Релятивистское уравнение Шрёдингера со ступенчатым потенциалом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 4. 2011. Вып. 2

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

ФИЗИКА

УДК 539.182

А. В. Головин, В. М. Лагодинский

РЕЛЯТИВИСТСКОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА СО СТУПЕНЧАТЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

Введение. Принято считать [1], что состояния релятивистской бесспиновой частицы в электростатическом поле описываются уравнением Клейна—Гордона (УКГ)

Известно также, что использование этого уравнения связано с существенными трудностями, в частности, для свободной частицы оказываются возможными состояния с отрицательной энергией (существует «нижний континуум энергий»), в кулоновом поле ядра с большим атомным номером Z > 68 энергия частицы принимает комплексные значения, в пространстве, где потенциальная энергия частицы может принимать сильно различающиеся значения, УКГ приводит к парадоксу Клейна [2]: энергии из верхнего континуума в одной части пространства оказываются в нижнем континууме для другой части пространства. При этом дираковская интерпретация нижнего континуума не помогает, поскольку для бесспиновых частиц принцип запрета Паули не действует. Полагают [3], что одночастичная квантовая механика вообще невозможна.

Происхождение этих трудностей легко понять из аналогии с классической механикой. Интеграл действия Б для частицы, движущейся в заданном электромагнитном поле, складывается из двух частей, первая из которых линейно зависит от дифференциала интервала и описывает движение свободной частицы, а вторая, включающая дифференциалы времени и пространственных координат, описывает взаимодействие точечной частицы с полем [4]:

где т и е — масса и заряд частицы соответственно, а с — скорость света. Свойства поля характеризуются четырёхмерным вектором А, где временная компонента — скалярный потенциал, а три пространственные компоненты образуют трёхмерный вектор А, называемый векторным потенциалом поля. Поэтому интеграл действия можно переписать

© А. В. Головин, В. М. Лагодинский, 2011

Ь

а

в виде

ь

Б = — / (тейз — ее-1 Лйг + еф йі)

а

или, вводя скорость частицы V = дх/А и переходя к интегрированию по времени,

Подынтегральное выражение есть функция Лагранжа (Ь) для точечной частицы с зарядом е в электромагнитном поле. Из функции Лагранжа можно найти функцию Гамильтона Н по известной общей формуле:

— импульс частицы. Из (2) видно, что знак квадратного корня однозначно определён требованием существования минимума интеграла действия, поэтому Н ^ еф и уравнение

не эквивалентно уравнению (2). Однако уравнение (1) получают, возводя обе части уравнения (2) в квадрат и после этого выполнив замену:

Если бы эта замена была выполнена в уравнении (2), то получилось бы уравнение

последующее возведение в квадрат привело бы к появлению в (1) коммутатора

и от корня из дифференциального оператора избавиться бы не удалось. Не удалось бы избавиться таким способом от этого корня и в многочастичном случае даже при ф = 0. Очевидно, именно это обстоятельство привело к тому, что в ряде работ [5, 6] для описания системы кварк + антикварк используется многочастичная модификация уравнения (3), которое в этих работах называют уравнением Бете—Солпитера. При

а

д V

При Л = 0

те

.2

Н — еф

+ еф = \/т2сА + с2 р2,

(2)

где

Р

(Н — еф)2 = т2е4 + е2р2

(3)

ф, л/т2с4 — с2 Її? А ,

этом возникает необходимость в точном определении квадратного корня из дифференциального оператора. В работах [5, 6], как и многих других, используется определение из [7], основанное на применении преобразования Фурье (импульсного представления). Такое определение делает этот оператор интегральным, следовательно, нелокальным (что и отмечено в этих работах), кроме того, расчёты оказываются сложными и громоздкими, а волновые функции — сингулярными. Использование этого определения для решения рассматриваемой в настоящей работе задачи вряд ли возможно.

Но такое определение этого оператора не является единственно возможным. Одним из соавторов настоящей работы предложено определение голоморфной функции дифференциального оператора [8], которое сопоставляет дифференциальный оператор конечного порядка и дифференциальный оператор бесконечного порядка, являющийся локальным. При этом голоморфной функции ](г), имеющей лишь конечное число нулей (если ](г) не является тождественным нулём) и не имеющей никаких особых точек кроме, может быть, точек ветвления конечного порядка, и дифференциальному оператору конечного порядка Б соответствует дифференциальный оператор бесконечного порядка ](Б) с помощью «а-продолжения», то есть аналитического продолжения ряда

по вещественной переменной а. Определено также действие этого оператора справа и слева. В работе [8] показано, что такие операторы являются локальными, и построены основы спектральной теории граничных задач для уравнения

то есть рассматривался случай f(z) = \/т? — ^, И = сі/сіх.

