CC BY
34
Физика твёрдого тела Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2014, № 4 (1), с. 28-45
УДК 538.935
К ВОПРОСУ О ВЛИЯНИИ ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ И ФЛУКТУАЦИЙ ФОНОННОГО ПОЛЯ НА РЕЛАКСАЦИЮ СПИНОВОГО МОМЕНТА ЭЛЕКТРОНОВ ПРОВОДИМОСТИ В НЕМАГНИТНЫХ КРИСТАЛЛАХ. II
© 2014 г. Д.А. Петров
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского [email protected]
Поступила в редакцию 30.10.2013
Исследуется вопрос о влиянии эффекта памяти на форму спиновой динамической восприимчивости электрона проводимости, взаимодействующего с полем фононов и его флуктуациями в немагнитных изотропных ковалентных кристаллах, обладающих центром симметрии, с учетом спин-орбитальной связи. Получены выражения для продольного и поперечного времени релаксации спинового момента в наиболее общем немарковском случае. Проведен анализ влияния эффекта памяти на дисперсию и линию поглощения спиновой подсистемы. Рассмотрен эффект изменения частоты прецессии спинового момента, обусловленный флуктуациями фононного поля.
Ключевые слова: открытые квантовые системы, стохастическое уравнение, фононное трение, спиновая динамическая восприимчивость, оптическая активность.
Введение
Область спинзависимых явлений достаточно многообразна, чему свидетельство как фундаментальные результаты, полученные при исследовании спиновых эффектов, так и применение этих результатов в различных областях физики [1—5]. В последнее время ряд направлений в этой области испытывают определенный подъем и развитие [6-13], связанные в первую очередь с использованием спиновых эффектов при создании приборов и устройств для обработки и хранения информации [1]. Это делает необходимым изучение важной проблемы управления состояниями спиновых систем, что в теоретическом плане означает исследование их динамики с учетом внешнего воздействия. При этом часто данная проблема сильно усложняется необходимостью учитывать при ее решении множество различных факторов, сильно влияющих на свойства этих систем, среди которых во многих случаях существенную роль играют стохастич-ность внешних полей и окружения, их неравновесность. Кроме этого в некоторых случаях при исследовании динамики открытых систем [14] необходимо учитывать особенности, связанные с наличием эффекта памяти [15, 16]. В связи с этим представляет теоретический интерес определение свойств спиновых систем, когда задействованы большинство из указанных выше факторов.
Данная проблема рассматривалась в работе [17] на примере простой модели, учитывающей явным образом стохастическую природу окружения и эффекты памяти, т.е. немарковский характер взаимодействия между спиновой системой и ее окружением. В этой работе исследовалась динамика (процесс релаксации) спинового момента электрона проводимости, взаимодействующего с полем фононов и его флук-туациями в немагнитных изотропных ковалент-ных кристаллах, обладающих центром симметрии, с учетом спин-орбитальной связи. В качестве метода исследования использовались метод стохастических уравнений [18-21] и концепция открытых квантовых систем [14], позволяющие с единых позиций изучать флуктуаци-онные и диссипационные процессы. В частности, в приближении замороженного конфигурационного движения [22, 23] получено немарковское стохастическое уравнение, описывающее процесс релаксации и броуновское движение спинового момента электрона, вызванное флуктуациями фононного поля. Показано, что если в системе пренебречь запаздыванием взаимодействия, то исходные стохастические ин-тегродифферен-циальные уравнения переходят в уравнения Блоха [22, 24, 25] с микроскопически определенными немарковскими поправками, временами релаксации и равновесными значениями.
В настоящей работе будет продолжено исследование особенностей рассматриваемой мо-
дели на основе полученного в первой части (работа [17]) стохастического уравнения для проекций оператора спинового момента. В частности, будет исследован важный вопрос о влиянии эффекта памяти на процесс спиновой релаксации и характеристики, определяющие этот процесс.
