О характере движения электрона Дирака в постоянном магнитном поле Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 2 (1), с. 170-180

УДК 536

О ХАРАКТЕРЕ ДВИЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОНА ДИРАКА В ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

© 2011 г. Г.Ф. Ефремов, Д.А. Петров

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

[email protected]

Поступила в редакцию 07.02.2011

Исследован характер движения электрона Дирака во внешнем постоянном магнитном поле с учетом эффекта дрожаний (zitterbewegung). Получено уравнение, описывающее изменение во времени оператора скорости электрона. Определены зависимости от времени операторов координаты и скорости электрона. Рассмотрен вопрос о квантовой нелокальности в теории Дирака, вызванной наличием дрожаний.

Ключевые слова: электрон Дирака, эффект дрожания (zitterbewegung), квантовая нелокальность.

1. Практически с самого начала существования квантовой механики возникли два совершенно равноправных представления квантовой динамики, определяющих эволюцию во времени физических систем. В современной литературе за ними закрепились названия: представление Шредингера и представление Гейзенберга. Основное отличие их заключается в том, что в представлении Гейзенберга вся динамика рассматриваемой системы, т.е. зависимость от времени физических величин, переносится с волновой функции на операторы, соответствующие этим величинам. Несмотря на физическую эквивалентность этих подходов, которая выражается в возможности математического перехода от одного представления к другому, первый метод используется в гораздо большем числе работ. Это, в первую очередь, связано со статистическим характером квантовой механики, интересующейся более спектрами собственных значений физических величин и вероятностями их измерения, чем эволюцией во времени их операторов. Но, несмотря на более частое применение представления Шредингера, уже в самом начале развития квантовой механики появились интересные по своему содержанию и выводам работы, основанные на представлении Гейзенберга. Среди них следует особо выделить работу самого Э. Шредингера [1] (также в русском переводе [2]), посвященную исследованию динамики движения свободного электрона в релятивистской квантовой механике.

В этих работах установлено, что движение свободного электрона носит достаточно слож-

ный характер. Это проявляется в том, что, во-первых, скорость электрона приобретает самостоятельное значение наряду с его импульсом, во-вторых, движение свободного электрона не является в общем случае «прямолинейным». Причина этих особенностей, как показал Шре-дингер в [1], - наличие у электрона внутренней структуры, которая определяется его спиновым моментом.

Прежде чем перейти к основному содержанию этой работы, приведем в этом параграфе, в методических целях, решение Шредингера, проследив тем самым связь между приведенными выше особенностями движения свободного электрона в релятивистской квантовой механике.

Из теории Дирака [3] следует, что гамильтониан релятивистского электрона имеет вид

Н = са ■ р + Рздас2, (1)

где р - вектор импульса электрона, а = и

Рг- (/'=1, 2, 3) - матрицы Дирака, обладающие

следующими свойствами 2

= 1, аг- *а 7 = ЖукРк, 7 * 7

а7 + а7 ' = 2Ь17, (2)

9

р7 =1 р7 *Р7 = Щ7$к, 7 * 7

р7 *Р7 +р7 ■ р7 = (3)

а7 *Р7 _р7 *а7 = 0 (4)

о - вектор, состоящий из матриц Паули.

Как известно, свободный электрон обладает семью интегралами движения: энергия, три проекции импульса, а также три проекции полного момента импульса.

Согласно представлению Гейзенберга, операторы физических величин подчиняются следующему уравнению

in = [ A(t), H ],

dt

(5)

где A(t) - оператор, соответствующий физической величине А, H - гамильтониан системы.

Используя уравнение (5), гамильтониан (1) и свойства (2) - (4), запишем уравнение движения для оператора координаты и скорости электрона:

dx(t)

dt

= Vx (t) = ca x (t X

(б)

dax(t) = 1 (ax (t)H - Hax (t)) =

dt ih

2 2 (7)

= 2с[о(?) х р]х - 2т^~Р2(/) ■ах(?). п п

Уравнения (6) и (7) являются удивительными во всех отношениях. Как известно из классической релятивистской механики, скорость электрона связана с его импульсом известным соотношением

v = P = ^,

mE

(8)

работе Шредингера, этих трудностей можно избежать, решив одно дифференциальное уравнение, правда, второго порядка, вместо системы из девяти уравнений. Это можно сделать следующим образом.

Как уже было сказано раньше, у свободного электрона одним из интегралов движения является энергия, причем, учитывая (2), легко показать, что имеет место следующее соотношение а х (0Н + На х (?) = 2срх. (9)

Уравнение (7) может быть переписано в виде

ікСах (0 = 2ах (ОН - 2срх = 2срх - 2Нах (?). (10) са

Поскольку ах (?) и Н не коммутируют друг с другом, то в уравнении (10) является принципиальным положение оператора Н . Поэтому дальше везде в этой работе будем рассматривать случай, когда оператор Н находится справа от а х (?).

Учитывая, что энергия и импульс электрона являются интегралами движения, возьмем от правой и левой части уравнения (10) производную по времени

где т - масса движущегося электрона, Е -его энергия. Согласно же уравнению (6), в релятивистской квантовой механике связь между скоростью и импульсом (8) нарушается, причем скорость, как и импульс, приобретает самостоятельное значение, поскольку, согласно уравнению (7), уже не является сохраняющейся величиной, а это, в свою очередь, означает, что скорость электрона несет в себе определенную информацию о характере его движения. Подробный анализ физического содержания соотношения (6) произведен Шредингером в работе [1].