Очевидно, уравнение (3) с оператором, определённым таким образом, уже не является уравнением Бете—Солпитера, оно аналогично нерелятивистскому уравнению Шрёдингера, и мы называем его релятивистским уравнением Шрёдингера (РУШ).

В работе [9] нами было показано, что если за основу релятивистской квантовой механики принять не УКГ, а РУШ, то устраняется одна из трудностей релятивистской квантовой механики — наличие комплексных значений в энергетическом спектре водородоподобного пионного атома с зарядом ядра Z > 68. При этом для малых Z нерелятивистская формула Бальмера остаётся приближённо справедливой. В настоящей работе показано, что использование РУШ не приводит к парадоксу Клейна в задаче

об отражении частицы от потенциального скачка.

Мы рассматривали стационарное одномерное РУШ в пространстве с потенциалом (вернее, потенциальной энергией частицы) и(х):

П=0

т?------—г и{х) = \и{х),

ах2

(4)

(используется система единиц, в которой с = Н = 1). Здесь

— линейный дифференциальный оператор бесконечного порядка — определяется с помощью «а-продолжения» [8], то есть как аналитическое продолжение ряда

n!

0

где /(-г) = л/т2 — г2 (/(0) = т > 0), по параметру а от 0 до 1. Это локальный оператор, то есть если функция и(х) = 0 при всех х Є (а, Ь), то и (Ни)(х) = 0 при всех х Є (а, Ь). Аналогично определяются операторы:

й

. 1 - — *3“

ц 1 ___ _____________ у __ (IX

£■ 9 £■

Ас2 Г" ~

Следует заметить, что оператор Н-1, обратный дифференциальному оператору бесконечного порядка Н, является дифференциальным оператором бесконечного порядка, а оператор скорости V связан с оператором Н обычным (и принципиально важным) соотношением [10]

V = і[Н, х].

Если, как это часто делается, обозначить -ій/йх = р, то выражения операторов Н и V принимают вид

Н= л/т2 + р2 , V

p)

\/т2 + р2

аналогичный выражениям энергии и скорости свободной частицы через её импульс. Согласно определению оператора Н

(5)

„ _ I ж . /_______ .

Нexp(ipx) = dm2 — exp(грх) = л/т2 + р2 ехр(грх) для всех p Є R и

. I ~/р~ __________

Нехр(кж) = dm2 — ехр(кж) = л/т2 + р2 ехр(кж), (6)

если к Є R и |к| ^ m. Если же к Є R и |к| > m, то

d2

Н ехр(кж) = \1 т2-------^ ехр(кж) = 0. (7)

V dx2

РУШ является линейным дифференциальным уравнением бесконечного порядка. Основы теории таких уравнений, в том числе и теории граничных задач для этих уравнений, построены в работе [8].

В настоящей работе потенциал U(x) считается ступенчатым, то есть всё пространство R делится на промежутки (—ro,xij, (xi,x2j,..., (xn, +то) и U (x) = Uk, Ух е (xu-i,xu), к = 1, 2, n +1 (xo = —<x>,xr+i = +ro).

Задача сводилась к отысканию общих решений уравнений

y(x) = 0, ^x Є (xk-i,xk), (8)

к = 1,2,..., n +1 и подчинению их определённым граничным условиям. Эти условия получены из условия самосопряжённости граничной задачи.

Общее решение РУШ и граничные условия. Из (5), (6) и (7), как показано в работе [8], следует, что решение уравнения (8) имеет вид

\|/(ж) = Aexp — Uk)2 — m2 xj +

+ В ехр гд/(е - Uk)2 - т2 xj , Vx G (xk-i,xk) (9)

при e > Uk + m,

\|/(ж) = A exp (^\/m2 — (e — Uk)2 xj +

+ Вexp iy/m2 - (e - Uk)2 ж) , Ух £ (хк-1,хк) (10)

(A, B е C) при Uk < e ^ Uk + m и

V(x)=0, Vx е (xk-i,xk). (11)

Постоянные A и B определяются из граничных условий и требования ограниченности решения. Необходимо установить вид граничных условий в точках разрыва потенциала. С физической точки зрения граничные условия должны обеспечивать непрерывность потока, с математической точки зрения — обеспечивать самосопряжённость граничной задачи. В работе [8] показана справедливость равенства

