CC BY
74
12
Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2014, № 4 (1), с. 12-27
ФИЗИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
УДК 538.935
К ВОПРОСУ О ВЛИЯНИИ ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ И ФЛУКТУАЦИЙ ФОНОННОГО ПОЛЯ НА РЕЛАКСАЦИЮ СПИНОВОГО МОМЕНТА ЭЛЕКТРОНОВ ПРОВОДИМОСТИ В НЕМАГНИТНЫХ КРИСТАЛЛАХ. I
© 2014 г. Д.А. Петров
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского [email protected]
Поступила в редакцию 30.10.2013
Исследуется вопрос о влиянии электрон-фононного взаимодействия и флуктуаций фононного поля на релаксацию спинового момента электронов проводимости в немагнитных кристаллах, обладающих центром симметрии, с учетом спин-орбитального взаимодействия. В приближении гауссовой статистики переменных фононного поля получено стохастическое уравнение, описывающее броуновское движение и релаксацию спинового момента в наиболее общем немарковском случае, учитывающем эффект памяти в системе. Определены флуктуационные источники и коэффициенты фононного трения. В марковском предельном случае проведен микроскопический вывод уравнений Блоха для проекций спинового момента, а также определены немарковские поправки к этим уравнениям, связанные с эффектом памяти. Сформулированы условия, при которых справедливы полученные уравнения.
Ключевые слова: спинтроника, спиновые шумы, открытые квантовые системы, стохастическое уравнение, фононное трение, спин-орбитальное взаимодействие.
Введение
В настоящее время наблюдается повышенный интерес к изучению спиновой динамики в различных физических системах, что связано в первую очередь с развитием спиновой электроники (спинтроники) [1—8], являющейся новой ветвью твердотельной электроники, изучающей спинзависимые оптические и транспортные явления с целью создания приборов и устройств для хранения и обработки информации. Важность изучения спиновой динамики диктуется, с одной стороны, необходимостью исследовать свойства и физические процессы, протекающие в спиновых системах, а с другой - определяется проблемами управления спиновыми состояниями электронов, дырок и других квазичастиц, а также влиянием на них различных факторов, как внешних, например электромагнитные поля, так и внутренних, среди которых особую роль играют шумы, определяющие нижние пределы величин сигналов, которые могут быть обработаны средствами электроники, и в частности спинтроники (спиновые шумы [5, 9-11]). Широкий спектр проблем, возникающих в области
спинзависимых явлений, делает не только чрезвычайно актуальными и важными разработку и применение новых методов для изучения спиновой динамики в различных физических системах, но в то же время стимулирует изучение спинзависимых явлений, привлекая внимание все большего числа исследователей [12-16].
Теоретическое изучение свойств спиновых систем, а также создание приборов на спиновых эффектах делает необходимым исследование вопроса о влиянии на эти системы внешних электромагнитных полей. Данная проблема имеет достаточно длинную историю, и ей посвящено большое число как теоретических, так и экспериментальных работ [17-24]. С теоретической точки зрения исследование свойств спиновой системы предполагает вывод и решение уравнений, описывающих ее динамику под действием внешних полей, являющихся в общем случае некоторыми случайными процессами, усложняющими поведение изучаемой системы [25, 26].
Другая особенность заключается в том, что в некоторых случаях при описании спиновой динамики оказывается недостаточным марковское приближение в исходных уравнениях и стано-
вится необходимо учитывать эффекты, связанные с наличием памяти в системе. Необходимость учета эффектов памяти была осознана достаточно давно, что послужило стимулом для создания соответствующего математического аппарата [27]. В настоящее время данная тематика привлекает большое внимание как теоретиков, так и экспериментаторов в различных областях физики, и особенно в физике конденсированного состояния, что связано в первую очередь с проблемами воздействия короткими и мощными электромагнитными полями на вещество [28-30], и в частности с проблемами возбуждения лазерными импульсами электронов в полупроводниках [31-33]. Таким образом, представляет большой интерес, а часто и необходимо при описании спиновой динамики выйти за рамки марковского приближения, что обусловлено как созданием новых теоретических методов, так и повышением точности эксперимента, позволяющего исследовать эффекты, связанные с наличием памяти в системе.
Поэтому вычисление основных параметров спиновых систем, таких как времена релаксации, резонансные частоты, равновесные значения, отклик спиновой системы и многих других, а также определение возможного их изменения при вариациях внешнего воздействия является одной из самых актуальных теоретических задач в этой области, требующей совместного учета различных факторов и особенностей. При этом часто наиболее существенную роль играют такие характеристики открытых спиновых систем, как их неравновесность, эффекты памяти, стоха-стичность внешних полей и окружения. Поэтому в свете основных проблем спинтроники и спиновой физики вообще представляет большой теоретический интерес определение свойств спиновых систем и вычисление их основных параметров в случае, когда задействованы большинство из указанных выше особенностей. Решению некоторых вопросов этой общей проблемы и посвящено настоящее исследование.
В данной работе рассматривается вопрос о влиянии электрон-фононного взаимодействия и флуктуаций фононного поля на релаксацию спинового момента электронов проводимости в немагнитных кристаллах, находящихся во внешнем магнитном поле. В качестве метода исследования используется метод стохастических уравнений [34-36] и концепция открытых квантовых систем [37], позволяющие с единых позиций рассматривать флуктуационные и дис-сипационные процессы и явным образом учесть эффекты памяти в изучаемых системах.
Постановка задачи и гамильтониан системы
Взаимодействие электронов проводимости с фотонами, фононами или другим диссипатив-ным окружением приводит к процессам релаксации переменных электрона, таких как координата, импульс и др. Не является исключением в данном случае и его спиновый момент.
Процессы релаксации спиновых моментов электронов в кристалле зависят от многих факторов, среди которых стоит особо выделить симметрию кристалла, физическую природу окружения, а также тип взаимодействия спинового момента и окружения. В немагнитных кристаллах особую роль играет взаимодействие электронов с колебаниями кристаллической решетки - фононами, учет которого является принципиальным для понимания многих кинетических процессов в конденсированных средах. С теоретической точки зрения спин-решеточные взаимодействия можно разделить на прямые и косвенные, имеющие своей причиной возникновение эффективных магнитных полей, связанных с колебаниями атомов кристаллической решетки. При этом прямые механизмы обусловлены непосредственным воздействием случайных полей на спин электрона, в то время как в косвенных механизмах флуктуирующие магнитные поля действуют на спиновый момент через конфигурационные степени свободы.
По-видимому, первым, кто рассмотрел спин-решеточную релаксацию, обусловленную фо-нонами, был Валлер [38], предложивший механизм, который в настоящее время носит его имя. Он определяется спин-спиновым взаимодействием и флуктуациями локального магнитного поля, которое создается в месте расположения некоторого иона магнитным моментом соседнего иона. Другой механизм спин-решеточной релаксации был предложен Гайтлером и Теллером [39], Кронигом [40] и Ван Флеком [41]. Он связан с действием на спиновый момент модулированного электрического поля кристалла (поля лигандов) через спин-орбитальное взаимодействие. В этом механизме принято различать несколько процессов, приводящих к разным выражениям и значениям скоростей спиновой релаксации. Обычно выделяют [19] прямой процесс, заключающийся в резонансном поглощении или излучении одного фонона, а также двухфононный процесс Орбаха [42] и двухфононный раманов-ский процесс [19]. В немагнитных кристаллах
большую роль также играют механизмы Дьяко-нова-Переля [43] и Эллиотта-Яфета [44, 45], обусловленные спин-орбитальным взаимодействием.
Вообще следует отметить, что спин-орбитальное взаимодействие играет особую роль в полупроводниках. С ним связаны такие известные и важные для спинтроники эффекты, как эффект оптической ориентации спинов, спиновый эффект Холла, комбинированный резонанс, явление спинзависимого электронного транспорта и др. Кроме этого, учет спин-орбитального взаимодействия необходим при определении зонной структуры кристаллов и в некоторых случаях может приводить к заметным расщеплениям энергетического спектра. Поэтому с практической точки зрения спин-орбитальное взаимодействие дает прекрасную возможность для генерации спиновой поляризации и управления спиновыми состояниями, что в теоретическом плане означает необходимость во многих случаях при исследовании процессов спиновой релаксации в кристаллах учитывать спин-орбитальное взаимодействие, делая такие задачи чрезвычайно актуальными.