В общем случае для решения уравнения (7) необходимо знать зависимость от времени операторов ах,у,2 (0 и 02(0 , которые также подчиняются определенным уравнениям, содержащим, из-за коммутационных соотношений (2) -(4), неизвестную скорость - сах (?). Это говорит о том, что для определения ах (0 необходимо решить систему дифференциальных уравнений, состоящую, в случае пространственного движения электрона, из девяти уравнений: уравнений для трех проекций а(?) и о(?), а

также трех уравнений для матриц Р12 3 (?). Если

еще учесть, что эти матрицы обладают коммутационными соотношениями (2) - (4), то решение системы даже в случае свободного движения электрона представляет большие трудности. К счастью, как показано в цитированной

ih d a‘(t) = 2H

dt2 dt

Решая уравнение (11), найдем

2H

—і------1

n

a x (t) = a x (0)e

Подставляя (12) в (10), получим

(11)

(12)

a x (t) = cpx+a x (0)-e

2H

—І------1

n

(1З)

7П

Н х' ' 2Н Умножая (13) на скорость света и интегрируя по времени, окончательно найдем

2

c p

x(t) = xo +----------— t - a x (0)

ch

2

2H

i-----1

n . (14)

Н 4Н

Остановимся подробнее на решении (14). Видно, что движение свободного электрона перестает быть «прямолинейным», при этом следует заметить, что второе слагаемое в (14) линейно растет со временем, причем коэффициент при ? является обычной скоростью электрона, соответствующей импульсу рх.

Согласно принципу неопределенности Гейзенберга, в квантовой механике электрон вообще не имеет траектории движения. Поэтому понятие «прямолинейное движение» нуждается в уточнении. В данной работе под ним имеется в виду зависимость от времени оператора координаты свободного электрона

г(0 = ГО + V?, где V есть оператор его скорости, получающаяся в результате решения уравнения Гейзенбер-

e

га для этого оператора и совпадающая по форме с решением уравнений классической физики для координаты свободного электрона. Здесь же следует отметить, что, решая задачу в представлении Гейзенберга, все же можно получить некоторое представление о характере движения электрона, т.е. его траектории. Для этого необходимо усреднить оператор координаты этого электрона, явно зависящий от времени, по некоторому состоянию, определяющемуся волновой функцией электрона. При этом, поскольку усреднение производится по пространственным координатам, зависимость от времени среднего значения физической величины, соответствующей данному оператору, будет такой же, как и у самого оператора. Это, в свою очередь, означает, что зная вид функциональной зависимости, например, оператора координаты электрона от времени мы тем самым знаем характер движения данного электрона.

Вернемся к уравнению (14). Последнее слагаемое в этом уравнении быстро осциллирует около среднего значения и представляет, согласно Шредингеру [1], микроскопическое дрожательное (zitterbewegung) движение электрона, наряду с макроскопическим, определяемым скоростью Ух = с2рх /Н. Содержание понятия «микроскопическое движение» можно выяснить, если оценить амплитуду высокочастотных колебаний в (14). Согласно [1], она имеет следующий порядок п

£-------10-11 [см],

тс

т.е. порядок минимального размера электрона как волнового пакета. Поэтому для электрона с

макроскопической скоростью У = с2рх / Н отклонение центра тяжести облака заряда от прямолинейной траектории будет много меньше протяженности этого облака заряда. В этом как раз и заключается микроскопичность дрожательного движения электрона.

Несмотря на то, что эффект дрожательного движения был открыт Шредингером в 30-х годах прошлого века, он продолжает привлекать внимание многих физиков [4-19], занимающихся релятивистской квантовой механикой, и даже специалистов из других областей теоретической физики [20].

Установим связь рассмотренных выше эффектов с внутренней структурой электрона, т.е. с его спином.

В классической релятивистской механике у свободного электрона кроме энергии и импульса сохраняется еще и момент импульса. Но в релятивистской квантовой механике момент

импульса свободного электрона не является интегралом движения. Это видно уже из следующего соотношения

4т = "Г [г х Р] = [Г х Р] = с[а(?) х р]. (15)

т т

Но, согласно гамильтониану (1), для матрицы о имеет место следующее уравнение П Го

2 Г

= с[р х а(?)].

(16)

Поэтому, складывая (15) и (16) получим новый интеграл движения

Г ( П Л dJ — I Т + — о 1 = — = 0,

ГI 2 ) Г

или

т т п

J = Т + — о = сопб1. 2

(17)

где По /2 определяет оператор нового момента, получившего название спинового, а J - полный момент электрона. Таким образом, в релятивистской квантовой механике вместо момента импульса свободного электрона сохраняется его полный момент (17).

Перейдем теперь к основному содержанию данной работы. Согласно вышеизложенным результатам цитированной работы Шредингера, в релятивистской квантовой механике нарушается связь между импульсом электрона и его скоростью вследствие наличия у электрона спинового момента. В результате этого кардинально изменяется движение даже свободного электрона. В связи с этим представляет большой интерес определение характера движения электрона в релятивистской квантовой механике в случае, когда в классическом пределе это движение хорошо изучено и определено. Таким движением является, в частности, движение классического релятивистского электрона в однородном постоянном магнитном поле. Как известно, если электрон имеет в направлении магнитного поля составляющую скорости, то его траекторией движения является винтовая линия с центром вдоль направления поля, если же такой компоненты нет, то он движется по окружности в плоскости, перпендикулярной к направлению поля. Но этот результат справедлив только в случае, когда выполняется соотношение (8) между скоростью и импульсом электрона. В релятивистской квантовой механике этого соотношения не существует, поэтому возникает вопрос о характере движения релятивистского электрона - электрона Дирака - в постоянном магнитном поле. Ответу на этот и некоторые другие вопросы и посвящена оставшаяся часть работы.