Vi# V2 — V2# Vi + m2 [V2# -iVi — Vi#-1V2] +

dx dx dx dx dx V dx ¥l dx )’ ( ^

которое является аналогом тождества Лагранжа

d2v2 d2vi d ( dv2 dvi 'N

\|/i—-- -¥2_— = _ ¥i__ -\|/2— •

dx dx dx dx dx

Интегрируя (12), получаем аналог формулы Грина:

Vi#V2 — V2#Vi + m2(V2# iVi — Vi# iV2) +

dx dx dx dx

= L[b, Vi, V2] — L[a, Vi, V2], (13)

где

L[.x,\|/b\|/2] =\|/2Я 1^rr, (14)

Эта функция, как показано в работе [8], играет в теории уравнения (4) роль вронскиана.

b

Пусть уДх) (г = 1, 2) — решение (4) с є = Єі, тогда (13) принимает вид

ь

_2 V —К.г* V — 1Ч

(е2 - Єї) / кі>2 + т2Н V*# 1¥2 + V*V*^VУ2] ІЇХ

Ъ\Ь, VI, ^2] - Ца, VI, ¥2]. (15)

Это равенство должно выполняться при всех а и Ь из промежутка, на котором задано РУШ. Отсюда следует, что граничные условия должны обеспечивать постоянство функции (14) на этом промежутке (поскольку при Ь ^ а левая часть стремится к нулю). Поэтому во всех точках промежутка, на котором задано РУШ, в том числе и в точках разрыва потенциала и (ж), должны быть непрерывны решения РУШ:

Иш[у(х + 5) — у(х — 5)] = 0 (16)

6—► 0

и функция (Vу)(х):

Иш[(У у)(х + 5) — (и)у(х — 5)] = 0. (17)

6——0

Если же а и Ь — концы промежутка, на котором задано РУШ, то однородные граничные условия, при которых

Ь[а, VI, ¥2] = Ца, VI, ¥2],

имеют вид

¥(а)ео8а + ¥/(а)зша = 0, ¥(Ь)ео8|3 + ¥/(Ь)зтР = 0, (18)

где а, в Є М. Вместе с условиями (16) и (17) эти условия определяют самосопряжённую граничную задачу для РУШ со ступенчатым потенциалом, заданного на конечном промежутке [а, Ь]. Такая задача имеет лишь ограниченный снизу точечный (дискретный) спектр, все значения которого вещественны, а собственные функции, соответствующие разным собственным значениям, ортогональны друг другу в смысле скалярного произведения

ь

(VI, ¥2)а =у"кі>2 + т2 Н— VIя—1¥2 + V¥2] dx. (19)

а

Нетрудно усмотреть связь функции (14) с функцией

7 (х) = (v*(x)Vv(x)+ v(x)V >*(х) =

d d

. г-

= у* (ж)— ^х =у(ж) — у(ж)— ^х =у*(ж). (20)

d2 / „ d2

dx2 V dx2

Последняя, как можно показать, является выражением для потока, следующим из временного варианта РУШ (4). Таким образом, физический смысл граничных условий (16), (17) и (18) и, следовательно, самосопряжённости граничной задачи состоит в сохранении потока.

Если РУШ задается на бесконечном промежутке (—те, +те), (—те,а] или [а, +те), то граничное условие на бесконечном конце заменяется условием ограниченности. При

этом спектр состоит из непрерывной и точечной частей, хотя последняя может быть пустой. Как и в нерелятивистской теории, любое решение непрерывного спектра ортогонально любому решению точечной части, а скалярное произведение двух решений непрерывного спектра является обобщённой функцией соответствующих значений спектра, при определённой нормировке — дельта-функцией Дирака [11].

Отражение частицы от потенциального скачка. Пусть потенциал имеет вид

Если волновая функция отлична от тождественного нуля при ж > 0, то она должна удовлетворять ещё граничным условиям

Рассмотрим сначала диапазон энергий е ^ и + т. Будем считать, что частица налетает слева. Тогда решение у;(е,ж) имеет вид

Vг(є,x) = ехр(ірх) + Ае ехр(—ірх), Ух < 0, v(x) = Ве ехр(ідх), Ух ^ 0, (25)

и (х)

0, Ух < 0,

и0 > 0, Ух ^ 0.

Волновая функция должна удовлетворять уравнениям

(21)

(22)

Иш^—5) — v(6)] = 0, 1іш[(и V)—5) — (V v)(6)] = 0

6—► 0 5—► 0

(23)

и условию ограниченности решения на ±те.

