Задача о столкновении бесспиновой частицы с идеальным зеркалом конечной массы в релятивистской квантовой механике Текст научной статьи по специальности «Математика»

2012 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 4. Вып. 4

ФИЗИКА

УДК 539.182

А. В. Головин, В. М. Лагодинский

ЗАДАЧА О СТОЛКНОВЕНИИ БЕССПИНОВОЙ ЧАСТИЦЫ С ИДЕАЛЬНЫМ ЗЕРКАЛОМ КОНЕЧНОЙ МАССЫ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

Введение. Очевидно, задача о двухчастичном взаимодействии является важнейшей в квантовой теории. Казалось бы, теория этой задачи должна базироваться на изучении самой простой из подобных задач, например, о столкновении частицы с идеальным плоским зеркалом конечной массы при нормальном падении частицы на зеркало (это двухчастичная задача, потому что частица и зеркало здесь вполне равноправны). Однако математически корректное решение в литературе найти не удаётся. Известно лишь рассмотрение этой задачи на уровне мысленного эксперимента в работе [1], повторённое в каноническом руководстве [2, § 44].

Отсутствует в литературе и решение для релятивистской бесспиновой частицы. Это объясняется тем, что, как принято считать, движение бесспиновой частицы в релятивистской квантовой механике описывается уравнением Клейна—Фока—Гордона (УКФГ) [3], которое получается, если в релятивистском соотношении между квадратом энергии и импульсом частицы

2 2,2 е = р + т

(т — масса частицы, здесь и далее используем систему единиц, в которой скорость света и постоянная Планка равны единице) произвести стандартную замену:

д

Вспомним, что в нерелятивистской квантовой механике уравнение Шрёдингера получается, если такую замену произвести в выражении не квадрата энергии, а энергии. Эта, казалось бы, небольшая разница, влечёт существенные последствия: во-первых, спектр энергий свободной частицы на основании УКФГ оказывается не ограниченным снизу, во-вторых, многочастичное УКФГ становится невозможным, поскольку даже для системы из двух частиц классическая релятивистская механика даёт

Р2 + т\ + р2 + т1,

© А.В.Головин, В. М. Лагодинский, 2012

е

и избавиться от квадратного корня возведением в квадрат нельзя. Поэтому постановки многочастичных задач в нерелятивистской и релятивистской квантовых механиках существенно различаются: в нерелятивистской квантовой механике физическая система, состоящая из N частиц, описывается одной волновой функцией (зависящей от 3Ж + 1 переменных), которая является решением одного уравнения Шрёдингера (однородного линейного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка по времени), а в релятивистской квантовой механике бесспиновых частиц, основанной на УКФГ, такая физическая система описывается набором из N функций, каждая из которых зависит от четырёх переменных, удовлетворяющим нелинейной системе N дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка по времени. Естественно, при такой постановке многочастичная задача оказывается крайне сложной, для её решения приходится использовать теорию возмущений, которая приводит к расходимостям.

Казалось бы, для получения релятивистского аналога уравнения Шрёдингера можно использовать выражение не для квадрата энергии через импульс, а для энергии:

е = л/р2 + т2, (1)

но тогда в результате стандартной замены из этого выражения получается не вполне обычное уравнение

<9Ф /-

= л/т2 - АЯ>, (2)

дг '

где Д — оператор Лапласа. Оно (или эквивалентное ему уравнение) приводится многими авторами [4-6], но обычно лишь для того, чтобы объявить его неприемлемым. Причину этой неприемлемости видят в несимметричности этого уравнения относительно координат и времени и его (якобы) нелокальности. Несимметричность, конечно, очевидна. Но противоречит ли она релятивистской инвариантности? Равенство (1) тоже несимметрично относительно энергии и компонент вектора импульса, что не мешает его справедливости в релятивистской механике. Несимметрична метрика пространства-времени (мира Минковского)

¿я2 = йй2 — йх2 — йу2 — ¿г2.

А. Эйнштейн писал: «Неразделимость четырёхмерного континуума событий совсем не означает эквивалентности пространственных координат временной координате. Наоборот, мы должны помнить, что временная координата определена физически совершенно иначе, чем пространственные координаты» [7]. На самом деле для инвариантности уравнения относительно некоторых преобразований необходима лишь инвариантность относительно этих преобразований множества решений этого уравнения [8].

Утверждение о нелокальности уравнения (2) основано на убеждённости, что любой дифференциальный оператор бесконечного порядка нелокален. В качестве примера обычно предъявляют оператор сдвига

/ й N . , ^ и(п)(х) п ехр а— и(х) = У -;— а = и(х + а).