Итак, рассмотрим электрон проводимости в немагнитном ковалентном изотропном кристалле с учетом спин-орбитального взаимодействия, находящийся в слабом внешнем магнитном поле. В данной работе рассматриваются кристаллы с пространственной структурой алмаза, обладающие центром инверсии. Для таких кристаллов существует хорошо известный факт [46, 47], что энергетические зоны во всем к-пространстве являются двукратно вырожденными, а также что различное смещение в магнитном поле двух сопряженных долин аннулируется.
Взаимодействие электрона с фононами приводит к снятию вырождения энергетических зон и возникновению в гамильтониане системы недиагональных матричных элементов, зависящих от квазиимпульса электрона. Для ковалентных кристаллов электрон-фононное взаимодействие определяется так называемой моделью деформационного потенциала [48, 49], представляющего собой энергию взаимодействия электронов с акустическими фононами. В континуальном приближении (длинноволновые акустические фононы) в представлении чисел заполнения и в приближении линейной модели поляро-на [50] для изотропных ковалентных кристаллов оператор деформационного потенциала имеет вид
где Е - электрическое поле, вызванное локальной деформацией:
Е 4 Е ^ ы Ъ - )
(2)
Ъ^ и Ь - операторы рождения и уничтожения акустических фононов с волновым вектором q ,
X = ^Нст2 / 2ЫЫса - размерная константа [49], са - скорость продольных акустических фононов, М - суммарная масса атомов, входящих в состав одной элементарной ячейки, N - число элементарных ячеек в кристалле.
С учетом электрон-фононного взаимодействия гамильтониан системы в к-пространстве в общем случае имеет вид
Н = в(к)-Ь^ (к)(о • В) + Н,(к) + НрЬ, (3)
где е(к) - закон дисперсии электрона проводимости, g (к) для изотропных кристаллов представляет собой скаляр, определяющий g-фактор зонного электрона, о = (ст^, сту, стг) - матрицы
Паули, цв - магнетон Бора, к = -/У- еА / Нс, А и В - векторный потенциал и индукция магнитного поля, Н1(к) - оператор возмущения, связанный с электрон-фононным взаимодействием, НрЬ - гамильтониан поля фононов,
учитывающий как оптические, так и акустические ветви колебаний кристаллической решетки.
Для того чтобы использовать гамильтониан (3) при исследовании процессов спиновой релаксации, вызванных электрон-фононным взаимодействием, необходимо в первую очередь определить вид операторов е(к) и Н1(к), который существенно зависит от многих факторов, например номера зоны, от точки в к-пространстве и ее симметрии, где определяются выражения для е(к) и Нх (к). В теории зонной структуры кристаллов существуют методы, позволяющие определить выражение Н (к) для любой точки в к-пространстве, например кр-метод, метод инвариантов и др. [51]. В дальнейшем нас будет интересовать форма Н (к) в окрестности минимума зоны проводимости для кристаллов со структурой алмаза. В этом случае, используя кр-метод, получим в приближении эффективной массы (см. приложение А) следующее выражение для гамильтониана системы (3) с учетом электрон-фононного взаимодействия:
V (г) = -е(г • Е),
(1)
q
н =
+ V (г) +
п
2т* вН 4т 2с2
Ц в
ё (п)(о • Н) +
(о • [VV(г) х п]) + Н
(4)
где п = Нк + Нк 0 - кинематический импульс электрона, к0 - постоянный вектор, определяющий положение минимума зоны проводимости, т* - эффективная масса, V(г) - деформационный потенциал (1). Предпоследнее слагаемое в (4) является релятивистской поправкой, учитывающей влияние спин-орбитального взаимодействия, приводящего к появлению недиагональных матричных элементов, зависящих от к .
Основная цель настоящего исследования заключается в изучении процесса релаксации спинового момента электрона проводимости, вызванного действием деформационного потенциала и спин-орбитальным взаимодействием, а также определении влияния флуктуаций фо-нонного поля и эффектов памяти на основные характеристики рассматриваемой системы, такие как времена релаксации, резонансные частоты, спектр флуктуаций спинового момента, спиновая восприимчивость и др. В данной работе это будет сделано на основе стохастических уравнений для проекций оператора спинового момента, которые будут получены в представлении Гей-зенберга из гамильтониана системы.
Учет спин-орбитального взаимодействия и зависимость ^-фактора от квазиимпульса приводят к тому, что степени свободы электрона, характеризующие его конфигурационное и спиновое движения, становятся связанными и определенным образом воздействуют друг на друга. Следствием этого, например, является механизм Эллиотта-Яфета [44, 45], обусловленный влиянием релаксации квазиимпульса электрона на спиновый момент через спин-орбитальное взаимодействие. Другими словами, для того чтобы изучить динамику спина, необходимо решить совместно систему, состоящую из уравнений для проекций спинового момента электрона и для степеней свободы, связанных с его конфигурационным движением. В общем случае решение данной системы, даже без учета действия поля фононов, является чрезвычайно трудной задачей.
Следует отметить, что корреляцию между спиновой и конфигурационными степенями свободы можно рассматривать как взаимодействие двух подсистем, находящихся в фонон-ном окружении. При этом одной из характерных особенностей спиновой подсистемы, ис-
пользующейся, в частности, при создании более эффективных запоминающих устройств и других приборов спиновой электроники, является большое время релаксации ее переменных по сравнению с переменными конфигурационной «подсистемы». Например, в случае рассеяния на фононах времена релаксации квазиимпульса и спинового момента электрона (механизм Эллиотта-Яфета) имеют порядок: т ~10-13 -10-11 с
[52, 53], т5 ~10-7 -10-5 с [54, 55], т.е. тр << т,.
Данное соотношение временных масштабов позволяет решить указанное затруднение, исключив из уравнений спиновой подсистемы динамику быстрых переменных конфигурационных степеней свободы, усредняя гамильтониан (4) по равновесному состоянию последней «подсистемы». В теории магнитной релаксации, обусловленной спин-решеточными взаимодействиями, данной процедуре соответствует приближение замороженных решеточных движений [17], заключающееся в усреднении исходного гамильтониана системы по быстрым движениям решеточных переменных. При этом возникающие в гамильтониане (4) средние значения конфигурационных степеней свободы становятся параметрами данной модели, которые могут быть определены либо из эксперимента, либо из дополнительных расчетов.
Использование приближения замороженного конфигурационного движения оправдано тем, что спин-орбитальное взаимодействие является релятивистской поправкой и слабо влияет на степени свободы электрона, ответственные за это движение (случай слабой корреляции). С физической точки зрения это приближение означает, что в данной модели основным механизмом спиновой релаксации является прямое действие локального электрического поля, вызванного деформацией решетки, на спиновый момент через спин-орбитальное взаимодействие. В то же время существует и обратное действие спина электрона на состояние поля фононов, приводящее к его изменению. В итоге возникает сложная картина взаимодействия, следствием которой является возникновение эффекта памяти в данной системе или, другими словами, немарковского характера взаимодействия. Для учета этого эффекта необходимо решать самосогласованную задачу, что и будет сделано в настоящей работе.
Итак, используя приближение замороженного конфигурационного движения, получим следующий гамильтониан
2
Н =—V"Уо(я • В) + V(г) -
2т (5)
2ш2с2
(я • [Е X я]) + Н
где я = Йо /2 - спиновый момент электрона, я -среднее значение кинематического импульса, V (г) - среднее значение деформационного по-
тенциала (1), у0 = eg (я)/2шс, g(я) - среднее
значение g-фактора электрона.
Согласно концепции открытых квантовых систем [37] выделим в рассматриваемой системе две подсистемы: динамическую, которой является спиновый момент, и оставшуюся макроскопическую часть - окружение электрона проводимости, представляющее собой поле фо-нонов. В данной модели будем считать, что окружение является термостатом, который описывается распределением Бозе-Эйнштейна, и имеет температуру Т. Фактически вывод стохастического уравнения предполагает знание статистических свойств термостата. Учитывая, что гамильтониан поля фононов является квадратичной формой его обобщенных координат и импульсов, будем считать, что переменные термостата обладают гауссовой статистикой.
Взаимодействие электронов проводимости с полем фононов делает динамическую подсистему неравновесной. Таким образом, задача заключается в исследовании процесса установления равновесия в этой подсистеме, т.е. процесса релаксации спинового момента электронов проводимости, взаимодействующих с фо-нонным термостатом и его флуктуациями. Как хорошо известно, данный процесс для любой физической системы определяется ее равновесными значениями и временами релаксации. Поэтому основная цель этой работы заключается в микроскопическом определении этих характеристик, а также в выводе уравнения, описывающего процесс релаксации, чему и посвящены следующие параграфы.