Если же v(x) =0 Ух > 0, то граничное условие

^0) = 0.

(24)

где

р = л/£? — т2 , ц = у/ (е — По)2 — т2 . Используя (23) и (25), получим систему уравнений для Ае и Ве:

(26)

Решение этой системы:

_ У(р) - У(д) _ 2У(Р)

6 У(р) + У(д)’ е У(р) + У(дУ

(27)

где

Таким образом, коэффициенты отражения К и прохождения В:

я = А |2

У (р) - У (я)

V (р) + V (я) Очевидна справедливость равенства

В

У(д)

V (р)

В12

2 У(р)У(д) \У(р) + У(д)\2'

К + В = 1.

Столь же очевидна правильность нерелятивистских пределов формул (28) лятивистское уравнение Шрёдингера приводит к выражениям [10]:

(29)

нере-

к = А |2 =

р — я

р + я

в = Цве\2 =

2рд \р + ч?

(30)

К выражениям (30) приводит и УКГ, но для него р и д выражаются через е формулами (26). Таким образом, решение УКГ этой задачи тоже имеет правильный нерелятивистский предел, но равенство (29) для решения УКГ получается справедливым, только если коэффициент прохождения определить формулой В = др-1\Б\2. Однако такое определение некорректно в релятивистской теории: поток должен быть пропорционален скорости, а не импульсу. Эта трудность УКГ связана с тем, что поток в теории УКГ определяется не формулой (20), а так же, как и в нерелятивистской теории:

¥

; dy dy*

dx

V

dx

Конечно, эту формулу можно подправить, используя «релятивистскую» нормировку [3], но коэффициенты отражения и прохождения от нормировки не зависят.

Любопытно, что УД приводит к результату [2, с. 94], отличающемуся и от результата применения РУШ, и от результата применения УКГ:

К

1 — г

1 + г

В

4г

(1 + г)2 '

(31)

где

д є + т

р є — Ио + т

Здесь существуют проблемы с нерелятивистским пределом. Кроме того, если порог достаточно высокий (Ц > т), то при е < Ц, — т В =0 и К > 1. Различие предсказаний УД и УКГ неясно потому, что опрокидывания спина не происходит [2].

Рассмотрим формулы для коэффициента отражения К, получаемые с помощью РУШ и УКГ в ультрарелятивистском пределе, то есть при е ^ и о + т. Зависимость коэффициента Ае от энергии, следующая из РУШ, при больших энергиях имеет вид

\/е2 — т2 у/(е — Щ)2 — т2

Ає =

е - У о

- +

2

т2

1-------------1

2є

2(є — и0)

а/є2 — т2 -у/(є — 11о)2 — т2

є — ио

22 т2 т2

1---Ь 1--

2е 2(е — Щ)

О

(є — ио)2

2

2

2

2

т

2

т

а из УКГ

2 2 т т

А _ л/е2 - т2 - л/(е - и о)2 - т2 ^ £ 2е £ + + 2(е - Щ) _ п / и0

6 л/е2 - т2 + л/(е - иа)2 - т2 т2 т2 V е

' е--+е-^0-2(Г^у

Легко заметить разницу. РУШ приводит к выводу, что коэффициент отражения стремится к нулю при росте разности энергии и значения скачка потенциала по сравнению с энергией покоя. Из УКГ следует, что этот коэффициент стремится к нулю при росте отношения энергии к скачку. Если учесть, что при большой разности энергии и значения скачка потенциала по сравнению с энергией покоя частица должна вести себя как классическая, для которой коэффициент отражения должен быть равен нулю, независимо от значения скачка, то результат РУШ представляется более правдоподобным.

Пусть теперь ио < £ < т + V). Решение имеет вид

У;(е,ж) = ехр(грх) + А£ ехр(—грх), Ух < 0, у;(х) = В£ ехр(—кх), Ух ^ 0, (32)

где _______ _____________

р = л/е2 — т2 , к = \/т2 — (е — Ио)2 . (33)

Используя (33) и граничные условия (23), получим

Р гк

1 + Ае = Ве, = (1 - Ае) = == Ве.

