5 ',0). (4)

Используя (2), находим выражения для компонент функции Грина:

Gn(r, 5', г1) = G22(r, 5', г) =

где т - эффективная масса электрона, р константа спин-орбитального взаимодействия, ст=(стх,ау) — матрица Паули. Собственные

функции данной задачи определяются квантовыми числами р(рх , Ру) и индексом ь = ±1

1

(2пН)2

1рЧ_ + Ыг-П )со8( йр/)р 2тН Н Н

С12(Г, г', г) = ■

(2яН)2

Гехр(-^ + рГ - Г'})sin(0^)р--1 2тН Н Н р

(5)

1Рх

ф,

-1

С21(5 •5 '•г) = (2^

|ехР(-

ip г + ip(r - Г') 2тН Н

)ап( 2Р!-) <Рр.

Н р

1

X

X

X

Компоненты спинорной волновой функции в произвольный момент времени выражаются следующим образом:

VI = I(5,5' , г)¥ к(5' ,0М5'. (6)

Рассмотрим временную эволюцию двумерного гауссовского волнового пакета со средним значением импульса р0х и начальным направ-

лением спина вдоль оси х:

¥ (г ,0) =

1

ехр

,2

2 і'

гР 0хх Н

. (7)

Подставляя (7) в (6) и используя выражения для компонент функции Грина (5), получим

¥1(5, г) =^(ф1(5, г) + ф3(5 ,г)),

V 2(5, г) = ~^1 (ф1 (5, г) + ф2 (5, г)) ,

где функции ф1, ф2 и ф3 определяются сле-

дующими выражениями:

і

Фі(Г,і) = -^ Гехр

Vя 0

,д 2Ш д 2 сі 2 £2^

2л2 ,2 ,2

- і

2

2

/2 2 4 2

х 30(НГ -к)і - 2і^0і х)^(Рді)дід,

іі д/г 2 + £2і 4 + 2^0 і 2у

Ф 2(Г, 0 = -

- г

л/Л х + гу + £0^2

. д2Н д 2 і 2 2 ^

2т 2 2

/2 2 4 2 •

х /і(дл/г - £о і - 2г£0і х)8Іп(рд?)дід,

Фз(Г, 0 = -

іі

х + гу + £0 і

/я _ 1Г2 + £(2і4 + 2£0^2у

1 ехР

. д2 Ні д 2 і 2 £(2і

2

2

исходит в случае, когда начальная ориентация спина направлена вдоль оси г. В рассматриваемом нами примере наблюдается расщепление волнового пакета на несколько частей, центры которых движутся в одном направлении. При этом имеет место сохранение симметрии У ^- У.

Рассмотрим некий оператор Яу = <тхРу, где

Ру1 (у) = /(-у) . Если в начальный момент времени волновая функция удовлетворяет уравнению

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Я у ¥(х, у,0) = +Т(х, у,0),

(8)

/2 2 4 2 •

хМд^г -к§с1 -2ikoс1 х)8т(р^/)^А^,

где 10 и 31 - функции Бесселя.

На рис. 1 представлено распределение полной электронной плотности в момент времени г = 5 (в единицах т0 = d -р-1) для структуры 1пваЛ8. В размерных единицах т = 0.05т0,

d = 2-10-5см, к0 = 0.5-105см-1, р = 3.6-106см - с-1 (оси х и у измеряются в единицах начальной ширины пакета). Из рис. 1 видно, что первоначальный гауссовский волновой пакет не расщепляется на две части, распространяющиеся в противоположных направлениях, как это про-

то и в произвольный момент времени она удовлетворяет этому же уравнению. Легко видеть,

что коммутатор оператора Яу и гамильтониана

(1) равен нулю. Как известно, два коммутирующих оператора имеют общую систему собственных функций. Таким образом, если начальная волновая функция удовлетворяет (8), то полная электронная плотность симметрична относительно замены у ^ - у .

Обсудим теперь эффект дрожания центра пакета (zitterbewegung) для начальной поляризации волнового пакета вдоль оси х. Для этого, используя импульсное представление, найдем выражение для средних значений операторов

- -Ъ д

координат г■ = гН----.