V ах ) п!

V / п=0

Однако этот оператор может «сдвинуть» только функции, определённые на всей числовой прямой и представимые рядом Тейлора с бесконечым радиусом сходимости.

Другим обоснованием нелокальности оператора в уравнении является общепринятое определение функции оператора. Согласно ему вещественной функции ](г) и самосопряжённому оператору А соответствует самосопряжённый оператор ](А), имеющий те же собственные функции ф(а, х) (а — собственное значение оператора А: Аф(а,х) = аф(а,х)), что и оператор А, при этом /(А)ф(а,х) = /(а)ф(а,х). Очевидно, это определение есть обобщение известного определения функции матрицы. Частным случаем таких операторов являются псевдодифференциальные операторы, которые определяют с помощью преобразования Фурье, т. е. импульсного представления

[9]. Их нелокальность хорошо известна физикам, хотя они и используют уравнение (2) с нелокальным оператором для решения отдельных задач (называя его бесспиновым уравнением Солпитера) [5], но не рассматривают как основу релятивистской квантовой теории.

Возникает вопрос: а нельзя ли принять другое, локальное определение функции оператора? Такое определение было предложено одним из авторов настоящей работы

[10]. В нём любой аналитической функции ](г), имеющей конечное число нулей и не имеющей ни полюсов, ни существенно особых точек (а имеющей, возможно, лишь точки ветвления) и дифференциальному оператору Бх отвечает оператор, определяющий для любой функции у(х) из его области определения функцию, в которой в свою очередь каждому значению х из области определения функции у(х) соответствует аналитическое продолжение ряда

(/(аВ)у)(х) = £ а"(£>»(*),

=а п!

по вещественной переменной а от а = 0 до а = 1. В частности, если /(г) = (т2 + г2)1/2, Вх = —гд/дх, у(х) = ехр(грх), Ух € (а, Ь)

I ¡¿2~~ _

у т2 — —- у(ж) = \/т2 + р2 \|/(.г'), Уж € (о, 6),

где концы интервала могут быть и бесконечными. Произвольность этих концов и означает локальность этого оператора.

В работе [11] была построена теория уравнения

т. е. получены его частные и общее решения, решения задач Коши и граничных задач, показано, что эта теория во многом аналогична теории свободного одномерного стационарного уравнения Шрёдингера. Так, оно имеет при е ^ т два линейно независимых решения, а некоторые граничные задачи определяют самосопряжённые (в смысле некоторого специально определённого скалярного произведения) операторы е положительным спектром. Там же показана инвариантность множества решений уравнения

относительно преобразований Лоренца. В работах [12] и [13] новое определение квадратного корня из дифференциального оператора было использовано для решения задач

об в-состояниях пионного атома и об отражении частицы от скачка потенциала. При этом не возникает тех трудностей, к которым приводит применение к этим задачам УКФГ, и решения имеют правильный нерелятивистский предел.

Следует подчеркнуть, что при новом определении квадратного корня из дифференциального оператора волновые уравнения, содержащие такой корень, уже неправомерно называть уравнениями Солпитера (сходство с последними — чисто внешнее). Они аналогичны соответствующим нерелятивистским уравнениям Шрёдингера и поэтому должны называться релятивистскими уравнениями Шрёдингера (РУШ) (каждой физической задаче соответствует свое РУШ и свои граничные условия).

В настоящей работе вводится двухчастичное РУШ, которое используется для решения задачи о столкновении частицы с идеальным плоским зеркалом конечной массы при нормальном падении, но вначале эта задача решается в рамках нерелятивистской квантовой механики. Поскольку квантовая механика — это обобщение классической механики, она должна быть применима для физических систем, в состав которых входят и макроскопические тела.

Нерелятивистская задача о столкновении бесспиновой частицы с идеальным зеркалом конечной массы. Пусть масса частицы ш\, координата частицы х1, масса зеркала т2, координата зеркала х2. Уравнение Шрёдингера имеет вид

д 1 д2 1 д2 \ ,

+ + = (3)

Пусть частица налетает слева. Тогда решение должно удовлетворять условию

Ф(г,х1,х2) = 0, Ух1 > Х2.

Кроме того, решение должно быть ограниченным и непрерывным при всех вещественных Ь, х1, х2. Легко убедиться, что переменная Ь отделяется подстановкой

х1,х2) = у(е, хьх2)ехр(-геЬ).