2. Рассмотрим систему, состоящую из электрона Дирака и действующего на него однородного постоянного магнитного поля, имеющего, для простоты, одну составляющую

В = Б0ж0. (18)

Гамильтониан этой системы имеет вид

Н = са • п + Рздас 2, (19)

где п = р - е / с А - кинетический импульс электрона, А - векторный потенциал магнитного поля.

Математически задача заключается в определении уравнений для г (?) и а (?), с учетом магнитного поля, и их решении.

Прежде чем перейти к выводу искомых уравнений, рассмотрим вопрос об интегралах движения для данной системы. Если у свободного электрона существует семь интегралов движения, то в случае его взаимодействия с магнитным полем их количество сокращается до трех. Это энергия, проекция импульса и полного момента в направлении поля. Сокращение числа интегралов движения приводит к увеличению количества уравнений для определения динамики электрона, а именно к девяти уравнениям, перечисленным в предыдущем параграфе для свободного электрона, но уже с учетом магнитного поля, необходимо добавить еще шесть уравнений: три уравнения для проекции кинетического импульса п и три уравнения для проекций момента импульса Ь или полного момента J электрона. В итоге получается система из 15 дифференциальных уравнений, решение которой, в общем случае, представляет как большой интерес, так и исключительные трудности. Но в данном случае, т.е. для постоянного магнитного поля, этих трудностей можно избежать, поскольку одним из интегралов движения, как и в случае свободного движения электрона, является его энергия, что дает возможность применить к изучаемой системе метод, использованный в предыдущем параграфе.

Итак, перейдем к выводу уравнений для г (?) и а(?). Из гамильтониана (19) и уравнения (5) для г(?) видно, что в случае наличия магнитного поля остается справедливым уравнение (6), т.е.

г(?) = са(?). (20)

Вычислим далее следующий антикоммутатор [а, Н ]+ = аН+На. (21)

Используя выражение для а через матрицы Р1 и с, антикоммутирующие соотношения (3), а также формулы

(а • Ь)а = Ь + /[с х Ь], а(а • Ь) = Ь + /[Ь х с],

где Ь - произвольный вектор, найдем

аН + На = 2сп(?). (22)

Выражая из (22) На и подставляя в уравнение

ік^^ = а(ґ)Н - На(ґ), А

(23)

получим

,й^а(0 = 2а(?)Н - 2сп(?). (24)

Ж

Определим теперь уравнение для импульса п(?). Для этого вычислим коммутатор [п(?), Н]:

[п(ґ),Н ] =

р — А, г(ґ)-I р — А с I с

ее = --[р,(Г(ґ) - А)]--[А,(Г(ґ) - р)] = сс

= і% - {У(Г(ґ) - А) - (Г(ґ) -У)А} (25)

и учитывая, что

У(Г(ґ) - А) = [Г(ґ) х гоїА] + (Г(ґ) - У)А, с учетом (25), найдем

^ = - [Г(ґ) х В]. (26)

аґ с

Дифференцируя далее (24) по времени и подставляя в получившееся выражение (26), получим следующее уравнение для оператора скорости электрона Дирака

а 2а(ґ) аа(ґ)

ік

- 2-

а?2 аґ

Преобразуем (27) к виду

Н + 2ес[а(ґ) х В] = 0. (27)

ік тс

а(ґ)—- а(ґ) + [а(ґ) х юь ]— 2Н Н

2

= 0,

(28)

где |шь\ = еВ0 /тс- циклотронная (ларморов-

ская) частота электрона.

Уравнение (28) имеет несколько особенностей. В первую очередь, следует заметить, что в отсутствие магнитного поля оно переходит в уравнение (11). Во-вторых, первое слагаемое в (28) является очень маленькой величиной по сравнению с остальными членами данного

уравнения. В-третьих, в нерелятивистском прел

деле, когда можно считать Н ~ тс , из (28) получается известное из нерелятивистской физики уравнение для скорости электрона в магнитном поле

й?са(?) Оу(?)

= [у(ґ) х юь ].

(29)

аґ аґ

Перейдем теперь к решению уравнения (28). Поскольку магнитное поле имеет одну компоненту вдоль оси oz, то в направлении магнитно-

го поля, с учетом сохранения соответствующей компоненты импульса электрона, для системы уравнений (20) и (28) применимы решения (12) и (14) для свободного электрона, т.е.

2H -1----ґ

(30)

с 2 р

2(ґ) = ^ + —^ґ-а г (0) Н

4Н

е

Для компонент же ах и а из (28) получим следующую систему дифференциальных урав-

нений

ік

т

с2

де

а+ (ґ) = Ае

-іХґ

(йь >0 =

2тс

Й

10'

21

рад

что соответствует магнитным полям порядка 1017 [Гс]. Согласно [21, 22], даже такие космические объекты, как пульсары и нейтронные звезды, обладают магнитным полем, которое по значению много меньше, чем приведенное выше. Это говорит о том, что решение для а+(?) при любых встречающихся в природе магнитных полях является устойчивым.

Как известно, состояние электрона в магнитном поле характеризуется определенным энергетическим спектром, уровни энергии которого принято называть уровнями Ландау. Этот спектр имеет вид [23]

, 2 2Н

сЙ 2 -і ґ

Й . (31)

ЕП = т 2с 4 + с 2 р2 +

+ с Йш I п + _ I —

(38)

-ст.