Следует отметить, что такими характеристиками могут быть времена релаксации, однако чаще всего в экспериментах оказывается более удобно изучать процесс релаксации по форме сигнала спиновой системы при воздействии на нее внешней переменной силой, используя для этого эффекты парамагнитного [26-29], ядерного [30] или комбинированного резонансов [31]. В теоретическом плане определение формы сигнала предполагает вычисление отклика системы на действие переменной силы. В случае когда в качестве переменного воздействия используется осциллирующее магнитное поле, отклик такой системы называется спиновой динамической восприимчивостью [30]. В частности, из динамической восприимчивости можно получить информацию о дисперсии и форме линии поглощения системы, т. е. о ее сигнале на внешнее воздействие. Другими словами, она дает прекрасную возможность исследовать процесс спиновой релаксации. Поэтому вычисление этой характеристики является важной задачей, решение которой позволяет определить не только свойства и параметры системы, но и их возможное изменение, связанное с особенностями взаимодействия между подсистемой и ее окружением. Таким образом, основная цель настоящего исследования заключается в вычислении спиновой динамической восприимчивости электрона проводимости, взаимодействующего с полем фо-нонов и его флуктуациями, в наиболее общем немарковском случае и исследовании влияния на спиновую восприимчивость эффекта памяти.
Задача о вычислении формы линии поглощения спиновых систем с учетом немарковских эффектов не является новой [32-48]. При этом следует отметить, что эта задача нетривиальна по своему содержанию и требует для решения специфических методов, таких, например, как метод проекционных операторов [14, 49, 50], метод неравновесного статистического оператора [51, 52] и др. В данной работе форма линии поглощения будет определена из решения стохастического уравнения для оператора спинового момента электрона проводимости, полученного в работе [17], чему и посвящен следующий параграф.
Спиновая динамическая восприимчивость
Согласно [17] динамика проекций спинового момента электрона проводимости, взаимодействующего с полем акустических фононов и его флуктуациями, описывается следующим стохастическим уравнением:
йг
-у о[8(г) х В] =
у 1 -1 у сф, (о + ох
(1)
У у =
л
(2)
где 50 = Й/2, у0 = eg(я)/2тс, g(п) - среднее значение g-фактора зонного электрона, п -кинематический импульс электрона, В -внешнее магнитное поле, (г) (г = х, у, 2) -флуктуационные источники с равными нулю средними значениями, у2 (ух = уу = 0) и у у(т)
- коэффициенты фононного трения, определяющие равновесные значения и времена релаксации спинового момента в наиболее общем немарковском случае:
(у хх (т) уху (т) 0
у ух (т) у уу (т) 0 ч 0 0 у гг (т),
уху (т) = -уух (т). В формуле (1) по дважды повторяющемуся индексу подразумевается суммирование.
Как известно [53], динамическая восприимчивость представляет собой отклик системы на переменную внешнюю силу. Таким образом, основная задача настоящего параграфа заключается в вычислении отклика спинового момента электрона на действие переменного магнитного поля, которое удобно представить в виде
В(г) = Д(х0 С08(ю?) + у0 8ш(ю?)) + Б0х0, (3) позволяющем рассматривать как левую (га > 0), так и правую (га < 0) круговые поляризации. Значения Б1 и Б0 согласно [17] должны удовлетворять условию Б0,Б1 <<сЙ/еа2 ~6.58-10-8/а2, где а - период кристаллической решетки, при котором справедливы приближения эффективной массы и изотропного кристалла, использованные при выводе (1).
Для решения этой задачи воспользуемся уравнением (1), в котором В соответствует магнитному полю В(г). В общем случае интегрирование (1) с магнитным полем (3) возможно только численными методами. В данном параграфе будет рассмотрен частный случай, допускающий точное аналитическое решение и в то же время демонстрирующий некоторые характерные особенности изучаемой системы, связанные с эффектом памяти.
При выводе уравнения (1) было использовано приближение замороженного конфигурационного движения электрона, заключающееся в замене операторов физических величин, ответственных за это движение, средними значениями, в предположении, что они либо нам известны, либо могут быть определены из дополнительных расчетов. В частности, как показано в работе [17], коэффициенты фононного трения уу (т) зависят от среднего значения проекций
кинематического импульса электрона %1 (/ = х, у, 2). Будем далее считать, что электрон совершает квазизамкнутые траектории в плоскости ХУ, т.е., другими словами, рассмотрим
случай, когда среднее значение проекции кинематического импульса на направление г много меньше, чем пх и !у. Кроме этого для максимального упрощения положим пх = пу = п. Тогда, как показывают расчеты, проведенные в [17], ухх (т) = ууу (т), что достаточно для аналитического вычисления динамической восприимчивости на основе уравнений (1).