Стохастическое уравнение для спинового момента электрона проводимости
Метод стохастических уравнений широко используется в различных областях современной физики [56, 57], а также в других разделах науки, например в химии [58], биологии [59], геофизике [60]. Одной из центральных категорий этого подхода является понятие флуктуа-ционного источника, представляющего собой некоторый случайный процесс, порождающий флуктуации в системе. С открытием флуктуа-
ционно-диссипационной теоремы [61] стало известно, что флуктуации (флуктуационные источники) и диссипационные процессы в системе связаны между собой, что сделало микроскопический вывод стохастического уравнения нетривиальной задачей. Впоследствии было показано [35], что эта задача имеет точное решение для открытой квантовой системы, взаимодействующей с гауссовым термостатом. Это обстоятельство делает возможным применение данной теории к рассматриваемой задаче. Таким образом, цель настоящего параграфа заключается в выделении непротиворечивым образом из точных квантовых уравнений движения флуктуационных источников или, другими словами, в микроскопическом выводе немарковского стохастического уравнения для спинового момента электрона, взаимодействующего с фононным гауссовым термостатом.
Итак, согласно подходу, изложенному в работах [34-36], выделим в операторе спин-орбитального взаимодействия в (5) переменные динамической подсистемы и термостата. С учетом (2) перепишем гамильтониан (5) в представлении Гейзенберга в виде
Н -У о(8(/) • В) -2ш
X' (( (/) + Н рЬ + V (г)
(6)
где 0 (?) и X' (?) - переменные термостата и динамической подсистемы:
0 с)=
Цд х я]'^
2т 2 с2 X' (Г) = 5' (Г).
(Ьд (() - Ь-+д (Г)), (7)
(8)
В формуле (6) по индексу ' подразумевается суммирование (' = х, у, 2).
Получим теперь на основе гамильтониана (6) уравнение движения для спинового момента электрона проводимости. Используя уравнение Гейзенберга для оператора з(?) и учитывая коммутационные соотношения матриц Паули, найдем
Л ~
-у о[я( о х в],=-£ х" (оед (о, (9)
где X г(?) = е^ (0.
Взаимозависимый характер взаимодействия между динамической подсистемой и термостатом приводит к тому, что его переменные становятся в общем случае некоторыми функционалами от переменных динамической подсистемы. В силу того, что спин-орбитальное взаимодействие в (6) является возмущением, пред-
2
е
ч
ставим ^ (?) в виде функционального ряда по X' (?). Учитывая, что невозмущенные переменные термостата Qq0)! (?) имеют гауссову статистику, найдем [35]
+да
ея (?)=ег (?) +1 ад (я, т) х' (?1), (10)
-да
где т = ? - ?1, Б, (q, т) - функция Грина фоно-нов, определяющая линейный отклик окружения на действие электрона проводимости:
о (я, т)=н (ег (?), ет (?,)]^ 0 л(т)=
ционные источники, с помощью которых могут быть определены статистические свойства динамической подсистемы, М1 (я, т) - функция корреляции:
м , (я, т)=±{0?' (?), е-0/ (?1)]+) 0
= и2 ы3 со8(юы x)coth
Г Йюы ^
_ы/
\2квТ.
(16)
Н
= Ри2ы3 sin(ffl„т)n(т),
(11)
"Л(т) - функция Хевисайда, учитывающая в (11) принцип причинности, и, = [п х П], п - единичный вектор, задающий направление q, Р = Х2/2Йт4с4, = саы - закон дисперсии
акустических фононов. Среднее значение в (11) вычисляется по равновесному состоянию поля фононов.
Подставляя (10) в (9) и производя симметризацию произведения 0q (?) и X'1 (?), найдем
^-ш?) х В]'=-£ ![х'(?), ег (?)]+ -
1
-1 а?! Е о, (^т)-[ (?), х' (?,)]+.
(12)
-да q
Выделяя теперь, следуя работам [34-36], из правой части уравнения (12) флуктуационные источники и диссипативную силу, которую в дальнейшем будем называть силой фононного трения, получим следующее стохастическое уравнение для оператора спинового момента электрона проводимости
^ -у 0[8(?) х В]' = ¥ (?; 8(?)) + ^ (?), (13) а?
¥ (?;<?)) = -Е|а?1^ Б (q, т)^[Х'' (?), х' (?,)]+ +
(14)
+М, (я, т) - [X" (?), X' (?1)]-П(т)^,
ъ (?)=-Е 2[ ~''(?), еГ (?)]+ +
я 2
+да
ЕЕ I а?м , (я, т) Н (X (?), X' (?,)]- )п(т),
(15)
где (?;«(?)) - сила трения, действующая со стороны поля фононов и его флуктуаций на спиновый момент электрона, ^ (?) - флуктуа-
где Т - температура кристалла.
Рассмотрим более подробно выражение (14). В первую очередь следует отметить, что сила ¥ (?;«(?)) состоит из двух слагаемых, определяющихся функцией Грина (я, т) и функцией корреляции М, (я, т). Эти слагаемые характеризуют собой два механизма фононного трения, один из которых связан с реакцией термостата на действие электрона проводимости, а другой - с флуктуациями поля фононов. При этом, как несложно показать, функция Грина (я, т) и функция корреляции М1 (я, т) не являются независимыми, а определяют друг друга через флуктуационно-диссипационную теорему Кал-лена-Вельтона [61]. Это говорит о том, что данные механизмы релаксации являются взаимосвязанными. Кроме этого, сила фононного трения имеет еще одну особенность, заключающуюся в том, что она делает уравнение (14) интегродифференциальным, т.е. определенным образом учитывает наличие эффекта памяти в системе. Все это означает, что сила трения (14) описывает процесс релаксации спинового момента в наиболее общей форме.
Преобразуем теперь ¥ (?;«(?)) к более удобному для дальнейшего исследования виду, выделив в (14) коэффициенты фононного трения.
Для этого необходимо вычислить произведения проекций спинового момента (?)Sj (?1)
и SJ (?), взятых в разные моменты времени. Следует заметить, что вычисление этих произведений равносильно решению уравнения (13). Поскольку нам оно неизвестно, воспользуемся приближением свободной прецессии электрона. Это приближение оправдано тем, что сила фононного трения (14) связана со спин-орбитальным взаимодействием, являющимся релятивистской поправкой. Данное обстоятельство делает ¥1 (?; s(?)) возмущением в уравнении (13), что как раз и дает возможность использовать в данной модели указанное приближение.
+
Таким образом, используя приближение свободной прецессии и вычисляя [X'1 (?), X1 (?1)]± ,
получим преобразованные стохастические уравнения для проекций спинового момента в тензорной форме
1
Т!п11
0 -да
тт2)(х)=
1
= -"л(т)Лтп(х)|dxx5 со8(хОт)соШ
-ч
-у о[8(Г) X Б], =
М
= ^у, - |у(т>у (0 + ^ О),
У, = -^т 2 | -ХКт1 (Х)^ X), (18)
q -»
У у (т) = ^0еПтепЬ 2 Кт„ (т)М1 (А "ОлСй (19)
q
Кп (О =
- 8т(ю0 т) со8(ю0т) 0
0
0
1
У, =-Р1е,1т^Тт1), У У (т) = §\ейтеп1Р (т),
где и1 = 2 й2 (1, 1' = х, у, г и 1 ф 1'),
г
(20) (21)
( \
(17)
Р, =
8й0 = 2йЙ<^2 Ч-
(22)
(23)
(24)
где у, и уу (т) - коэффициенты фононного трения, определяющие равновесные значения и времена релаксации в наиболее общем немарковском случае:
50 = Й / 2 , а Ятп (т) - матрица, характеризующая свободную прецессию:
' со8(ю0т) 8т(ш0т) 0^
ю0 = eg (п)В0 /2тс - частота прецессии спинового момента, е1т - единичный антисимметричный тензор. В формулах (18) и (19) по индексу 1 подразумевается суммирование
(1 = х, у, г).
Следует отметить, что уравнения, подобные (17), были впервые получены на основе метода квантовых нелинейных стохастических уравнений в работах [62-65] для спинового момента электронов, взаимодействующих с электромагнитным окружением. Вообще же феноменологические уравнения релаксации спинового момента, учитывающие эффекты памяти, были предложены в работе [66] и впоследствии получили микроскопическое обоснование [67-70] на основе формализма функции памяти.
Преобразуем теперь выражения (18) и (19). Учитывая, что в настоящей работе рассматриваются изотропные кристаллы, и переходя в этих формулах от суммирования к интегрированию в сферической системе координат, найдем
3 3Мт4с4са ' х = Ч / Ча , = 2кВТ/ЙО - эффективная температура, О = сачл - некоторая характерная частота фононного окружения, Чл - период обратной решетки кристалла.