•• ✓ ч ік . , х , ^ тс _

(Х * (ґ)Ч^-Х*(ґ) + Ху(ґ) = 0 (32)

2Н Н

Ху (0™ - «X у (ґ)-а * (ґ)—- шь = 0. (33) 2Н Н

Умножая (33) на мнимую единицу и складывая с (32), найдем

•• ✓ ч ік . , ч ,. тс2 -

а+ (ґ) — -а+ (ґ) - іа+ (ґ) —— = 0, (34)

2Н Н

где а+ (ґ) =а* (ґ) + іау (ґ) .

Будем искать решение этого уравнения в ви-

(35)

Подставляя (35) в (34) и решая характеристическое уравнение, найдем

Н { г-------\ 2тс2

Х1,2 = I1 ±л/1 - Р ) Р = Й“/, ~~Г. (36)

Остановимся более подробно на соотношениях (36). Заметим, что раньше нигде не предполагалось, что магнитное поле является слабым. Поэтому, согласно (35), (36), решение для а+(?) при некоторых значениях магнитного поля становится неустойчивым, возникают экспоненциально спадающие и нарастающие решения.

Оценим нижнюю границу значений магнитного поля, при которых решение становится неустойчивым. Для этого достаточно считать,

что Н ~ тс2. Тогда из (36) найдем следующее условие

(37)

где с 2 имеет значения ±1. Учитывая этот факт,

заменим в (36) оператор Гамильтона его собственными значениями (38).

Теперь, поскольку р << 1, представим Х12 в

виде ряда по этому параметру, ограничившись только линейными членами. Тогда

2Еп тс2

А-1 = , X2 = , Х2 «Х^ (39)

Й 2Еп

Соотношение частот Х2 << Х1 показывает, что а+ (?) содержит быстрые и медленные колебания.

В итоге решение уравнения (34) имеет следующий вид

а+ (?) = + А2е-Х2, (40)

где постоянные коэффициенты А12 определяются из начальных условий.

Вычисление неизвестных коэффициентов А может быть произведено различными способами. В общем случае необходимо решить систему уравнений относительно А , образованную из (40) и уравнения для а + (?) при ? = 0.

Но в данном случае используем другой способ. Это связано с одним из свойств уравнения (28), а именно со свойством, заключающимся в том, что при В = 0 это уравнение переходит в

уравнение для свободного электрона, решение которого имеет вид (13) с уже известными коэффициентами. Но раз это так, то, с необходимостью, искомые коэффициенты А при

В = 0 должны переходить в известные коэффициенты уравнения (13), и этого достаточно для их определения. Действительно, устремляя в (40) магнитное поле к нулю и сравнивая с (13), легко найти, что

/Й

А1 =Х +(0)

2Е„ ’

А2 = сЬ™, (41)

Е„

где ^+ (0) = ЯX (0) + ™у (0) , а Л х (0) и Лу (0) -

компоненты начального импульса электрона.

В дальнейшем при исследовании характера движения электрона нам потребуются две фор-

с

мы решения (40). Их отличие заключается в том, что в первой форме магнитное поле не предполагается равным нулю, а во второй это значение допустимо, причем при В0 = 0 вторая

форма переходит в решение для свободного электрона.

Для определения первой формы подставим (41) в (40). Выделяя теперь действительную и иди с учетом (*) получим мнимую части, получим

а+ (ґ) = Х + (0) — со8(Я,1Ґ) +

Х1

+ (Х + ) +

Х1

+ СЪ+ (0) (с°8(^2ґ) - і 8Іп(^2?^

1 .

(47)

а *(ґ) =

СЪ* (0)

Е„

съ у (0)

С°8(Х 2ґ) +

Е

8Іп(Х 2ґ ) +

п

X * (0) а у(0)

+ —--------8ш(Х^ )-----у-----С°8(Х^ ),

(42)

а+ (ґ) = а+ (0)с°8(Х1ґ) + (Х + (0) — 8т(Х^) +

Х1

+ СЪ+ (0) ^с°э(Х2ґ) - С°8(Х1ґ) - і 8Іп(Х2ґ)).

(48)

а у (ґ) = -

СЪ *(0)

Е, а *(0)

Х,

8Іп(Х 2ґ) +

СЪу (0)

Е„

С°8(Х 2ґ) +

Х1

С°8(Х^ ) +

(Х у (0) .

Х1

8Іп(Х1ґ ).

Умножая (48) на скорость света, интегрируя по времени и выделяя действительную и мнимую части, окончательно найдем зависимость (43) компонент оператора координаты электрона Дирака от времени

с . с

х(?) = а х (0) — 8т(Х1?) + а х (0) —— (1 — со8(Х1)) +

Далее, умножая (42), (43) на скорость света и интегрируя эти выражения по времени, найдем

Х1 Х2

^Іп(Х 2ґ) ЗІп(Х1ґ)4'

Е„

Ъ *(0)

*(ґ) = *0 +

С2Ъ*(0) бш(Х2ґ) С Ъу (0) с°8(Х2ґ)

V Х 2

Х

1 У

Е„

са *(0)

Еп

са у (0) ,

(44)

- Ъ у (0)

с°з(Х 2ґ) -1

(49)

Х

2 У

Х2

2 С°8(Х1ґ)------8Іп(Х1ґ),

Х2

у(ґ) = у0 +

С2Ъ* (0) с°8(Х2ґ) С Ъу (0) біп(Х2ґ)

с с

у(ґ) = ау (0) — 5іп(Х1ґ) + ау (0)— (1 - с°8(Х1ґ)) + Х1 Х1

Еп Х 2

Е„

са * (0)„;„

са у (0)

(45)

2 (

+-----БІп(Х1ґ )------------С°8(Х1ґ ),

Е„

Ъ у (0)

^8Іп(Х 2ґ) БІп(Х1ґ) ^

Х21

Х21

V Х 2

где х0 и у0 определяются начальными условиями.