Итак, используя эти условия, перейдем теперь к решению системы (1). Усредняя (1) по равновесному состоянию поля фононов и учитывая, что (1)^0 = 0 , получим
С
+1 с^у (тК (О =
= ¿о у г + ®1(5х (0С08(ю 1) - ^ (О ОХ
х
+да
С -®0 ¿у (1) + | С11У хх (тК (О =
—да
+да
= —юЛ(1 Х^О + | ^у ух (тХ ОД
(4)
С-
5± (1) =
и(Х )е
,+гю1 Л
V.
преобразуем уравнения (4) к виду
С. = Ё±(и(!)—)) + ^ (1), а 2 Си
--+ /Дю и(1) = /ю (1) + (1),
С
--/Дю ) = —/ю15г (1) + F— (1),
^ С
где Дю =ю + ю0,
+да
^ (1) = ¿0У 2 — | С?,У гг (т>, (11),
(6)
(7)
(?) = —| С?,~± (т)
( и(01 40
~± (т) = (у хх (т) ± /Уух (т))^"х. (8)
Для решения (7) перейдем в частотную область. Вычисляя от правых и левых частей уравнений (7) преобразование Фурье и учитывая, что у2 является константой [17], получим следующую систему алгебраических уравнений относительно (ю), и(ю) и у(ю):
— /ю1и(ю) + /ю 1у(ю) + 2(—/ю + у (га)Х (ю) =
= 4то-0у, 8(юХ
(—/ю + /Дю + у+ (ю))и(ю) — /ю15г (ю) = 0, (—/ю — / Дю + (ю))у(ю) + /ю15г (ю) = 0,
(9)
имеющую решение: Ди (ю)
и(ю) =
Д(юю)
(ю) =
у(ю) =
Д
Д(ю) ,
Д (со) Д(ю) :
(10)
л +ю0 ¿х (1) + | С11у уу (Фу (О =
— ОТ
+да
= юЛ (1) С0«(ю 0 — |с^у ух (тХ (11),
где ю0 = у0Й0 - частота прецессии спинового момента, ю1 =у 0 Д. В (4) и далее в этой работе для сокращения обозначений принимаем, что
(0 - ( 0) (/ = х, у, 2).
Вводя новые переменные
¿± ( о = ¿х (0 ± /¿у (0 (5)
и переходя к новой системе координат
где
Д(ю) = (—/ю + у гг (ю))[(Дю2 — ю2) — — /ю(~+ (ю) + ю (ю)) + /Дю^ (~) —
— ~+(ю)) + ~+ (ю)У—(ю)] +
ю2
+ 2/ю + ~+ (ю) + (ю)],
Ди (®) = 2яюАу г8(ю)(ю + Дю + /у— (ю)), Ду (ю) = —2пю1^0у г8(ю)(ю — Дю + /~+ (ю)), Д * (ю) = 2^ у г 8(ю)[(Дю2 — ю2) + + /00(у+ (ю) + у— (ю)) + /Дю(ю) —
— ~+(ю)) + ~+ № (S)],
(11) (12)
у± (ю) у гг (ю)
= 1
~±(т)^ у (т)
+да
+да
е
Учитывая, что согласно (11)—(13) s2 (5), и (га) и у(ю) пропорциональны 5-функции, вычисляя обратное преобразование Фурье от (10) и подставляя получившиеся выражения в (6),
найдем
s+ (0 = ^ , s(t) = Д(0) ,
Д(0) Д(0)
s„ (t) = Sz ( ) = const,
zW Д(0)
где
Д(0) = 7 гг (0)[Дю2 + /ДЮ(~_ (0) -
s. (t) = -
2
(д и (0)e+*» + Д v (0)e),
s (t) = s+(t) - s-(t) = ^(t) = 2i "
(Ди (0)e+< -Д v (0)e)
s. (t) =
f
2Д(0) ^2^Д» + 2(7-(0)-7+ (0)) Icos(raí)-
- (~- (0) + ~+ (0))sín(CDÍ)
(19)
= «1S0 7 z 'ЛЧ 2Д(0)
sy (t) = -
(~- (0) + 7+ (0))cos(rat) +
+ 2|^Дю + 2(7- (0) -7+ (0))j sin(fflt) |. Введем далее следующие обозначения:
Д« =Д®+2 (~- (0) - ~+ (0)),
1 1 ~ ~ 1
- = т(7+ (0) + 7- (0)), — = 7 гг (0).