В результате этой подстановки в уравнение (3) получаем уравнение

1 в2 1 в2 \ ,

£+7^-"г~2 + о-Т^ Ы(е,х1,х2) =0, (4)

2т1 ах\ 2т2 вх2 )

а граничное условие принимает вид

е,х1 ,х1) = 0, Ух1 е М. (5)

Итак, требуется найти все непрерывные и ограниченные на М2 функции у(е, х1,х2) (е — параметр), удовлетворяющие уравнению (4) и условию (5). Легко проверить, что уравнению (4) удовлетворяют функции вида

у(е,х!,х2) = Аехр(гр1х1 + гр2х2) + В ехр(1,слх1 + гЦ2х2), Vxl ^ х2, (6)

где А и В — комплексные постоянные, а р1, р2, Я1, ® — вещественные постоянные, если

2 2 2 2 е= + ^ = ^ + (7)

2т1 2т2 2т1 2т2

Условию (5) удовлетворяют функции вида (6), если они равны нулю при х\ > х2. Поэтому решение, удовлетворяющее условию (5) и условию непрерывности, можно представить в виде

у(е,х1,х2) = С"Э-(х2 — х1)ехр[1Р(а1х1 + а2х2)]вт[к(х1 — х2)], Ух1, х2 € К, (8) где Р, к, а1, а2 € М, С € С,

У^ < 0

Но (8) можно переписать в виде

у(е, х1,х2) = (2г)-1С{ехр[г(Ра1 + к)х1 + г(Ра2 — к)х2] —

— ехр[г(Ра1 — к)х1 + г(Ра2 + к)х2]}, Ух1 ^ х2. (9)

Сравнивая (6) и (9):

Ра1 + к = р1, Ра2 — к = р2, Ра1 — к = ц1, Ра2 + к = ц2, А = —В = (2г)-1С. (10)

Отсюда следует, что д1 = р1 — 2к, д2 = р2 + 2к. Подставляя это в (7), получаем

р\ + _р|_ = (Р1 ~ 2Л02 (р2 + 2А02

2т1 2т2 2т1 2т2

Таким образом,

_ р\т 2 -р2 т1 т-1 + т2

Подставив в (10), получим

Р1'т2 — Р2т1 , т! РО! =Р1----—- = (р 1 +р2)-

т1 + т-2 т1 + т2

Р1т2 — Р2т1 т2

^о2 = р2 Н----—- = (р! + р2) -

т1 + т-2 т1 + т2

Так как Р = р1 + р2 = + Ц2, то а1 = т1/(т1 + тг), а2 = т2/(т1 + тг) и X = = (т1 х1 + тгхг)/(т1 + тг). Введём ещё переменную х = х1 — хг. Решение принимает вид

у(е,Х,х) = С»(—х)ехр(гРХ)вшкх, УХ, х € М. (11)

Это показывает, что переменные X и х разделяются. Действительно,

д д д д д д

дх\ 1 ЭХ дх' дх2 " <9 Л" дх'

а.г-2 ~ эх2 + 201 + а.г-2' а.г-2 ~а'2 эх2 + 2°2 аха.г-+ а.г-2

Подставив это в (4), получим

1 в2 1 в2 \ , + = ^ (12)

7

где Ы = ш\ + Ш2, ц = Ш1Ш2/(Ш1 + Ш2). Решением этого уравнения является функция (11). Умножив её на ехр(—ге£):

Интерпретация полученного решения, по-видимому, не вызовет сомнений: р1 — импульс частицы до столкновения; р2 — импульс зеркала до столкновения; д1 — импульс частицы посде столкновения; д2 — импульс зеркала после столкновения; к — половина импульса, переданного частицей зеркалу в результате столкновения; Р — полный импульс системы частица+зеркало; Ы — полная масса этой системы; ц — «приведённая» масса. Решение задачи показывает, что при столкновении сохраняются и полный импульс, и полная энергия системы частица+зеркало.

Но что же означает вид волновой функции? Очевидно, он определяет существование трёх интегралов движения: е — полная энергия системы, Р — её полный импульс и к — импульс частицы и импульс зеркала с противоположным знаком в системе координат, неподвижной относительно центра импульсов. Они точно такие же, какие получились бы, если бы задача решалась с помощью классической механики.