у т2 + р2 V т2 — к2

Отсюда

рл/т2 — к2 — ікл/т2 + р2 2рл/т2 — к2

Ае = —. . .-------, . . , Вг =

рл/т2 — к2 + ік\/т2 + р2 рл/т2 — к2 + ік\/т2 + р2

Поэтому коэффициент отражения К = \Ле |2 = 1, а коэффициент прохождения чисто мнимый. УКГ здесь приводит к аналогичному результату, но при Ио > 2т возможно т < є < Ио — т, ив этом случае УКГ и УД приводят к парадоксу Клейна, поскольку характеристическое уравнение УКГ и УД

р2 + т2 = (є — Ио)2

имеет вещественные решения для р не только при є — и о > т, но и при є — и о < —т. А характеристическое уравнение РУШ

л/р2 + т2 = є — [То

имеет вещественные решения для р только при е — Па > т, так как из определения оператора Н следует, что квадратный корень определён так, что л/т2 = т > 0, и поэтому справедливо (7). Решение при є — и о < 0 имеет вид

У;(ж) = ехр(ірж) + Лє ехр(—ірж), Ух < 0, у;(ж) = 0, Ух ^ 0, (34)

Используя условие (24), получаем Лє = —1, и, следовательно, по-прежнему К =1. Частица не может проникнуть туда, где её энергия (с учётом энергии покоя) отрицательна, даже на бесконечно малое расстояние. РУШ не приводит к парадоксу Клейна.

Эта задача имеет только непрерывный (сплошной) спектр, ограниченный снизу, поскольку при е < 0 и уравнение (21), и уравнение (22) не имеют решений. На самом деле уже при е < m нет ограниченных решений, удовлетворяющих поставленным граничным условиям.

Пусть теперь частица налетает справа. Это возможно, только если е ^ Uo + m, так как при е < Uo + m ограниченных решений, удовлетворяющих заданным граничным условиям, нет. Если е ^ Uo + m, решение (x) имеет вид

уг (е,х) = Ре exp(—ipx), Ух < 0, yr (x) = exp(iqx) + Q exp(-iqx), Ух ^ 0, (35)

где Ре, Qe G C. Граничные условия (23) выполняются, если

pq Pe = l + Qe, =Ре = —jz (Qe - 1).

ym2 + p2 ym2 + q2

Отсюда

V(g) - V(P) 2V(g)

V(q)+V(Py e V(q)+V(Py

и для коэффициентов отражения и прохождения снова получаем выражения (28).

Таким образом, сплошной спектр нашей задачи состоит (при Uo > m) из трёх частей: при m < е < Uo граничное условие у(е, 0) = 0, при Uo < е < Uo + m граничное условие требует непрерывности решения и функции (V(—id/dx)y) (x).

Если е < Uo + m, будем считать yr(x) = 0. Покажем, что семейство функций

y^,x) = уДе^+Ут(e,x), е G (m, +ю)

является ортогональным в том смысле, что скалярное произведение (19) при а ^ —сю, b ^ +ю двух таких функций с е = ех, е = е2 является обобщённой функцией ех — е2.

Пусть сначала ех > Uo + m и е2 > Uo + m. Тогда Q6 = 1 + Ае, Ре = 1 — Ае, в этом случае

у(е^ x) = 2 cospix, yx ^ 0, у(е^ x) = 2 cos qix, yx ^ 0, i =1, 2

Поэтому

o

We„x), Yta ,,x)- =4j\l (pi,p2>cosp,x cos P2 + y(pi>p2)sinpix s,H p2xldx +

— oo

+ lj\f (qi ,q2)cosqix cos q2 + #(qi,q2)sin qix sin q2x] dx =

o

= (2n)-1\f (pi,p2)6(pi — p2) + / (qi,q2)6(qi — q2)1,

SZ

где

1+ ^2+m2^ ^ " +

Используя известную формулу [10]

y/J;2 + m2^/^2 + m2 у^2 + m2 л/t2 + m2

б(ф(т') — ф(т)) = ^ф/dT] 1 6(т' — т),

получаем

(у(єі,x), V^2,x)) +то = h^i, Є2)6(єі - Є2),

где

h(єl, Є2) = (2л)-

fiPl,P2)—7=== + /(<?!, <72)-

\/єі — пі2 ’ у/ (єі — Uо)2 — т2

Таким образом, для случая, когда и єі > m + Uq, и Є2 > m + Uq, ортогональность в указанном выше смысле доказана.

Пусть теперь m К Є2 К m + Uq. Тогда, если єі > m + Uq, то y^i,x) = cospix, Vx Є R,

ieip2X + Ae-ip2X, Vx К О,

¥(Є2= \(І + A)e-Kx, Vx > О,

причем |A| = І. Полагая A = e-2ia (a Є R), эту формулу можно переписать в виде

, . I 2e-a cos(p2x + a), \/x К О,

Ш(Є2, x) = <

[(І + e-2a)e-Kx, Vx > О.