71 2
T2
Тогда несложно показать, что
Д(0)=TT [1+(Д^)2+«27172], 71 7 2
Д*2 (0) = S07 72[1 + (Д^)2]. (24)
В итоге используя (19), (20), (23), (24) и выражение для sz (t) из (14), найдем
( sx (t) ^ ( A - B 0 Y cos(rat) ^
(14)
sy (t)
Sz (t)
= sr
A 0
0 C
sin(ra t) 1
(25)
где
A = аш7
B = aQjT
дю271
1 + (ДЮ271)2 + <BJ2J¡T2 1
- ~+ (0))+~+ (0)~- (0)]+-2-(~+ (0) + (0)),
Ди (0) = ®A 7 z (Д«+ (0)), (15) Дv(0) = ®A7z(Д® -i~+ (0)), (16) Д sz (0) = S0 7 z [Д«2+'Д®(~- (0) - (0))+(0)~- (0)].
Используя теперь определение s+ (t) и s- (t) из (5), получим
S+ (t) + S- (t)
C = a
1 + (ДЮ271)2 +<B27¡T2
1 + (ДЮ271)2 1 + (Дю211)2 + a\TlT1' 7 z
(17)
(18)
а = у X =- .
2 2 у (0)
Определим теперь спиновую динамическую восприимчивость электрона, представляющую собой отклик спинового момента на действие переменного магнитного поля В± (г). Используя (25) и учитывая, что га[ ~ Бх, найдем
8± (г) = х(га)В± (г), где х(га) - искомая спиновая динамическая восприимчивость, являющаяся матрицей, эрмитова и антиэрмитова составляющие которой имеют вид
Х(<) = х'«
(1 0^
01
+ г'х"(ю)
(0 - Г| 10
Подставляя (15), (16) в (17), (18) и выполняя элементарные преобразования, найдем
где
Х'(<) = X0«0T
Дю^
x''(<) = x0®0?t-
1 + (Дю^)2 + <Bj2J¡T2 1
(26)
(27)
(20)
(21) (22)
1 + (Дю2?1)2 + О^21Т1Т2
Х0 =а^0/ Бо, а = у 2/ у (0). Физический смысл х'(га) и х"(га) заключается в том, что х"(га) определяет диссипацию энергии, т.е. форму линии поглощения, в то время как х'(га) характеризует дисперсию спиновой подсистемы [53].
Рассмотрим теперь физическое содержание параметров Т и Т2 в (27). Несложно показать [30], что если вычислить спиновую восприимчивость (26) исходя из феноменологических уравнений Блоха [22], то х' и х" совпадают по
форме с (27), где Т2 и Т характеризуют продольное и поперечное времена релаксации, входящие в уравнение Блоха. Другими словами, Т2
и 71 из (27) в данной модели представляют со-
2
бой не что иное, как продольное и поперечное времена релаксации спинового момента в наиболее общем немарковском случае. Введем для них обозначения:
Т = Тг, 72 = Т. (28)
Для определения (28), а также Дга2, от которых зависит динамическая восприимчивость, необходимо согласно (21), (22) вычислить частотную зависимость коэффициентов фононно-го трения у у (т). Эта задача была решена в приложении В в [17]. Но перед тем как использовать полученные результаты, проведем некоторые математические преобразования.
Представим у± (т) в виде
7± (т) = ъ(т) ± /у2(т), (29)
где, используя (8), получим
~1(т) = У х, (т)С08(ют) + у ух СфтСгатХ (30)
Ъ (т) = "У хх (т>т(гат) + у у, (т)С°8(Ют). (31)
Вычисляя преобразование Фурье от (30), (31), найдем
~1((в) = | ёту хх (т)с°8(ют)е'и
"От
+ | ^ту ух (т)8т(гат)е'шт,
—ОТ
(() = " | хх СфтСютУ00
—ОТ
+ | ^ту ух (т)с°8(от)е,шт.