Определим условия, при которых применимо уравнение (17) с коэффициентами (20), (21). Для этого вспомним, что (17) было получено для изотропных кристаллов в приближении эффективной массы. Действие на кристалл внешнего магнитного поля в общем случае делает его анизотропным. Поэтому возникает необходимость оценить значения магнитных полей, при которых будет справедливо приближение изотропного кристалла и понятие эффективной массы.
Для этого воспользуемся часто применяемым [51] в подобных случаях условием, согласно которому кристалл можно считать изотропным, если так называемая магнитная длина
Ь = сЙ / еВ0 много больше периода кристаллической решетки. Это же условие определяет применимость понятия эффективной массы для электронов в магнитном поле [51]. Используя данное условие, найдем следующую оценку величины магнитного поля: В0 <<сЙ/еа2 ~6.58-10-8/а2 Гс, где а - период кристаллической решетки.
Кроме магнитного поля в уравнение (17) входит через коэффициенты фононного трения (21) температура кристалла. Поскольку в данной модели принципиальна его кристаллическая структура, то очевидно, что допустимые значения Т должны быть меньше, чем температура плавления, т.е. Т < Тт .
Полученное в этом параграфе стохастическое уравнение (17) описывает броуновское движение и процесс релаксации спинового момента электрона проводимости в наиболее общем немарковском случае. Данное уравнение позволяет, во-первых, определить времена релаксации и равновесные значения, а во-вторых, делает возможным вычисление спектра флукту-аций спинового момента электрона, являющегося одной из важнейших характеристик спино-
да
вых систем. Кроме этого, стохастическое уравнение (17) позволяет изучить влияние эффекта памяти на такие важные характеристики, как спиновая восприимчивость, времена релаксации и резонансные частоты.
Исследование эффектов, связанных с немарковским характером взаимодействия, будет проведено во второй части. Здесь же представляет интерес рассмотреть важный для приложений вопрос о марковском предельном случае в стохастическом уравнении (17). Решению этой задачи посвящен следующий параграф.
Уравнение релаксации спинового момента в марковском случае
С математической точки зрения немарковские стохастические уравнения (17) относятся к классу интегродифференциальных уравнений. В общем случае их решение возможно только численными методами. Поэтому представляет интерес рассмотреть марковский предельный случай, заключающийся в переходе от (17) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
Как известно, в марковском случае процесс релаксации спинового момента хорошо описывается феноменологическими уравнениями Блоха [17, 71, 72], в которых времена релаксации и равновесные значения являются параметрами. Таким образом, задача заключается в переходе от уравнений (17) к уравнениям Блоха, а также в определении поправок, связанных с эффектом памяти. Это можно сделать следующим образом.
Рассмотрим интегродифференциальное уравнение
Вычисляя теперь обратное преобразование Фурье от (27), найдем
ау(?) а?
где
+да
ф(ю) = I ате'штф(т).
ау(?)
-ф(0) у(?) = Х<
апу(?)
а? ...... Щ п а?п
(28)
= |а?,ф( ? - ?,)у( ?Д (25)
где ф(? - ?1) - некоторая гладкая функция, имеющая спектральное представление.
Возьмем от (25) преобразование Фурье:
('ю + ф(ю)) у(ю) = 0, (26)
Представим ф(ю) в виде ряда по параметру ю, предполагая, что ф(ю), а также все ее производные по ю являются конечными в точке ю = 0. Тогда из (26) получим
[ 'ю + ф(0) + ф'(0)ю+ф2р ю2 +... 1 у(ю) = 0. (27)
где коэффициенты ап определяются через производные от ф(ю) при ю = 0.
Из уравнения (28) следует, что для перехода к марковскому предельному случаю достаточно представить спектральную зависимость ядра интегрального оператора в (25), т.е. ф(ю), в виде ряда по ю , предполагая, что это разложение существует в точке ю = 0 . При этом коэффициенты ф(п)(0) и ап в (27) и (28) являются связанными между собой и определяют немарковские поправки в уравнении (28).
Согласно этим рассуждениям, марковский предел в уравнении (17) соответствует случаю, когда мы пренебрегаем частотной зависимостью коэффициентов фононного трения уу,
считая, что уу (ю) « у у (0). Во временной области это эквивалентно тому, что уу(т) «уу(0)8(т), где 8(т) есть 8-функция Дирака. Что же касается немарковских поправок в (18), то они определяются разложением уу (ю) в
ряд по частоте ю .
С физической точки зрения разложение у у (ю) в ряд соответствует тому, что в модели
существуют некоторые безразмерные малые параметры, зависящие от частоты. При этом разложение уу (ю) в ряд понимается как разложение именно по этим параметрам. Поэтому первой задачей при переходе к марковскому случаю является вычисление частотной зависимости коэффициентов фононного трения уу (ю)
и определение малых параметров в рассматриваемой системе.
Данная задача решена в приложении В. В частности, показано, что в системе имеется два безразмерных параметра, зависящих от частоты: р0 = ю0/О и р = ю/О. В слабых магнитных полях всегда р0 << 1. Это означает, что в данной модели марковский случай соответствует ситуации, когда р << 1 или ю << О , где под ю можно, например, понимать частоту внешнего магнитного поля.
Используя это условие, определим теперь уравнение релаксации спинового момента в марковском случае. Будем считать, что магнитное поле имеет направление В = г0В0. Вычис-
+да
ляя преобразование Фурье от (17) и (20), (21),
найдем
-msj (ш) -у 0[s(œ) х Б],. = = so У,(ш) - У и (шК-(ш) + (шХ
(29)
где
у „ (ш)=-ßi ((ш)+
у
у у, (ю) = -у ,у (ю) = Р1^гТ,у2)(ю), у уу (ю) = -Р, (( (ю) + и^ (ю)), (34) у гг (ю) = -Р. (((ю) + иХ»), ( } у *г (ю) = у г* (ю) = 0
у уг (ю) = угу (ю) = 0, где Р1 определяется формулой (24).
Представляя теперь Т^(ю) в виде ряда по параметру р (см. приложение В), подставляя (32)-(35) в (29) и вычисляя обратное преобразование Фурье, получим следующие стохастические уравнения релаксации для проекций спинового момента в марковском случае:
(33)
(35)
ds , s,(0) - s,. (t) ^ (,) dlSj (t) p (/) ~dt = ^^+^(t), (36)
= 2. = p 5
x x 2Q
■1 = ^ (T + - 2 )p05,
x 2QV z / 0
(37)
у, (ш) = 2т8(ш)у, = ^T^ßemUtTS, (30)
У и(ш) = (31)
Используя (30), (31), а также правила работы с единичным антисимметричным тензором, выпишем конкретный вид коэффициентов фононного трения. Пропуская все промежуточные вычисления, запишем окончательный ответ:
У ж = У y = 0, У z =ß, ( + Uy ), (32) а также для тензора уи (ш) :
а (' ) = Tß1 Uxx ~
2Q
(0, -
T2 + п 2 2tQ
JO p3 П 2
Q
2 Р0 П1 ,
T2 + п 2
5Р0 -2
tQ3
Q
-2, 0
4 'ч
-2 (
а(г) = -а(г) = 1
xy УХ
2Q
Tß1 П
2
1П1
~2 Л
1 +
ß1П1 4Q2
5 3 Р0 10 Р02
Q tQ 2
Q3
0, -
Q5
а УУ =TËL (0, + П 2
УУ
10 3 - 2 — Р0 П1>
2Q
—2, —2 T y + -
Q
2TQ
5Р0 -2, 0
а") =
zz
tQ3 ' Q4 15 Tß1(Tz2 + -2) („ 1
10 Р,
2Q 1
0, --
Q2 Q3
5 Р0 tQ 4
2tQ
Л
0
(0)
где 57 и т - равновесные значения и времена релаксации ' -й проекции спинового момента, а'у - тензор, компоненты которого определяют
немарковские поправки в уравнение (36), связанные с наличием памяти в системе. Если пренебречь этими поправками, то уравнения (36) совпадают с феноменологическими уравнениями Блоха с микроскопически определенными временами релаксации и равновесными значениями. Следует отметить, что выражения для т'
и а'(у') зависят от величины эффективной температуры кристалла Т^ = 2Х / НО.
В случае низких температур, когда Т^ << 1, используя приложение В, найдем
ло = 5 (0) = 0, ^ = 50,
а('> = а(-') = 0, а(/> = а(') = 0,
г, ' yz zy '
где П2 = й2 + %2у, П2 = й, + й 2 + й].
