Восемьдесят лет парадоксу Клейна

Андреев Анатолий Васильевич

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

ВОСЕМЬДЕСЯТ ЛЕТ ПАРАДОКСУ КЛЕЙНА

Андреев А. В.

Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова, физический факультет, 119991 Москва

Поступила в редакцию 20.05.2010 * 1 2 3 4 5 6

Парадокс Клейна интерпретируется в рамках теорий, основанных на использовании релятивистских волновых уравнений материального поля, включающих вторую производную по времени. Определены условия необходимые для экспериментального наблюдения указанного явления.

Ключевые слова: уравнение Клейна-Гордона-Фока, квартионное уравнение, отрицательная вероятность, зеркальные частицы, темная материя, скалярные и спинорные поля, квартионы

PACS: 03.65.-w____________________________

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение (3).

2. Парадоксы Клейна(3).

3. Волновые уравнения квантовой механики со второй производной по времени (7).

3.1. Лагранжев формализм. 3.2. Волновая функция уравнения КГФ и ее свойства.

3.3. Условие ортогональности собственных функций. 3.4. Отрицательная вероятность. 3.5. Спинорные поля. 3.6. Квантовомеханические средние операторов.

4. Парадокс Клейна и скалярные зеркальные частицы (17).

4.1. Отражение от потенциальной ступеньки. 4.2. Волновые пакеты. 4.3. Зеркальные частицы. 4.4. Условие возникновения зеркальных частиц. 4.5. Законы сохранения заряда и энергии.

5. Спинорные зеркальные частицы (28).

5.1. Отражение от потенциальной ступеньки.

5.2. Зеркальные частицы. 5.3. Вектора электрической и магнитной поляризации. 5.4. Заряд, магнитный и электрический моменты частиц.

5.4.1. Сохранение заряда. 5.4.2. Норма волновой функции. 5.4.3. Электрический и магнитный моменты.

5.5. Выводы.

6. Заключение (38).

Литература (39).

1. ВВЕДЕНИЕ

Десять лет назад была опубликована статья [1] с названием «Семьдесят лет парадоксу Клейна». Поскольку интерес к изучению указанного парадокса за прошедшие десять лет не только не угас, а, наоборот, возрос, то, по-видимому, есть все основания вновь обратиться к истории этого вопроса. История развития исследований по интерпретации указанного явления показывает, что парадокс Клейна является общефизическим явлением и не связан только с изначально рассмотренной Клейном задачей об отражении релятивистского электрона от прямоугольного потенциального барьера [2]. Это явление присуще не только уравнению Дирака [3], но и ряду других уравнений и играет существенную роль в развитии моделей ядерной физики [4-8], описании движения атомов и ионов в ловушках [9-11], а также в развитии космологических моделей [12-13]. Наиболее интенсивные исследования парадокса Клейна связаны в последнее время с изучением движения носителей заряда в графене [14-56], поскольку электронно-дырочные возбуждения в графене описываются уравнением Дирака для безмассовых частиц [57-58].

2. ПАРАДОКСЫ КЛЕЙНА

Обратимся к формулировке парадокса Клейна. В 1928 году, вскоре после публикации Дирака [3], заложившей основы релятивистской квантовой механики, Клейн рассмотрел задачу об отражении электрона от потенциальной ступеньки

U

0 ’

0,

z > 0, z < 0,

U ( z ) = eq( z ) =

(2.1)

решение которой было опубликовано в работе [2]. Полученное решение выглядело весьма необычно: при высоте потенциальной ступеньки, превышающей критическую величину U0 > 2m £, энергетический коэффициент прохождения принимал отрицательные значения, а коэффициент отражения становился больше единицы.

4

АНДРЕЕВ А.В.

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

Это необычное поведение действительно выглядит парадоксальным, поскольку одним из основных стимулов в развитии теории Дирака послужила вероятностная интерпретация смысла волновой функции, согласно которой норма волновой функции должна быть заведомо положительно определенной величиной. Следует отметить, однако, что энергетический коэффициент прохождения определяется как отношение потока прошедших к потоку падающих частиц, что оставляет некую свободу в интерпретации явления, связанную с направлением движения частицы в областях z > 0 и z < 0. Вместе с тем, выбор направления движения частицы в указанных областях не может быть произвольным и поэтому такого рода интерпретация требует последовательного обоснования.

Обратимся к уравнению Дирака для электрона, движущегося в стационарном пространственно неоднородном внешнем поле U(z) = ep(z)

(Е - U(z))w(z) = (cazpz + рт0с2)у(z),

R =

Л V 1 -ц

1+п

T =

(1 + п)

2

где

п =

к =

k

E + m0 c

к E + m0 c - U0

2 4

m0 c

he

k =

V(E - Uо )2 -

24

0 ) m0 c

hc

Несложно видеть, что, с одной стороны,

R + T = 1. (2.5)

Однако, с другой стороны, при Ug > 2mgy2 коэффициент прохождения T становится отрицательным. Графически зависимость коэффициентов отражения и прохождения для случая Ug = 4m(f2 представлена на рис. 1.

Как видно, в области 0 < E — m C < Ugg — 2mgf коэффициент отражения больше единицы, а коэффициент прохождения принимает отрицательные значения.

Первая попытка объяснения указанного поведения коэффициентов (2.3) была приведена в статье Клейна. В статье [2] он отметил, что Паули обратил его внимание на тот факт, что групповая скорость частицы в области z > 0 становится отрицательной. Действительно, в области z > 0 соотношение между импульсом частицы p = hk и энергией имеет вид (Е - U0)2 = р1с1 + тф4, следовательно, групповая скорость

=

dE pc

(2.2)

dp E - U0

где а и в — матрицы Дирака. В (2.2) мы учли, что поперечные компоненты оператора импульса р± = (рх, ру,0) коммутируют с гамильтонианом уравнения Дирака, поэтому волновую функцию можно искать в виде р(г, t) = р( z ) exp [г (р± г - Et)j h] . 4-вектор плотности тока уравнения Дирака имеет вид

Л = ionjT = (су+ау, icy+y),

где W+ — эрмитово сопряженная волновая функция, р = w+Y — дираковски сопряженная волновая функция, а = iy4y и у4 = в — матрицы Дирака, которые выражаются через произвольные 4*4 матрицы у.

Энергетические коэффициенты отражения (R) и прохождения (T) для частицы, налетающей на потенциальную ступеньку (2.1) из области z = — ю, имеют вид [2]:

4п

при E < U становится отрицательной. Поэтому, если волновой пакет в области z > 0 движется слева направо, то для разрешения парадокса нужно положить, что импульс частицы в области z > 0 определяется не выражением (2.4), а следующим выражением

(«)

(2.3)

(2.4)

Рис. 1. Энергетические зависимости коэффициентов отражения R (a) и прохождения T (b) от потенциальной ступеньки (1), следующие из решения уравнения (2.2), где AE = E — mgc2.

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

ВОСЕМЬДЕСЯТ ЛЕТ ПАРАДОКСУ КЛЕЙНА

p = - Ч(U0 - Е)2 - <с4.

С (2.6) В этом случае коэффициенты R и T становятся положительными и, по-прежнему, удовлетворяют соотношению (2.5). При подстановке (2.6) в выражения (2.3) энергетические спектры коэффициентов отражения и прохождения принимают вид, показанный на рис. 2. Казалось бы, соотношение (2.6) разрешает проблему отрицательных значений коэффициента прохождения в области энергий налетающей частицы 0 < E — m C < Ug — 2тФ. Однако при этом коэффициент прохождения начинает принимать отрицательные значения в области E > Ug + mQ(?, а коэффициент отражения в указанной области неограниченно возрастает.

В процессе анализа парадокса Клейна была отмечена еще одна особенность формул (2.3), состоящая в том, что при Ug ^ да, т.е. при бесконечно высокой ступеньке, и конечном значении энергии E коэффициент прохождения стремится к конечному ненулевому пределу

Т (Е )|

Uо ——да

4 yj( Е + m0 c2 (4 Е + m(l c +

)( E - mo C )

4e - m0 c2)

Рис. 2. Энергетические зависимости коэффициентов отражения R и прохождения T от потенциальной ступеньки (2.1), следующие из решения уравнения (2.2) в случае, когда в области у > 0 импульс частицы определяется выражением (2.6).

Таким образом, возникает второй парадокс — парадокс туннелирования Клейна, состоящий в том, что, согласно уравнению Дирака, электрон может туннелировать в область бесконечно высокого отталкивающего потенциала, не испытывая при этом экспоненциального затухания, характерного для процессов туннелирования. Эта особенность формул (2.3) обсуждается подробно в работе [1], а также в более ранней статье тех же авторов [59].

После публикации Клейна [2] был предпринят ряд попыток альтернативного объяснения парадокса. В работах [60, 61] были рассмотрены более реалистичные профили потенциальной ступеньки, которые приводят к ряду количественных отличий. Такие исследования проводятся и в настоящее время, см. например [62], где результаты работ [60-61] обобщены на случай трапецеидальной ступеньки. Однако наиболее распространенной интерпретацией исходного парадокса Клейна [2] является интерпретация, предложенная Никишовым [63-65] и основанная на эффекте рождения электронно-позитронных пар в постоянном электрическом поле высокой напряженности, предсказанном Швингером [66]. Эта интерпретация нашла отражение в монографиях [67, 68], а в последнее получила дальнейшее развитие в работах [69-82]. Согласно этой интерпретации, наблюдатель не может отделить процессы рассеяния падающей частицы на потенциальной ступеньке от процессов рождения электронно-позитронных пар, поэтому коэффициент прохождения T определяет количество позитронов, рожденных потенциальной ступенькой, а величина коэффициента отражения R определяется интерференционной функцией, являющейся суперпозицией волновых функций рожденных и отраженных ступенькой электронов. При субкритической высоте потенциальной ступеньки Ug < 2mg(2 коэффициент отражения естественно становится равен единице, а коэффициент прохождения равен нулю.

Как известно, парадокс Клейна является лишь одним из парадоксов, следующих из решения уравнения Дирака. Еще одним из парадоксов является парадокс скорости, состоящий в том, что, согласно этому уравнению, скорость движения частицы равна скорости света (см. например обзор [83]). Одна из интерпретаций этого парадокса состоит во введении понятия «дрожащего» движения электрона, т.е. модели, в рамках которой волновая функция частицы всегда является суперпозицией

АНДРЕЕВ А.В.

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

двух собственных волновых функций оператора скорости, отвечающих собственным значениям +с и —с. Авторы статьи [83] применяют эту модель как для объяснения парадокса скорости, так и для объяснения парадокса Клейна.

В настоящей статье предлагается альтернативная интерпретация парадоксов Клейна, базирующаяся на использовании волновых уравнений, включающих вторую производную по времени. В основу теории положены два уравнения указанного типа. В случае скалярных материальных полей это уравнение Клейна-Гордона-Фока (КГФ) [84-86], а в случае спинорных полей квартионное уравнение, предложенное нами в работах [87-88]. Название квартионное уравнение обусловлено тем, что, как показано в [89], общее решение указанного уравнения выражается через четыре ортогональных биспинора (квартиона). Выбор указанных уравнений обусловлен следующими причинами. Как известно, уравнение Дирака было получено в результате факторизации оператора уравнения КГФ. С другой стороны, как было показано в наших работах, в случае, когда величина магнетона частицы совпадает с магнетоном Бора, оператор квартионного уравнения факторизуется. В результате и уравнение Дирака и квадрированное уравнение Дирака являются частными случаями квартионного уравнения.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Появление новых состояний материального поля в рамках теорий, основанных на волновых уравнениях, включающих вторую производную по времени, вполне предсказуемы, поскольку размерность релятивистского пространства состояний таких уравнений вдвое шире, чем размерность пространства состояний материального поля, описываемого уравнениями с первой производной по времени. Пространство состояний свободной скалярной частицы можно представить в виде двух гиперплоскостей трехмерной размерности в четырехмерном пространстве, отделенных друг от друга запрещенной зоной с энергетической шириной AE = 2mQC2. Одна из гиперплоскостей отвечает положительно частотным решениям, а вторая отрицательно частотным. Первая связывается с состояниями материального поля в виде «частицы», а вторая с состояниями «зеркальной частицы». Анализ задач рассеяния частицы потенциальной ступенькой дает наглядную интерпретацию парадокса Клейна и

объясняет физический смысл термина «зеркальная частица».

В случае спинорных полей удваивается число не только трансляционных, но и внутренних степеней свободы, что приводит к удвоению операций преобразования симметрии. В результате в теории появляется СРТ инвариантный механизм образования электрического момента частиц, что дает интерпретацию целого ряда явлений, традиционно связываемых с эффектами нарушения четности. Именно исследование эффектов несохранения четности привело исторически к предположению о существовании зеркальных частиц как возможных составляющих «темной» материи [90]. В настоящей работе мы покажем, как эта проблема решается в рамках теории волновых уравнений со второй производной по времени.

Переход от волновых уравнений первого порядка по временной производной к волновым уравнениям, включающим вторую временную производную, приводит к необходимости коренной перестройки основополагающих принципов волновой теории материальных полей. Это касается как понятийного аппарата теории — вероятностной интерпретации волновой функции, так и математического аппарата теории — условия полноты и ортогональности собственных функций, квантово-механические средние операторов и т.д. Вместе с тем, именно такая перестройка теории позволяет выйти за рамки традиционных представлений и придает ей эвристический характер, позволяя не только объяснять существующие парадоксы, но и предсказывать новые явления. Поэтому раздел 3 статьи посвящен краткому обсуждению специфики математического аппарата волновых уравнений со второй производной по времени. Мы коснемся только тех особенностей, которые нам потребуются для изложения, полное обсуждение можно найти в книге [89].

В разделе 4 мы обсудим задачу об отражении скалярной частицы электрическим полем сверхкритической напряженности и покажем, что энергетические зависимости коэффициентов отражения и прохождения дают наглядную интерпретацию того, что состояния с отрицательной вероятностью отвечают состояниям зеркальных частиц. Раздел 5 посвящен теории спинорных зеркальных частиц.

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

ВОСЕМЬДЕСЯТ ЛЕТ ПАРАДОКСУ КЛЕЙНА

3. ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ СО ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ПО ВРЕМЕНИ

В рамках традиционных подходов полагается, что отрицательно частотные решения волновых уравнений квантовой механики отвечают состояниям античастиц, т.е. частиц, имеющих туже самую массу, но противоположный заряд. Однако это предположение находится в противоречии с экспериментально наблюдаемыми явлениями. Если позитрон является антиэлектроном, т.е. его волновая функция является отрицательно частотным решением волнового уравнения для электрона, то встает вопрос — как образуется атомоподобная структура материального поля в виде атома позитрония. Действительно, два линейно независимых решения линейного однородного волнового уравнения не могут образовывать связанного состояния. Это было бы возможно, если бы линейное волновое уравнение являлось неоднородным, т.е. содержало правую часть, не зависящую от волновой функции частиц, либо в случае, когда волновое уравнение является нелинейным. Исчерпаны ли все возможности описания материального поля на основе линейных волновых уравнений?

Ответ на поставленный вопрос мы уже привели выше. Действительно, переход к волновым уравнениям материального поля, включающим вторую производную по времени, позволяет существенно расширить пространство состояний материального поля и, тем самым, расширить возможности описания явлений, проистекающих в окружающем нас мире.

которые с применением канонических процедур позволяют получать волновые уравнения. Ясно, что выражения для действия, также как и вид волновых уравнений, в конечном счете, постулируются, а не выводятся. Тем не менее, несмотря на указанную схожесть, существуют и значительные отличия между двумя указанными подходами. Действительно, вид функции Лагранжа свободного материального поля в значительной степени детерминируется необходимостью соответствия основным пространственно-временным симметриям. В случае линейных волновых уравнений это требование оставляет практически лишь свободу в выборе постоянных коэффициентов, входящих в выражение для функции Лагранжа свободной частицы. Поэтому анализ функции Лагранжа, отвечающий тем или иным волновым уравнениям, позволяет в значительной степени предсказать общие свойства решений различных волновых уравнений. Наряду с волновыми уравнениями важную роль играют динамические инварианты, т.е. комбинации волновых функций и их производных, не изменяющиеся во времени. Лагранжев формализм дает последовательную процедуру получения динамических инвариантов.

Релятивистки инвариантная функция Лагранжа должна быть квадратичной формой оператора 4— импульса. В случае скалярных полей релятивист-ки инвариантное выражение для действия частицы, взаимодействующей с электромагнитным полем имеет вид

' 1 дА v c dt

у

+ Vp

)

(rotA)

dVdt

3.1. Лагранжев формализм. Наиболее последовательную форму волновая теория материального поля принимает в рамках лагранжева формализма. Действительно, лагранжев формализм, являясь концентрированным обобщением математического аппарата, применяемого для описания классических явлений, доказал свою эффективность в теории электромагнитного поля и лежит в основе теории вторично-квантованных полей. Здесь, однако, мы не будем прибегать к процедуре вторичного квантования, а будем обсуждать аппарат теории материальных полей, основанной на волновых уравнениях со второй производной по времени.

В рамках лагранжева подхода за основу берутся не сами волновые материальные уравнения, а выражения для действия или функции Лагранжа,

2m,

Ш ^-«• А у'

v К c

AУ-*А у

д„ c

+ m0 c у у

dVdt,

(3.1)

где =( R, ict) — 4-вектор координат, а

Лц =( A, ip) — 4-потенциал электромагнитно-

го поля. Действие (3.1) имеет релятивистки инвариантный вид, поскольку является квадратичной формой оператора обобщенного 4-импульса = p — qA/c. Вариация действия по волновой функции приводит к уравнению КГФ 1

2тп

fp - S° a Y p - ^ A ^ c Л c J

2 2 + mnc

у (x) = 0.

Варьируя действие (3.1) по A получаем

52 A..

д

дх

дА_

V \dxvj

4п

;(°)

J V 5

(3.2)

(3.3)

c

АНДРЕЕВ А.В.

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

где компоненты 4-вектора плотности тока .(о) (~(0) ■ (0)\

jy = (у ,icp ') имеют вид

j *"'( х )=q

/'(x ) = -л-

тп

■у(vf)- — f* Af

7 \ ' c

m0 c

ih

Yc

Sy* * dy

w-w -L-

dt dt

q *

-— y yy

c

(3.4)

(3.5)

4-вектор плотности тока удовлетворяет уравнению непрерывности

С _ dp(0)

дл„

dt

+ div j(0) = 0.

В случае спинорных полей выражение для действия, являющегося квадратичной формой оператора 4-импульса, было предложено в [88, 89] и имеет вид

S",!) = U'F^dv, (3.6)

где S(0)(F) означает, что в выражении (3.1) производит-

ся замена

у ^ Ф, у* ^ Ф,

(3.7)

т.е. скалярная волновая функция Ф в выражении (3.1) заменяется на биспинорную волновую функцию Ф, а комплексно сопряженная волновая функция W* на дираковски сопряженную волновую функцию Ф = Ф+у4, где Ф + — эрмитово сопряженная волновая функция, у одна из четырехрядных матриц у . Биспинорная волновая функция

( Wu ^

ф _

l W J

отличается от произвольной четырехрядной функции тем, что правила преобразования нижнего спинора wd относительно преобразований Лоренца совпадают с правилами преобразования комплексно сопряженного верхнего спинора w.