найдем
~1(0) = (О
1Л
|р
Т
V е-и у
-|р|5 с°Ш
И
Т
V е" у у
(36)
у гг (0) = рп| Ро|5с°1Ь
Т«
V $ у
(32)
(33)
Устремляя в (32), (33) со к нулю, имеем
7,(0) = Яе{у хх (и)} + 1т{у у, (га)}, (34) у2(0) = —1т{ухх (и)} + Яе{уух (и)}. (35)
Теперь можно непосредственно использовать результаты работы [17]. Подставляя в (34), (35) формулы (34), (35) из [17] и учитывая, что в рассматриваемом случае пх = л = %»%г,
^ 3Мт3с4с3 Е =—2—Г , 4л Йст
т - масса электрона, М - суммарная масса атомов, входящих в состав одной элементарной ячейки кристалла, са - скорость акустических фононов, - период обратной решетки, с -скорость света, О = сада - некоторая характерная частота фононного окружения, Т^ = = 2квТ/Ш - эффективная температура кристалла,
га0 га+га0
р =7Т р+=—,
га - частота магнитного поля.
Для типичных значений ~108 рад • см"1, са ~105 см • с"1, М ~10—22 г (М& и 6.52 •Ю"22 г), ст ~10"11 эрг [54] параметр Е имеет порядок
Е ~106 эВ. (39)
Это означает, что для нерелятивистских электронов всегда (3 = Ее1 / Е << 1.
Анализ и обсуждение полученных результатов
Определим, к каким особенностям приводит немарковский характер взаимодействия электрона проводимости и поля фононов, вычислив в первую очередь продольное и поперечное времена релаксации. Используя (22), (29), (36) и (38), несложно показать, что
1 ■= 71(0) =
Т»
(
2р+15 с°Ш
1Л
|Р
- |р|5 с°Ш
Г IЛ \\
р
Т
1 „А
уу
Т = У гг (0) = Р0|5с°Л
Т,
р
Т 1
(40)
(41)
2| р+| с°Ш
72(0) = —■^(рЕ (р, Тф) + 2 р+Е(р+ ,Тф)), (37)
(38)
где Е(х, у) - специальная функция, введенная в [17], ( = Ее1 / Е - безразмерный параметр, определяющийся как отношение кинетической энергии электрона - Е, =л2/2т к параметру Е , имеющему размерность энергии:
Заметим, что как продольное, так и поперечное времена релаксации зависят от температуры кристалла. При этом поперечное время релаксации в отличие от продольного является функцией частоты внешнего магнитного поля. Эту особенность можно рассматривать как эффект дисперсии времени релаксации, связанный с наличием памяти в системе. В марковском пределе, когда мы пренебрегаем этой особенностью, из (40) и (41) следует: Т1 = 2Т4г(0), что полностью согласуется с результатом [17].
+
+
Рассмотрим асимптотическое поведение (40) и (41) при низких и высоких эффективных температурах. Так, в случае когда Ту << 1, имеем 1
Т»
( р+|5 +1 Р5)
Т = Ро|5;
(42)
Т
при этом в противоположном случае, при ТуУ >> 1, найдем 1
■■ЩТу (2 р+4 + р4), Т = р^Т#р4. Т
Построим график зависимости поперечного времени релаксации от частоты внешнего поля при различных значениях температуры кристалла. Для этого введем следующие обозначения
у = -, Т- = Р^Ро|5, 8 = ^ =
ш0 Т0 Ту
и перепишем (40), (41) в виде
Т-(у) 1
2квТ
Т
|у|5 0С1Ь(§| у)+2|1 + у5 СС1Ь(8|1 + у)
Т±
Т
Л- Л
+ 1Л
= соШ
ТУ
левой поляризации магнитного поля, что можно рассматривать как своего рода оптическую активность этой системы.
В последнее время эффект спиновой оптической активности часто используется в полупроводниках и наноструктурах при исследовании спинзависимого электронного транспорта [4, 5, 12, 55,56]. В эксперименте для этого применяется метод «накачка-зондирование» [57], индуцирующий эффект оптической активности через создание неравновесной спиновой поляризации в образце посредством воздействия на него внешнего электромагнитного поля. Этот эффект приводит к различию параметров резонанса для право- и левоциркулярно поляризованного излучения, благодаря чему формируются спиновые сигналы фарадеевского и керровского вращения [58].
Определим асимптотическое поведение поперечного времени релаксации при у >> 1. В
(43)
(44)
этом случае Тг(у) ~ 1апЬ(8| у| )/| у|5
т. е.
Тг(®)'
ш
8 >> 1,
ш 4, 8 << 1.