В чём же отличие квантовой механики от классической? Оно в том, что основное уравнение квантовой механики — уравнение Шрёдингера — линейное дифференциальное уравнение в частных производных, а не обыкновенное дифференциальное уравнение классической механики. В квантовой механике физической задаче соответствует граничная задача для уравнения в частных производных. Для рассмотренной здесь задачи граничное условие приводит к закону сохранения импульса, для задач о движении частицы в яме граничные условия приводят к дискретности спектра, очевидно и интерференция — следствие граничных условий.

Итак, средствами квантовой механики получено решение поставленной задачи, вполне согласующееся с решением соответствующей классической задачи.

Релятивистская задача о столкновении частицы с зеркалом. Теперь можем рассмотреть соответствующую релятивистскую задачу. Двухчастичное РУШ имеет вид

Граничное условие имеет прежний вид: х1,х2) = 0, Ух1 ^ Х2, Ш. Время опять отделяется подстановкой

Ф(г, X, х) = СЩ—х) ехр^(РХ — еt)] эш кх, УХ, х е М,

(13)

получаем решение уравнения

(14)

Ф(г, Х1,Х2) = у(е, xl,x2)exp(—iеt).

Уравнение для функции у(е,х1,х2)

Граничное условие то же, что и в нерелятивистском случае:

у(е, х1,х1) = 0 Ух1 е М.

Равенства (8), (9) и (10) остаются справедливыми и в релятивистской теории, но теперь вместо (7) имеем

е = sjp\ + >щ + sjp?, + пщ = sj(pi - 2к)2 + >щ + sj(р2 + 2к)2 + пщ.

Решение этого уравнения имеет вид

t = (1„

где Р = р\ + р2 — полный импульс системы; = \/р2 + )Щ — энергия частицы до столкновения; е2 = л/р2 + т2 — энергия зеркала до столкновения.

Таким образом, и в релятивистской квантовой механике сохраняются полный импульс и полная энергия системы. Решение снова можно записать в виде

^(t, X, x) = exp[i(PX - et)j sin kxft(-x), (17)

где по-прежнему x = xi — x2. Но коэффициенты ai и a2 в выражении для координаты X = aixi + a2x2 теперь другие.

Найдём скорость V системы отсчёта, связанной с центром инерции (СЦИ), относительно лабораторной системы отсчёта (ЛС). В СЦИ импульсы частицы и зеркала равны по абсолютной величине и противоположны по знаку:

, 0 0 pi — V £1 Р2 — V £2

ko=Pl = -p2 = 7T^w = -7T^w- (18)

у = Р = Pi +Р2 е ei + е2 '

Выразим энергии частицы и зеркала в СЦИ через их энергии и импульсы в ЛС:

= = = (19)

Отсюда

V l-v2 Ve2 - Р2 '

Складывая эти выражения, получаем

е° = е? + 4 = л/г2 -Р2. (20)

Таким образом, энергия пары частица+зеркало в СЦИ есть релятивистский инвариант, характеризующий эту пару и аналогичный массе покоя свободной частицы. Используя (18), (19) и (20), получаем

^ _ pi - VEl _ р 1Ё2 ~р2Ё1 _ Р1Ё2 ~Р2Ё1 _

~ VI -V2 ~ Ve2 - Р2 ~ е° ~ V

Отсюда следует

ео

Р1 = к + Р-±.

еи

Но pi = к + Pai, поэтому ai = е^/е0. Аналогично получаем a2 = е2/е0. Таким образом

g'j.x-i + е2х2

~ рО , со • е1 + е2

Исследуем трансформационные свойства волновой функции системы частица+зер-кало относительно группы Лоренца, т. е. перехода к новой инерциальной системе отсчёта. Очевидно, в системе центра импульсов (СЦИ) функция (17) имеет вид

x0) = Cexp(-ie0t0) sin[/c0(x° - - ), (22)

где e° = e'j1 + e'j = \JЩ + m'f + \JЩ + m'i. Если решение инвариантно, то должно быть

^(t,X,x) = Cexp[i(PX - et)] sin kxñ(-x) = ^(t0,x0) =

= exp(-ie0t0)sink0x0-&(-x0). (23)

Так как V = P/e — скорость лабораторной системы отсчёта (ЛС), в которой импульсы частицы и зеркала до столкновения равны p\ и p2 соответственно, относительно СЦИ, где импульсы частицы и зеркала до столкновения равны k0 и -k0 соответственно, то из преобразований Лоренца для одной частицы имеем

£1 = В, = (24)

ко + egy -feo +

= TT^w' P2 = -TT^W (25)

Произведя в (22) преобразования Лоренца

+о _ * - VX Х0 = Х - vt х0 _ х

VI -V2' VI-V2' ' VI-V2

и воспользовавшись равенствами (1), получим (23). Матрица этого преобразования в линейном пространстве векторов (Ь, X, х)т имеет вид

L(V)

/ , i __, ^ о

v i 0

Vi-v2 vi-v2

\ 0 0 ТтЫ

Определитель этой матрицы равен \/1 — У2 и больше нуля при любых | У\ < 1 (меньше скорости света). Поэтому она имеет обратную:

/ , i , ^ о v i о

VT-v? VT-v?