Как видно, действие (3.6) отличается от действия (3.1) наличием слагаемого, являющегося произведением двух антисимметричных тензоров: тензора электромагнитного поля F = дА /дх —

L L pV V р

дА /дх^ и тензора

=-у(yyyv -YvYp),

являющегося генератором преобразования формы биспинорной волновой функции Ф при преобразованиях Лоренца. Однако наиболее принципиальное отличие действий (3.6) и (3.1) состоит в том, что действие (3.6) позволяет ввести три

независимые константы, характеризующие свойства материального поля, в качестве которых выступают: заряд q масса т0 и величина магнитного момента р0 частицы, воспринимаемой как элементарное возбуждение материального поля. Например, в [87, 88] было показано, что введение магнетона р0, как независимой материальной константы, величина которой определяется из экспериментов по движению электрона в магнитном поле, позволяет рассчитать сверхтонкое расщепление произвольных состояний водородоподобного атома, обладающих одинаковыми значениями главного квантового числа n и полного углового момента j (лэмбовский сдвиг). Совпадение экспериментальных и расчетных данных достигается для произвольных значений параметра Za, где Z — заряд водородоподобного иона, а a — постоянная тонкой структуры, следовательно, параметр Za перестает быть малым параметром теории, как это полагается в расчетах, основанных на использовании теории возмущений.

Действие (3.6) приводит к следующему волновому уравнению

1

2шп

Р, -q A, || Р,- — A | + c

С

2 2

р | ■ * '“О*

n x)=

= ¥.7,7, ДЛ( x). (3.8)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Уравнения для 4-потенциалов электромагнитного поля снова имеют вид (3.3), однако, компоненты 4-вектора плотности тока спинорного поля имеют вид

J (1/2)( г, t ) = ^

то

у (V ФФ-Ф-V ф)

- фаф

+

С

rs

+cu0 rot(ФЁф) - iju0 —(ФаФ),

Чо

, t) =

+гф0У(ФоФ).

ih

2c

dt

г дФ - дФЛ

^ ф_ф^

(3.9)

dt

_ ффф

c

(3.10)

Как видно, первые слагаемые в (3.9) и (3.10), имеющие вид j *0) (Ф) и р(0) ( ф ), связаны с трансляционным движением спинорной частицы как целого, а оставшиеся слагаемые обусловлены движением спинорной частицы по внутренним степеням свободы. Операторы Е и а в стандартном представлении матриц у имеют вид

+

m0 c

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

ВОСЕМЬДЕСЯТ ЛЕТ ПАРАДОКСУ КЛЕЙНА

(а 0 ) (0 а)

V 0 , а = iy4y =

0 j

где О — двухрядные матрицы Паули.

(3.11)

3.2. Волновая функция уравнения КГФ и ее свойства. Поскольку уравнение КГФ является уравнением второго порядка по временной производной, то общее решение содержит два линейно независимых временных решения. Это означает, что задания пространственных квантовых чисел не достаточно для определения состояния материального поля. Например, задание трех проекций импульса свободной частицы р не определяет однозначно ее состояние, поскольку каждому р отвечает два собственных значения энергии

= W)

Ip2 c2 + m0 c4.

(3.12)

Такое же соотношение между энергией и импульсом возникает и в классической релятивистской механике. Однако в классической механике физически реализуемым состояниям частицы отвечает лишь знак плюс, поскольку при знаке минус энергия частицы неограниченно убывает с ростом величины ее импульса. Это обстоятельство, наряду с проблемой отрицательной вероятности, также послужило одной из мотиваций отказа от волновых уравнений материального поля со второй производной по времени.

Проиллюстрируем сказанное на примере задачи о свободном движении частицы. Рассмотрим одномерное движение свободной частицы. Уравнение (3.2) принимает в этом случае вид

1

2ш„

V П12

с dt

dz 2

у (z, t) = 0.

(3.13)

Поскольку уравнение (3.13) является уравнением в частных производных второго порядка как по времени, так и по пространственной переменной, то при заданной величине энергии частицы E оно имеет четыре линейно независимых решения, в качестве которых можно выбрать, например, следующие

«p(-iE-E), »«м=“p(iE-E) (3.14а)

Д(-,Г)=exp4‘)(-,>)=exp(3.146)

где энергия E и величина импульсаp связаны соотношением Е = урс + т0с .

Состояния материального поля, отвечающие четырем линейно независимым решениям (3.14) волнового уравнения, представляются точками «1, 2, 3, 4» на рис. 3.

2

д

22

+ Шп,с

0

Рис. 3. Зоны положительно (верхняя кривая) и отрицательно (нижняя кривая) частотных состояний, являющиеся сечением четырехмерных гиперплоскостей состояний в случае одномерного движения частицы.

Точка «1» на рис. 3 соответствует состоянию частицы, описываемому волновой функцией иЕ , как видно, частица в этом состоянии имеет положительную энергию и распространяется в положительном направлении оси %. Выделяя энергию покоя частицы, получаем

А),

u'E (z, t) = exp

( 2 Л

mnc

-i —— t

V

h

exp

(E - m0c2) t - pz -i---------------

h

Д1)

т.е. решение иЕ соответствует плоской волне, движущейся в положительном направлении оси z с фазовой скоростью 2 '

E - m0 c

v = -Г"=3

fE - m0 c E + m0 c2

(3.15)

Состояние частицы, изображаемой точкой «2» на этом рисунке, соответствует состоянию, описываемому волновой функцией иЕ, т.е. имеет ту же по величине, но отрицательную энергию и распространяется в том же направлении, что и первая. При операции пространственной инверсии частица переходит из состояний, задаваемых точками «1» и «2», в состояния, задаваемые точками «3» и «4» с волновыми функциями иЕ и иЕ, соответственно, для которых р3 = — р1 и р4 = — р2.

Итак, состояние свободного скалярного материального поля характеризуется четырехмерным квантовым числом р = (р, Ер'*), а пространство

АНДРЕЕВ А.В.

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

состояний представляет собой две гиперплоскости трехмерной размерности в четырехмерном пространстве, задаваемые выражением

= ±#77^7.

Сечение этих двух гиперплоскостей (или зон состояний) в случае одномерного движения частицы показано на рис. 3. Одна из зон отвечает положительно частотным решениям, а вторая — отрицательно частотным. Принципиальным для дальнейшего изложения является тот факт, что эти две зоны состояний отделены друг от друга запрещенной зоной с энергетической шириной ЛЕ = 2m£.

Следует отметить, что решениям, отвечающим положительно и отрицательно частотным зонам состояний, отвечает противоположный знак временной компоненты 4-вектора плотности потока. Действительно, из (3.5) получаем

р(0) (г,t) = ±

yj p2 с2 + ml с4

V*p (At)Vp (At),

т.е. отрицательным собственным значениям (3.12) отвечает отрицательная вероятность. Из (3.4) следует, что J(2) = —J(1) (при том же знаке константы q0!), т.е. решениям, отвечающим одинаковому направлению фазовой скорости, соответствует противоположное направление электрического тока.

l

т0 с

3.3. Условие ортогональности собственных функций. Важную роль в квантовой механике играют стационарные краевые задачи. Решения этих задач позволяют определять энергетический спектр связанных состояний частицы во внешнем поле, рассчитывать сечения рассеяния свободных частиц и т.д. Собственные волновые функции краевых задач составляют базис для поиска решений нестационарных задач. Весьма эффективным и широко распространенным приемом решения нестационарных волновых уравнений является метод, основанный на разложении волновой функции нестационарного уравнения в ряд по собственным функциям стационарных краевых задач. Краеугольным камнем такого подхода является свойство ортогональности собственных функций стационарной краевой задачи.

Рассмотрим стационарную краевую задачу уравнения КГФ, т.е. положим, что 4-потенциал электромагнитного поля в уравнении (3.2) имеет вид А^ (X) = А^0 (г ) . Собственные волновые функции ип (Г) указанной краевой задачи,

отвечающие собственным значениям Е , являют-

ся решениями уравнения

7 \2

2m„

Р-—А (r)| - т (En - Uo (r ))2+ mA

Un ( r ) = 0

(3.16)

с заданными граничными условиями. Для одномерных краевых задач граничные условия сводятся к заданию асимптотической формы решений при Z ^ ±ю, а для трехмерных задач в задании асимптотической формы при r ^ 0 и r ^ <х>. Детальный вид граничных условий мы обсудим позже, когда перейдем к анализу соответствующих задач.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Уравнение комплексно сопряженное уравнению (3.16) имеет вид

Р + — A (r)] -"Г(Em -U0 (r))2+ Aс2 ) = 0

\ с ) с

(3.17)

Умножая уравнение (3.16) на ы*т, а уравнение (3.17) на u и вычитая затем получившиеся соотношения, получаем E - E_

2m0 c

h

2 m \ n

2 f

(En + Em - 2U) Un =

2m

u* -Vu — Vu* • u — i

mn

Mo

V

hc

u* Au„

(3.18)

Интегрируя (3.18) по бесконечному объему, приходим к следующему соотношению

Еп Ет\um{r){Еп^-Ет-U(F)j„B(r)d¥ = 0.

2

(3.19)

Отметим, что в (3.16)-(3.19) мы ввели четырехмерный индекс п = (П, Я).

Несложно видеть, что выражение (3.19) приводит нас к следующему условию ортонормируемости собственных волновых функций

( EA + E(x'0 ^

" --U(?)АА(Аt)dV =

77 R>( г, t)

2

= +5Л.5--,

ЛЛ nm ’

где

¥

7 (A t ) = иА( г)

)ехр

—W А

+i-^~ t

h

(3.20)

(3.21)

Определив спектр собственных значений и собственных функций краевой задачи (3.16), мы можем разложить волновую функцию нестационарного уравнения (3.2) в ряд по полученным собственным функциям

w( A t ) = Z anun (?) exP

г

\

-e,

h

v

j

(3.22)

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

ВОСЕМЬДЕСЯТ ЛЕТ ПАРАДОКСУ КЛЕЙНА

Поскольку уравнение (3.2) является дифференциальным уравнением второго порядка по времени, то его общее решение зависит не только от значения волновой функции в начальный момент времени, но и от значения ее производной. Поэтому для однозначного определения коэффициентов разложения (3.22) мы должны воспользоваться также и разложением производной волновой функции

ih

r, t)

dt

= Х E„a,u. (r) exp

-i^t

h

(3.23)

Умножая уравнение (3.23) на волновую функцию (3.21), а уравнение (3.22) на производную от этой функции, после несложных преобразований получаем

( *ду ду‘ Л

an (t) =

<• in

J 2

W ~дГ

dt

w

-W„UoW

dV.

(3.24)

2

m0 c

Полученное соотношение позволяет нам определить начальные значения коэффициентов a. Несложно видеть, что значения а (О) зависят как от начального значения волновой функции у/(г,0), так и ее производной г,0)/dt.

3.4. Отрицательная вероятность. Уравнение (3.2) для зарядово сопряженной частицы (q ^ -q) имеет вид

1

2т,,

{р + q0A(г,*)j -

- С~ (т д+Чо9( ^*)) +

, 2 2 +т(ле

¥с (У *) = О-

L J (3.25)

Как следует из (3.25), под зарядово сопряженной частицей мы понимаем материальный объект, который обладает теми же инерционными свойствами, что и частица (т.е. обладает той же массой m), но имеет противоположный заряд —qQ. Существование таких дуальных объектов предсказывается симметриями, присущими полной группе преобразований Лоренца.

Несложно видеть, что уравнение (3.25) совпадает с уравнением для комплексно сопряженной волновой функции уравнения (3.2). Следовательно, между решениями уравнения (3.2) и решениями уравнения (3.25) существует взаимно однозначная связь, определяемая соотношением

¥с (r,*)=¥*(r,*)•

(3.26)

Краевая задача (3.16) для зарядово сопряженной частицы принимает вид

1 (ЕСп + U (г ))2

. 2 2 + m0 c

Vn ( Г) = 0

(3.27)

т.е. мы полагаем, что зарядово сопряженная частицы взаимодействует с тем же самым стационарным электромагнитным полем Л^(х) = А0'1 (г) . Естественно, что решения краевой задачи (3.27) отличаются от решений краевой задачи (3.16), поскольку, например, если потенциал ф0 (г) является притягивающим для частицы, то он является отталкивающим для зарядово сопряженной частицы. Рассчитав спектр собственных состояний краевой задачи (3.27), мы можем представить волновую функцию уравнения (3.25) в виде разложения

¥с (И t ) = Х

n

4+) 4+) (-) exp

+a

П) vn) (r)

nn

f —(+) ^

-iECL t V h J

f —(-) ^

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

exp

i—-1

V

h

J

+

С другой стороны, используя (3.26), из (3.22) получаем

( E(-) ^

( r) exp

¥a (t ) = X

+4+)*4+)* (r) exp

-i^—t V h J

( fM ^ i —n— t

V h J

+

Учитывая, что два слагаемых в последнем выражении являются двумя линейно независимыми решениями уравнения (3.25) с ЛДх) = Л00Г), несложно видеть, что отрицательно частотные решения краевой задачи (3.16) однозначно связаны с положительно частотными решениями краевой задачи (3.27)

(+) (-)*

Гея = ¥У ,

где

Va! ( Иt ) = 4+) ( r)

exp

у0)( r, t ) = u0)( r ) exp

f —(+) ^

-it

V П J

f -A ^

t

V й J

Следовательно, отрицательно частотный спектр собственных значений En - краевой задачи (3.16) совпадает с положительно частотным спектром собственных значений Е0) краевой

АНДРЕЕВ А.В.

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

задачи (3.27), а собственные волновые функции указанных двух краевых задач связаны соотношением и\] = vN> .

Временная компонента 4-вектора плотности потока в случае частицы, подчиняющейся уравнению (3.2), определяется выражением (3.5). Для зарядово сопряженной частицы, подчиняющейся уравнению (3.25), эта компонента имеет вид

г, * ) = '

1 ih f дугс , дус л

2 mQc - Т { д* ¥с ~Гс д* J + qvcWc

Подставляя сюда (3.26), получаем

Р(с0)( г, t ) = -Р(0)( г t )•

Полученное соотношение закладывает основы интерпретации свойств волновой функции уравнений со второй производной по времени и служит определением отрицательной вероятности.

Как следует из формулы (3.12), в случае свободной частицы положительно частотные собственные значения являются положительными числами, а отрицательно частотные — отрицательными числами. Однако положительно частотные собственные значения общей краевой задачи (3.16) о движении частицы в произвольных стационарных внешних полях не обязательно являются положительными числами, а отрицательно частотные eN ) отрицательными числами. Это можно продемонстрировать уже на примере свободной частицы. Действительно, согласно принципу градиентной инвариантности изменение потенциалов поля на постоянную величину не приводит к изменению значений наблюдаемых величин, поэтому частица, движущаяся в области пространства р( г ) = р0 = const, ведет себя как свободная. Однако ее собственные значения определяются теперь выражением Ер'1 = q0p0 ±<Jр2c2 + m2c4 . Как видно, при отрицательной величине Ug = qgfg положительно частотные собственные значения могут быть отрицательными числами.

Использование понятия отрицательной вероятности приводит к принципиально важным закономерностям, определяющим связь начального и конечного состояний частиц материального поля в процессах их взаимодействия с внешними полями. Пусть частица, находящаяся в начальный момент времени в одном из собственных состояний, определяемых решением стационарной краевой задачи (3.16), взаимодействует с импульсным внешним полем АГ,t), т.е. таким, что

А^(г, t2 )=А^( г, tj ) = о, где моменты времени t1 и t определяют начало и конец импульса электромагнитного поля, соответственно. Проинтегрируем уравнение непрерывности по четырехмерному объему Q = Vc(t2 -11)

h

Jp(Г,t2)dV -Jp(r,tj)dV = -J(J (r,t)dS,

V V tj S

где S - поверхность, ограничивающая объем трехмерного пространства. Если мы устремим —— да и положим, что по окончании взаимодействия частица по-прежнему находится в суперпозиции связанных состояний краевой задачи (3.16), то поверхностный интеграл в правой части последнего выражения обратится в ноль. Откуда следует закон сохранения заряда

Jp(г,t2)dV = Jp(г,t)dV,

V V

где

^p( r, t) dV = ^ | dd (t)| —JuH ( Ed- q0^) ud dV -

(t)| ——2 fU )* (E) + q0v))dv

I mc J \ /

0

Учитывая условие нормировки волновых функций, получаем

Е( № (t2 )

а

(-)

z(iа+)( ь)

n '

а

(2 ^) = -)(', )|2 )

(3.28)

2

Как и в нерелятивистской квантовой механике, величина |aN °(t)2 имеет смысл вероятности заселения уровня, поэтому мы можем ввести число частиц, находящихся в положительно частотных состояниях

n(+)( 1 ) = Z\an){t)|»

n

и число частиц в отрицательно частотных состояниях

I 2

n(-)<<) = Z|d(<) .

n

Как следует из (3.28), сохраняющейся величиной является не сумма числа частиц в положительно и отрицательно частотных состояниях, а их разность, которая и обеспечивает сохранение суммарного заряда системы. Действительно, полагая, что в начальный момент времени частица

У У

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

ВОСЕМЬДЕСЯТ ЛЕТ ПАРАДОКСУ КЛЕЙНА

находится в положительно частотном состоянии и умножая обе стороны равенства (3.28) на единичный заряд q получаем qfJM(+(t2) — qffN(-(t2) = %• Итак, использование понятия отрицательной вероятности дает наглядную физическую интерпретацию положительно и отрицательно частотным решениям уравнения (3.2). Эти два линейно независимых решения отвечают состояниям материального поля, характеризующимся одинаковой массой, но противоположным зарядом. Очевидно, что эти два состояния материального поля обладают различными физическими свойствами. Принципиально важным является тот факт, что общее решение уравнения (3.2) является суперпозицией указанных двух решений. Следовательно, уже в рамках уравнения (3.2) заложена возможность описания процессов с изменением числа частиц, несмотря на то, что волновая функция, являющаяся решением этого уравнения, зависит лишь от одной пространственной координаты г , т.е. уравнение, казалось бы, является одночастичным по своей природе.

3.5. Спинорные поля. Сравнивая выражения для компонент 4-вектора плотности тока скалярного (3.4)-(3.5) и спинорного (3.9)-(3.10) полей, несложно видеть, что 4-вектор плотности тока спинорного поля можно представить в виде

](1/2)(г,t) = j (г,t) + crotM + ^,

dP

dt

p(1/2)(r, t) = Pt (F, it)- divP,

(3.29)

где jt и pt определяют трансляционную часть 4-вектора плотности тока, которая при использовании подстановки (3.7) совпадает по виду с (3.4) и (3.5) для скалярной частицы, а вектора М и Р имеют вид

M ( г, t ) = Ио F, t )ЁУ( г, t),

P(г,t) = -i^0¥(г,t)а W(r,t).

(3.30)

В работах [88-90] было показано, что вектора (3.30) имеют смысл векторов магнитной (М) и электрической ( Р ) поляризации спинорного материального поля.