В противоположном случае высоких температур, когда Т^ >> 1, имеем
р0
sf = s y0 = 0, sf = s0
Tff
11
^ pX,
2Q 0 e#
1 = (T + -2 )рХ, ,
x 2Q z 7 e#
axx) = ^ (0, -xx 2Q
/С 2—2 —2 —2
6Р0 -1 2 "x + -
2(T + -2)
3tQ :
—2,—2\ %x + П
Q2
tQ 3
а(1) = -а(l) =
xy yx
TßlTeff П
2 ^
Q
Qш0
%ß1Teff П
Q4
(
1 +
ß1Tef П1 ^
3Q2
2 Р0 3 Р02 2 Р0
Q
tQ ^ Q2
1
x
x
x
y
1
0
а(0 =
УУ
"РГ.
2О
0 2(^2 + П2) 0,--
3лО
— 2 —2
о"1 2я2+П
6 Ро2 П 2
, =2 Л
л у + Я
О2
лО3
О4
а^) =
^РЛт(Л + П 2)
2О
0, --
2
6 Р,
(38)
3лО О2
лО3 О4
а« = а(') = 0, а(/) = а(') = 0.
хггх^уггу
Стохастические уравнения, подобные (36), но без учета немарковских поправок, были впервые получены на основе концепции открытых квантовых систем в работах [73, 74] для спиновых моментов электронов в низкоразмерных структурах (в полупроводниковых квантовых ямах).
Рассмотрим более подробно полученные выше формулы. В первую очередь, следует от-
(I)
метить, что компоненты тензора ау имеют порядок а() ~ Р1 л2 / О1+1 << 1. Другими словами,
как и следовало ожидать, в марковском приближении поправки, обусловленные эффектом памяти, очень малы. Во-вторых, как показывают формулы (37), (38), времена релаксации существенным образом зависят от состояния конфигурационной «подсистемы» электрона и определяются компонентами среднего значения его кинематического импульса.
Кроме этого, необходимо отметить здесь еще одну особенность. Как известно [49], в трехмерном кристалле с п атомами в одной элементарной ячейке фононный спектр состоит из 3п ветвей с разными частотами (д) (г = 1, 2,...,3п). При этом частоты трех из них стремятся к нулю, когда q ^ 0, и соответствуют акустическим ветвям колебаний кристаллической решетки, тогда как остальные 3(п -1) ветви называются оптическими. Полученные выше формулы определяют времена релаксации, обусловленные акустической ветвью колебаний решетки. Поэтому возникает вопрос о том, как сильно влияют оптические ветви на процесс спиновой релаксации в настоящей модели. В общем случае точный ответ можно получить только после конкретных расчетов, поскольку оптические и акустические фононы имеют разный закон дисперсии. Но, несмотря на это, все же можно привести определенные рассуждения по этому поводу, используя для этого формулы (37), (38), а также некоторые
свойства спектра оптических фононов. Действительно, согласно (37), (38) времена релаксации определяются параметром р0 =ю0/О , где О = . Если теперь рассматривать небольшую окрестность центра зоны Бриллюэна, то с большой точностью для оптических фоно-нов можно считать, что юо (д) « О0, т.е. является константой и не зависит от волнового вектора. При этом, поскольку частота оптических колебаний много больше акустических (Оо >> О), то отношение рО / р0" = О / Оо << 1. Это означает, что скорость спиновой релаксации за счет оптических фононов в данной модели будет заметно меньше, чем при взаимодействии с акустической ветвью колебаний кристаллической решетки. Но строгое доказательство этого утверждения возможно только на основе математических расчетов.
Сравним теперь полученные выражения для времени релаксации с известными в литературе результатами.
Для этого отметим, что рассмотренный в данной работе механизм релаксации спинового момента по своему физическому содержанию близок к механизму, связанному с модуляцией кристаллического поля. Это видно из структуры гамильтониана (5), в котором локальное электрическое поле, вызванное деформацией решетки, непосредственно действует на спин электрона. Отличие же заключается в том, что в данной модели рассматривается зонный электрон, в то время как в работах [39-41] электрон взаимодействует с периодическим потенциалом решетки и его возмущениями, связанными с колебаниями атомов. Другими словами, рассмотренный в данной работе механизм спиновой релаксации относится к классу механизмов, обусловленных модуляцией электрического поля, которым в данном случае является поле деформации. Это говорит о том, что зависимость времени релаксации от магнитного поля и температуры кристалла должна совпадать с выражением для т, которое для прямого процесса имеет вид [19]:
1 ~ ай^еоШ
Йю0 ~Г
аД5, Г/Йю0 << 1, аД04Г, Г/Йю0 >> 1,
(39)
где а и а - некоторые размерные константы, определяющиеся матричным элементом возмущения кристаллического поля, вызванного колебаниями решетки. Сравнивая (37), (38) с (39), несложно видеть, что они отличаются постоянными множителями, зависящими от параметров
X
2
1
X
X
системы, что подтверждает приведенные рассуждения.
В заключение этой части оценим величину времени релаксации спинового момента в данной модели, считая, что g (я) и 2 и лх = лу = = лг = л. Для этого перепишем формулы (37), (38) в виде
1 °р3Ро5, Т.Ж << 1 — ~ <
т Ор3р0аТ„, Т_ >> 1,
где Р3 = Ее1 / Е, Ее1 = л2 /2т - кинетическая энергия электрона, Е - параметр, имеющий размерность энергии:
Е = ■
О2
3Мт с4 с
3„4„3 а
2лРт 4л Йст qd Для типичных значений qd ~108 рад • см-1, са ~105 см • с-1,М ~ 10-22 г (Мя и 6.52 •Ю-22 г), ст ~10-11 эрг [49]:
Е ~106 эВ.
Тогда, например, для кристалла в магнитном поле Д0 = 104 Гс и с энергией электрона Ее1 ~ 1 эВ время релаксации имеет порядок:
10, Т << 102К, 102Т-1, 102К< Т < Тт
(40)
Кроме этого, следует отметить, что процессы спиновой релаксации в конденсированных средах в общем случае являются многоканальными, причем время релаксации определяется через сумму скоростей релаксации по разным каналам. В данной работе рассмотрен один из возможных каналов, скорость релаксации т-1 в котором согласно (40) является очень низкой и составляет незначительную поправку к значению Т-1 = ^ т-1 по всем каналам.
ПРИЛОЖЕНИЕ А Вывод оператора Гамильтона изучаемой системы в представлении эффективной массы
Рассмотрим электрон проводимости в немагнитном изотропном ковалентном кристалле (полупроводнике) со структурой алмаза, обладающем центром симметрии, с учетом действия дополнительного электрического поля, создаваемого сторонним потенциалом V(г). Гамильтониан рассматриваемой системы в од-ноэлектронном приближении с учетом спин-орбитального взаимодействия имеет вид
Н = + и (г) + V (г) + —^ 2т 4т с
(о • [Е х р]), (А.1)
где Гт - температура плавления, т измеряется в секундах. При этом, например, для механизма Эллиотта-Яфета в кремнии т ~10-5 -10-7 с [54, 55] в зависимости от температуры и степени легирования.
Большие времена релаксации в данной модели могут быть связаны с тем, что, с одной стороны, в настоящей работе рассматривается случай слабого электрон-фононного взаимодействия, а с другой - могут быть обусловлены способом взаимодействия спинового момента и фононного окружения, которое осуществляется через спин-орбитальное взаимодействие, являющееся релятивистской поправкой, причем поправкой второго порядка по отношению скорости электрона к скорости света. При этом определенное значение в данном вопросе также могут иметь сделанные приближения, в частности приближение замороженного конфигурационного движения. Учет динамики конфигурационной «подсистемы» приведет к изменению времени спиновой релаксации, но насколько увеличится или уменьшится его значение, могут показать только конкретные вычисления.
где и (г) - периодический потенциал кристаллической решетки, Е = Уи(г) + VV(г) - суммарное электрическое поле, действующее на электрон со стороны периодического потенциала кристаллической решетки и V(г). Будем считать, что V(г) в (А.1) является возмущением, медленно меняющимся на протяжении многих периодов кристаллической решетки.
Волновая функция электрона и его энергетический спектр определяются уравнением Шре-дингера
.Й
( Р 2
+ и (г) + V (г) + 2 2 2т 4т с
\
(о • [Е х р])
(А.2)
х Vq (г) = q (г),
где Vч (г) в общем случае представляет собой двухкомпонентный спинор (q - набор квантовых чисел), е - собственное значение энергии электрона.