В этих формулах параметр Т0 совпадает с продольным временем релаксации в случае низких эффективных температур (формула (42)). В частности, для кристалла в магнитном поле В0 = 104 Гс и при Ее1 = 1 эВ этот параметр имеет порядок Т0 ~ 10 с.
График зависимости функции (43) от переменной у при различных значениях параметра
8 представлен на рис. 1А.
Согласно этому рисунку, частотная зависимость Тг имеет резонансный характер, причем частота шК, при которой время релаксации максимально, определенным образом зависит от параметра 8 , т.е. от температуры кристалла. Кроме этого рис. 1А имеет еще одну особенность. Он показывает различное поведение Т для правой и левой круговых поляризаций магнитного поля, т. е. асимметрию между правым и левым. Для левой поляризации (ш > 0) с ростом частоты время релаксации уменьшается. В случае же правой круговой поляризации (ш < 0) сначала происходит увеличение Т , достигающего максимального значения на частоте шК, и лишь потом, с дальнейшим ростом частоты, возникает его уменьшение. Таким образом, имеется различие в свойствах Т для правой и
Рассмотрим теперь график зависимости поперечного времени релаксации от параметра 8 при различных значениях отношения частот у = ш / ш0, представленный на рис. 1В.
Характерной его особенностью является то, что при увеличении температуры Т , т. е. уменьшении значений параметра 8 , время релаксации стремится к нулю. Это связано с тем, что при увеличении Т возрастает число фоно-нов, с которыми взаимодействует электрон, что в свою очередь создает усиление фононного трения, вызывающего процесс релаксации. Это видно уже из того, что гиперболический котангенс в (43) непосредственно связан со средним числом фононов (см. формулу (16) для функции корреляции М1 т) в [17]). В результате это приводит к уменьшению времени релаксации. Заметим, что данный факт нашел отражение и на рис. 1 А. В то же время уменьшение Т создает противоположный эффект ввиду сокращения числа фононов, с которыми взаимодействует электрон. Кроме этого при определенных значениях 8 , как показывает рис. 1В, время релаксации становится постоянным и не зависит от температуры. Проведем ее оценку.
Пусть при 8 > 8 функция Т- (8) является константой. Тогда, по определению 8 , найдем
Т*= Йш0
2кв8
! 6.7 -105 В0 К.
8*
(45)
5
Следует заметить, что согласно рис. 1В 8* зависит от ш/ш0. Таким образом, (45) устанавливает связь между частотой магнитного поля и
S =-
Т>0
= Рр
Рис. 1. Зависимость поперечного времени релаксации от отношения частот ш /ш0 и параметра 8 . На рис. 1А отмечена резонансная частота шк
температурой кристалла, при которых ТД8) = const. Как несложно видеть из (45) и рис. 1B, эта температура является очень низкой и лишь в сильных магнитных полях может иметь заметную величину.
Перейдем теперь к изучению динамической восприимчивости. В первую очередь определим выражение для Дш2. Подставляя в (21) фурье-образ от (29) при ш = 0, получим
Дш2 = ш+ю0 + ~2(0). (46)
Поскольку согласно (37) у2 (0) ~ Р << 1, то будем пока считать, что
Дш2
i ш + ш0
(47)
Эффекты, связанные с ~у2 (0) в (47), рассматриваются в следующем параграфе.
Итак, подставляя (43), (44) и (47) в (27), окончательно найдем
1 + У
х'( y) = х0 х"( у) = х0
(1 + у)2 + d2 f (у, 8) + e2f 2( у, 8) f (У, 8)
(1 + у)2 + d2 f (у, S) + 82 f 2( у, 8): где введены обозначения:
f (у, 8) = |у|5 coth(s| у|)+
+ 2|1 + у|5 coth(s 11 + у|),
в
d = -4anh1/2(S) = d tanh1/2(S), B0
(48)
(49)
(50)
(51)
х0 =х^ РоГtanh(8), х0 =Х0( р0|9 гапК8).
Оценим в первую очередь порядок е. Для кристалла в магнитном поле В0 ~ 104 Гс и со значением кинетической энергии электрона Е, ~
~ 1 эВ из (51) с учетом (39) имеем е ~ 10"13, т.е. е является малым параметром данной модели.
Рассмотрим сначала действительную часть динамической восприимчивости (48), определяющую дисперсию в системе. Графики зависимости х' от частоты и температуры кристалла представлены на рис. 2, 3.