Поскольку интеграл J divPdV, взятый по бесконечному трехмерному объему, равен нулю, то, по аналогии с выкладками раздела 3.3, несложно показать, что условие ортогональности собственных волновых функций стационарной краевой задачи для уравнения (3.8)

Т й (F, t ) = Т й (F) exp

(

E.

л

-i—t

V Й j

принимает следующий вид

-^-2 R (F)f- и(r)V (F)dV = ±5„m. mc y 2 F (3.31)

Несмотря на внешнее сходство выражений (3.20) и (3.31), между ними имеются существенные различия. Состояние скалярной частицы с заданной величиной энергии определяется четырьмя квантовыми числами: тремя проекциями векторного квантового числа п и бинарным квантовым числом X = ±, определяющим частотность решения. Однако указанные четыре квантовых числа не определяют 4-вектора плотности тока (3.29). Действительно, норма биспинорной волновой функции N = в стандартном представлении матриц у имеет вид N = w+wu -w+wd . Следовательно, если в случае скалярных полей знак в правой части выражения (3.20) определяется лишь частотностью решения, то знак в правой части выражения (3.31) зависит также и от состояния частицы по внутренним степеням свободы, поскольку N>0 при wU+wu > w+wd и N< 0 в обратном случае. Отметим, что норма волновой функции является функцией координат и времени N = N ( г, t), следовательно, ее знак может быть различным в различных пространственных областях и в различные моменты времени. Задание состояния частицы по трансляционным степеням свободы не определяет также и величины векторов М и Р, определяемых равенствами (3.30).

Таким образом, для однозначного задания состояния спинорной частицы мы должны ввести дополнительные квантовые числа, определяющие ее состояние по внутренним степеням свободы. Это можно сделать следующим образом. Запишем правую часть уравнения (3.8) в следующем виде

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

iPoYYх) = Ac (ZB (х)- idЁ(х))^(х),

где вид матриц £ и а в стандартном представлении матриц у был приведен выше (см. (3.11)). Определим собственные функции /п (X) задачи на собственные значения следующего матричного уравнения

(ЁВ - id E W = Хш .

n n n (3.32)

Как видно, собственные значения X являются в общем случае комплексными, поскольку уравнение для сопряженного биспинора /т имеет вид

АНДРЕЕВ А.В.

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

w (%Б - iaE) = X*w .

г т \ J т I т

Умножая уравнение (3.32) слева на /т, а последнее уравнение справа на / и вычитая их, получаем

(Х* -X \w w = 0.

\ (3.33)

Таким образом, собственные решения, отвечающие собственным значениям X ^ X , являются ортогональными.

Введем следующие обозначения

\ Bz - iEz

cos©(х) = z г—-,

\ Вх - iEx

cos Ф( хф

Вх - iEx )2 +(Bv - iEr)

тогда собственные волновые функции уравнения (3.32), отвечающие собственным значениям

\2 = ±l( B - ш)2 = ±Г, ^ = ±^(B+Ш)2 =±г*

(3.34)

имеют вид

¥i =

¥з =

1

V2

S

V wiУ

w,

V W у

¥ 2 =

V2

V w2 у

¥4 =

V2

w„

V -W4 У

(3.35)

где спиноры w определяются выражениями

Л...л .•л/Д.-слМ еХрф2)sin0/2^

exp (-г ф2) cos 0/2 exp (г ф2) sin 0/2

exp (-г Ф72) cos 0*/2

exp (г Ф72) sin 072

exp (г ф2) cos 0/2 -exp (-г Ф7 2) sin 07 2 exp (г Ф72) cos 0г/2

Биспиноры /п удовлетворяют следующим правилам ортогональности ¥п¥п = °> ¥х¥г = 0, ^¥3 = 1 ¥х¥а = 0,

¥2¥ з = 0 ¥2¥ 4 =1 ¥з¥а = 0 (3.36)

Эти правила ортогональности можно получить непосредственно из (3.35), вместе с тем, они следуют и из общей формулы (3.33).

Таким образом, общее решение уравнения (3.8) может быть представлено в виде разложения по четырем ортогональным биспинорам (3.35), являющимся собственными решениями спиновой части этого уравнения

*) = Е Cn¥n (*) gn (*)>

n=1

(3.37)

где — константы, /п (х) — ортогональные биспиноры, определяющиеся выражениями (3.35),

1

w

4

а уравнения для скалярных волновых функций g(x) получаются подстановкой (3.37) в (3.8). Уравнения для скалярных функций g(x) являются уравнениями второго порядка по временной производной, поэтому решение (3.37) содержит как положительно, так и отрицательно частотные решения. Отрицательно частотные решения, исходя из аналогии со случаем скалярной частицы, можно связать с зеркальными частицами, и далее мы покажем, что эта аналогия обусловлена общностью математической базы. Следовательно, состояния, отвечающие четырем положительно частотным решениям (3.37), выступают в качестве четырех элементарных возбуждений спинорного материального поля. Естественным поэтому выглядит желание идентифицировать эти состояния специальным термином. В качестве такого термина можно выбрать термин квартионы, поскольку как положительно частотные, так и отрицательно частотные решения (3.37) содержат квартет таких состояний .

Общее решение уравнения (3.8) в виде (3.37) наглядно демонстрирует отличия состояний скалярных и спинорных полей. Волновая функция скалярной частицы, находящейся в состоянии с заданными значениями квантовых чисел, определяющих ее трансляционное движение (т.е. при задании трех пространственных квантовых чисел п и частотности ХБ = ±1) зависит лишь от одной константы, которая определяется из условия нормировки волновых функций. В свою очередь спинорная частица при заданных значениях трансляционных квантовых чисел может находиться в четырех различных состояниях, определяющихся биспинорами (3.35) или их суперпозицией. Для однозначного определения четырех комплексных коэффициентов C в (3.37) необходимо задать восемь действительных билинейных комбинаций волновых функций. Выберем в качестве таких билинейных комбинаций следующие: скаляр N, три компоненты вектора Р , три компоненты псевдовектора М и псевдоскаляр Г, определяемые следующими выражениями

N = ТТ=Т+у4Т, Р = -iTaT = T+fT,

M = ТЁТ = iTy5yТ, Г = -%Т = 1Ту5у4Т.

1 Поскольку термин квартион созвучен уже известному термину кватернион, то сразу отметим, что эти два термина относятся к различным математическим множествам, алгебра которых существенно отличается. Например, представлением алгебры кватернионов являются операторы группы SU(2) симметрии, т.е. спиновые матрицы Паули.

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

ВОСЕМЬДЕСЯТ ЛЕТ ПАРАДОКСУ КЛЕЙНА

Несложно видеть, что билинейные комбинации (3.38) образуют два 4-вектора: p = (Р, n) и м = (М, г).

Учитывая первое из соотношений (3.36), несложно видеть, что ортогональные биспиноры (3.35) описывают состояния безмассовых возбуждений материального поля, т.е. отвечают безмассовым квартионам. Из (3.36) также следует, что ненулевой величине нормы волновой функции отвечают состояния, являющиеся суперпозицией биспиноров (3.35) с нечетными или четными номерами. Например, норма волновой функции ^i3 = C1^1g1 + C3^3g3 определяется выражением

^13 = CC g[ + c;c g

Это свидетельствует о том, что вместо четырех собственных значений (3.34), определяющих состояние частицы по внутренним степеням свободы, удобно ввести два бинарных квантовых числа. Например, в качестве таких квантовых чисел можно выбрать собственные значения операторов (ebs) и (еЕа), где единичные вектора еВЕ определяют направление векторов магнитного и электрического полей в данной точке пространства-времени, соответственно. Действительно, в случае, когда спинорная частица взаимодействует только с магнитным или только с электрическим полем, биспиноры (3.35) принимают вид

¥i =

¥з =

1

42

1

42

( (+)Л

w

(+)

¥ 2 =

w

У

(+) ^

1

42

( (30

wk ’

w

(-)

-w

(+)

¥4 =

1

42

w

J

(-)

-w

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(-)

w = 2L

m 42

C

( (+)З >/+)

Vw

+ C

( (+) З ,/+)

V-W J

g +

+

42

C

(w(-)3

V W~)J

+C

( w(-) З v-w(-)j

g 2>

(3.40)

а в случае электрического поля

W =

+

42

с,

с

( (+)3 ,(+)

w

+ с

( (-) 3 (-)

( (-)3

w

(-)

+ с3

-w

gi +

( (+) 3

-w

(+)

gi-

(3.41)

Отметим следующие свойства ортогональных биспиноров

£

а

( (+)Л

v w(+\y

, £ w ;

v w{+]j ^ Z v W(+) j v W(+) j

_- , £ _- wy J

1 w(-)j 1 w(-)j ’ z l-w(-)j l-w(-)j

(3.42)

( W(+)3 v w(+)j

( w(+)^ , а ( w(+) 3 ( (+) 3 W !

v wi+)J ’ z v-Wi+)J ~W\

(W 3 (W 3 , а ( W 3

v W)J v W)J ’ z v-w(-)j

( (-) 3 W ’

v-wi)j

(3.39)

где спиноры W0 являются собственными функциями следующего матричного уравнения

о W±^ = ±W±),

z

а ось z совпадает с направлением магнитного или электрического поля в данной точке пространства.

Учитывая симметрийные свойства собственных значений Яп, определяемых формулами (3.34), в случае магнитного поля получаем

(3.43)

Отличие в виде пространственных волновых функций gjx) означает отличие в дисперсионных свойствах распространения частиц. Как следует из формул (3.40)-(3.43), при распространении частицы в области ненулевого магнитного поля различными дисперсионными свойствами обладают состояния, отвечающие различным значениям проекции спина на направление магнитного поля, и дисперсионные свойства не зависят от собственных значений оператора а. В свою очередь при движении частицы в области ненулевого электрического поля различными дисперсионными свойствами обладают состояния, отвечающие различным собственным значениям оператора а, и эти свойства не зависят от значения проекции спина на направление электрического поля. Указанные свойства дают физическую интерпретацию и математические основания введения определений векторов электрической и магнитной поляризации (3.30).

Из формулы (3.40) наглядно видно, что в случае, когда частица взаимодействует только с магнитным полем, возникают естественные суперпозиции ортогональных биспиноров (3.39), отвечающих конечной норме волновой функции

1 ( (+)3 w{ ’ ( (+) я w{ ’ ( w(+)^

— v w(+\9 + y-wi+)J =

2 v 0 ,

1 ( (+)3 w{ ’ ( (+) 3 w{ ’ ( 0 3

2 v w(+)^ v-w(+>y v w(+)y

1

+

АНДРЕЕВ А.В.

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

Действительно, вводя в общем решении (3.37) новые константы, определяемые соотношениями

Cl = 72(A + B, Cz = 72 (A + B),

1

C3 =~J2 (A - B), C =-j= (A - S2),

из (3.40) получаем

^ и (r ) = A

f 0 ^

( (+)\ w ’

V 0 7

( (-Л w ’

gl ( r ) + A2 n g 2 ( r )

V 0 7

+B,

( n 7

Vw 7

gl ( Г ) + B2 (-) g2 ( Г ) .

Vw 7

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(3.44)

Как видно, анализ задач о движении частицы в магнитном поле можно проводить, используя в качестве базиса разложения четыре новых квартиона

А =

( СТ) Л

иЛ 7

w

v 0 7

¥а] =

( 0 ^

(ст)

v w 7

(3.45)

В то время как квартионы /п в формуле (3.39) являются собственными функциями операторов (ПвЁ) и у5, положительные и отрицательные квартионы (3.45) являются собственными функциями операторов (ПвЁ) и у4. Действительно,

+

(+) (+) (-) (-)

YWe =¥е , У4¥1,=-¥У.

Естественно поэтому, что свойства ортогональности квартионов (3.45) отличаются от свойств ортогональности нейтральных квартио-нов и имеют вид

Положительные квартионы /+) имеют положительную норму ¥^¥^= 1,

а норма отрицательных квартионов отрицательна = -1-

Поэтому, если состояния с положительной нормой связать с состояниями частицы, а состояния с отрицательной нормой с состояниями античастицы, то волновая функция (3.44) отвечает состоянию частицы в том случае, когда \A1 \2 + \A2 \2 > \B1\2 + \B2\2. Оператор у5 переводит положительные квартионные состояния в отрицательные, не меняя значения квантового числа а, и вместе с тем коммутирует с оператором уравнения (3.8),

поэтому при анализе задач взаимодействия спинорного материального поля с магнитным полем, как следует из (3.44), мы можем ограничиться рассмотрением лишь положительных квартионных состояний

Т m ( Г )

/WwA,g, (Г) + №(-)A2g, (Г)'

V

0

7

Как видно, изменение состояния частицы по отношению к величине вектора магнитной поляризации связано с различием дисперсионных свойств квартионов, отвечающих двум разным собственным состояниям оператора Z.

При использовании приведенного выше преобразования коэффициентов C волновая функция (3.41), описывающая взаимодействие частицы с однородным электрическим полем, принимает вид 7J+)/'„ (г). „ (гА J+T

*.(гУ

+А 2

A

2

W '(gl (r ) + g2 (r )) ,(+)(gl (r )- g2 (r )) W '(gl (Г) + g2 (Г))

’(-)(gl (Г)- g2 (Г ))

B

+ -

2

w-)/

2

W '(gl (r )- g2 (r )) ,(+)(gl (Г) + g2 (Г))

В

w'

-w(-)(gl (r)- g2 (r)) w(-)(gl (r) + g2 (Г))

(3.46)

Как видно, биспиноры при коэффициентах B получаются действием оператором —у5 на биспиноры при коэффициентах A . Следовательно, при анализе задач о движении частиц в электрическом поле мы можем также ограничиться лишь рассмотрением решений, отвечающих положительной норме волновых функций. Норма волновых функций при коэффициентах A равна

NA (Г) = 1 (gl (Г) g2 (Г) + gl (r ) g2 (Г)) >

а норма волновых функций при коэффициентах B в каждой точке пространства имеет противоположное значение NB (г ) = -NA (г ) .

Вместе с тем, как следует из (3.46), если начальное состояние частицы представляло собой волновой пакет, составленный из положительных квартионов, то по мере его распространения в пространственно неоднородном электрическом поле состояние частицы становится суперпозицией положительных и отрицательных квартио-нов. Например, в случае, когда U(%)\ -аэ = 0 про-

странственные волновые функции падающей частицы имеют вид g12(z)\ -(Х) = exp(ikz) и биспино-

ры при коэффициентах А,2 принимают вид положительных квартионов. Однако ввиду отличия дисперсионных свойств состояний, отвечающих

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

ВОСЕМЬДЕСЯТ ЛЕТ ПАРАДОКСУ КЛЕЙНА

двум различным собственным значениям оператора а, амплитуда отрицательных квартионных состояний волновых функций при коэффициентах A становится отличной от нуля.

Таким образом, мы видим, что если состояние скалярной частицы определяется четырьмя квантовыми числами п = (п, Л) — тремя компонентами пространственного квантового числа п и бинарным квантовым числом ХБ = ±1, определяющим принадлежность к положительно или отрицательно частотной зоне состояний, то состояние спинорной частицы определяется шестью квантовыми числами п = (п,Я), где в дополнение к бинарному квантовому числу ХБ появляются два новых бинарных квантовых числа, определяющих значение проекции операторов Z и а на направление магнитного и электрического полей, соответственно.

3.6. Квантово-механические средние операторов. В рамках теорий, основанных на волновых уравнениях со второй производной по времени, выражение для квантово-механического среднего оператора энергии отличается от аналогичного выражения теорий линейных по оператору временной производной. Это является следствием изменения общего определения квантовомеханического среднего произвольного оператора L Введем следующее обозначение для оператора уравнения (3.8)

2т„

А.-у Р,-Q Л| + тУ

'’МоУиУуКи

В случае, когда оператор L коммутирует с оператором Z, сохраняющейся является следующая величина

1

4m0c

-JQ¥0+ ■ LT + T-dLT + ТЕв+ -T + TL-&¥)dV =

- const,

d

где 0 = ih— q0f и мы использовали обозначение,

dt

согласно которому оператор действует лишь на волновую функцию, находящуюся по одну сторону с ним от точки. В частном случае, когда оператор L является тождественным оператором L = qj, сохраняющейся величиной является электрический заряд. При L = Е = ibd/dt последнее выражение определяет квантово-механическое среднее оператора энергии частицы 1

У = 1 f ” 2тг2!

ih 1ят - _ „ ят

---1---ЕУ-У-Е I-qo0¥-ЕУ

2 { dt dt 1

+ 1 [

2 т Г •*

_И Е + ™.У-Е+т.дУ

2 1 dt dt

-q0q>E+ У-У

dv+

dV.

(3.47)

Для частицы, находящейся в состоянии с волновой функцией

Y( И * ) = Z an Y n ( F ) eXP

n

%

указанная сохраняющаяся величина принимает значение

—f (TB • LT + T- 9LT + TU B -T + TU -9T)dV = 4m0c j

=z 4

(3.48)

где / — собственное значение оператора L в состоянии, описываемом волновой функцией ^п (R ) , т.е. ITn(f) = lnТn(R), Сопряженный оператор Е^, входящий в (3.48), определяется согласно правилу

Е = уУ^Ге

где Е+ — эрмитово сопряженный оператор.

В стационарном случае выражение для энергии спинорной частицы имеет вид

E =■

п (г )(Пюп - U(г ))^п (г )dV.

(3.49)

2

m0 c

Учитывая (3.31), несложно видеть, что знак энергии частицы Бп в состоянии п = (п, X) может не совпадать со знаком собственных значений Ьы. Таким образом, если в рамках теорий, линейных по временной производной, энергия частицы в состоянии с волновой функцией ¥n (Г ) отождествляется с собственными значениями краевых задач, то в рамках теорий, квадратичных по оператору временной производной, энергия частицы в указанных состояниях может отличаться по знаку от собственных значений.

4. ПАРАДОКС КЛЕЙНА И СКАЛЯРНЫЕ ЗЕРКАЛЬНЫЕ ЧАСТИЦЫ

Итак, проведенный выше анализ показал, что переход от волновых уравнений линейных по временной производной к волновым уравнениям материального поля, включающим вторую производную по времени, приводит к изменению как математического, так и понятийного аппарата теории. С математической точки зрения, возникающие отличия состоят в изменении условий ортогональности волновых функций, в определении квантово-механических средних операторов и т.д. С точки зрения основополагающих понятий волновой теории материального поля возникает необходимость введения понятия отрицательной вероятности, меняются соотношения между собственными значениями оператора энергии и энергией

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

АНДРЕЕВ А.В.

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

частицы в стационарном состоянии, изменяются представления об определении состояния частицы, как элементарного возбуждения материального поля. Пространство состояний свободной релятивистской частицы принимает вид двух гиперплоскостей в четырехмерном пространстве, отделенных друг от друга запрещенной зоной с шириной AE = 2mff.

При движении частицы в стационарном внешнем поле пространственный профиль запрещенной зоны определяется профилем потенциальной энергии U (r ) = q0p( r), а ширина запрещенной зоны по-прежнему определяется удвоенной массой покоя частицы (см. рис. 4). В нерелятивистском случае, когда величина скачка потенциальной энергии много меньше массы покоя частицы Ug « my?, наличие второй зоны состояний не проявляется, поскольку собственные значения E(p), отвечающие гиперплоскости состояний Г(+) на рис. 4, не могут быть равны собственным значениям E(p'), отвечающим гиперплоскости

. Таким образом, в нерелятивистском случае состояние частицы не может быть суперпозицией состояний, отвечающих гиперплоскостям Г(+) и г2-).