Задача заключается в переходе от гамильтониана (А.1) с учетом возмущающего потенциала V (г) к гамильтониану системы в ¿-пространстве. Для ее решения будем использовать кр-метод и понятие эффективной массы [51].
т
Как хорошо известно [51], в отсутствие внешнего поля, т.е. потенциала V(r), решениями уравнения (А.2) являются функции Блоха, соответствующие спектру еп = еп (к), определяющему энергетические зоны. В дальнейшем нас будет интересовать минимум зоны проводимости изотропного кристалла. В окрестности этой точки энергетический спектр имеет вид ек = Н2(к + к0)2/2т*, где т* - эффективная масса электрона проводимости, к 0 - постоянный вектор, определяющий минимум зоны проводимости.
Учтем теперь сторонний потенциал V(г). Поскольку V(г) по условию является возмущением в (А.2), то, раскладывая неизвестную волновую функцию ^ ы (г) по функциям Блоха (метод огибающей) [51]
,(г) = Х{ dk 'An (k > ^(г)
H =
h 2(к + к 0)2
2m
+ V (г) +
eh
+ Т-1-Т(о • [W(г) х (к + к0)]). 4m c
(A.5)
t (1) =
xx
1 1 +M
—Jdxx5 Jdxr\(x)(e"
(Ю0 + Qx)x
0 -M
- gi(M0-Qx)x + e'(-M0+Qx)x - e-,'(®0+Qx)x1
Воспользуемся теперь формулой, определяющей преобразование Фурье функции Хеви-сайда [34, 75]:
(A.3)
TL4 = J dxx5 J dx cosKx)sin(xQx)-q(x). (B.1)
0 -M
Представим (B.1) в виде
J dxei (M-M')x^(x) =
,
= т8(ш -ш ') + i
ш - ш + ,s P
(B.3)
ю -ю е ^+0,
где 8(ю) - 5-функция Дирака, а символ Р обозначает главное значение.
Используя (В.3) в (В.2), учитывая четность 8 -функции, а также что параметр р0 =
= ю 0 / О << 1, найдем
Т
(1)
5Q
( с „2'А 1 +
1 L 5Р0
3
Вычисляя аналогичным образом оставшиеся компоненты Т^ш) и Т^(ш), запишем окон-
и используя кр-метод, несложно показать [51], что в приближении эффективной массы состояния электрона в потенциале V(г) описываются уравнением, аналогичным уравнению Шредин-гера (А.2) с новой волновой функцией ¥п (г):
~ Шп (г) = (е-е п (0))¥ (г), (А.4)
где Н - искомый гамильтониан системы в приближении эффективной массы:
чательныи ответ:
(
Т о = '
11 5Q
1 + ^
2
Т (1) = Tpo
xy 2Q'
Т о = — zz 5Q:
ТО) = Tf» + Х», Ty2 (ш) = Т^(ш) + Х», Т®(ш) = TzZ2■1)(ш) + Т2»,
(B.4)
(B.5)
где
ТГ(ш) = =
T
4Q
|p+15 coth
f\„ h
|р
T
V TeJf У
-|p_ 15 coth
|Р
T
V УУ
ПРИЛОЖЕНИЕ Б Вычисление частотной зависимости коэффициентов фононного трения
В качестве примера, демонстрирующего вычисление частотной зависимости коэффициентов фононного трения, рассмотрим Т?. Согласно [25] Т® определяется следующей формулой:
Tf>) = тУ2» =
= 2Q (p+ F(Р+ , Teff ) + p-F (p- , Teff )1,
Tx(f» = -Ту(2л)(Ш) = = ( F (Р+ , Teff ) - Р- F (Р- , Teff )1,
= -ТГ(ш) =
(B.6)
(B.7)
(B.8)
T
4Q
5 Hcot,.^ (B9)
|р+| coth TT- -\Р-\ coth
V У
Т^ш = L im Tf»,
®0 ^0
T
V f УУ
(B.2)
Т^(ш) = L im Т^»,
1
F ( p, Teff ) = J dx
2 2 x - p
coth
f \ x
T
V eJJ У
(B.10) (B.11)
+M
3
+
1 +M
5
x
р0 = ш0 /О , р = ш /О, р± = р ± р0. В формуле (В.11) интеграл понимается в смысле главного значения.
Полученные выше формулы определяют частотную зависимость коэффициентов фононно-го трения в немарковском случае.
Рассмотрим теперь марковский предел для низких и высоких эффективных температур. В марковском случае р << 1. Поэтому, раскладывая полученные выше формулы в ряд Тейлора и ограничиваясь несколькими слагаемыми, получим для Т„ << 1 следующий результат:
Tf»=О)=
2Q
fe +10 Po3 p2 + 5 Po p4),
(B.12)
ТГИ = СЧ®) = 4Q (1 + 2 p2), (B.13)
ТхГ)(ш) = -ТуХ21)(ш) = - + 6 р2), (В.14)
ТхГ(ш) = -ТуХ22)(ю) = я / \ (В.15)
=2Л((5 +10 р3 р2 + 5 РР4 ),
= 0, (В.16)
Т122)(ш) = ^ (1 + 2 р2).
В противоположном случае высоких эффективных температур, когда Т^ >> 1, из формул (В.6)-(В.10) найдем
TГ(®) = О) =
2Q
fe 4 + 6 Po2 p 2 + Po4 ),
(B.17)
ТГИ = О®)=ffe+3p2), (B.18)
C» = T» = -T3pi(1 + 9p2), (B.19)
e» —TT» =
_-T (2.2)(m) _ 2*Tfpp0
Tf» _-
Q
fe + p2), (B.20)
"T#P 4
2Q
Tf>) (1+3 p2).
(B21)
Список литературы
1. Awschalom D.D., Loss D., Samarth N. Semiconductor spintronics and quantum computation. Berlin: Springer, 2002. 311 p.
2. Zutic I., Fabian J., Das Sarma S. //Rev. Mod. Phys. 2004. V. 76. P. 323-410.
3. Maekawa S. Concept in spin electronics. New York: Oxford University Press, 2006. 398 p.
4. Ферт А. //УФН. 2008. Т. 178. С. 1337-1348.
5. Dyakonov M.I. Spin physics in semiconductors. Berlin: Springer, 2008. 440 p.
6. Аплеснин С.С. Основы спинтроники. Учебное пособие. СПб.: Лань, 2010. 288 с.
7. Кусраев Ю.Г. //УФН. 2010. Т. 180. С. 759-773.
8. Ивченко Е.Л. //УФН. 2012. Т. 182. С. 870-876.
9. Muller G.M., Oestreich M., Romer M., Hubner J. // Physica E. 2010. V. 43. P. 569-587.
10. Crooker S.A., Brandt J., Sandfort C. et al. // Phys. Rev. Lett. 2010. V. 104. P. 036601.
11. Glazov M.M., Sherman E.Ya. // Phys. Rev. Lett. 2011. V. 107. P. 156602.
12. Wolf S.A., Awschalom D.D., Buhrman R.A. et al. //Science. 2001. V. 294. P. 1488-1495.
13. Гуляев Ю.В., Зильберман П.Е., Панас А.И., Эпштейн Э.М. //УФН. 2009. Т. 179. С. 359-368.
14. Тарасенко С.А. //УФН. 2010. Т. 180. С. 773-777.
15. Голуб Л.Е. //УФН. 2012. Т. 182. С. 876-879.
16. Волков Н.В.//УФН. 2012. Т. 182. С. 263-285.
17. Александров И.В. Теория магнитной релаксации. Релаксация в жидких и твердых неметаллических парамагнетиках. М.: Наука, 1975. 400 с.
18. Абрагам А. Ядерный магнетизм. М.: Изд. ин. лит., 1963. 551 с.
19. Абрагам А., Блини Б. Электронный парамагнитный резонанс переходных ионов. Т.1, 2. М.: Мир, 1978. 647 с.
20. Сликтер Ч. Основы теории магнитного резонанса. М.: Мир, 1981. 488 с.
21. Дзюба С.А. Основы магнитного резонанса. Часть 2. Спиновая динамика и релаксация. Учебное пособие. Новосибирск, 1997. 138 с.
22. Ален Л., Эберли Дж. Оптический резонанс и двухуровневые атомы. М.: Мир, 1978. 219 с.
23. Ахиезер А.И., Барьяхтар В.Г., Пелетминский С.В. Спиновые волны. М.: Наука, 1967. 368 с.
24. Гуревич А.Г., Мелков Г.А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит, 1994. 464 с.
25. Флейшман Г. Д. Стохастическая теория излучения. М. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2008. 464 с.