Согласно рис. 2А, при значениях параметра ё < 1 х'(ш) по форме совпадает с марковским случаем [22, 30], следующим из решения уравнений Блоха. При этом с ростом температуры (8 = 0.002) в х'(ш) возникает небольшая асимметрия, связанная с наличием эффекта дисперсии времени релаксации. При увеличении ё, когда ё > 1, происходит заметная деформация Х'(ш), что демонстрирует рис. 2В.
Зависимость х ' от температуры, как показывает рис. 3, имеет ряд особенностей. В частности, из рис. 3А видно, что при определенном значении параметра 8 = 8^, когда у ~ 1, дисперсия имеет максимальное значение. В то же время при у >> 1 (рис. 3В) эта особенность отсутствует и при некотором 8 > 8* , являющемся
1
функцией у, ё ив, х'(8) становится константой. Данные свойства связаны с зависимостью поперечного времени релаксации от температу-
Рис. 2. Зависимость действительной части динамической восприимчивости х' от отношения частот ш / ш0 при различных значениях параметров 8 и ё
ры кристалла.
Определим в первую очередь значение параметра 8 = 8^, при котором х' имеет максимальное значение. Для этого заметим, что согласно рис. 3А 8^ << 1. Учитывая, что у ~ 1, представим гиперболический котангенс в (50) в виде ряда по малому параметру. Тогда
1 2
У(у,8) - 8(ё(у) + 82g1(y)), (52)
8
где
ё (у) = у4 + 2(1 + у)4, ё,( у) = у6 + 2(1 + у)6.
При этом параметр ё (формула (51)) будет иметь вид
ё - Вг^8 = (53)
В0
Подставляя (52) и (53) в (48), найдем
х'(8)/х0 = (1 + у)82
(У, dl, в) =
V О2( у-> dl, в),
(
в2 (у4 + 2(1 + у)4)2
V'
(55)
ч( у6 + 2(1 + у)6)(ё2 +е2( у6 + 2(1 + у)6)), Из (55), как несложно видеть, следует, что при увеличении параметров ё1 ив значение 8^ уменьшается. Зависимость 8^ от частоты является более сложной. Она представлена на рис. 4А и обладает при определенных частотах как минимальным, так и максимальными значениями.
Обратная величина 8^ определяет температуру кристалла, при которой х'(8) имеет максимум. Оценим ее порядок для магнитного поля В0~104 Гс и Ее1 ~1 эВ при у = -1. Тогда из (55) получим
где
О2( у, ¿1, в)84 + 01( у, ^1, в)82 + 00( у, в)
О2 (y, <4 е) = ё1(у)(ё2 + в2 ё1(y)),
, (54)
(-1, dl, в) =
,2 V'
V ё1 +в ,
(56)
О (у, ¿1, в) = (1 + у)2 + ё2 ё (у) + 2в2 ё (у) ё1 (у),
у, в) = е2 ё 2( у). Вычисляя теперь экстремум функции х'(8) из (54), получим
где в ~ 10-13.
Используя теперь (56), найдем
Т(-1,ё1,в) = (ё2 +е21/4 ~102^1 К. (57) 2£вл/ в
Поскольку данная модель справедлива при Т < Тт (Т^1 -1688 К), из (57) видно, что область допустимых температур будет содержать Т, как при ё1 > 1, так и в противоположном случае.
Выясним теперь, почему при больших частотах исчезает максимальное значение х'(8)
(рис. 3B). Это связано с тем, что при у >
последнее слагаемое в знаменателе (48) начинает превосходить остальные. Это означает, что в данном случае х'( у) будет иметь асимптотику
х'(у) и у и tanh2(8y) (58)
I ~ 2 Л / 24 ~ 2 9 . (58)
Х0 8 / (у,5) 8 у
Но зависимость (58) от параметра 8 является монотонной и не имеет экстремумов, что и приводит к исчезновению 8К при у >> 1.