В релятивистском случае, когда величина скачка потенциальной энергии частицы превышает удвоенную массу покоя (Ug > 2mc22), равенство E(+) (p) = E(p') заведомо выполняется при энергии налетающей частицы, лежащей в диапазоне 0 < Б(+> (р) - т0c2 < U0 - 2m0c2 . Таким образом, топология пространства состояний релятивистской частицы приводит к тому, что при определенных условиях волновая функция частицы может стать суперпозицией волновых функций, относящихся к различным зонам состояний. Уже анализ одномерных задач рассеяния показывает, что пространственно временная динамика распространения частиц в этом случае качественно отличается от традиционных представлений и приводит к появлению нового состояния материальных полей — состояниям зеркальных частиц. Несложно видеть, что учет лишь положительно частотной зоны состояний и неучет отрицательно частотной зоны состояний не приводит к появлению зеркальных частиц даже в рамках релятивистских теорий.

В настоящем разделе мы определим условия, необходимые для возникновения зеркальных частиц, и обсудим специфику процессов, проистекающих с их участием.

(«О

Рис. 3. Зоны положительно (верхняя кривая) и отрицательно (нижняя кривая) частотных состояний, являющиеся сечением четырехмерных гиперплоскостей состояний в случае одномерного движения частицы.

4.1. Отражение от потенциальной ступеньки. Обратимся вновь к задаче об отражении частицы от потенциальной ступеньки (2.1). Сравним решения указанной задачи для нерелятивистского уравнения Шредингера и уравнения КГФ. Пространственные части волновых функций уравнения Шредингера у S ( z, t) = u ( z ) exp (-iEt/ % )

и уравнения КГФ Wkgf ( z, t) = u2 ( z ) exp (-iEt/% )

определяются решениями сходных краевых задач

2mo чч ( \ n

ux (z) = 0,

(4.1)

2 4

Д + (E - U (z))

A +

(E - U (z)) - c4

22

% c

u,

( z ) = 0

(4.2)

Граничные условия для краевых задач (4.1) и (4.2) состоят в задании асимптотического вида решений при z —— и имеют вид

[exp (iKiz) + ri exp(-iKiz), z ^ -x>,

{ ti exp (ikiz), z (43)

ui (z) = ■

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

ВОСЕМЬДЕСЯТ ЛЕТ ПАРАДОКСУ КЛЕЙНА

где коэффициенты r и t имеют смысл амплитудных коэффициентов отражения и прохождения, а волновые вектора к и k , согласно (4.1)-(4.2), имеют вид

<j2m0 (E - U0)

к

(E ) =

h

к, (E) =

h

.( E ) =

№

24

hc

k2 ( E ) =

hc

(4.4)

(4.5)

Отметим очевидное обстоятельство, что в нерелятивистском пределе (E — mfjk « mfjk и Ug « m()k) формулы (4.5) преобразуются в (4.4), поскольку в этом случае E2 - т0 c4 ~ 2m0 c2 (E - т0е2).

Амплитудные коэффициента: отражения r и прохождения t определяются из условия непрерывности волновой функции и ее производной в точке z = 0. Используя эти условия, получаем к - к 2к.

r = ■

К + к

ti =-

к + к

(4.6)

Закон сохранения заряда требует обращения в ноль суммарного потока через бесконечно удаленную поверхность. Это условие позволяет отнор-мировать поток отраженных и прошедших частиц на единичный поток падающих частиц. В результате для энергетических коэффициентов отражения R и прохождения T получаем

R = \r. I2.

T = Re (k ) , ,2

К (4.7)

Анализ формул (4.7) показывает, что в случае, когда высота потенциальной ступеньки много меньше массы покоя частицы Ug « mk, коэффициенты отражения R12 и прохождения Т1 практически полностью совпадают в широкой области энергий налетающей частицы. При высоте потенциальной ступеньки, лежащей в пределах myk к Ug к 2mgt2, также наблюдается достаточно хорошее количественное совпадение. Однако, когда высота потенциальной ступеньки превышает удвоенную массу покоя частицы, Ug > 2mgc2, возникают качественные отличия в энергетических спектрах отражения, определяемых решением уравнения Шредингера (4.1) и КГФ (4.2).

В качестве иллюстрации на рис. 5 показаны энергетические коэффициенты отражения и прохождения для двух значений величины потенциальной ступеньки: Ug = mfjk (кривые a, b), Ug = 3mk (кривые с, d), где сплошной линией показаны

к

Рис. 3. Зоны положительно (верхняя кривая) и отрицательно (нижняя кривая) частотных состояний, являющиеся сечением четырехмерных гиперплоскостей состояний в случае одномерного движения частицы.

коэффициенты отражения и прохождения для уравнения КГФ, а пунктирной линией — для нерелятивистского уравнения Шредингера. При высоте потенциального барьера равной массе покоя частицы Ug = m k (рис. 5 a, b) границы областей полного отражения кривых R(AE) и R2(AE) полностью совпадают, а небольшие количественные отличия в области энергий налетающей частицы mgk k AE к 2m k обусловлены тем, что в релятивистской области энергий дисперсионные зависимости (4.5) являются более точными, чем зависимости (4.4). С целью унификации графиков энергия как релятивистской, так и нерелятивистской частиц отсчитываются от массы покоя частицы AE = E — mgk.

При высоте потенциального барьера Ug = 3mgk (рис. 5 c, d) возникают качественные отличия. Действительно, коэффициент отражения R задачи (4.1) равен единице, а коэффициент прохождения T1 равен нулю во всей области энергий налетающей частицы меньшей высоты потенциальной ступеньки AE = E — m k к U . Напротив, коэффициент отражения R2 задачи (4.2) равен единице лишь в области Ug — mgk к E к и + mgjk, где коэффициент прохождения Т2 равен нулю. В областях mgjk < E < U — mgjk и E > U + mgjk коэффициент отражения в этом случае меньше единицы, а коэффициент прохождения больше нуля.

4.2. Волновые пакеты. При анализе задач рассеяния, т.е. задач о движении частицы с энергией, принадлежащей сплошному спектру состояний,

АНДРЕЕВ А.В.

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

состояние падающей частицы задается, как правило, в виде плоской волны. Однако состояния частиц в виде плоских волн в значительной мере являются математической идеализацией. Разложение волновой функции по плоским волнам приводит к необходимости интегрирования по бесконечному пространственному объему, что неизбежно связано с появлением расходящихся интегралов, например, дельта-функции. Более удобными являются состояния, задаваемые в виде пространственно ограниченных волновых пакетов, поскольку в этом случае расходящихся интегралов не возникает, и, как результат, получаются строгие количественные соотношения между параметрами падающей и рассеянных частиц. Однако преимущества использования волновых пакетов не ограничиваются лишь соображениями удобства. Задание состояния частицы в виде волнового пакета приводит к появлению новой характеристики материального поля — групповой скорости. Как мы покажем, использование понятия групповой скорости позволяет дать наглядную физическую интерпретацию как парадоксу Клейна, так и состояниям материального поля в виде зеркальных частиц, которые лежат в основе предлагаемой нами интерпретации указанного парадокса.

Пусть нам известны собственные решения одномерной краевой задачи (4.2) с Лм (г, t ) = Л (z). Поскольку уравнение (4.2) является уравнением второго порядка по пространственной производной, то каждому значению E отвечает два линейно независимых решения, например, мБ(%) и vE(z). Одно из них соответствует случаю, когда падающая частица распространяется слева направо, а второе — в противоположном направлении. Поскольку уравнение КГФ является линейным, то любая суперпозиция решений uE(z) с произвольными коэффициентами а(Б) также является решением указанной задачи. Следовательно, волновая функция щ( z, t )= I а (ю) um( z ) exp (-imt) dm

является решением нестационарной краевой задачи с тем же самым потенциалом поля A (%), где ш = Б/h. Пусть нам известен временной профиль падающего волнового пакета в какой-либо точке Z0

w( zo> t ) = A (t) exP (-41)» (4.8)

тогда

a (w)

2пиш (z0)

IA (t) exp [/ (m-m0) t ] dt.

1

Как правило, потенциальная энергия при Z ^ ± от обращается в ноль или выходит на постоянное значение, поэтому удобно полагать, что точка Z0 находится в области пространства, где потенциальная энергия почти постоянна. При анализе одномерных задач рассеяния мы будем полагать, что U(z ^ — от) = 0, поэтому в качестве точки Z0 можно выбрать произвольную точку, лежащую в области U(z) ~ 0.

Временной профиль импульса во всех точках Z > Z0 определяется выражением

/ \ I Г / \ и ю (z) , ч

z, t) = I а (ю)—-E4- exp (-imt) dm,

z>zo иш ( z0)

(4.9)

где

a (m) =

(m) = — jV0 (z0, t) exp (imt) dt In 3

П IA (t) exp [i (m-m0) t ] dt.

Например, в случае свободной частицы получаем

y( z, t )| ^ = J A (m) exp [ix(m)( z - z0)-imt] dm,

где

:(®) =

4Erz

2 ml c4 1

=-V «2 - k2c

hc c V h c

здесь XC = 2л/ kc — комптоновская длина волны, и kc = mc/ h.

Наиболее реалистичной и удобной в практических приложениях является гауссова форма падающего импульса

,, Г (t -10 )2

A (t ) = Ao exP —2~a~

2t o

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(4.10)

где т — длительность импульса. В этом случае

v( z, t ) = 4^exp (-imj )• V 2n

•J exP

2 2

(m-m) т

2

■ + г'к(й)( z - z0)- i (ffl-ffl0)(t -10)

dm.

(4.11)

Если средняя энергия падающего волнового пакета (т.е. энергия частицы в точке z = Zo) существенно превышает неопределенность, связанную с конечной длительностью импульса т, то выполняется условие

1

т0 » т-т0 « —.

2 4

mc

Т

0

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

ВОСЕМЬДЕСЯТ ЛЕТ ПАРАДОКСУ КЛЕЙНА

В этом случае, мы можем разложить зависимость к (0) вблизи точки ы = шд

к (а) = к(а0 ) + дК V ' V 0' да

(а-а0) +

+ -

1 д 2к

2 да2

(а-а0 )2 + •

(4.12)

Подставляя разложение (4.12) в (4.11), получаем

а=а

w( z, t ) =

х exp

A0 exp [iK0 (z - z0) - ia0t]

V1 - iKoV (z - zo)

(t -K0z )2

2т02 fl - iKoV (z - zo )]

где мы положили к'0 z0 —t0 = 0 и

(4.13)

дк

к

= к(ао), к0= —

да

д 2к

к0 =

да2

Несложно видеть, что решение (4.13) представляет собой волновой пакет, фазовая скорость распространения которого определяется пространственно-временной зависимостью первой экспоненты в (4.13), а групповая скорость — второй. Как видно фазовая скорость определяется выражением (3.15), а групповая скорость распространения волнового пакета определяется следующим выражением

1 _ дк л -1 _ дЕ pc

к0 дт Ю_Ю0 ) др 1 2 2 2 4 е_е0 -\JP c + m0c

(4.14)

Модуль квадрата волновой функции (4.13) имеет вид

К z> t )|2 =

:exp

у/1 + (<т02 )2(z - z0) (t -к0z )2

1 + (к0То2)(z - z0 )2

Таким образом, падающий волновой пакет расплывается по мере его распространения

Ч2

' (4.15)

Расстояние, на котором длительность волнового пакета увеличивается в V2 раз, называется дифракционной длиной и определяется выражением

(z)=тоф + (*0V f (z - zo )2 •

х

со=со

vg _

2

X

2

т

0

, =А d к"'

0 (4.16)

Поскольку, согласно (4.14), групповая скорость определяется производной дЕ/др, то мы видим, что групповые скорости частицы в состояниях, задаваемых точками «1» и «2» на рис. 3, положительны, а групповые скорости частиц в состояниях «3» и «4» отрицательны.

4.3. Зеркальные частицы. Отличия коэффициентов К(АЕ) и RgfAE) на рис. 5св области энергий налетающей частицы большей высоты потенциальной ступеньки, АЕ > Ug, вполне объяснимы и обусловлены отличием релятивистских и нерелятивистских соотношений между энергией и импульсом частицы. Более необычным выглядит их отличие в области энергий налетающей частицы, лежащей в пределах 0 < АЕ < (Ug — 2mgc2).

Интерпретация такого необычного поведения коэффициентов прохождения и отражения уравнения КГФ представлена на рис. 6.

Действительно, когда энергия падающей частицы удовлетворяет условию Е > Ug + mgc2, то частица находится выше потолка заштрихованной области, как при z < 0, так и при z > 0. Заштрихованная область соответствует запрещенной зоне состояний (т.е. энергетической щели между областью положительно и отрицательно частотных решений). Энергии, лежащие выше потолка заштрихованной области, соответствуют свободному движению частицы, поэтому как при z > 0, так и при z < 0 частица находится в состоянии «положительной» частицы. Действительно, в этом случае p(z) > 0 при любом z. Когда энергия падающей частицы находится в интервале m(f2 < Е < U0 — т0Ф, то при z < 0 частица находится в состоянии, отвечающем области

Рис. 6. Пространственный профиль запрещенной зоны состояний и вид сечения гиперплоскости состояний частицы в области до барьера z < 0 (слева) и после барьера z > 0 (справа).

АНДРЕЕВ А.В.

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

свободного движения «положительной» частицы, а при z > 0 она находится в состоянии, отвечающем области свободного движения «отрицательной» частицы. Действительно, в этом случае p(z) > 0 при z < 0, в то время как p(z) < 0 при z > 0. Таким образом, качественное отличие в поведении частиц, описываемых уравнениями Шредингера и КГФ обусловлено тем, что пространство состояний релятивистской частицы содержит две зоны состояний £(±) (р), отделенные конечным энергетическим интервалом E+ — E(-) = 2mfJc2. В то время как решение уравнения Шредингера подразумевает наличие лишь одной положительно частотной зоны состояний и поэтому даже качественно не описывает явлений, происходящих при движении частицы во внешнем электростатическом поле со скачком потенциальной энергии, превышающим удвоенную массу покоя частицы.

Приведенная выше интерпретация необычности поведения энергетических спектров отражения в релятивистской области энергий основана на решении стационарной задачи рассеяния, в которой полагается, что состояние налетающей частицы является плоской волной. Как мы отмечали выше, более реалистичным является состояние налетающей частицы в виде волнового пакета. Пусть падающая волна задана при z0 = — Е в виде волнового пакета (4.8), временной профиль которого определяется выражением (4.10). Естественно, мы полагаем, что расстояние L значительно превышает пространственный размер падающего волнового пакета l0 = ст. Тогда, в соответствии с формулой (4.9), пространственновременные профили отраженной и прошедшей частиц определяются, соответственно, выражениями

yr (z, t) = I a (m) r (m) exp [-А(ю)( z + z0) - imt ] dm,

i//t (z, t) = I a (a) t (a) exp [t (к (a) z -к(ю) z0)- tat ] da,

где, как и ранее, о = E/h. Ниже мы будем рассматривать лишь частицы, подчиняющиеся уравнению КГФ, поэтому далее

к(а) =

у]( ha)2

he

к(а) ^

■\j(ha - U0 )2 - mlc4

he

(4.17)

Пространственно-временной профиль падающего волнового пакета в области —Е < z< 0, согласно (4.11), определяется выраже-нием

2 4

mc

Wo (z,t) = -fi0exP(-«)x yjln

xf exp

(«-«0) To2 2

+ ix(a)( z + L)- i (a-a0) t

da,

где о0 = E/h. Пространственно временные профили отраженного у/г и прошедшего / волновых пакетов имеют вид

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

wr (z * ) = 4=exP (-W )• л/2п

•| r (ю) exp

•| t (ю) exp

(ю-ю) ,

+ ж(ю)(L -z)-i(ю-ю0)t

йю,

(4.19)

Wt (zt )=4=exp (-ю )•

V2n

2 2

(m-rn0) т

+ К (a) L + ik (ю) z - i (a-m„) t

da,

(4.20)

где r(m) и t(m), в соответствии с (4.6), имеют вид

г (у) = к(у)-k (у) t (у) = 2к(у)

1 } к(у) + k (у) ’ 1 } к(у) + k (у) '

Рассмотрим случай, когда длительность падающего волнового пакета удовлетворяет условию ®{)т{) >> 1, тогда , в соответствии с (4.12),

можно представить в виде

К (у) = к(у0) + — (у-У0 ) + ~^ (у-У0 )2 ,

где

Фе -»

'“о1- п

V = c------------------, Pj = -

hm2 c

En

Аналогично,

2 4 p/2

c ( E0 - mO c4 )

k(y) = k(y0 ) + — (y - y0 ) + — (y - y0 )2

2

(4.21)

где

дк л

^ду у=уо J

V( E - U0)

2 _2 4

= c

в = дк

в ду2

Eo - Uо hm0 c4

(2 \ (Eo - Uo) - mlc4)

2 \32

2 2 4

- m c

(4.22)

Вне области полного отражения частицы от потенциального барьера (т.е. при E — m(f2 < U0 или E — mj2 > U0) величины v12 определяют групповую скорость распространения волнового пакета в областях z < 0 и z > 0, соответственно.

Подставляя приведенные выше разложения в (4.19)-(4.20) и производя интегрирование, для

2

OJ=OJ

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

ВОСЕМЬДЕСЯТ ЛЕТ ПАРАДОКСУ КЛЕЙНА

отраженного и прошедшего волновых пакетов получаем

К (г, t)|2

КГ к К )Г

V1 + в (L - z)2 г

т У L - z

«положительная» частица достигнет области скачка потенциала, поскольку максимум амплитуды прошедшей волны достигается теперь в момент

х -4 времени d

о t (t) = L - *max

1 V1 V2

х exp

- t-■

V

i ) г0 + А2 (L - z )2 го-2

КГ \{ (®о )Г

W, ( Z t)| =

(4.23)

ф + (АL + в2 Z )

2 У4

о

х exp

ff _ z_ _ L V

V

V,

2

V

1 У

Т0 + (АL + в2 z ) т02

(4.24)

Таким образом, максимум амплитуды отраженного волнового пакета в точке z = —d достигается в момент времени t(r) _ d + L

поскольку согласно (4.21) v1 > 0, то величина имеет простую и наглядную интерпретацию — это есть суммарное время, необходимое для того, чтобы частица, движущаяся со скоростью v1, прошла расстояние L до области скачка потенциала и расстояние d после отражения.

Максимум амплитуды прошедшего волнового пакета в точке z = d достигается в момент времени

t(t) = ^ d.

max

V1 V

Из (4.22) следует, что v2 > 0 при Eg > U0 + md. Поэтому, если энергия налетающей частицы превышает высоту потенциального барьера ЛЕд = Eg — m C >Ug (где, как видно из рис. 5, коэффициент прохождения больше нуля), то величина t^JX также, как и в случае отражения, имеет простой и наглядный смысл — это есть суммарное время необходимое, для того чтобы частица прошла расстояние L в области U(z) = 0 и расстояние d в области U(z) = U0.