О 0 а/1 - У 2 /

Ь-1(У)

Конечно, Ь-1(У) = Ь(—У).

Преобразование вектора (Ь, X, х)т к новой системе отсчёта необходимо производить через СЦИ: сначала с помощью матрицы Ь(У) преобразуем его к СЦИ:

t0

X00 =

/ , i __, ^ о \ / ^ / *~ух

о \ X I =

Vi-v2 vi-v2 0 0 ТТ^Г*/

Vi-v2

» I , (26)

а потом от СЦИ преобразуем к новой системе отсчёта действием матрицы Ь (-

ь'

х ' | =

х'

Vl-У'2 V'

VI-У'1 0

V'

VI-У'1 1

VI-У'1 0

0 0

VI - У1

X | =

{1(\-УУ') + (у'-У)Х\ Л~(1-УУ') + (У'-У)<

1-У'2

1(У'):

(27)

Следовательно, матрицы вида

К (У, У') = Ь-1(У ')Ь(У)

(-

1-уу '

у '- у

уа-у^а-у2)

V'-V А/(1-У2)(1-У'2)

0

1-У У'

а/(1-У2)(1-У2) 0

1-У'2

Т^у^/

преобразуют вектор (Ь, X, х)т в системе отсчёта, движущейся относительно СЦИ со скоростью У, в вектор (Ь', X', х')т в системе отсчёта, движущейся относительно СЦИ со скоростью У'. Они образуют линейное представление группы Лоренца в трёхмерном линейном пространстве таких векторов. Трёхмерное линейное пространство можно представить в виде прямой суммы двухмерного пространства Т = {(Ь,Х) | Ь € М, X € € К} и одномерного пространства Б = {х € К}. Этому пространству соответствует сопряжённое пространство ковекторов (е, Р, к). Скалярное произведение

еЬ — РХ — кх

инвариантно относительно преобразования матрицей К (У, У').

Теперь можем получить матрицу линейного представления группы Лоренца для вектора (Ь, х1, х2)т. Используя (21), (26), (27) и равенства

о

2,

получаем

у

У О,!

VI-У2 у

\ у7!3!77

ТТ^у5 0

VT:IУ2

/ Ь—У(а.1ж1+а.2ж2) ^ хх-У г

\ VI-У2

И переходим в систему отсчёта, движущуюся со скоростью У' относительно СЦИ: /-

Ь'

У 'о1

Vl-У'2

У'

VI-У'2 1

У0,2

Vl-У'2 VI-У'2 ■ У" о

Vl-У'2

/ ¿(1-УУ,) + (У,-У)(а.1Ж1+а.2ж2) \ \/ (1—У2)(1—У'2) 1(1-УУ/а.1)-ж2У/Уа.2 + (У/-У)^

ж2(1-УУ/а.2)-Ж1У/Уа.1 + (У/-У)^

V

Таким образом, матрица /

М (У ',У) =

1-УУ '

\/ (1—У2)(1—У'2)

У'-У \/ (1—У2)(1—У'2) У '-У

(У'-У)

\/ (1—У2 )(1—У'2)

1-У'У \/ (1—У2 )(1—У'2) У' У

\/ (1—У2)(1—У'2)

(У'-У) \/ (1—У2)(1—У'2) У 'У

7

\/ (1—У2)(1—У'2) 1-У 'У

\л/С1—V"2) >/(1—у2)(1—У/2) V(1—у2)(1—у/2) /

а

з

х

1

1

3

Ь

3

х

1

3

х

2

х

х

преобразует вектор (t, xi, x2)T в системе отсчёта, движущейся со скоростью V относительно СЦИ, в вектор (t', xi, x'2)T в системе отсчёта, движущейся со скоростью V' относительно СЦИ.

Скалярное произведение

Et - pixi - p2x2

инвариантно относительно этого преобразования. Следовательно, инвариантны и решения РУШ (14)

^(t, xi,x2) = (2i)-iCexp(-iet){exp[i(pixi + P2X2)] - exp[i(qx + q2X2)]^(x2 - xi)},

описывающего физическую систему, состоящую из частицы и идеального зеркала конечной массы, а значит и оно релятивистски инвариантно.