Выпишем здесь для полноты решение для г(?), записанное в первой форме

*(?) = *0 + ? - с°Ч(0) софх?). (46)

Н Х1

Выражение (46) получается после выделения действительной части из решения (31).

Перейдем теперь к определению второй формы решения (40). Для этого воспользуемся уравнением (24) при ? = 0

+ Ъ *(0)

с°б(Х 2ґ) -1

Хп

1 У

(50)

2 У

Выпишем здесь решение для г(?) во второй форме

с с

Ф) = а * (0) — + а * (0) — (1- со 8(У)) +

Х1 Х1

с2Ъ г (0)

(

Н

БІп(Х1ґ )

Л

(51)

Х

1 У

а+ (0) 7 =а+ (0) -Х1

СЪ+ (0) Е '

(*)

Выражение (51) получается так же, как и (49), (50).

Проверим получившиеся решения (49), (50), осуществив в них предельный переход, устремляя магнитное поле к нулю. При этом Х2 ^ 0,

8Ш(Х 2 ?) СО8(Х20 - 1_^д

Выделим в (40), после подстановки вы-

Х0

ражения (41), действительную и мнимую что, в итоге, дает из (49), (50) следующие реше-части, оставляя а+ (0) и л+(0), т.е. ния

+

2

С

Х

Х

2

2

Х

2

+

с с

*(ґ) = а* (0) — «п (Х1ґ) + а * (0) — (1 - с° в(Х!ґ)) +

Х1 Х1

| с2Р* (0) Г «п(Хіґ^

Н

Х1

с с

уЦ) = а у (0) — 8ІП(Х1ґ) + а у (0) — (1 - с° ^ґ)) +

Х1 Х1

с2Ру (0) (, 8Іп(Х10Л

Н

Х1

совпадающие по форме с (51) для свободного электрона.

3. Прежде чем приступить к исследованию полученных решений, вспомним основные свойства движения классического релятивистского электрона в постоянном однородном магнитном поле, имеющем направление (18). Это движение характеризуется тем, что, во-первых, компонента скорости, перпендикулярная магнитному полю, остается постоянной по модулю, т.е.

, т/2/

V, =

Гу (ґ) = -V* (0) 8Іп(Х2ґ) + Гу (0) с°8(Х2ґ) +

+ V* (0)с°3(Х1ґ) + Уу (0) Sin(Х1ґ),

подставить (54) и (55) в (52), оценим порядок величин Ух у (0) и ух у (0), входящих в эти

формулы. Поскольку мы рассматриваем релятивистский электрон, то порядок Ух у (0) является достаточно высоким. Рассмотрим теперь

Ух,у (0):

с х, у(0) с ах,у(0) ^

Ух,у (0) = 7----±-------------у---, (56)

где а х, у (0)~1, ах - некоторое характерное

время в данной задаче. Как было выяснено в предыдущем параграфе, согласно формулам (39), (40) решение для скорости (54), (55) содержит быстрые и медленные колебания. Поэтому характерное время х имеет два значения, соответствующие этим быстрым и медленным колебаниям. Для быстрых колебаний это время имеет порядок

х —1—10-22 [с]. Хх [ ]

(57)

^*2(ґ) + Гу2(ґ) = с°^1, (52)

во-вторых, траектории движения представляют собой винтовую линию с осью вдоль магнитного поля, причем в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, они являются окружностями с постоянным радиусом, имеющим вид [24]

гь =^ х 2(?) + у 2(?) = = соп81; (53)

Основные эффекты, следующие из решения (42)-(45), заключаются в том, что для электрона Дирака в магнитном поле соотношения (52), (53) нарушаются, т.е., другими словами, как скорость |—±|, так и радиус орбиты электрона

становятся функциями времени.

Перейдем к определению этих функциональных зависимостей. Сначала рассмотрим эффект, связанный со скоростью электрона. Умножая выражения (42) и (43) на скорость света, перепишем их в следующем виде V (?) = V (0) СО8(Х2?) + Гу (0) 8Ш(Х2?) +

+ V;(0) - Уу(0) СОэ(Х1?),

(54)

(55)

На таких временах движение электрона можно всегда считать свободным. Это обстоятельство должно определенным образом отразиться на формулах (54) и (55), а именно, они должны перейти в формулы, определяющие скорость свободного электрона, т.е. в (13). Действительно, в формулах (54), (55) можно с большой точностью считать, что

соб(Х 2?) = 1, бш(Х 2?) = 0, (58)

где ? ~ х. Тогда, умножая уравнение (55) на мнимую единицу, складывая с (54) и выделяя действительную и мнимую части, найдем

Гх,у (?) = Гх,у (0) + сах,у (0)-^е-/Х1?, (59)

Х1

что полностью совпадает с решением для свободного электрона. Этот случай здесь не представляет особого интереса.