Однако при E0 < U0 — m( скорость v2 становится отрицательной

ф Е0 - Uо )2 - m02c4 v2 = -c-----------------.

2 Uo - Ео

Это означает, что «отрицательная» частица в области z > 0 появляется раньше, чем падающая

1

v

При v2 ~ — v1 движение «отрицательной» частицы совпадает с зеркально отраженным в плоскости z = 0 движением падающей частицы. Это дает основание назвать такую частицу зеркальной частицей.

Графическая демонстрация описанного выше поведения частиц в области z > 0 представлена на рис. 7, где показаны временные профили (4.23)-(4.24) для различных значений z-

Из рисунка видно, что при энергии налетающей частицы, превышающей величину потенциального скачка E0 — m0(2 > U0, частица имеет вероятность отразиться от потенциального барьера

нового пакета при энергии налетающей частицы: E = 1.9 тдс2 (кривая (а)) и E = 4.5 mgc2 (кривая (b)). Координата z меняется в пределах -3l < 3l, пространственныйразмер падающего волнового пакета l0 = 10 X с, где % с - комптоновская длина волны частицы.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

АНДРЕЕВ А.В.

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

или же перейти в область z > 0, оставаясь в состоянии частицы. При этом в области z > 0 она продолжает движение в направлении падающей частицы. Однако при энергии налетающей частицы E0 < U0 — m? характер ее взаимодействия с потенциальным барьером (2.1) кардинально меняется. Частица в области z > 0 движется навстречу падающей частице.

Дополнительная иллюстрация указанного поведения частиц в области z > 0 представлена на рис. 6. Мы видим, что асимптотическая форма решения (4.3) при z ^ ю приводит к тому, что состояние налетающей частицы, задаваемое точкой "а" в области z < 0, возбуждает состояние, определяемое точкой '7" в области z > 0, которое соответствует точке «1» на рис. 3. В то время как состояние налетающей частицы, задаваемое точкой "b", приводит к возбуждению в области z > 0 состояния, определяемого точкой "tb", которое соответствует точке «4» на рис. 3. Это состояние относится к отрицательно частотной зоне состояний, поэтому ему соответствует отрицательная величина плотности заряда. Точке «4» соответствует отрицательная величина групповой скорости волнового пакета.

Суммируя итоги обсуждения, проведенного в настоящем разделе, отметим следующее.

1. Из формулы (4.24) следует, что в момент времени t ~ 0 максимум амплитуды волнового пакета, соответствующего падающей частице, достигается в точке z0 = —L и имеет пространственную ширину lfJ = T0vf В этот же момент времени максимум пространственного профиля волнового пакета, соответствующего зеркальной частице, достигается в точке z = Lv/v и имеет пространственную ширину

l = v, hi +

А + Pi-

ll

Ki J

i

т

0

(4.25)

Следовательно, при L ^ <х> ширина пространственного профиля волнового пакета, соответствующего зеркальной частице, стремится к бесконечности. Из полученной формулы следует ряд важных следствий.

Во-первых, если пространственно локализованное состояние падающей частицы сформировано достаточно далеко от области скачка потенциала, то состояние зеркальной частицы не является пространственно локализованным.

Во-вторых, временные профили падающего волнового пакета и индуцированного им волнового пакета зеркальных частиц совпадают лишь в области скачка потенциала z = 0, где в результате их частичной аннигиляции формируется волновой пакет, соответствующий отраженной частице.

В-третьих, характерным пространственным масштабом, на котором происходит образование пространственно локализованного состояния зеркальной частицы, является длина дифракционного расплывания , которая, по аналогии с (4.16), определяется из условия равенства первого и второго слагаемых в подкоренном выражении формулы (4.25). Откуда получаем

id ]=т1,

А + А

v

2

V

Следовательно, состояние зеркальной частицы становится пространственно локализованным лишь вблизи области скачка потенциала.

2. Как мы отмечали выше, при движении частицы во внешних пространственно неоднородных полях знак энергии частицы не определяет ее принадлежности к зоне положительно или отрицательно частотных решений. Более фундаментальным фактом является наличие двух зон состояний, отделенных друг от друга энергетическим зазором AE = 2тд1. Именно наличие энергетического зазора и конечное значение его величины дает принципиальную возможность появления новых состояний материального поля. Исследование пространственно временной динамики формирования и распространения волновых пакетов, отвечающих этим новым состояниям, дает основания для введения термина «зеркальная частица», поскольку проведенное исследование наглядно демонстрирует различие физических свойств частиц, находящихся в стационарных состояниях с энергией E, в областях пространства, где Е < U (R) и Е > U (R). К этому выводу, впрочем, можно придти и из непосредственного анализа выражения для временной компоненты 4-вектора плотности потока (см. (3.4)-(3.5)). Действительно, знак плотности заряда частицы в каждой точке пространства определяется не величиной E, а разностью Е — U (R ) .

3. Отметим, что в измерениях астрофизического масштаба резкое падение коэффициента отражения при энергии налетающей частицы, лежащей в области 0 < AE < Ug — 2mQR, воспринимается как появление «черной дыры».

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

ВОСЕМЬДЕСЯТ ЛЕТ ПАРАДОКСУ КЛЕЙНА

4.4. Условие возникновения зеркальных частиц. Модель прямоугольной потенциальной ступеньки позволяет наглядно проиллюстрировать специфику движения релятивистской частицы во внешних пространственно неоднородных полях. Однако эта модель становится достаточно грубой, когда величина скачка потенциальной энергии превышает удвоенную массу покоя частицы. Обратимся к анализу более реалистичной модели потенциальной ступеньки, учитывающей конечность размеров области, где происходит изменение потенциала. В качестве такой модели можно рассмотреть следующую

U ( z ) = U0 (* +) •

2 (4.26)

Потенциальная энергия меняется от значения и—ю) = 0 до значения U(<x>) = U0, а величина l = в-1 определяет пространственный размер области, в пределах которой происходит плавное изменение потенциальной энергии.

Уравнение (4.21) принимает в этом случае вид

d2 E2 - mlc EU,

dz2 Й2с2

U

иг-(| * ^|+4iv(| *ф 1

u (z ) = 0.

(4.27)

Решение уравнения (4.27), удовлетворяющее граничным условиям (4.3), имеет вид

u (z) = t (2ch f3zy(kl+k272 eXpi-t—--

Pz lx

I k1 + k2 k1 + k2 .

xF\ —s — t---------,1 + s — t--------,1 — tk2,n l,

где

ki =

n =

4е

2 2 4

- mnc

hofi

1

k2 =

V(E - U0 )2 - m2c4

hofi

1

s = —

1 + exp (2fiz )’ 2

1 -

Hap

-1

/

(4.28)

(4.29)

(4.30)

Амплитудные коэффициента: отражения r и прохождения t определяются следующими выражениями

Г 1 + ^ - i

, k +

2

Г -s - i

, ki + к2

2

r(iki)

Г | 1 + s + i

k1 - k2

2

Г | — s + i

k1 - k2

2

r(-iki)

f

Г

k + k

\

t =

1 + 5 - i^-2- Jr^-5 - i^-2 r(-ik1 )Г(1 - ik2)

(4.31)

(4.32)

2

r =

Для энергетических коэффициентов отражения R = \r\2 и прохождения T = \t\2 Re(k2)/k1 получаем

sin2 ns + sh2 (n(k - K2 )/2) sin2 ns + sh2 (п(kx + K2 У2) ’

T = sh2 (n (k + К2)/2) - sh2 (n (к - К2)/2) sin2 ns + sh2 (n(k + K2 )/2)

где K2 = Re(k2).

Несложно видеть, что R + T = 1.

(4.33)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(4.34)

В целях компактности мы записали формулы (4.33)-(4.34) для случая, когда параметр s, определенный равенством (4.30), является действительным, т.е. Ug < heft, поскольку в общем случае они совпадают по виду с аналогичными формулами для спинорной частицы (см. (5.20)-(5.21)). Отметим, что в случае спинорных полей параметр s является заведомо комплексным.

Качественное отличие формул (4.31) и (4.32) от формул (4.6) состоит в том, что в формулах (4.31) и (4.32) появляется новый параметр

m0 c кс

~Нв~1

кс1,

(4.35)

определяющий пространственную протяженность области скачка потенциала I = р~1 в единицах комптоновской длины волны частицы Хс = 2л/ kc (точнее в единицах Xс = к~2). При бесконечно узкой ширине области скачка потенциала формулы (4.33) и (4.34) совпадают с формулами (4.7). С ростом параметра 8С энергетические зависимости коэффициентов R и T начинают отличаться от соответствующих зависимостей, показанных на рис. 5. Характер изменения зависимостей коэффициентов отражения и прохождения по мере увеличения параметра 8С показан на рис. 8.

На этом рисунке пунктирными линиями показаны зависимости для случая 8С = 0,01 и той же величине потенциального барьера, что и на рис. 5 (U = 3mQt?). Пунктирные кривые полностью совпадают с кривыми (c), (d) на рис. 5. Кривые 1, 2 и 3 на рис. 8 соответствуют значениям параметра 8С = 0,1 (кривые 1), 1 (кривые 2), 3 (кривые 3). Несложно видеть, что при kcl = 3 зеркальные частицы в области z > 0 не появляются, а падающая частица полностью отражается от потенциального барьера, если ее энергия меньше высоты потенциального барьера AE = E — m C < U0. Таким образом,

АНДРЕЕВ А.В.

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

Рис. 8. Зависимость коэффициентов отражения R и прохождения T от энергии налетающей частицы при той же величине потенциального барьера, что и нарис. 5 (U0 = 3шф), и пространственномразмере области скачка потенциала 8с = kjв = kj, равной 8с = 0,01 (пунктирные линии), 8с = 0,1 (кривые 1), 1 (кривые 2), 3 (кривые 3). Несложно видеть, что при kj = 3 зеркальных частиц в области у > 0 не появляется, а падающая частица полностью отражается от потенциального барьера, если ее энергия меньше высоты потенциального барьера AE = E—шф < U0.

отношение пространственной ширины потенциального барьера к комптоновской длине волны частицы является важнейшим параметром, определяющим возможность возбуждения состояний зеркальных частиц.

Итак, суммируя итоги рассмотрения, проведенного в настоящем разделе, отметим следующее.

1. Результаты, полученные выше, наглядно демонстрируют, что анализ задачи о движении частицы в пространственно неоднородном электростатическом поле, основанный на решении волнового уравнения со второй производной по времени, приводит к результатам, качественно отличающимся как от решений нерелятивистских уравнений, так и релятивистских уравнений с первой производной по времени. Основа возникающих отличий обусловлена тем, что учет второй производной приводит к возникновению двух зон состояний, отделенных друг от друга запрещенной

зоной. Таким образом, понятие запрещенной зоны является краеугольным элементом теории.

2. В рамках нерелятивистских теорий изменение скалярного потенциала на произвольную величину не приводит к качественным изменениям в характере движения частицы, поскольку ширина запрещенной зоны является в этом случае бесконечной.

Аналогичная ситуация возникает и в рамках релятивистских теорий, учитывающих лишь положительно частотную зону состояний, поскольку в этом случае полагается, что отрицательно частотные решения соответствуют античастице, понимаемой как зарядово сопряженная частица. Более принципиальное отличие состоит в том, что в этом случае частица и античастица описываются двумя различными уравнениями, поэтому анализ их взаимодействия может проводиться лишь в рамках двухчастичных теорий.

3. Напротив, общее решение уравнений со второй производной по времени является суперпозицией положительно и отрицательно частотных решений, поэтому процессы с изменением числа частиц описываются в рамках одночастичной теории. Такие суперпозиционные состояния возникают лишь в пространственно неоднородном внешнем поле. Как мы видели выше, это суперпозиционное состояние возникает лишь тогда, когда пространственная ширина запрещенной зоны состояний, отделяющая область положительно и отрицательно частотных состояний, порядка компто-новской длины волны частицы, а величина скачка потенциала превышает удвоенную массу покоя частицы. В противном случае (т.е. при невыполнении указанных условий) частицы, находящиеся в областях пространства U (Г ) = 0 и и (Г ) = U0, энергией не обмениваются и существуют независимо друг от друга.

4. В явлениях астрофизического масштаба наличие пространственных областей раздельного существования частиц и зеркальных частиц воспринимается как наличие «темной материи». На рис. 9 показан пространственный профиль запрещенной зоны в случае потенциала, определяемого выражением (4.26).

Для наблюдателя, проводящего измерения в полупространстве у < 0, частицы, состояния которых принадлежат области со штриховкой влево, находятся в скрытом секторе пространства и

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

ВОСЕМЬДЕСЯТ ЛЕТ ПАРАДОКСУ КЛЕЙНА

Рис. 9. Пространственной профиль запрещенной зоны состояний (область, закрашенная черным цветом) и области существования зеркальных частиц (штриховка вправо) и темной материи (штриховка влево) для наблюдателя, находящегося в полупространстве z < 0.

воспринимаются как частицы темной материи. Частицы, находящиеся в области со штриховкой вправо, воспринимаются либо как зеркальные частицы, если пространственная ширина области скачка потенциала удовлетворяет условию k(d < 3, либо как частицы темной материи — в обратном случае. Аннигиляция частицы и зеркальной частицы воспринимается наблюдателем как появление «черной дыры».

4.5. Законы сохранения заряда и энергии.

Законы сохранения заряда и энергии являются одними из наиболее строгих законов сохранения и, как показывают результаты экспериментальных исследований, заведомо выполняются в процессах взаимодействия элементарных частиц. Поэтому остановимся на их обсуждении подробнее.

Проинтегрируем уравнение непрерывности по четырехмерному объему AQ = VAt

ldXL d °=JJI

dp( r, t)

\

t V '

dt

+ div j

dVdt = 0.

J

Откуда получаем

t2

q (t2)- q (tx) = -JJ jdSdt,

где S — поверхность, ограничивающая объем V, и q (t) = J p(r,t) dV. Каждая из монохроматических компонент волнового пакета является решением стационарной задачи рассеяния, удовлетворяющей граничному условию J jmdS = О . Следовательно, s

q (h)- q (f ) =

f2

= -JJ j ( r, t) dSdt = JJ ja( r ) dSdm = 0.

tj S S

Волновая функция для произвольного временного профиля падающего волнового пакета определяется выражением (4.9), поэтому для заряда в момент времени t получаем

L

q(t) = —[ [da\da'а" (a) a (ю')х

»м п " " "

иЮ(2) ию(2) ( ha + ha'

,(2) ию( 2о Л 2

U (2 ) I exp [i (a-a' ) t ] d2.

(4.36)

В соответствии с вышеприведенными формулами максимум пространственного распределения плотности заряда падающей частицы в момент времени 11 достигается в точке z1 = v1t1 — L и имеет пространственную ширину d0 = v1t(z1), где t(z) определяется выражением (4.15). В свою очередь максимум пространственного распределения плотности заряда отраженной частицы в момент времени t2 достигается в точке z2 = L — v t и имеет пространственную ширину dr = vy—zj. Полагая например 11 = 0, а t2 = 2L/v, и выбирая расстояние L таким, что L » d, + в-1, мы можем восполь-

у 0,r I у

зоваться в (4.36) асимптотическими выражениями для волновых функций. Воспользуемся следующей формулой

|exp i(k(ю)- k(ю'));

dz =

= 2nd (k - k') =

2n

6k/ дю

д(ю-ю'),

тогда в случае Ьа0 > U получаем

q (ч ) = q |A (at da

q (t2) = q0 |^ЦA (a)|2 R (a) da + |A (a)|2 T (a) da

(4.37)

где в соответствии с условием нормировки

|2r 2 П П / \Й /л_2 2 24

П0

ior

f|A (ю)|2 da = -2n f|a(ю)|2 Jh2a2 — m(cAda J mnc J

= 1.

В случае же, когда mfj?< E < U— mrj? и U0 >2mff q (tj) = q0J| A(a)|2 da - J| A(a)|2 T(a) da ,

q (t2 ) = q0 J|A(a)|2 R (a)da (4 38)

Поскольку для каждой из спектральных компонент волнового пакета выполняется условие

R(o) + T(a>) = 1,

то, как видно, закон сохранения заряда выполняется тождественно при произвольной энергии налетающей частицы.

Таким образом, в соответствии с вероятностной интерпретацией квантовой механики, при

L

X

АНДРЕЕВ А.В.

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

Ug < 2mС частица имеет вероятность либо отразиться от скачка потенциала, либо перейти в область с большей потенциальной энергией, оставляя в обоих случаях неизменным число частиц в положительно частотной зоне состояний. С другой стороны, в случае Ugg > 2m ? частица имеет вероятность либо отразиться от скачка потенциала, не изменив при этом число частиц в положительно частотной зоне состояний, либо аннигилировать. При аннигиляции частицы в области скачка потенциала число частиц, как в положительно, так и в отрицательно частотных зонах изменяется, однако полный заряд в пространственно-временной области, включающей указанное событие, остается неизменным.

Полученные соотношения позволяют дать наглядную интерпретацию понятия отрицательной энергии. Действительно, учитывая соотношение (3.48), мы видим, что замена qg ^ Ьы приводит нас к закону сохранения энергии. В случае рождения зеркальных частиц соотношение принимает вид

Ьы — ЬыТ(ы) = ЬыЩы).

Как мы уже отмечали выше, несмотря на положительность частоты зеркальной частицы ее энергия, определяемая в общем случае соотношением (3.47), а в стационарных внешних полях соотношением (3.49), является отрицательной. Последнее равенство означает, что в случае аннигиляции частицы в стационарных внешних полях общая энергия материального поля в пространственновременной области, включающей исследуемое событие, остается неизменной.

5. СПИНОРНЫЕ ЗЕРКАЛЬНЫЕ ЧАСТИЦЫ

Специфика частиц, описываемых спинорными волновыми полями, состоит в наличии внутренних степеней свободы движения частицы. Традиционно принято считать, что наличие внутренних степеней свободы проявляется лишь в возникновении собственного углового момента движения частиц, т.е. спина. Однако, как мы видели выше, в рамках теории, основанной на уравнении (3.8), спин не определяет полностью состояния частицы по внутренним степеням свободы, а его проекции определяют лишь три из восьми билинейных комбинаций (3.38), необходимых для однозначного задания состояния спинорной частицы.

Задача о рассеянии частицы пространственно неоднородным электрическим полем дает наглядную иллюстрацию того, что задание спина недостаточно для полного определения состояния частицы по внутренним степеням свободы. Действительно, как мы покажем в настоящем разделе энергетические спектры коэффициентов отражения и прохождения одномерных задач рассеяния (в трехмерных задачах рассеяния говорят о сечении рассеяния) не зависят от спина, т.е. от магнитного момента налетающей частицы. При этом, однако, они существенно зависят от электрического момента падающей частицы.

Переход к волновому уравнению второго порядка по временной производной приводит к удвоению не только внутренних, но и трансляционных степеней свободы движения частицы. Наиболее ярким проявлением указанного расширения пространства состояний является появление в теории зеркальных частиц. В предыдущем разделе была дана теория зеркальных скалярных частиц. В настоящем разделе мы покажем, что зеркальные спинорные частицы обладают рядом специфических черт по сравнению со скалярными. Например, зеркальная спинорная частица не обязательно является частицей противоположного заряда.