Заметим, что матрица этого преобразования зависит не от относительной скорости систем отсчёта, а от скоростей этих систем отсчёта относительно СЦИ. Соответствующее линейное представление группы Лоренца вполне приводимо, как это и должно быть для составной физической системы. Существенно и то, что физическая система частица+зеркало рассматривается в едином времени, многовременной формализм Дирака—Фока—Подольского [14] оказывается ненужным.

Предельный переход к случаю неподвижного зеркала достигается за счёт неограниченного увеличения массы покоя зеркала или его энергии в СЦИ: е0 ^ ж. В соответствии с (21) X ^ Х2. Естественно считать p2 = 0. Используя (16) и (20) и переходя к пределу е2 ^ ж, получаем к ^ pi. Отсюда qi ^ -Pi, q2 ^ 2pi (q2 — это импульс, который уходит в подставку). Если масса зеркала стремится к бесконечности, скорость зеркала при одном и том же значении его импульса стремится к нулю. Но энергия системы частица+зеркало тоже стремится к бесконечности. Чтобы перейти к задаче об отражении частицы от неподвижной стенки, надо отсчитывать энергию от массы покоя зеркала. Здесь ситуация вполне аналогичная случаю механической системы, стеснённой связями [15]: энергию можно отсчитывать от любого уровня, а частота имеет абсолютный смысл.

Заключение. Показано, что задача об отражении бесспиновой частицы от идеального зеркала конечной массы имеет точное решение в нерелятивистской и в релятивистской квантовой механике, если последняя основана не на УКФГ, а на РУШ, в которое входит квадратный корень из дифференциального оператора. При этом и полный импульс, и полная энергия системы частица+зеркало сохраняются точно. Задавая значения энергий и импульсов частицы и зеркала до столкновения, мы получаем из решения их значения после столкновения, причём эти значения в точности такие, какие получились бы в неквантовой механике (соответственно нерелятивистской и релятивистской) с помощью законов сохранения энергии и импульса. Это даёт надежду на возможность построения математически корректной и физически адекватной релятивистской квантовой механики.

Литература

1. Ландау Л. Д., Пайерлс Р. Распространение принципа неопределённости на релятивистскую квантовую теорию // Л.Д.Ландау: собрание трудов. Т. 1. М.: Наука, 1969. C. 56.

2. Ландау Л. Д., ЛифшицЕ. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2001.

3. БьёркенДж., ДреллС. Релятивистская квантовая теория. Т. 1. Релятивистская квантовая механика. М.: Наука, 1978.

4. GaraA., Durand L. Matrix method for the numerical solution of relativistic wave equation // J. Math. Phys. 1990. Vol. 31. P. 2237.

5. Lucha W., Rupprecht H., SchoberlF. F. Spinless Salpeter equation problem as a simple matrix eigenvalue problem // Phys. Rev. (D). 1992. Vol. 45. P. 1233.

6. Tzara C. A study of the relativistic Coulumb problem in momentum space // Phys. Lett. (A). 1985. Vol. 111. P. 343.

7. Эйнштейн А. Сущность теории относительности. М.: ИЛ, 1955.

8. ОлверП. Применение групп Ли в теории дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1989.

9. Дубинский Ю. А. Алгебра псевдодифференциальных операторов. 1982. T. 37. Вып. 5. С. 97-137.

10. Lagodinsky V. M. Local functions of differential operators and relativistic quantum mechanics // Abstr. International Congress on Computer Sistems and Applied Mathematics CSAM'93. S.-Pb., 1993. P. 12.

11. Лагодинский В. М. Голоморфные функции дифференциальных операторов и дифференциальные уравнения бесконечного порядка: дис. ... канд. физ.-мат. наук. СПб., 2005.

12. Головин А. В., Лагодинский В. М. Задача об 5-состояниях пионного атома без учёта сильного взаимодействия в релятивистской квантовой механике // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2009. Вып. 2. C. 143-155.

13. Головин А. В., Лагодинский В. М. Задача об отражении бесспиновой частицы от потенциального скачка // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2011. Вып. 2. C. 3-14.

14. Дирак П. А. М., Фок В. А., Подольский Б. О квантовой электродинамике // Phys. Zs. Sowjetunion. 1932. Bd. 2. S. 468.

15. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989.

Статья поступила в редакцию 18 мая 2012 г.