Рассмотрим теперь второй случай, когда характерное время х имеет следующий вид

1 1 Е

х ~ — = --Е\ (60)

X2 тс

и, в зависимости от величины магнитного поля и энергии электрона, может быть как меньше, так и больше единицы. При этом величина начальной скорости электрона, соответствующей дрожательному движению, будет иметь вид

где Ух, у (0) = с 2 % х, у (0) / Еп есть компоненты

начальной макроскопической скорости электрона, а Ух у (0) = са х у (0)/ Х1 - компоненты

начальной скорости электрона, соответствующие его дрожательному движению. Прежде чем

С а*, у (0)

Хл

Ух,у (0)~ 7------—-= сах,у (0) Т2 ^Хс> (61)

X х Х1

где Хс = Й / тс - комптоновская длина волны

электрона. Формула (61) позволяет оценить значение магнитного поля, при котором макроскопическая скорость электрона по величине

будет сравнима со скоростью его дрожательного движения

Xe®L ~ V0>

или

В*-

о ~ V

(me)2

eh

= 4.42•lO3 •Vo [Гс]. (62)

Так, например, для электрона со скоростью

V ~ 107 [см/с] это магнитное поле имеет значение 5*~1010[Гс], т.е. как для слаборелятивистских, так и для ультрарелятивистских электронов магнитное поле, при котором vx (0) и

V -Д0) имеют одинаковый порядок, является

достаточно сильным. Такие поля встречаются у некоторых космических объектов, например у нейтронных звезд [22].

Перейдем теперь к вычислению |v±|. Рассмотрим сначала случай слабых магнитных полей. Тогда из формулы (61) следует, что vx, у (0) << 1 << Vxy (0). Поэтому в формулах (54),

(55) можно пренебречь слагаемым, пропорциональным vx у (0), т.е. считать, что

Vx (t) = Vx (0)cos(A 2t) + Vy (0)sin(A 2t), (63)

Vy (t) = -Vx (0) sin (A, 2t) + Vy (0)cos(^2t). (64)

Подставляя теперь (63) и (64) в (52), найдем

|v | = д/Vx2 (0) + Vy2 (0) = const (65)

Таким образом, в слабом магнитном поле

поперечная составляющая скорости электрона Дирака сохраняет по модулю свое значение, что совпадает с результатом для классического релятивистского электрона.

В случае сильного магнитного поля необходимо учитывать все слагаемые в формулах (54), (55). Подставляя эти формулы в (52), найдем

|vj = Vl (0W1 + f (t), (66)

где

V± (0) = 7Vx2 (0) + V2(0) ,

f (t) =

rvL (0) 12 Vv + VV

V Vx (O

+2

V

sin((Xl — X 2)t) +

X

V v - Vv

+ 2 у x „ x у cos(X-X2)t),

V

X

Vx (0) = 7Vx2(0) + v^(0).

в том, что в сверхсильных магнитных полях происходит увеличение поперечной скорости электрона. Третий эффект связан с периодическим характером зависимости от времени поперечной скорости электрона, причем, поскольку Хх >> Х2, в формуле (67) можно считать, что

Х1 _Х2 ~ Х1 . Но ввиду того, что ~ 1021 [1/с], на временах ? ~1/X 2 физически невозможно определить, что скорость |ух| изменяется во времени, т.е. это означает, что в эксперименте при измерении будет фигурировать не |ух|, зависящая от времени, а ее некоторое среднее значение.

Рассмотрим теперь простой пример, когда Ух = Уу = ух = Уу . Тогда из (66), (67) найдем

| v x | = V2 • Vx (0)^l + sin(Xlt)

(68)

(67)

т.е. поперечная скорость электрона осциллирует с частотой Х1.

Еще одна особенность формулы (68) состоит в том, что модуль поперечной компоненты скорости электрона периодически принимает нулевые значения. В действительности это возможно только в случае, когда Ух = Уу = ух = Уу, что

соответствует, как отмечалось выше, сверх-сильным магнитным полям, в которых предложенная в данной работе постановка задачи уже неприменима. Это связано с тем, что в таких полях необходимо учитывать действие на электрон как собственного поля излучения, так и флуктуаций электромагнитного и электрон-позитронного вакуумов, что совершенно не учитывается в этой работе. В реальных же случаях всегда ух , Уу < Ух ,Уу . Поэтому модуль поперечной компоненты скорости электрона во все промежутки времени существенно отличается от нуля.

Перейдем теперь к исследованию второго эффекта, а именно к определению зависимости от времени радиуса ларморовской орбиты электрона. Выпишем еще раз формулы (44), (45), предполагая для простоты, что х0 = у0 = 0

Из формулы (66) следуют три эффекта. Первый заключается в том, что в сильных магнитных полях поперечная составляющая скорости электрона Дирака не является постоянной величиной даже по модулю. Второй эффект состоит

x(t) = Rx sin(X2t) -R cos(X2t) -

-rx cos(Xlt) - гу sin(Xlt),

y(t) = Rx cos(X2t) + ^ sin(X2t) +

+ rx sin(Xlt) - гу cos(Xlt),

(69)

(7G)

где

Rx, у =-

с2 п х,у (0) Vx, у (0)

х,у

X 2 En

х,у у Xo

2

еах у (0) Ух у Гх у = х,у( ) = . (71)

х,у х2

Прежде чем воспользоваться формулой (53) для определения зависимости ларморовского радиуса от времени, произведем оценки коэффициентов в (69) и (70). Так, если в выражениях для скорости электрона в сверхсильных магнитных полях скорость дрожательного движения может быть сравнима с его макроскопической скоростью, то в случае (69), (70) ситуация совершенно другая. Действительно, для того чтобы гху были порядка Ях у, необходимо,

чтобы Х2 было порядка Х1. Но как было выяснено выше, для любых магнитных полей, встречающихся в природе, X 2 всегда много меньше Х1. Поэтому между коэффициентами в (69), (70) всегда существует следующее соотношение

гх,у << Ях,у •

Гг =Л/ X

д/х 2(?) + у 2(?) = Я± = —- = сопбі, (75)

Х^>

Я (?) =

С г Л2 Яг +Яг

г - ^2 х'х 1 у у

V Я- )

Я

8Іп((Хі —X 2)?) +

Яугх — Яхгу + 2 у х ^ х у соз((Х! —X2)?).