" Фі

Из рис. 1 видно, что среднее значение координаты у центра волнового пакета равно нулю вследствие соответствующей симметрии полной электронной плотности. Среднее значение координаты х центра волнового пакета содержит в себе кроме осциллирующей (затухающей с течением времени) части, постоянное смеще-

1

+

1

с

х

х

0

х

х

х

0

+ Р

1-

1

2k0 d2 2k02d 2

exp(-k0 d 2)

t+

22

+ dexp(-k0d )x x]sin^ )exp( - ) x

0

10(

h

2 pk0d2

h

0 - 12 ('

2 pk0d2

dp,

Интересно также рассмотреть пространственное распределение компонент спиновой плотности для рассматриваемого волнового пакета (рис. 3). Из рис. 3 видно, что расщепившиеся части волнового пакета имеют различные направления спина. Так в случае х-компоненты мы наблюдаем преимущественно положительные компоненты спина, а у- и г-компоненты плотности различных частей уже расщепившихся пакетов имеют противоположный знак. Таким образом, х-компонента спина имеет преимущественно положительное направление, а две другие меняют знаки при прохождении по поверхности волнового пакета.

ние, т.е. центр волнового пакета движется вдоль оси х с постоянной скоростью:

(9) Рис. 3. Распределение v-компоненты плотности спина в момент времени t = 5

где 10 и 12 - модифицированные функции Бесселя нулевого и второго порядка. Видно, что Х(?) зависит только от одного параметра

а = к0й (на рис. 2 представлена зависимость Х (?) при к0 = 3 • 105 см-1, а = 9 ). В случае, когда а >> 1, легко видеть, что постоянная составляющая скорости складывается из начального импульса волнового пакета и константы спин-орбитального взаимодействия:

V0 = ^ + р.

m

(10)

Как показано в [1], если в начальный момент времени волновой пакет имел поляризацию спина вдоль оси г, то zШerbewegung имеет поперечное направление, а в рассматриваемом случае мы имеем дело с продольным эффектом дрожания центра волнового пакета. В заключение отметим, что когда части пакета, соответствующие положительной и отрицательной ветвям спектра, расходятся на расстояние, превышающее его первоначальную длину, осцилляции прекращаются, и центр пакета движется только с постоянной скоростью.

Динамика волновых пакетов в структурах со спин-орбитальным взаимодействием имеет нестандартный характер, что может сказаться, например, на характеристиках спинового полевого транзистора Датты и Даса [12], а также на эффектах туннелирования и рассеяния. Так же нетипичная временная эволюция волновых пакетов в присутствии магнитного поля, рассмотренная в работах [1, 13], должна изменить форму линии циклотронного резонанса в 2D системах со спин-орбитальным взаимодействием.

Настоящая работа выполнена при финансовой поддержке программы «<Развитие научного потенциала высшей школы» (проект 2.1.1.2686), РФФИ (грант 09-02-01241-а), гранта Президента РФ для молодых ученых (MK-1652.2009.2), а так же при поддержке фонда «<Династия».

Список литературы

1. Demikhovskii V.Ya., Maksimova G.M., Frolova E.V. // Phys. Rev. B. 2008. V. 78. P. 115401.

2. Schliemann J., Loss D. and Westervelt R.M. // Phys. Rev. Lett. 2005 V. 94. P. 206801.

1

)

x

3. Schliemann J., Loss D. and Westervelt R.M. // Phys. Rev. B. 2006. V. 73. P. 085323.

4. Jiang Z.F. et al. // Phys. Rev. B. 2005. V. 72. P. 045201.

5. Maksimova G.M., Demikhovskii V.Ya., and Frolova E.V. // Phys. Rev. B. 2008. V. 78. P. 235321.

6. Demikhovskii V.Ya., Maksimova G.M., and Frolova E.V. // Phys. Rev. B. 2010. V. 81. P. 115206.

7. Демиховский В.Я., Максимова Г.М., Фролова Е.В. // Известия РАН. Серия физическая. 2009. Т. 73. № 5. С. 737-740.

8. Schrodinger E. // Sitzungsb. Preuss. Akad. Wiss. Phys.-Math. 1930. Kl. 24. P. 418.

9. Barut A. O. and Bracken A. J. // Phys. Rev. D. 1981. V. 23. P. 2454.

10. Gerritsma R., Kirchmair G., Zahringer F., et al. // Nature. 2010. V. 463. P. 68.

11. Dresselhaus G. // Phys. Rev. 1955. V. 100. P. 580.

12. Datta S., Das B. // Appl. Phys. Lett. 1990. V. 56. P. 665.

13. Schliemann J. // Phys. Rev. B. 2008. V. 77. P. 125303.

WAVE PACKET EVOLUTION IN TWO-DIMENSIONAL STRUCTURE WITH DRESSELHAUS SPIN-ORBIT COUPLING

E. V. Frolova, N.A. Kravets

The time evolution of spin-dependent 2D wave packets has been studied in a system with the Dresselhaus spin-orbit coupling. The effect of wavepacket center oscillations (zitterbewegung) has been considered. It is shown that oscillations do not continue indefinitely, but decay over time.

Keywords: zitterbewegung, spin, wave packet dynamics.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.