Как показал анализ, проведенный в предыдущих разделах, последовательная теория зеркальных частиц и их непротиворечивая физическая интерпретация может быть основана лишь на использовании понятий запрещенной зоны состояний и связанного с ним понятия отрицательной вероятности, которые неразрывно связаны с волновыми уравнениями, включающими вторую производную по времени, и является их необходимым атрибутом.

Невозможность создания последовательной теории зеркальных частиц в рамках волновых уравнений, включающих лишь первую производную по времени, обусловлена тем, что факторизация оператора уравнения КГФ на два оператора первого порядка вдвое сужает пространство состояний частицы. Действительно, представление группы преобразований Лоренца jv = — (дС„-xv4^) = (i,ш) включает операторы, осуществляющие как пространственно—пространственные I, так и пространственно-временные вращения К . В рамках теории скалярных полей переход к волновым уравнениям первого порядка по времени приводит к тому, что

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

ВОСЕМЬДЕСЯТ ЛЕТ ПАРАДОКСУ КЛЕЙНА

оператор к, осуществляющий пространственновременные вращения становится оператором «бу-ста» (см. например [91]), т.е. вспомогательным оператором, не имеющим физического смысла.

Аналогичная ситуация имеет место и с генератором преобразования формы биспинорных волновых функций jU ответственным за внутренние степени свободы частицы. В рамках теорий линейных по оператору Е = ihdfdt пространственно-пространственные компоненты этого тензора соответствуют оператору спина или связанного с ним оператора магнитного момента т = ивЁ, отвечающих физически наблюдаемым величинам. Однако пространственно-временные компоненты этого тензора соответствуют оператору скорости df/dt = са . Поскольку собственные значения оператора а равны ±1, то это приводит к одному из парадоксов квантовой механики, состоящему в том, что собственные значения скорости спинорной частицы равны скорости света. Это заведомо противоречит экспериментально наблюдаемым данным. В процессе развития квантовой механики было предложено достаточно большое количество теорий, интерпретирующих указанный парадокс (см. например [83]). Однако мы не будем здесь останавливаться на обсуждении этих интерпретаций. Дело в том, что указанный парадокс не является единственным парадоксом релятивистской квантовой механики, основанной на использовании волновых уравнений материального поля, включающих лишь первую производную по времени. Более принципиальным является, пожалуй, парадокс Клейна.

Выше мы уже говорили, что переход от волновых уравнений с первой производной по времени к волновым уравнениям, включающим вторую производную по времени, вдвое расширяет размерность пространства как внутренних, так и трансляционных степеней свободы. Остановимся еще раз на обсуждении внутренних степеней свободы. Итак, в то время как состояние частицы, волновая функция которой подчиняется уравнению Дирака, задается одной векторной величиной М = /ивТЁТ и одной скалярной N = ТТ , то состояние частицы, волновая функция которой подчиняется уравнению (3.8) задается восемью величинами: тремя компонентами аксиального вектора М = и0 ТЁТ, тремя компонентами полярного вектора Р = и0Ту4рТ = -U0 ТаТ, одной скалярной

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

N = ТТ и одной псевдоскалярной Г = -Ту5Т. Эти различия обусловлены тем, что факторизация оператора уравнения КГФ на два оператора линейных по временной производной приводит к тому, что верхний и нижний спиноры биспинорной волновой функции перестают быть независимыми. Даже при свободном движении частицы эти два спинора связаны друг с другом, т.е. состояние частицы по внутренним степеням свободы детерминировано трансляционным движением частицы как целого. Это приводит еще к одному парадоксу, состоящему в том, что перпендикулярные направлению движения свободной частицы компоненты спина являются неопределенными, поскольку операторы Z не коммутируют с оператором аи лишь проекция спина на направление движения Zx может иметь определенное значение. Напротив, свободное движение частицы, волновая функция которой подчиняется уравнению (3.8), не зависит от состояния частицы по внутренним степеням свободы, ее состояние может определяться произвольными векторами М0 и Р0.

5.1. Отражение от потенциальной ступеньки. Рассмотрим взаимодействие электрона со статическим пространственно неоднородным электрическим полем следующего вида

E (z ) = -E0e-.

V ’ ch2 ez

Потенциальная энергия, соответствующая этому виду поля, определяется выражением

U (z) = -(1 + th pz) = U01 +th в.

P

2

(5.1)

Уравнение (3.8) принимает в этом случае вид

(E - U (Z)) - m02^ , ;2тоД)E0 az

А +

Й2 с2

+ I-

Й2 ch2£z

Т = 0.

(5.2)

Общий вид положительно частотного решения для частицы, взаимодействующей с электрическим полем, определяется выражением (3.37) и имеет вид

И *) = (z) exP

л

E

-i — t

h

exp

(ik± r),

(5.3)

где Ay — проекция волнового вектора на плоскость перпендикулярную оси у. Поскольку оператор pL коммутирует с оператором уравнения (5.2), то проекции импульса на плоскость, перпендикулярную оси у, остаются неизменными, поэтому, в целях

30

АНДРЕЕВ А.В.

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

краткости и не ограничивая общности, мы будем далее полагать Ау = 0 . Биспиноры /п , входящие в (5.3), являются собственными волновыми функциями спиновой части уравнения (5.2), т.е. собственными функциями задачи на собственные значения (3.32), и имеют вид (3.39). Как мы отмечали выше, биспиноры (3.39) отвечают безмассовым квартионам и в случае взаимодействия частицы с электрическим полем соответствуют следующим собственным значениям Л 2 М? ^3 4 ±i.

Д + к2 - EUr(1 + th fiz) + ^2° 2 (1 + th fiz)2 -h2ciy ! 4% c V !

Ul

-к

где

и Ж 1

2%c ch2 fiz

gn (z) = 0

К =

4е

2 2 4

%c

Ye =

Ap

Ab

q %

2mp c

gn (z) = ■

имеют вид

g„ (z ) = к (2ch Pz)

i(k, +k2 )/2

exp

АклД A

2

xF

где

—s — i

J

k + k2 k + k2 ^

1 + s„ — i------,1 — ik2,n

2

J

kl =

4E'

2 2 4

— m^c

%cfi

k2 =

V( E - U0 )2 -%cfi

2 2 4

5.2. Зеркальные частицы. Итак, общее положительно частотное решение имеет вид

Z) = Z Cn¥ngn (z)

”=l (5.13)

где C — постоянные коэффициенты, а g(%) определяются выражениями (5.8). Коэффициенты C определяют состояние налетающей частицы. Действительно, в соответствии с (5.8) волновая функция налетающей частицы имеет вид

4

(5.4) ^о (z)\pz<<-l = ZCn¥n exP(iklpz).

Пространственные части волновых функций gj%) являются решениями следующих уравнений

n=1

В свою очередь, волновые функции отраженной Wr и прошедшей Wt частиц имеют вид

Тг (z)\Pz<<-1 = ZCnWnrn exp(iKpz),

n=1

(5.5)

(5.6)

^ (z L >>1 = Z CnVJn exp (ikiPz )•

n=1

Введем новые постоянные коэффициенты в (5.13)

Решения уравнений (5.5), удовлетворяющие асимптотической форме

| exp(iklPz) + rn exp(-ipfiz), z ^ -да,

[ tn exp(ik2Pz), z ^ да,

(5.7)

(5.8)

(5.9)

c'= Jf(A' +B') • c = 7f ( a+в)'

1

C3 _ ^Jf ( A1 B1 ) ' C4 _ ^Jf (A2 B2 ) '

(5.14)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

тогда для амплитуды волновой функции налетающей частицы получаем

= A

(

V 0 У

+ A

(

V 0 У

+ B,

(o ^

+ Br,

(o ^

V w(-)y

(5.15)

Таким образом, биспиноры при коэффициентах A отвечают положительным квартионным состояниям, а при коэффициентах B — отрицательным.

П =

1 + exp (2fiz)'

fTJ0 Y 2Я UY -1

__0_

%св

hcft

(5.10)

Амплитудные коэффициенты отражения у и прохождения t имеют вид

1 n

Г 1 + - ih^^ri-s^ - ikk+ZV(ik1)

r =-

2

г 1+s„ + ikLykLVf-s„ + ikk--k |r(-iki)

f

Г

1 + s„ - i

,k1 + k2 ^ Y

tn =■

V

Г

, ki + k2^

-sn - i

n 2

r(-ik1 )Г(1 - ik2)

(5.11)

(5.12)

Рассмотрим случай, когда налетающая частица находится в суперпозиции положительных кварти-онных состояний, т.е. положим B = 0. Представим коэффициенты в следующем виде A1 = Aa+, = Аа_, (5.16)

где а± являются амплитудами вероятности нахождения падающей частицы в состояниях и^±) и потому удовлетворяют соотношению

1а+12 + \а\2 = 1,

а коэффициент A определяется условием нормировки волновой функции. Амплитуда волновой функции падающей частицы принимает в этом случае вид

x

1

■S

2

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

ВОСЕМЬДЕСЯТ ЛЕТ ПАРАДОКСУ КЛЕЙНА

f (^) Л

^ z “•: .

"■*' ^ . J (5.17)

Учитывая (5.8), для амплитудных коэффициентов отражения r и прохождения t получаем

Г1 = Ф r2 = r.3 f1 = 4 f2 = Ф (5Л8)

В результате энергетические коэффициенты отражения R и прохождения T определяются выражениями

sin2 ns* + sh2 (п(k1 - K2 )/2)

л = I 2

+

sin2 ns* + sh2 (n(k1 + K2 у2) in2 ns + sh2 (n(k1 - K2 У2)

sin

T =1 2

sin2 ns + sh2 (n(k1 + K2 У2)

sh2 (n (k + K2 )/2)- sh2 (n (k - K2 )/2) sin2 ns* + sh2 (n( kj + K2 y2)

sh2 (n(kj + K2 )j2)- sh2 (n(kj - K2 )j2)

(5.20)

sin2

ns + sh2 (n( kj + K2 У 2)

(5.21)

где K2 = Re(k2).

Несложно видеть, что энергетические коэффициенты отражения и прохождения удовлетворяют условию R + T = 1. (5.22)

При К2 = 0 из (5.20)-(5.22) получаем R = 1 и T = 0. Следовательно, энергетическая граница области полного отражения определяется условием

E = U ± т п c2.

th 0 0

При U0 < 2mfj2 пороговое значение кинетической энергии за вычетом массы покоя налетающей частицы определяется величиной AEU = E , - тпc2 = Un.

th th 0 0

При U0 > 2тС получаем два порога

УУ Uо - 2m„ с!

AE(2) - U U0’

+

Рис. 10 иллюстрирует зависимость энергетических коэффициентов отражения и преломления от энергии налетающей частицы.

Кривые а и b на этом рисунке показывают зависимость коэффициентов отражения и преломления, соответственно, для случая U0 = 0.1тФ. Зависимости коэффициентов отражения и преломления имеют в этом случае стандартный вид: коэффициент отражения равен единице при AE < AEh и спадает до нуля при AE > AEh, коэффициент прохождения равен нулю при

Рис. 10. Энергетические зависимости коэффициентов отражения R и прохождения T при высоте потенциальной ступеньки U0 = 0.1mQc2 (a),(b); 4m( (c),(d) и величине магнетона, совпадающей с экспериментально измеренным значением для электрона р0/рв = 1.0011596521883. Кривые e и f дают коэффициенты отражения и прохождения, соответственно, для частицы свеличиной магнетона р = 2ръ налетающей на потенциальную ступеньку высотой U0 = 4m()3.

AE < АЕл и стремится к единице с ростом энергии налетающей частицы в области AE > AE,.

th

Кривые c и d показывают соответствующие зависимости для случая рассеяния электрона электростатическим потенциалом U0 = 4т0Ф. В этом случае границы области полного отражения определяются следующими выражениями: AFH = 2т0с2 и AF.H = 4m0c2 . Несложно видеть, что коэффициент отражения в пределах этой области равен единице, а коэффициент прохождения равен нулю. При AF > АДУ коэффициент отражения падает до нуля, а коэффициент прохождения стремится к единице.

Необычный вид имеет зависимость коэффициентов отражения и прохождения в области 0 < AE < 2m0c2. Коэффициент отражения в этой области больше единицы, а коэффициент прохождения принимает отрицательные значения. С такими необычными зависимостями коэффициентов отражения и прохождения мы уже встречались в предыдущем разделе, где было показано, что в случае скалярных полей при высоте скачка потенциала U0 > 2т0Ф в области z > 0 рождается зеркальная частица, которая движется навстречу падающей. В случае скалярных полей заряд зеркальной частицы противоположен заряду падающей частицы. Действительно, плотность заряда прошедшей частицы определяется выражением

АНДРЕЕВ А.В.

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

Р, = (E - U0 )| Л\'■ |t|2,

т°С (5.23)

где A — нормировочный коэффициент, а t — коэффициент прохождения, определяемый формулой (4.32). Следовательно, для скалярной частицы при E < Ug получаем pt < 0.

В случае спинорных полей волновая функция прошедшей частицы с учетом обозначений (5.16) принимает вид

*. (z )=

A

а+w(+ +а_w( ))(г1 +t2)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(а+ w(+) -а_w( ))(t1 -12)

exp (ik2fiz),

(5.24)

поэтому плотность заряда прошедшей частицы зависит не только от знака сомножителя (E — U0), но и от знака нормы N = Т Т волновой функции (5.24):

р _ q

pt 2

m0 c

(E -U„ )T,T,.

(5.25)

Норма волновой функции (5.24) определяется выражением

\л\2

Nt =^2- +1/2),

2

т.е. знак нормы совпадает со знаком коэффициента прохождения T, определяемого формулой (5.19). Несложно видеть, что в случае E < U и N < 0 знак плотности заряда прошедшей частицы (5.25) совпадает со знаком плотности заряда падающей частицы.

В случае E < U0 групповая скорость прошедшей частицы отрицательна, также как и в скалярном случае. Это проиллюстрировано на рис. 11, где показана зависимость потенциальной энергии U(z) = U0(1 + tanhfl3%))/2 от координаты z для случая отталкивающего потенциала.

Заштрихованная область соответствует запрещенной зоне AE = 2mQc2. Слева показан вид сечения гиперплоскости состояний в области до скачка потенциала (fiz «—1), а справа — в области после скачка потенциала (fiz» 1). Если состояние налетающей частицы определяется точкой «1», то состояние отраженной частицы определяется точкой “r1”, а прошедшей точкой “tt”. Коэффициенты отражения R и прохождения T оба являются в этом случае положительными. Если состояние налетающей частицы определяется точкой «2», то состоянию отраженной частицы соответствует

Рис. 11. Пространственный профиль запрещенной зоны состояний и вид сечения гиперплоскости состояний частицы в области до барьера z < 0 (слева) и после барьера z > 0 (справа).

точка “r2”, а прошедшей точка “t2”. Как видно из рис. 10, коэффициент отражения при этом больше единицы, а коэффициент прохождения отрицателен. Точка возбуждения “t2” является точкой дисперсионной кривой с отрицательной дисперсией, т.е. dk/дш < 0.

Из результатов обсуждения, проведенного в предыдущем разделе, следует, что состояния частиц, относящихся к области отрицательной дисперсии, отвечают состояниям зеркальных частиц. Групповая скорость волнового пакета зеркальных частиц отрицательна, т.е. зеркальная частица движется навстречу падающей.

На рис. 12 показана пространственно временная динамика волнового пакета со средней энергией Efj = 2mQt?, падающего на потенциальную ступеньку высоты U0 = 4т0Ф, пространственная ширина волнового пакета полагалась равной

h = СТ0 = с .

Как видно, зеркальная волна находится в отрицательном квартионном состоянии, т.е. является зеркальной античастицей. Однако в области ненулевого электрического поля происходит интерференционное взаимодействие падающей и зеркальной волн, приводящее к формированию отраженной волны в положительном квартионном состоянии.

Как следует из формулы (5.23), заряд зеркальной частицы в скалярном случае противоположен заряду падающей. Поскольку зеркальная частица движется навстречу падающей, то соответствующая ей плотность тока в плоскости z = +ю совпадает по знаку с плотностью тока падающей частицы в плоскости z = -да, поэтому в скалярном случае T > 0.

В спинорном случае заряд зеркальной частицы может как совпадать, так и быть противоположным

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

ВОСЕМЬДЕСЯТ ЛЕТ ПАРАДОКСУ КЛЕЙНА

Рис. 12. Пространственно-временная динамика эволюции волнового пакета при энергии налетающей частицы: E0 = 2m()i2 и высоте потенциального барьера U( = 4m0d. Координата z меняется в пределах -3l — z — 3l, пространственный размер падающего волнового пакета 10 = СТ0 = ЗХс, где Хс — комптонов-ская длина волны частицы.

заряду падающей частицы, поскольку норма волновой функции (5.24) может быть как положительной, так и отрицательной. Кривые c, d на рис. 10 относятся к случаю, когда магнитный момент падающей частицы совпадает с магнитным моментом электрона ц/цъ = 1.0011596521883 (см. [92]). В этом случае норма волновой функции (5.24) в диапазоне энергий 0 — AE — 2m0c2 отрицательна, поэтому заряд зеркальной частицы, как следует из (5.25), совпадает по знаку с зарядом падающей, т.е. зеркальная частица является, по сути дела, зеркальной античастицей. Поскольку зеркальная частица движется навстречу падающей, то соответствующая ей плотность тока в плоскости z = +ю отрицательна, поэтому T < 0. На рис. 10 e, f в иллюстративных целях показаны энергетические коэффициенты отражения (кривая е) и преломления (кривая f при рассеянии гипотетической частицы, имеющей магнитный момент ц0 = 2ц на той же потенциальной ступеньке U( = 4mfp2. В этом случае норма волновой функции (5.24) в диапазоне энергий налетающей частицы 0 — AE — 2m(f2 является положительной, поэтому поведение коэффициентов отражения и прохождения качественно совпадает с поведением соответствующих коэффициентов для скалярной частицы.

В заключение проведенного обсуждения отметим одно очень важное обстоятельство, связанное с тем, что условие U0 > 2m0c? является необходимым, но не достаточным условием появления зеркальных частиц. Также как и в случае скалярных частиц, принципиальное значение имеет величина параметра (4.35)

* _ ^ с w в ’

определяющего отношение ширины переходного слоя l = в-1 к комптоновской длине волны XC = 2n/kc Амплитуда волновой функции зеркальных частиц сравнима с амплитудой волновой функции падающей частицы лишь при дс — 1. С ростом величины параметра дс амплитуда волновой функции зеркальных частиц начинает уменьшаться и в случае 8С » 1 область полного отражения частицы начинает занимать всю область 0 — AE — U . Зависимость амплитуды прошедшей волны от величины указанного параметра качественно совпадает с соответствующими зависимостями, показанными на рис. 8, для скалярной частицы.