26. Виноградов Е.А., Дорофеев И.А. Термости-мулированные электромагнитные поля твердых тел. М.: Физматлит, 2010. 484 с.
27. Вольтера В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982. 304 с.
28. Анисимов С.И., Имас Я.А, Романов Г.С., Хо-дыко Ю.В. Действие излучения большой мощности на металлы. М.: Наука, 1970. 272 с.
29. Крымский В.В., Балакирев В.Ф. //ДАН. 2002. Т. 385. С. 786-787.
30. Либенсон М.Н. Лазерно-индуцированные оптические и термические процессы в конденсированных средах и их взаимное влияние. СПб.: Наука, 2007. 423 с.
31. Конуэлл Э. Кинетические свойства полупроводников в сильных электрических полях. М.: Мир, 1970. 384 с.
п
32. Shah J. Ultrafast spectroscopy of semiconductor microstructures. Berlin: Springer, 1996.
33. Haug H., Jauho A.-P. Quantum kinetics in transport and optics of semiconductors. Berlin: Springer, 1997.
34. Бочков Г.Н., Ефремов Г.Ф. Нелинейные стохастические модели процессов и систем. Учебное пособие. Часть 1. Горький: Изд-во ГГУ, 1978. 114 с.
35. Ефремов Г.Ф., Смирнов А.Ю. // ЖЭТФ. 1981. Т. 80. С. 1071-1086.
36. Ефремов Г.Ф. Стохастические уравнения для открытых квантовых систем. Учебное пособие. Горький: Изд-во ГГУ, 1982. 120 с.
37. Бройер Х.-П., Петруччионе Ф. Теория открытых квантовых систем. М. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2010. 824 с.
38. Waller I. //Zs. Phys. 1932. V. 79. P. 370.
39. Heitler W., Teller E. //Proc. Roy. Soc. 1936. V. A155. P. 629.
40. Kronig R. de L. //Physica. 1939. V. 6. P. 33.
41. Van Vleck J.H. //Phys. Rev. 1940. V. 57. P. 426.
42. Orbach R. //Proc. Roy. Soc. 1961. V. A264. P. 458.
43. Дьяконов М.И., Перель В.И. // ФТТ. 1971. Т. 13. С. 3581.
44. Elliott R.J. // Phys. Rev. 1954. V. 96. P. 266-279.
45. Yafet Y. // Solid State Phys. 1963. V. 14. P. 2.
46. Рашба Э.И. //УФН. 1964. Т. 84. С. 557-578.
47. Бир Г.Л., Пикус Г.Е. Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках. М.: Наука, 1972. 584 с.
48. Bardeen J., Shockley W. //Phys. Rev. 1950. V. 80. N. 72.
49. Давыдов А.С. Теория твердого тела. М.: Наука, 1976. 646 с.
50. Боголюбов Н.Н., Боголюбов Н.Н. (мл.) Аспекты теории полярона. М.: Физматлит, 2004. 176 с.
51. Цидильковский И.М. Электроны и дырки в полупроводниках. Энергетический спектр и динамика. М.: Наука, 1972. 640 с.
52. Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников. М.: Наука, 1978. 616 с.
53. Шалимова К.В. Физика полупроводников. М.: Энергоатомиздат, 1985. 392 с.
54. Гусейнов Д.В., Ежевский А.А., Сухоруков А.В., Попков С.А. // Вестник ННГУ. 2010. Т. 5(2). С. 330-334.
55. Данилов Ю.А., Демидов Е.С., Ежевский А.А. Новые магнитные материалы и приборы на их осно-
ве. Учебное пособие. Н. Новгород: ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2010. 99 с.
56. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. М.: Мир, 2003. 408 с.
57. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения: теория и ее приложения к акустике, гидродинамике и радиофизике. Том 1, 2. М.: Физматлит, 2008.
58. Van Kampen N.G. Stochastic processes in physics and chemistry. North Holland, 2007. 464 p.
59. Дубков А.А. Современные методы статистического анализа процессов переноса в биологических системах. Учебное пособие. Н. Новгород, 2007. 92 с.
60. Демченко П.Ф., Кислов А.В. Стохастическая динамика природных объектов. Броуновское движение и геофизические приложения. М.: Геос, 2010. 190 с.
61. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Статистическая физика. Т. 5. Часть 1. М.: Физматлит, 2002. С. 437-448.
62. Smirnov A.Yu. // Phys. Rev. E. 1997. V. 56. P. 1484-1489.
63. Smirnov A.Yu. // Phys. Rev. B. 1998. V. 60. P. 3040-3043.
64. Ефремов Г.Ф., Ступин С.А. // Вестник ННГУ. Математическое моделирование. Оптимальное управление. 2001. № 1(23). С. 136-145.
65. Ефремов Г.Ф., Петров Д.А. // Вестник ННГУ. Радиофизика. 2010. № 2(1). С. 75-83.
66. Buishvili L.L., Zviadadze M.D., Khalvashi E.Kh. //Zs. Eksp. Teor. Fiz. 1986. V. 91. Р. 310-313.
67. Халваши Э.Х. // ЖЭТФ. 1996. Т. 110. С. 703713.
68. Халваши Э.Х. // ЖЭТФ. 2005. Т. 127. С. 445457.
69. Vladimirov A.A., Ihle D., Plakida N.M. //Theor. and Math. Phys. 2005. V. 145. P. 1576-1589.
70. Goldman M. //J. Mag. Res. 2001. V. 149. P. 160-187.
71. Bloch F. // Phys. Rev. 1946. V. 70. № 7-8. P. 460-474.
72. Bloch F. // Phys. Rev. 1957. V. 105. № 4. P. 1206-1222.
73. Puller V.I., Mourokh L.G., Horing N.J.M., Smirnov A.Yu. // arXiv. 2002. cond-mat/0205652v1.
74. Puller V.I., Mourokh L.G., Horing N.J.M., Smirnov A.Yu. // Phys. Rev. B. 2003. V. 67. P. 155309.
75. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1967. С. 85-87.
ON THE EFFECT OF ELECTRON-PHONON INTERACTION AND PHONON FIELD FLUCTUATIONS ON RELAXATION OF THE CONDUCTION ELECTRON SPIN TORQUE IN NONMAGNETIC CRYSTALS. I
D.A. Petrov
The article investigates the effect of electron-phonon interaction and phonon field fluctuations on the relaxation of the conduction electron spin angular momentum in nonmagnetic centrosymmetric crystals taking into account the spinorbit interaction. In the approximation of the Gaussian statistics of phonon field variables, a stochastic equation is obtained which describes Brownian motion and the spin angular momentum relaxation in the most general non-Markov case accounting for the memory effects. The fluctuation sources and phonon damping coefficients are defined. In the Markovian limit case, the microscopic Bloch equations are derived for the projections of the spin angular momentum, and the non-Markovian corrections related to the memory effects are also determined. The validity conditions for the obtained equations are formulated.
Keywords: spintronics, spin noise, open quantum systems, stochastic equation, phonon damping, spin-orbit interaction.
References
1. Awschalom D.D., Loss D., Samarth N. Semiconductor spintronics and quantum computation. Berlin: Springer, 2002. 311 p.
2. Zutic I., Fabian J., Das Sarma S. //Rev. Mod. Phys. 2004. V. 76. P. 323-410.
3. Maekawa S. Concept in spin electronics. New York: Oxford University Press, 2006. 398 p.
4. Fert A. //UFN. 2008. T. 178. S. 1337-1348.
5. Dyakonov M.I. Spin physics in semiconductors. Berlin: Springer, 2008. 440 p.
6. Aplesnin S.S. Osnovy spintroniki. Uchebnoe posobie. SPb.: Lan', 2010. 288 s.
7. Kusraev Yu.G. //UFN. 2010. T. 180. S. 759-773.
8. Ivchenko E.L. //UFN. 2012. T. 182. S. 870-876.
9. Muller G.M., Oestreich M., Romer M., Hubner J. // Physica E. 2010. V. 43. P. 569-587.
10. Crooker S.A., Brandt J., Sandfort C. et al. // Phys. Rev. Lett. 2010. V. 104. P. 036601.
11. Glazov M.M., Sherman E.Ya. // Phys. Rev. Lett. 2011. V. 107. P. 156602.
12. Wolf S.A., Awschalom D.D., Buhrman R.A. et al. //Science. 2001. V. 294. P. 1488-1495.
13. Gulyaev Yu.V., Zil'berman P.E., Panas A.I., Ehpshtejn Eh.M. //UFN. 2009. T. 179. S. 359-368.
14. Tarasenko S.A. //UFN. 2010. T. 180. S. 773-777.
15. Golub L.E. //UFN. 2012. T. 182. S. 876-879.
16. Volkov N.V.//UFN. 2012. T. 182. S. 263-285.
17. Aleksandrov I.V. Teoriya magnitnoj relaksacii. Relaksaciya v zhidkih i tverdyh nemetallicheskih para-magnetikah. M.: Nauka, 1975. 400 s.