Я

-

В качестве примера рассмотрим случай, когда Ях = Яу и гх = Гу. Тогда из (76) и (77)

найдем

= ур2Яг

Ґ - У

1 +

V Ях )

+ 8Іп(Х,?),

Я 1

2г

X

Я„

<< 1. (78)

Формулы (76)-(78) показывают, что радиус ларморовской орбиты, так же как и поперечная составляющая скорости электрона, совершает периодические дрожательные движения с очень высокой частотой около определенного среднего значения. Его можно определить, представив (78) в виде ряда по малому параметру и усреднив получившееся выражение по периоду высокочастотных колебаний, что в итоге дает следующий результат

^я,

1+

2\

V ЯХ )

(72)

В сверхсильных магнитных полях, когда ух,у ~ Ух,у (0), вклад слагаемых, связанных с

эффектом дрожаний, будет определяться отношением X2 / Хх, которое много меньше единицы. Это говорит о том, что в нулевом приближении в формулах (69), (70) достаточно ограничиться следующими слагаемыми

х(0 = Ях Я1П(Х20 - Яу сОЭ(Х20, (73)

у(0 = Ях сОЯ(Х20 + Яу Я1П(Х2О. (74)

Подставляя (73), (74) в (53), легко показать, что радиус ларморовской орбиты остается постоянным во времени, т.е.

Таким образом, учет эффекта осцилляций Шредингера в задаче о движении электрона Дирака в магнитном поле приводит к увеличению радиуса ларморовской орбиты этого электрона.

4. Решение Шредингера для свободного электрона (14), а также решение (49), (50) в случае действия на электрон внешнего магнитного поля могут быть использованы в различных задачах релятивистской квантовой механики. В частности, большой интерес представляет задача об определении конкретного вида следующего оператора

егк<г(/)-г(?1)) = егкЛг

где Ях = ^Я,2 + Яу. , а Ух определяется формулой (65).

В общем случае, с учетом эффекта дрожаний, из (69), (70) и (53) найдем

ГЬ = Яхд/Т+^О, (76)

где Ях то же самое, что и в (75), а функция g (?) имеет следующий вид

(79)

который часто встречается в задачах квантовой электродинамики в динамическом подходе [25, 26].

Ограничимся в данной работе решением этой задачи в случае слабых внешних магнитных полей. Это приближение означает, что в качестве оператора г(?) в (79) можно, с большой точностью, использовать решение Шредингера. Кроме того, будем рассматривать электрон в его собственной системе отсчета.

С учетом этих приближений выражение для оператора г(?) будет иметь следующий вид

г(?) — Г (?1) = а(?1) — бш^т) +

Х1

с

+ а(?1)-у(1 — собСцт)).

Х1

(80)

(77)

Выражение (80) можно получить непосредственно из второй формы решения уравнения (28), через предельный переход, т.е. когда В = 0 и Рх у г = 0, с начальными условиями в

момент времени ? = ?1.

Заметим, что в классической релятивистской механике в собственной системе отсчета электрона, очевидно, гх,у , г (?) = гх, у , г (?1) = 0. Поэто-

X

г

ь

х

г

ь

V

)

му выражение (79) есть обычное число, равное единице. Но в релятивистской квантовой механике даже в собственной системе отсчета электрона оператор его радиус-вектора не является постоянной, равной нулю, величиной, а представляет собой определенную периодическую функцию времени, определяемую выражением

(80). Это означает, что и выражение (79) также будет некоторой функцией времени. Поэтому наша задача будет заключаться в определении этой функциональной зависимости.

Для решения этой задачи воспользуемся одним свойством функций, зависящих от матриц Дирака.

Пусть /(х(а)) есть некоторая произвольная функция, аргумент которой зависит от матриц Дирака. Тогда имеет место следующее свойство:

/ (х(а)) = /1 х) И = у1 х2 (а), (81)

если / является четной функцией своего аргумента, и

/(х(а)) = х(а) / (х|), \х = л/ х2 (а), (82)

|х|

если / является нечетной функцией своего аргумента, причем в формулах (81), (82) |х| уже

не зависит от матриц Дирака. Соотношения

(81), (82) можно легко получить, разложив функцию / в ряд по своему аргументу, используя при этом свойства (2), (4).

Пользуясь в (79) формулой Эйлера и свойством (81), (82), найдем

ег'кДг = со$(£Лт) +1----зт(кДг), (83)

кАг

где

кАг = 7(кДг)2 . (84)

Определим теперь вид функции (84). Для этого поступим следующим образом. Вспомним, что а = о , а также что в собственной

системе отсчета электрона а = Х1Р2о. Тогда формулу (80) можно переписать в виде

Г0) - Г(?1) = (Р1 81п(х1Х)+Р2 (1 - сО5(Х1Х))). (85)

Х1

Умножая теперь (85) скалярно на вектор к и возводя в квадрат, используя при этом (2) - (4) найдем

(к • Дг)2 = х2 бш2 (Ох) , (86)

где х = кХс, Хс = Й/те - комптоновская длина волны электрона.