Поскольку lim L[b, y^i,x), y^2,x)] = О, то, используя (15), получим:

b——то

(єі - Є2К¥(єі, x),у(є2,x)) +то = lim L[a, V^i,x), ^2,x)] =

то а—-то

= lim { 7-(г'і + v2) sin[(pi - р2)а - a] + - v2) sin[(pi + р2)а + a]

где

Рі * = 1,2.

\Jp2 + m2 ’

Поскольку єі = Є2 и

b

lim / f (p)sinpa dp = О, (37)

a——то J

для любой непрерывной функции I(р), то функции у(е1,х) и у(ех,х) ортогональны в том смысле, что для любой непрерывной функции I(е) справедливо равенство

J I(е)(у(е,х),у(е2,х)) 3,е = 0.

т+и0

Пусть теперь т < ех < т + и о и т < е2 < т + и о. Тогда

| 2е-а еов(р*х + а*), Ух < 0, .

ш(е,, х) = < „ , г = 1, 2.

^ 7 [(1 + е-2а)е-к*х, Ух > 0,

Теперь

(у(еьх), у(е2, х)) = (ех - е2)-1 Иш £[а,у(еьх),у(е2,х)] =

a

i

V

= e (ai+“2)(ei - £2) 1 lim {(г>1 + V2)sin[(pi -p2)a + ai - a] +

a——to

+ (vi - V2) sin[(pi + P2)a + ai + a2^.

Правая часть этого равенства непрерывна как функция £i при всех £i = £2, а при £i « £2 представляет собой сумму непрерывной функции £i и разрывной функции:

(г>1 +^2)sin[(pi — р2)а + cti -02] _ 1 Ит sin[(pi - р2)а]

a—ж £i — £2 2 a—ж pi — p2

Предел в правой части — дельта-функция Дирака [11].

Пусть теперь m < £2 < Uo. Тогда решение при x > 0 тождественно равно нулю, и по условию непрерывности ^(£2, 0) = 0. Поэтому при x ^ 0 оно имеет вид (32). Нетрудно показать, что оно ортогонально всем решениям y(£i,x) при всех £i > Uo. Если же и m < £i < Uo, то, как легко убедиться, их скалярное произведение представляет собой обобщённую функцию — дельта-функцию Дирака от разности pi — p2.

Итак, задача об отражении частицы от скачка потенциала имеет в предлагаемом варианте релятивистской квантовой механики точное, математически корректное и физически правдоподобное решение, вполне аналогичное решению соответствующей нерелятивистской задачи. Единственное отличие состоит в том, что в нём существует диапазон энергий частицы, такой что волновая функция частицы с энергией из этого диапазона тождественно равна нулю там, где её полная энергия меньше её потенциальной энергии.

Литература

1. Бьёркен Дж., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория. Т. 1. Релятивистская квантовая механика. М., 1978. 205 с.

2. Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля. М., 1984. 397 с.

3. Ахиезер А. И., БерестецкийВ. Б. Квантовая электродинамика. М., 1981. 622 с.

4. Ландау Л. Д., ЛифшицЕ. М. Теория поля. М., 1973. 502 с.

5. Durand B., Durand L. Analytic solution of the relativistic Coulomb problem for a spinless Salpeter equation // Phys. Rev. (D). Vol. 28. P. 396-406.

6. Lucha W., RupprechtH., SchoberlF. F. Spinless Salpeter equation as a simple matrix eigenvalue problem // Phys. Rev. (D). 1992. Vol. 45. P. 1233-1239.

7. Дубинский Ю. А. Алгебра псевдодифференциальных операторов с аналитическими символами и её приложения к математической физике // Усп. мат. наук. 1982. T. 37. № 5. C. 97-137.

8. Лагодинский В. М. Голоморфные функции дифференциальных операторов и дифференциальные уравнения бесконечного порядка: дис. ... канд. физ.-мат. наук. СПб., 2005. 118 с.

9. ГоловинА. В., ЛагодинскийВ. М. Задача об s-состояниях пионного атома в релятивистской квантовой механике без учёта сильного взаимодействия // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2009. Вып. 2. С. 142-154.

10. Ландау Л. Д., ЛифшицЕ. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М., 2001. 699 с.

11. ДиракП. А. М. Принципы квантовой механики. М., 1966. 408 с.

Статья поступила в редакцию 4 июня 2010 г.