18. Abragam A. Yadernyj magnetizm. M.: Izd. in. lit., 1963. 551 s.
19. Abragam A., Blini B. Ehlektronnyj paramagnit-nyj rezonans perekhodnyh ionov. T. 1, 2. M.: Mir, 1978. 647 s.
20. Slikter Ch. Osnovy teorii magnitnogo rezonansa. M.: Mir, 1981. 488 s.
21. Dzyuba S.A. Osnovy magnitnogo rezonansa. Chast' 2. Spinovaya dinamika i relaksaciya. Uchebnoe posobie. Novosibirsk, 1997. 138 s.
22. Alen L., Ehberli Dzh. Opticheskij rezonans i dvuhurovnevye atomy. M.: Mir, 1978. 219 s.
23. Ahiezer A.I., Bar'yahtar V.G., Peletminskij S.V. Spinovye volny. M.: Nauka, 1967. 368 s.
24. Gurevich A.G., Melkov G.A. Magnitnye kole-baniya i volny. M.: Fizmatlit, 1994. 464 s.
25. Flejshman G.D. Stohasticheskaya teoriya izlu-cheniya. M. - Izhevsk: NIC «Regulyarnaya i haotich-eskaya dinamika», 2008. 464 s.
26. Vinogradov E.A., Dorofeev I.A. Termosti-mulirovannye ehlektromagnitnye polya tverdyh tel. M.: Fizmatlit, 2010. 484 s.
27. Vol'tera V. Teoriya funkcionalov, integral'nyh i integro-differencial'nyh uravnenij. M.: Nauka, 1982. 304 s.
28. Anisimov S.I., Imas Ya.A, Romanov G.S., Ho-dyko Yu.V. Dejstvie izlucheniya bol'shoj moshchnosti na metally. M.: Nauka, 1970. 272 s.
29. Krymskij V.V., Balakirev V.F. //DAN. 2002. T. 385. S. 786-787.
30. Libenson M.N. Lazerno-inducirovannye opti-cheskie i termicheskie processy v kondensirovannyh sredah i ih vzaimnoe vliyanie. SPb.: Nauka, 2007. 423 s.
31. Konuehll Eh. Kineticheskie svojstva poluprovod-nikov v sil'nyh ehlektricheskih polyah. M.: Mir, 1970. 384 s.
32. Shah J. Ultrafast spectroscopy of semiconductor microstructures. Berlin: Springer, 1996.
33. Haug H., Jauho A.-P. Quantum kinetics in transport and optics of semiconductors. Berlin: Springer, 1997.
34. Bochkov G.N., Efremov G.F. Nelinejnye sto-hasticheskie modeli processov i sistem. Uchebnoe posobie. Chast' 1. Gor'kij: Izd-vo GGU, 1978. 114 s.
35. Efremov G.F., Smirnov A.Yu. // ZhEhTF. 1981. T. 80. S. 1071-1086.
36. Efremov G.F. Stohasticheskie uravneniya dlya otkrytyh kvantovyh sistem. Uchebnoe posobie. Gor'kij: Izd-vo GGU, 1982. 120 s.
37. Brojer H.-P., Petruchchione F. Teoriya otkrytyh kvantovyh sistem. M. - Izhevsk: NIC «Regulyarnaya i haoticheskaya dinamika», 2010. 824 s.
38. Waller I. //Zs. Phys. 1932. V. 79. P. 370.
39. Heitler W., Teller E. //Proc. Roy. Soc. 1936. V. A155. P. 629.
40. Kronig R. de L. //Physica. 1939. V. 6. P. 33.
41. Van Vleck J.H. //Phys. Rev. 1940. V. 57. P. 426.
42. Orbach R. //Proc. Roy. Soc. 1961. V. A264. P. 458.
43. D'yakonov M.I., Perel' V.I. // FTT. 1971. T. 13. S. 3581.
44. Elliott R.J. // Phys. Rev. 1954. V. 96. P. 266-279.
45. Yafet Y. // Solid State Phys. 1963. V. 14. P. 2.
46. Rashba Eh.I. //UFN. 1964. T. 84. S. 557-578.
47. Bir G.L., Pikus G.E. Simmetriya i deforma-cionnye ehffekty v poluprovodnikah. M.: Nauka, 1972. 584 s.
48. Bardeen J., Shockley W. //Phys. Rev. 1950. V. 80. N. 72.
49. Davydov A.S. Teoriya tverdogo tela. M.: Nauka, 1976. 646 s.
50. Bogolyubov N.N., Bogolyubov N.N. (ml.) Aspekty teorii polyarona. M.: Fizmatlit, 2004. 176 s.
51. Cidil'kovskij I.M. Ehlektrony i dyrki v poluprovodnikah. Ehnergeticheskij spektr i dinamika. M.: Nauka, 1972. 640 s.
52. Ansel'm A.I. Vvedenie v teoriyu polupro-vodnikov. M.: Nauka, 1978. 616 s.
53. Shalimova K.V. Fizika poluprovodnikov. M.: Ehnergoatomizdat, 1985. 392 s.
54. Gusejnov D.V., Ezhevskij A.A., Suhorukov A.V., Popkov S.A. // Vestnik NNGU. 2010. T. 5(2). S. 330-334.
55. Danilov Yu.A., Demidov E.S., Ezhevskij A.A. Novye magnitnye materialy i pribory na ih osnove. Uchebnoe posobie. N. Novgorod: NNGU im. N.I. Loba-chevskogo, 2010. 99 s.
56. Oksendal' B. Stohasticheskie differencial'nye uravneniya. Vvedenie v teoriyu i prilozheniya. M.: Mir, 2003. 408 s.
57. Klyackin V.I. Stohasticheskie uravneniya: teoriya i ee prilozheniya k akustike, gidrodinamike i radiofizike. T. 1, 2. M.: Fizmatlit, 2008.
58. Van Kampen N.G. Stochastic processes in physics and chemistry. North Holland, 2007. 464 p.
59. Dubkov A.A. Sovremennye metody statistiches-kogo analiza processov perenosa v biologicheskih siste-mah. Uchebnoe posobie. N. Novgorod, 2007. 92 s.
60. Demchenko P.F., Kislov A.V. Stohasticheskaya dinamika prirodnyh ob"ektov. Brounovskoe dvizhenie i geofizicheskie prilozheniya. M.: Geos, 2010. 190 s.
61. Landau L.D., Livshic E.M. Statisticheskaya fizi-ka. T. 5. Chast' 1. M.: Fizmatlit, 2002. S. 437-448.
62. Smirnov A.Yu. // Phys. Rev. E. 1997. V. 56. P. 1484-1489.
63. Smirnov A.Yu. // Phys. Rev. B. 1998. V. 60. P. 3040-3043.
64. Efremov G.F., Stupin S.A. // Vestnik NNGU. Matematicheskoe modelirovanie. Optimal'noe uprav-lenie. 2001. №1(23). S. 136-145.
65. Efremov G.F., Petrov D.A. // Vestnik NNGU. Radiofizika. 2010. №2(1). S. 75-83.
66. Buishvili L.L., Zviadadze M.D., Khalvashi E.Kh. //Zs. Eksp. Teor. Fiz. 1986. V. 91. P. 310-313.
67. Halvashi Eh.H. //ZhEhTF. 1996. T. 110. S. 703-713.
68. Halvashi Eh.H. //ZhEhTF. 2005. T. 127. S. 445-457.
69. Vladimirov A.A., Ihle D., Plakida N.M. //Theor. and Math. Phys. 2005. V. 145. P. 1576-1589.
70. Goldman M. //J. Mag. Res. 2001. V. 149. P. 160-187.
71. Bloch F. // Phys. Rev. 1946. V. 70. № 7-8. P . 460-474.
72. Bloch F. // Phys. Rev. 1957. V. 105. № 4. P . 1206-1222.
73. Puller V.I., Mourokh L.G., Horing N.J.M., Smirnov A.Yu. // arXiv. 2002. cond-mat/0205652v1.
74. Puller V.I., Mourokh L.G., Horing N.J.M., Smirnov A.Yu. // Phys. Rev. B. 2003. V. 67. P. 155309.
75. Vladimirov V.S. Uravneniya matematicheskoj fiziki. M.: Nauka, 1967. S. 85-87.