В итоге, из (84) и (83) найдем следующую функциональную зависимость для соотношения (79)

kAr = x| sin(Qx)|, (87)

^гкДг = cos(x| sin(Qx)|) +

/ 4sin(x| sin(Qx)) (88)

+/(k 'Ar)------------1 m M .

x| sm(£2x)|

В заключение остановимся на физическом содержании формул (84) и (87). Данные формулы можно рассматривать как квадратный корень из дисперсии приращения координаты электрона, причем, в отличие от классической релятивистской механики, эта величина является конечной периодической функцией времени. В качестве параметра времени выступает разность x= t - ti. Это говорит о том, что дисперсия приращения координаты электрона определяется не для одного фиксированного значения времени, а для разности двух времен, что свидетельствует о наличии определенной временной нелокальности в релятивистской квантовой механике даже для свободного покоящегося электрона. Как было показано выше, причина возникновения этой нелокальности непосредственно связана с наличием у электрона внутренней степени свободы, которая полностью определяется его спиновым моментом.

Список литературы

1. Schrodinger E. Non powerful motion in the rela-tivistic quantum mechanics // Sitzungsb. Preuss. Akad. Wiss. Phys.-Math. Kl. 1930. 24. P. 418-428.

2. Шредингер Э. О свободном движении в релятивистской квантовой механике. Избранные труды по квантовой механике. М.: Наука, 1976.

3. Дирак П.А.М. Принципы квантовой механики. М.: Физматгиз, 1989.

4. Weyssenhof J. On two relativistic models of Dirac’s electron // Acta. Phys. Pol. 1947. 9. P. 47-53.

5. Huang K. On the zitterbewegung of the electron // Am. J. Phys. 1949. 20. P. 479.

6. Barut O.A., Bracken A.J. Zitterbewegung and the geometry of the electron // Phys. Rev. D. 1981. 23. 10. P. 2454-2463.

7. Lock J.A. Relativistic invariance and zitterbewegung // Am. J. Phys. 1984. 52. 3.

8. Maddox J. Where zitterbewegung may lead // Nature. 1987. 325. P. 306.

9. Hestenes D. The zitterbewegung interpretation of quantum mechanics // Found. of Phys. 1990. 20. 10. P. 1213-1232.

10. Pavsic M., Recami E., Rodrigues Jr.W.A. Electron structure, zitterbewegung, and the new non-linear Dirac-like equation // Phys. Lett. B. 1993. 318. P. 481488.

11. Rodrigues Jr.W.A., Jayme V.Jr., Recami E., Sa-lesi G. About zitterbewegung and electron structure // Phys. Lett. B. 1993. 318. P. 623-628.

12. Hestenes D. Space-time physics with geometric algebra // Am. J. Phys. 2003. 71. P. 691-704.

13. Bolte J., Glaser R. Zitterbewegung and semiclas-sical observables for the Dirac equation // J. Phys. A.

2004. 37. P. 6359-6373.

14. Schliemann J., Loss D., Westervelt R.M. Zitterbewegung of electronic wave packets in III-V Zinc-Blende semiconductor quantum wells // Phys. Rev. Lett.

2005. 94. 206801.

15. Hamdan N., Altorra A., Salman H.A. Modified Dirac equation with classical zitterbewegung // Proc. Pakistan Akad. Sci. 2007. 44(4). P. 263-272.

16. Lamata L., Leon J., Schatz T., Solano E. Dirac equation and quantum relativistic effects in a single trapped ion // Phys. Rev. Lett. 2007. 98. 253005.

17. Hestenes D. Zitterbewegung in quantum mechanics - a research program. URL: http//arxiv.

org/pdf/8002.2728.

18. Vaishnav J.Y., Clark C.W. Observing zitterbewegung with ultracold atoms // Phys. Rev. Lett. 2008. 100. 153002.

19. Mandal B.P., Verma S. Dirac oscillator in an external magnetic field. URL: http//arxiv.org/

pdf/0907.4544.

20. Вонсовский С.В., Свирский М.С., Свирская Л.М. О дрожащем движении электрона в зонной теории //ТМФ. 1990. 85. 2. С. 211-221.

21. Гинзбург В.Л. Теоретическая физика и астрофизика. Дополнительные главы. М.: Наука, Физмат-лит, 1975.

22. Шапиро С., Тьюколски С. Черные дыры, белые карлики, нейтронные звезды. Физика компактных объектов. М.: Мир, 1985.

23. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика. М.: Физматлит, 2006.

24. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Физматлит, 2006.

25. Ефремов Г.Ф., Шарков В.В., Петров Д.А. Квантово-статистическая теория радиационных эффектов без расходимостей // Актуальные проблемы статистической радиофизики (Малаховский сборник). 2007. 6. С. 3-35.

26. Ефремов Г.Ф., Шарков В.В. Квантовостатистическая теория радиационного трения релятивистского электрона // ТМФ. 2009. 158. 3. С. 478-496.

ON THE MOTION OF A DIRAC ELECTRON IN A CONSTANT MAGNETIC FIELD

G.F. Efremov, D.A. Petrov

The motion of a Dirac electron in an external constant magnetic field has been studied taking into account the Zitterbewegung phenomenon. An equation has been derived describing the time evolution of the electron velocity operator. Time dependences of electron coordinate and velocity operators have been determined. The quantum nonlocality in the Dirac theory due to the Zitterbewegung phenomenon has been considered.

Keywords: the Dirac electron, Zitterbewegung phenomenon, quantum nonlocality.