5.3. Вектора электрической и магнитной поляризации. Как мы отмечали ранее, одно из основных отличий квартионного уравнения (3.8) от уравнения Дирака состоит в том, что оператор спина коммутирует с оператором уравнения (3.8) для свободной частицы, поэтому состояние свободной частицы по внутренним степеням свободы ее движения никак не связано с ее трансляционным движением. Следовательно, спин падающей свободной частицы может быть ориентирован в произвольном направлении. В рассматриваемом случае в качестве оси z системы координат, определяющей трансляционное движение частицы, мы выбрали направление вектора электрического поля, поскольку поперечные компоненты импульса частицырх иp остаются неизменными.

Рассмотрим задачу о рассеянии электрическим полем пучка поляризованных частиц, находящихся в суперпозиции положительных квартионных состояний. В этом случае вектор электрической поляризации падающих частиц равен нулю и состояние частиц по внутренним степеням свободы определяется лишь направлением вектора магнитной поляризации. Положим, что направление вектора магнитной поляризации падающих частиц

АНДРЕЕВ А.В.

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

определяется углами в и ф в системе координат, определяющей трансляционное движение частицы, тогда волновую функцию падающей частицы можно записать в виде

^ 0 (^ ) = A

( (+)Л

а

+ а

( (-)Л

exp (ik1Pz),

(5.26)

0

где теперь

в ( тд в ( тд

cos — exp -i — , а = sin — exp i —

2 V 2) -2 V 2)

w(+)

V 0 У

w

(-)

' 0 л v1/

Как мы отмечали ранее, полное задание состояния частицы, описываемой биспинорной волновой функцией, осуществляется восемью действительными величинами, в качестве которых выступают скалярная величина N = , псевдоскаляр-

ная величина Г = -№уф¥ и шесть проекций векторов М и Р . Таким образом, состояние падающей частицы с волновой функцией (5.26) определяется следующими параметрами

N =W о W о = \A\2,

M0 = Tо2Tо =|A\2 x x( ex sin в cos ф + ey sin в sin ф + ez cos в ),

4 = -&a V 0 = 0,

Го =-& oY 5 * о = 0.

Несложно видеть, что в состоянии с волновой функцией (5.26) углы в и ф определяют ориентацию вектора М0 = Y 0ZY 0 в системе координат, в которой направление орта ez совпадает с направлением вектора напряженности электрического поля.

Таким образом, падающая частица, описываемая волновой функцией (5.26), может находиться в состоянии с произвольным направлением вектора магнитной поляризации и обладает равным нулю вектором электрической поляризации. Равенство нулю вектора электрической поляризации падающей частицы обусловлено тем, что нижний спинор волновой функции (5.26) равен нулю. Однако волновые функции прошедшей и отраженной частиц отличаются от волновой функции падающей частицы.

Действительно, волновая функция прошедшей частицы определяется выражением (5.24), а волновая функция отраженной частицы имеет вид

(5.27а)

(5.27б)

(5.27в)

(5.27г)

* Г ( 2 ) =

A

(а+ w(+) +а_w( ))(r1 + r2) (а+ w(+) -а_ w(-))( r - r2 )

exp (-ikjfiz ).

(5.28)

Используя эту волновую функцию, получаем

Nr =

A

r r2 + г1г2 ),

M =

и2

P =

И2

rif + |r2f) sin в cos q>,

Г f + \r2 f) sin в sin q>, (r(r2 + rr) cos в

-(lri|2 - lr2|2)sin 0 sinФ,

(|Г f -|r212)sin0cos^, i(r/r2 -rlr2l)

A

rr = -i— (r* r- rr2)cose-

(5.29а)

(5.29б)

(5.29в)

(5.29г)

На рис. 13 показаны в сравнении энергетические зависимости коэффициента отражения (кривая а), продольной проекции вектора электрической поляризации P (кривая b) и поперечной проекции вектора магнитной поляризации Mx (кривая c).

Как видно из рисунка при в > 0 продольная и поперечные компоненты вектора магнитной поляризации отличны от нуля практически во всей области отражения. Продольная компонента вектора

2

Рис. 13. Энергетические зависимости коэффициента отражения (кривая a), продольной проекции вектора электрической поляризации P (кривая b) и поперечной проекции вектора магнитной поляризации Шх (кривая c). На вставках показано взаимное расположение векторов магнитной и электрической поляризации отраженной частицы в случае, когда вектор магнитной поляризации падающей частицы совпадает с направлением рассеивающего поля (вставки (1) и (2)), и в случае, когда вектор магнитной поляризации падающей частицы перпендикулярен направлению рассеивающего поля (вставки (3) и (4)).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

ВОСЕМЬДЕСЯТ ЛЕТ ПАРАДОКСУ КЛЕЙНА

электрической поляризации отраженной частицы отлична от нуля в области, где RfAE) > 1 и при энергии налетающей частицы чуть выше верхнего порога области полного отражения. Зависимость величины поперечных компонент вектора электрической поляризации от энергии налетающей частицы аналогична зависимостям поперечных компонент вектора магнитной поляризации.

Таким образом, можно сделать следующие выводы.

1. Вне зависимости от состояния магнитной поляризации падающей частицы отраженная частица вне области полного отражения имеет ненулевую проекцию вектора электрической поляризации, направленную вдоль вектора напряженности рассеивающего электрического поля.

2. Проекция вектора магнитной поляризации отраженной частицы на направление рассеивающего поля определяется выражением

M = MR.

z 0z

3. Если вектор магнитной поляризации падающей частицы направлен вдоль или против направления рассеивающего поля в = 0,л, то поперечные компоненты векторов электрической P и маг-

•L -L х,у

нитной M поляризации равны нулю (см. вставки (2.1) и (2.2) на рис. 13).

4. Если направление вектора магнитной поляризации падающей частицы не совпадает с направлением рассеивающего электрического поля (0 < в < л), то отраженная частица имеет ненулевые значения поперечных компонент векторов электрической и магнитной поляризации (см. вставки (2.3) и (2.4) на рис. 13).

5. Поперечные компоненты векторов электрической и магнитной поляризации отраженной частицы взаимно перпендикулярны друг другу

MP + M P = 0.

x x У У

Отметим, что состояние прошедшей частицы определяется формулами (5.29) при замене в них амплитудных коэффициентов отражения r на соответствующие амплитудные коэффициенты прохождения t .

5.4. Заряд, магнитный и электрический моменты частиц. Как мы показали в разделе 4, в случае скалярных полей при взаимодействии частицы и зеркальной частицы выполняются законы сохранения заряда и энергии. Частица, описываемая спинорным материальным полем, имеет внутренние степени свободы, поэтому заряд не является

единственной характеристикой, отличающей различные состояния материального поля, поэтому необходимо обсудить и преобразования векторов электрической и магнитной поляризации. Вместе с тем, как мы видели в разделе 4, законы сохранения заряда и энергии непосредственно связаны друг с другом, поэтому закон сохранения энергии можно отдельно не обсуждать.

5.4.1. Сохранение заряда. Закон сохранения заряда является следствием уравнения непрерывности. Задавая состояние падающей частицы в виде волнового пакета и интегрируя уравнение непрерывности, мы приходим к строгим математическим соотношениям, выражающие закон сохранения заряда, как это было показано в разделе 4.5. Отметим, что 4-вектор плотности тока спинорного поля является суммой трансляционной и спиновой частей, каждая из которых по отдельности удовлетворяет уравнению непрерывности, поэтому при анализе закона сохранения заряда мы можем рассмотреть каждую из частей по отдельности. Как следует из формул (3.29), уравнение непрерывности для спиновой части плотности тока выполняется автоматически, а поскольку трансляционная часть плотности тока имеет одинаковый вид для скалярного и спинорного полей, то при ее анализе мы можем воспользоваться результатами раздела 4.5.

Объединяя формулы (4.37) и (4.38), выражение для величины полного заряда в момент времени t можно записать в следующем виде

+ d(t' sgn (ha- U0)) | A (a)|

д ha-U0 | ha- U0

T(a)da

(5.30)

где t' = t — L/v и в(1) — ступенчатая функция Хэвисайда. Отметим, что в момент времени t' = 0 падающий волновой пакет достигает области скачка потенциала. Спектральная амплитуда А(ш) зависит от профиля падающего импульса и удовлетворяет условию нормировки \\A(a>)\2da> = 1.

Выбирая моменты времени t1 и t2 так же, как это было сделано в разделе 4.5, из закона сохранения энергии

q(t]) = q(t^

в случае надбарьерного прохождения частицы из (5.30) получаем q0(R(a) + т(ш)) = q№

АНДРЕЕВ А.В.

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

а в случае рождения зеркальных частиц 40R(vJ = q0 — q0T(u).

Таким образом, в обоих случаях закон сохранения заряда выполняется тождественно, поскольку вне зависимости от знака коэффициентов R и T, согласно формулам (5.20)-(5.21) имеет место соотношение R(o>) + Т(ы) = 1.

5.4.2. Норма волновой функции.

Остановимся подробнее на обсуждении знака нормы волновой функции. Запишем формулы (5.24) и (5.28) в следующем виде

W =

r ,t

\

V r■t

u

r ,t

где, например, ur = /2(a+W++ + a_W-)(r1 + r2), dr = /(a+^+) — a_w(-))(r^1 — r).

Несмотря на то, что волновая функция падающей частицы является суперпозицией положительных квартионных состояний, волновые функции рассеянных частиц являются суперпозициями положительных и отрицательных квартионов. Норма волновой функции равна разности суммарных норм волновых функций положительных и отрицательных квартионов

К. = Y r, Y r, = nrJ}- nd

() +

где Nu = Ur,tUr,t

и Nd’*) = dJ+tdr t. Как видно, норма волновых функций рассеянных частиц может быть как положительной, так и отрицательной.

Отметим, что, учитывая свойства спиноров W^, величины Nur)=|(r + r2 )/2 и Пф ) = |(r - r2)/2| мож-

но назвать числами заполнения положительных и отрицательных квартионных состояний, соответственно. На рис. 14 представлены энергетические зависимости коэффициентов отражения (кривая а) и прохождения (кривая е) для случая рассеяния частицы на потенциальном барьере (5.1) с высотой потенциальной ступеньки U0 = 4md.

Эти зависимости совпадают с зависимостями, представленными на рис. 10. Кривые b и f на этом рисунке показывают энергетические зависимости чисел заполнения положительных квартион-ных состояний в отраженной и прошедшей волнах, а кривые c и g — отрицательных квартионных состояний. Кривые, приведенные на этом рисунке, рассчитаны для случая, когда вектор магнитной поляризации падающей частицы ориентирован вдоль вектора напряженности рассеивающего

Рис. 14. Энергетические зависимости коэффициента отражения (а) и прохождения (е), чисел заполнения положительного и отрицательного квартионных состояний в отраженной (кривые b и c, соответственно) и прошедшей (кривые f иg, соответственно) волнах, а также проекций вектора электрического момента на направление рассеивающего электрического поля отраженной (кривая d) и «прошедшей» (кривая h) волн.

электрического поля. Это означает, что угол в в (5.27б) равен в = 0. Как видно из рисунка, положительность нормы волновой функции отраженной частицы в области 0 < AE < 2тсрФ при заданных значениях параметров задачи обеспечивается тем, что Пф) > Пф).

Следует, однако, отметить, что при этом Пф\ > 0 и Пф) > Nr, т.е. состояние частицы является суперпозицией большого числа положительных и отрицательных квартионов. В свою очередь nU) < п^), поэтому норма волновой функции зеркальной частицы является отрицательной.

5.4.3. Электрический и магнитный моменты. Отличительной чертой частицы, находящейся в одном из квартионных состояний, является равенство нулю вектора электрической поляризации. Как мы отмечали выше, вектор электрической поляризации отличен от нуля только в случае, когда волновая функция является суперпозицией положительных и отрицательных квартионных состояний (п ф 0 и nd ф 0). С одной стороны, это следует

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

ВОСЕМЬДЕСЯТ ЛЕТ ПАРАДОКСУ КЛЕЙНА

из антидиагональности оператора а . С другой стороны, базируясь на вышеприведенном обсуждении, возникновение ненулевого электрического момента можно интерпретировать следующим образом. В случае, когда падающая волна имеет вид положительного квартио-на, поляризованного вдоль направления вектора напряженности электрического поля, волновая функция имеет вид

A Z )

(,„(+)

w

(+)

(gl (^) + g2 (Z)Г

(gl (Z)- g2 (Z));

' wW>| gl ( Z) + g2 ( Z )

l0) 2

+

' 0 1 gl ( Z)- g2 ( Z)

l w(+)y 2

Как мы уже отмечали ранее, волновые функции отраженной и зеркальной частиц являются суперпозициями положительных и отрицательных квартионов. Положительный и отрицательный квартионы отвечают противоположному знаку заряда, и, как видно, их пространственные волновые функции различны. Именно, различия в пространственном распределении плотности положительного и отрицательного зарядов приводят к появлению ненулевого вектора электрической поляризации. Вместе с тем, как мы видели выше, пространственный интеграл обеспечивает выполнение закона сохранения заряда.

Операторы а__ и Z коммутируют с оператором уравнения (5.2), поэтому они отвечают сохраняющимся величинам. Сохраняющимися величинами, отвечающими указанным операторам, являются соответствующие проекции векторов электрического и магнитного моментов частицы, которые в соответствии с общей формулой (3.48) определяются следующими соотношениями

d =

-1/Л0

„2

m ■

m0 c

А)

m0 с2

- - зт

—аГ-Та —

dt dt

- q0qf¥O¥

ЭТ - - - ЭТ

—ST-TS — dt dt

-

dV,

dV.

(5.31)

(5.32)

Как мы уже отмечали в разделе 3.8, выражения (5.31) и (5.32) отличаются от выражения для заряда частицы тем, что выражение Taq01Та в плотности заряда (где Wa — амплитуда волновой функции па -дающей, отраженной и прошедшей волн, т.е. а = 0, r, t, соответственно) заменяется на следующие - i/U0ТаО¥а и !Л,Та^а .

Падающая частица, находящаяся в состоянии с волновой функцией (5.17), характеризуется нулевым значением вектора электрической поляризации Р0 = —iT 0аТ 0 = 0 и нулевым значением псевдоскалярной величины Г0 = — iT0у5Т0 = 0 .

Используя вышеприведенные формулы, для Z проекции магнитного момента получаем mz (t) = ^0 |O(-t')J| A (a)| da + 6(t'^)^{ A (a)| R (a) da +

+ O(t' sgn (ha- U0

))jl A (a)|

2 ha-U0 | ha- U0

T (a)da

cosO.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Получившееся выражение практически совпадает с выражением, определяющим закон сохранения заряда, поэтому, не повторяя вышеприведенного обсуждения, можно сразу отметить, что проекция магнитного момента на направление рассеивающего поля остается неизменной как в случае AE > U0, так и в случае 0 < AE < U0 — 2m0A.

(о) (r) , (t)

m = m + m .

z z z

Перейдем теперь к рассмотрению z проекции электрического момента. Используя (5. 29ж), получаем

dz (t) = А e(t'){|A (®)f Dr (ю)d

Ю +

+d(t'sgn(ha-U0)) j|A(a)|2 Dt (a)da

I h ю U о I

(5.33)

где

Dr = 2 (r*r2 - rir2*) > Dt = К (t*A - ).

2

2k

vi (5.34)

В случае надбарьерного прохождения частицы, получаем

d(t) = (0,

d(t2) = p}\A(a)\2Pr(a) + DH)a

а в случае 0 < AE < U0 — 2mfj?\ d(t1) = —

d(t2) = H}\A(a)\2DrP)da.

Из формул (5.34) следует, что DJa) + D (ш) = 0. Таким образом, проекция электрического момента на направление рассеивающего электрического поля остается неизменной как в случае над-барьерного прохождения частицы, так и в случае рождения зеркальных частиц.

Кривые d и h на рис. 14 иллюстрируют энергетические зависимости проекции вектора электрического момента на направление рассеивающего электрического поля отраженной (кривая d) и «прошедшей» (кривая h) частиц. Мы закавычили

АНДРЕЕВ А.В.

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

термин прошедшая волна, поскольку волновой пакет в области z > 0 может отвечать как состоянию прошедшей (при АЕ > U0), так и зеркальной частиц (при U0 > 2mC и 0 < АЕ < U0 — 2m (f).

Итак:

1. Магнитный момент отраженной частицы совпадает по знаку с магнитным моментом как зеркальной, так и прошедшей частиц, а электрический момент противоположен по знаку как электрическому моменту зеркальной, так и прошедшей частиц.

2. Зеркальная частица характеризуется либо противоположным знаком заряда, либо противоположным знаком нормы волновой функции.

5.5. Выводы. Анализ, проведенный в настоящем разделе, позволяет сделать следующие основные выводы.

1. Движение релятивистской спинорной частицы в постоянном пространственно неоднородном электрическом поле может сопровождаться возбуждением зеркальных частиц. Необходимые условия возбуждения зеркальных состояний состоят в следующем: (3.7) высота потенциального барьера U0 должна превышать удвоенную массу покоя частицы Ug > 2m(f2, поскольку только в этом случае нижняя ветвь энергетической поверхности Е(-) = и -yjр2c2 + т\c4 (для которой групповая скорость движения частицы отрицательна дЕ/др < 0) может принимать положительные значения (см. рис. 11); пространственная ширина области изменения потенциальной энергии I = в-1 не должна существенно превышать комптоновскую длину волны частицы \с = 2n/kc (где kC = mp/B), в противном случае амплитуда волновой функции частицы в области за скачком потенциала становится экспоненциально малой.

2. В случае спинорного материального поля заряд зеркальной частицы может как совпадать с зарядом налетающей частицы, так и быть противоположным ему. Следовательно, зеркальная частица может быть как зеркальной частицей, так и зеркальной античастицей. В то время как в случае скалярного материального поля, заряд зеркальной частицы всегда противоположен заряду налетающей частицы.

3. Задание компонент 4-векторов Мм = (М, Г) и р =( Р, N) в падающей волне позволяет однозначно определить компоненты указанных 4-векторов в рассеянном поле. При этом указанные два 4-вектора взаимно ортогональны в любой точке

пространства, как в случае движения свободной частицы, так и при движении частицы в стационарном пространственно неоднородном электрическом поле.

4. При рассеянии частицы электрическим полем энергетические коэффициенты отражения и прохождения не зависят от направления вектора магнитной поляризации падающей частицы. Однако они существенно зависят от величины и направления вектора электрической поляризации падающей частицы Р0. Отклонения коэффициентов отражения ZIR и прохождения ZIT от их значений для случая Р0 = 0 прямо пропорциональны величине продольной проекции вектора Р0.

5. Вне области полного отражения состояние частиц, рассеянных пространственно неоднородным электрическим полем, характеризуется ненулевой величиной компоненты вектора электрической поляризации, параллельной вектору напряженности рассеивающего электрического поля, при произвольном направлении вектора магнитной поляризации падающей частицы. Если направление вектора магнитной поляризации налетающей частицы не совпадает с направлением вектора напряженности рассеивающего электрического поля, то, наряду с продольными компонентами векторов электрической и магнитной поляризации, состояние рассеянных частиц характеризуется ненулевыми значениями поперечных взаимно перпендикулярных компонент векторов электрической и магнитной поляризации. При этом направление поперечной компоненты вектора магнитной поляризации совпадает с направлением вектора поперечной компоненты магнитной поляризации падающей частицы (см. вставки на рис. 13).

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, мы видим, что в рамках теории релятивистских волновых уравнений, включающих вторую производную по времени, парадокс Клейна находит наглядную и последовательную интерпретацию, связанную с топологией пространства состояний материальных полей, описываемых указанными уравнениями. Пространство состояний свободной частицы представляет собой две гиперплоскости в четырехмерном пространстве, отделенные запрещенной зоной шириной Е = 2mf(2. Одна из гиперплоскостей связана с положительно частотными решениями волновых уравнений, а вторая — с отрицательно частотными.

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

ВОСЕМЬДЕСЯТ ЛЕТ ПАРАДОКСУ КЛЕЙНА

В пространственно неоднородном стационарном внешнем поле профиль запрещенной зоны определяется профилем потенциальной энергии. Если высота скачка потенциальной энергии меньше ширины запрещенной зоны (U0 < 2m(f2), то в стационарном случае эволюция частиц, состояния которых принадлежат к положительно и отрицательно частотным зонам состояний, происходит независимо друг от друга. Однако при высоте потенциальной ступеньки, превышающей ширину запрещенной зоны, изоэнергетические поверхности m0 с2 < Б < Uo — mC пересекают положительно частотную зону состояний в одной пространственной области и отрицательно частотную зону состояний в другой пространственной области. При этом точки возбуждения, отвечающие одинаковому знаку проекции волнового вектора, имеют противоположный знак дисперсии, т.е. отвечают противоположному направлению групповой скорости частиц в указанных областях пространства. Это дает основание связать, например, состояния отрицательно частотной зоны состояний с состояниями зеркальных частиц, поскольку падающая и «прошедшая» частицы совершают в этом случае зеркальное по отношению друг к другу движение.

Условие U0 > 2m0j? является необходимым, но не достаточным условием возникновения процессов, в которых участвуют как частицы, так и зеркальные частицы. Важным параметром является не только высота скачка потенциальной энергии, но и пространственный размер области указанного скачка. Как было показано выше (см. (4.35)), пространственный размер области скачка потенциальной энергии l должен быть меньше или порядка комптоновской длины волны частицы: I < Xс , где Xс = й/т0е . При I >> Xс частица отражается от скачка потенциала при любой энергии налетающей частицы. В частности, при энергии налетающей частицы меньшей высоты потенциального барьера Б — m C < U0 происходит полное отражение. Такое поведение коэффициентов отражения и прохождения позволяет объяснить парадокс туннелирования Клейна. Этот парадокс возникает лишь в рамках модели прямоугольной потенциальной ступеньки, когда пространственная ширина области скачка потенциальной энергии полагается равной нулю.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант № 08-02-00448).

ЛИТЕРАТУРА

1. Dombey N., Calogeracos A. Seventy years of the Klein paradox // Phys.Rep, 1999, 315, 41-58.

2. Klein O. Die reflexion von elektronen an einem po-tentialsprung nach der relativistischen dynamik von Dirac // Z.Phys., 1929, 53, 157-165.

3. Dirac PA.M. The quantum theory of the electron // Proc.Roy.Soc. A 117, 1928, 610-624.

4. Nefediev A.V., Simonov Yu.A. Chiral symmetry breaking and the Lorentz nature of confinement // Phys. Rev. D76, 2007, 074014.

5. De Castro AS., Alberto P, Lisboa R., and Malheiro M. Relating pseudospin and spin symmetries through charge conjugation and chiral transformations: The case of the relativistic harmonic oscillator // Phys. Rev C73, 2006, 054309.

6. Kalashnikova Yu.S., Nefediev A.V., Ribeiro J.E. Confinement and parity doubling in heavy-light mesons // Phys. Rev. D72, 2005, 034020.

7. Altshuler E., Silverman D. Predictability of charmonium levels from a range of good fits // Phys. Rev. D48, 1993, 2160.

8. Tiemeijer P.C., Tjon J.A. Effects of negative energy components in the constituent quark model // Phys. Rev. C48, 1993, 896-901.

9. Juzeliunas G., Ruseckas J., Lindberg M., Santos L., Ohberg P. Quasirelativistic behavior of cold atoms in light fields // Phys. Rev. A77, 2008, 011802.

10. Lunardi Jose T. and Manzoni Luiz A. Relativistic tunneling through two successive barriers // Phys. Rev. A76, 2007, 042111.

11. Lamata L., Leon J., Schatz T., and Solano E. Robust Dirac equation and quantum relativistic effects in a single trapped ion // Phys. Rev. Lett., 2007, 98, 253005.

12. Cardoso V., Dias O.J., Lemos J.P and Yoshida Sh. Highly damped quasinormal modes of Kerr black holes: a complete numerical investigation // Phys. Rev. D70, 2004, 044039.

13. R.-G. Cai, R.-K. Su and P.K.N. Yu Nonequilibrium thermodynamic fluctuations of charged dilaton black holes // Phys. Rev. D48, 1993, 3473-3477.

14. Bhattacharjee S. and Sengupta K. Tunneling conductance of graphene NIS junctions //Phys. Rev. Lett, 2006, 97, 217001.

15. Peres N.M.R., Castro Neto A.H., and Guinea F. Dirac fermion confinement in graphene // Phys. Rev. B73, 2006, 241403.

16. Katsnelson M.I., Novoselov K.S. Graphene: new bridge between condensed matter physics and quantum electrodynamics // Sol.State Comm, 2007, 143, 3-13.

17. San-Jose P., Prada E. and Golubev D.S. Universal scaling of current fluctuations in disordered graphene // Phys. Rev. B76, 2007, 195445.

АНДРЕЕВ А.В.

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

18. Trnshin M. and Schliemann J. Minimum electrical and thermal conductivity of graphene: a quasiclassical approach // Phys. Rev. Lett, 2007, 99, 216602.

19. Stauber T., Peres N.M. and Guinea F. Electronic transport in graphene: A semiclassical approach including midgap states // Phys. Rev. B76, 2007, 205423.

20. Bhattacharjee S., Maiti M. and Sengupta K. Theory of tunneling conductance of graphene normal metal-insulator-superconductor junctions // Phys. Rev. B76, 2007, 184514.

21. Goswami P, Jia X. and Chakravarty S. Quantum Hall plateau transition in the lowest Landau level of disordered graphene // Phys. Rev. B76, 2007, 205408.

22. Naumis G.G. Internal mobility edge in doped graphene: Frustration in a renormalized lattice //Phys. Rev. B76, 2007, 153403.

23. Linder J. and Sudb0 A. Dirac fermions and conductance oscillations in s- and d-wave superconductor-graphene junctions // Phys. Rev. Lett, 2007, 99, 147001.

24. Melikyan A. and Tesanovic Z. Dirac-Bogoliubov-deGennes quasiparticles in a vortex lattice // Phys. Rev. B76, 2007, 094509.

25. Bai C. and Zhang X. Klein paradox and resonant tunneling in a graphene superlattice // Phys. Rev. B76, 075430 (2007)

26. Giovannetti G., Khomyakov P.A., Brocks G., Kelly PJ. and van den Brink J. Substrate-induced bandgap in graphene on hexagonal boron nitride // Phys. Rev. B76, 2007, 073103.

27. Maiti M. and Sengupta K. Josephson effect in graphene superconductor/barrier/ superconductor junctions: Oscillatory behavior of the Josephson current // Phys. Rev. B76, 2007, 054513.

28. Fistul M.V. and Efetov K.B. Electromagnetic-field-induced suppression of transport through n-p junctions in graphene // Phys. Rev. Lett., 2007, 98, 256803.

29. Huard B., Sulpizio J.A., Stander N., Todd K., Yang B. and Goldhaber-Gordon D. Transport measurements across a tunable potential barrier in graphene // Phys. Rev. Lett, 2007, 98, 236803.

30. Chen H-Y., Apalkov V. and Chakraborty T. Fock-Darwin states of Dirac electrons in graphene-based artificial atoms // Phys. Rev. Lett, 2007, 98, 186803.

31. Zheng H., Wang Z.F., Luo T., Shi Q.W and Chen J. Analytical study of electronic structure in armchair graphene nanoribbons // Phys. Rev. B 75, 2007, 165414.

32. Khveshchenko D.V. Composite Dirac fermions in graphene // Phys. Rev. B 75, 2007, 153405.

33. Milton Pereira J., Peeters F.M. and Vasilopoulos P. Magnetic interface states in graphene-based quantum wires // Phys. Rev. B 75, 2007, 125433.

34. Matulis A. and Peeters F.M. Appearance of enhanced Weiss oscillations in graphene: Theory // Phys. Rev. B 75, 2007, 125429.

35. Wehling T.O., Balatsky A.V., Katsnelson M.I., Lichtenstein A.I., Scharnberg K. and Wiesendanger R. Local electronic signatures of impurity states in graphene // Phys. Rev. B 75, 2007, 125425.

36. Cresti A., Grosso G., Pastori Parravicini G. Electronic states and magnetotransport in unipolar and bipolar graphene ribbons // Physica E, 2008, 40, 1712.

37. Tang C., Zheng Y., Li G., Li L. Nonequivalence of the step-like potentials between the tight-binding model and the Dirac equation description used in graphene study // Sol.State Comm., 2008, 148, 455-458.

38. Gupta K.S. and Sen S. Bound states in gapped graphene with impurities: Effective low-energy description of short-range interactions // Phys. Rev. B 78, 2008, 205429.

39. Abergel D.S.L., Apalkov V.M. and Chakraborty T. Interplay between valley polarization and electron-electron interaction in a graphene ring // Phys. Rev. B 78, 2008, 193405.

40. Athanassiou E.K., Krumeich F., Grass R.N. and Stark WJ. Advanced piezoresistance of extended met-al/insulator core shell nanoparticle assemblies // Phys. Rev. Lett, 2008, 101, 166804.

41. Beenakker C.W Colloquium: Andreev reflection and Klein tunneling in graphene // RevMod.Phys, 2008, 80, 1337.

42. Syzranov S.V., Fistul M.V. and Efetov K.B. Effect of radiation on transport in graphene // Phys. Rev. B 78, 2008, 045407.

43. Pereg-Barnea T. and MacDonald A.H. Chiral quasiparticle local density of states maps in graphene // Phys. Rev. B 78, 2008, 014201.

44. Carmier P. and Ullmo D. Berry phase in graphene: Semiclassical perspective // Phys. Rev. B 77, 2008, 245413.

45. Zhang Z.Z., Chang K. and Peeters F.M. Tuning of energy levels and optical properties of graphene quantum dots// Phys. Rev. B77, 2008, 235411.

46. Misumi T. and Shizuya K. Electromagnetic response and pseudo-zero-mode Landau levels of bilayer graphene in a magnetic field // Phys. Rev. B77, 2008, 195423.

47. Tahir M. and Sabeeh K. Quantum transport of Dirac electrons in graphene in the presence of a spatially modulated magnetic field // Phys. Rev. B77, 2008, 195421.

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

48. Pachos J.K., Stone M. and Temme K. Graphene with geometrically induced vorticity // Phys. Rev. Lett, 2008, 100, 156806.

49. Barbier M., Peeters F.M., Vasilopoulos P. and Pereira J.M. Dirac and Klein-Gordon particles in onedimensional periodic potentials // Phys. Rev. B77, 2008, 115446.

50. Matulis A. and Peeters F.M. Quasibound states of quantum dots in single and bilayer graphene // Phys. Rev. B77, 2008, 115423.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

51. Pereira V.M., Lopes dos Santos J.M. and Castro Neto A.H. Modeling disorder in graphene // Phys. Rev. B77, 2008, 115109.

52. Plochocka P, Faugeras C., Orlita M., Sadowski M.L., Martinez G., Potemski M., Goerbig M.O., Fuchs J-N, Berger C. and de Heer WA. High-energy limit of massless Dirac fermions in multilayer graphene using magneto-optical transmission spectroscopy // Phys. Rev. Lett, 2008, 100, 087401.

53. Zanella I., Guerini S., Fagan S.B., Mendes Filho J. and Souza Filho A.G. Chemical doping induced gap opening and spin polarization in graphene // Phys. Rev. B77, 2008, 073404.

54. Linder J. and Sudb0 A. Tunneling conductance in s- and d-wave superconductor-graphene junctions: extended blonder-Tinkham-Klapwijk formalism // Phys. Rev. B77, 2008, 064507.

55. Isacsson A., Jonsson L.M., Kinaret J.M. and Jonson M. Electronic superlattices in corrugated graphene // Phys. Rev. B77, 2008, 035423.

56. Firsova N.E., Ktitorov S.A., Pogorelov PA. Bound electron states in the monolayer gapped graphene with the short-range impurities // Phys.Lett. A, 2009, 373, 525-528.

57. McClure J.W Diamagnetism of graphite // Phys. Rev., 1956, 104, 666-671.

58. Gusynin V.P, Sharapov S.G. and Carbotte J.P Sum rules for the optical and Hall conductivity in graphene // J. Mod. Phys. B21, 2007, 4611-4658.

59. Calogeracos A., Dombey N. Klein tunneling and the Klein paradox // JMod.Phys. A14, 1999, 631.

60. Sauter F. Uber das Verhalten eines Electrons im ho-mogenen elektrischen Feld nach der relativistischen Theorie Diracs // Z.Phys. B69, 1931, 742-764.

61. Sauter F. Zum “Kleinshen Paradoxen”// Z.Phys. B73, 1931, 547-562.

62. Paolo Christillin and Emilio d’Emilio. Role of the slope of realistic potential barriers in preventing relativistic tunneling in the Klein zone // Phys. Rev. A76, 2007, 042104.

63. Никишов А.И. Образование пар постоянным внешним полем // ЖЭТФ, 1969, 57, 1210-1216.

ВОСЕМЬДЕСЯТ ЛЕТ ПАРАДОКСУ КЛЕЙНА

. Nikishov A.I. Barrier scattering in field theory removal of Klein paradox // Nucl. Phys. B21, 1970, 346-358.

. Никишов А.И., Ритус В.И. Взаимодействие электронов и фотонов с очень сильным магнитным полем // УФН, 1970, 100, 724.

. Schwinger J. On gauge invariance and vacuum polarization // Phys. Rev, 1951, 82, 664.

. Гриб А.А., Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М. Квантовые эффекты в интенсивных внешних полях. -М.: Атомиздат, 1980.

. Greiner W, Muller B., Rafelski J. Quantum Electrodynamics of Strong Fields. — Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo: Springer-Verlag, 1985.

. Manogue C.A. The Klein paradox and superradiance // Annals of Physics, 1988, 181, 261-283.

. Maier T.J., Dreizler R.M. and Ixaru L.G. Nonperturbative pair production by a Dirac square well with time-dependent depth // Phys. Rev. A48, 1993, 2031-2039.

. Krekora P, Su Q. and Grobe R. Transitions into the negative-energy Dirac continuum // Phys. Rev. A70, 2004, 054101.

. Krekora P, Cooley K., Su Q. and Grobe R. Creation dynamics of bound states in supercritical fields // Phys. Rev. Lett, 2005, 95, 070403.

. Krekora P, Su Q. and Grobe R. Klein paradox with spin-resolved electrons and positrons // Phys. Rev. M72, 2005, 064103.

. Krekora P, Su Q. and Grobe R. Interpretational difficulties in quantum field theory // Phys. Rev. A73, 2006, 022114.

. Kim S.P and Page D.N. Schwinger pair production in electric and magnetic fields // Phys. Rev. D73, 2006, 065020.

. Gerry C.C., Su Q. and Grobe R. Timing of pair-production in time-dependent force fields // Phys. Rev. M74, 2006, 044103.

. De Leo S. and Rotelli P.P. Barrier paradox in the Klein zone // Phys. Rev. A73, 2006, 042107.

. Lamb K.D., Gerry C.C., Su Q. and Grobe R. Unitary and nonunitary approaches in quantum field theory // Phys. Rev. A75, 2007, 013425.

. Giachetti R. and Sorace E. States of the Dirac equation in confining potentials // Phys. Rev. Lett, 2008, 101, 190401.

. Schutzhold R., Gies H. and Dunne G. Dynamically assisted Schwinger mechanism // Phys. Rev. Lett, 2008, 101, 130404.

. Cote R., Jobidon J-F. and Fertig H.A. Skyrme and Wigner crystals in graphene // Phys. Rev. B78, 2008, 085309.

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74.

75

76

77

78

79

80

81

АНДРЕЕВ А.В.

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

82. Cheng T., Bowen S.P., Gerry C.C., Su Q. and Grobe R. Locality in the creation of electron-positron pairs // Phys. Rev. A77, 2008, 032106.

83. Вонсовский С.В., Свирский М.С. Парадокс Клейна и дрожащее движение электрона в поле с постоянным скалярным потенциалом // УФН, 1993, 163, 115-118.

84. Klein O. Quantum theory and five dimensional theory of relativity // Z.f.Phys, 1926, 37, 895-906.

85. Fock V. Uber die invariante Form der wellen- und der bewegungs- gleichungen fur einen geladenen massen-punkt // Z.f.Phys., 1926, 38, 242-232.

86. Gordon W Der comptoneffekt nach der Schrodingerschen theorie // Z.f.Phys., 1926, 40, 117-133.

87. Андреев А.В. Теория частиц с полуцелым спином и сверхтонкая структура атомных уровней. -М.: Физматлит, 2003, - 300 с.

88. Andreev A.V. Atomic spectroscopy: introduction to the theory of hyperfine structure. -N-Y: Springer, 2006.

89. Андреев А.В. Релятивистская квантовая механика: частицы и зеркальные частицы. -М.: Физматлит, 2009, - 628 с.

90. Окунь Л.Б. Зеркальные частицы и зеркальная материя: 50 лет гипотез и поисков // УФН, 2007, 177, 397-406.

91. Вайнберг С. Квантовая теория поля, т. 1. - М.: Физматлит, 2003, - 648 с.

92. Mohr P.J. and Taylor B.N. CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 1998 // Rev.Mod.Phys., 2000, 72, 351-495.

Андреев Анатолий Васильевич,

действительный член РАЕН, д.ф.-м.н, профессор, МГУ им. М.ВЛомоносова, физический факультет 119991 Москва, Ленинские горы, д.1, стр.2, тел. (495) 939-3092, [email protected]

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

EIGHTY YEARS OF THE KLEIN PARADOX

43

EIGHTY YEARS

OF THE KLEIN PARADOX

Andreev A. V.

Lomonosov MSU, Physics department,

Leninskie Gory, 1, b.2, 119991 Moscow, Russia

тел. +7(495) 939-3092, e-mail: [email protected]

The Klein paradox is interpreted in the frames of the theories based the material wave equations including the second time derivative. The optimal conditions for the experimental verification of this phenomenon are formulated.

Keywords: Klein—Gordon—Fock equation, quartion

equation, negative probability, mirror particles, dark matter, scalar and spinor fields, quartions.

PACS: 03.65.-w

Bibliography — 92 references

Received 15.06.2010

Восемьдесят лет парадоксу Клейна Текст научной статьи по специальности «Физика»

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Андреев Анатолий Васильевич

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Андреев Анатолий Васильевич

EIGHTY YEARS OF THE KLEIN PARADOX

Текст научной работы на тему «Восемьдесят лет парадоксу Клейна»