емое в знаменателе (49), т.е. й2 / (у, 8), начинает превосходить (1 + у)2 и 82/2 (у,8), которые в некоторый момент, когда (1 + у*)2 << << й2/(у*,8) и 82/2(у*,8) << й2/(у*,8), становятся несущественными. В этот момент и появляются два дополнительных максимальных значения в х'(у), возникающие вследствие того, что числитель и знаменатель (49) становятся одного порядка. Дальше при |у| > у* все большую роль
начинает играть слагаемое 82 / 2(у, 8), которое
х/х« 1
0.05
004
0.03 £=0.003
002
0 01 г-——____ й/Оо=1.7 I;
А
¡-I 04 0.6 08 1 12 14
>Е я
Бе-12
Х/Хо
в
й/сОс=50 (11=0.8
со/ис=51 <Ь=1 <й/(Вс=52 с1=1 5
£=0.003
0 02 0.04 0 06 0.08 0 1 0.12 0 14
Рис. 3. Зависимость действительной части динамической восприимчивости х' от 8 при различных значениях параметров <в / ю0 и
Рассмотрим теперь мнимую часть динамической восприимчивости (49), определяющую форму линии поглощения спиновой подсистемы. Графики зависимости х' от частоты и температуры кристалла представлены на рис. 5-7.
Согласно рис. 5А, при значениях параметра й << 1 и низких температурах (8 = 10) в области резонанса, когда у —1, форма линии поглощения является квазилоренцевой, т.е. практически совпадает с марковским вариантом [22, 30], следующим из решения уравнений Блоха. При увеличении температуры происходит постепенное уширение и искажение этой линии, связанное с наличием памяти в системе. В области больших частот, когда у >> 1, возникают два дополнительных симметричных резонанса (рис. 5В). Происхождение этой особенности непосредственно связано с эффектом дисперсии времени релаксации, а также со слагаемым 82/2(у,8) в знаменателе (49). Действительно, пусть й > 1. Тогда уже при у > 1 второе слага-
при |у| >> у* приводит к уменьшению значений
х''(у).
Определим зависимость дополнительных резонансных частот ук от параметров й, 8 и 8. Для этого заметим, что согласно рис. 5В ук находятся в области |у| >> 1. Поэтому будем считать, что
/ (у, 8) = 3 у| 5ооШ(8| у|)
и
Х''(у) = Х'0 у2 + й2/(у,?) +12/2(у,8) • (59)
Учитывая теперь, что ук являются симметричными, и приравнивая производную от (59) по у к нулю в области у > 0, найдем
3со&(8ул ) +
+ у*~г~ соЛ(8у* ) - 98 2 у8я с°^2 ) х (60)
йук (60)
х (5 coth(8УR ) + уcoth(8УR )) = 0.
йук
В первую очередь отметим, что (60), а следовательно и ук , не зависит от параметра ё. В общем случае уравнение (60) не может быть решено относительно ук . Поэтому представляет интерес рассмотреть два предельных случая, когда 8у| << 1 и 8 у| >> 1. В первом случае
(8у| << 1) с°Ш(8у) и 1/ 8у и из (60) найдем
х''(у)
11 х0
Тг( у, 8)
е2 + ((1 + у)Тг( у, 8))2 + ё 2Т4г( у, 8)
(63)
у* =±
( 82 ^
18е2
(61)
где ТГ1 = Тг / Т0 (формула (43)). Из (63) следует, что при у = ук , когда Ть(у,8) максимально, х ( у) имеет резкий минимум, что и демонстрирует рисунок 6А.
Определим асимптотическое поведение х '' (у) при у >> 1. В этом случае х ' (у) и
Рис. 4. Зависимость резонансных значений параметра 8 от отношения частот ш /ш0 при различных значениях параметров е и с1\
При этом в противоположном случае (8у| >> 1) с°&(8у) и 1 и из (60) получим
1
у* =± . (62)
В частности, при 8 = 10 и е = 10"7 (см. рис. 5В), используя (62), найдем ук и ±40 .
Вернемся теперь к х ' (у).
В случае когда ё > 1, форма линии поглощения претерпевает существенную деформацию (рис. 6А), обусловленную дисперсией Тг . Согласно этому рисунку, по-прежнему сохраняется резонанс на частоте у = — 1, а также дополнительные экстремумы при у >> 1 (рис. 6В), но
кроме этого возникает еще один резонанс, при котором наблюдается резкое сокращение количества поглощаемой энергии, причем с уменьшением температуры этот эффект становится более сильным. Он непосредственно связан с резонансом поперечного времени релаксации и происходит при тех же частотах. Действительно, для того чтобы это установить, воспользуемся определением (27):
' х0 /е2/(у,8). Тогда, учитывая (50), найдем
х '(ш)'
8 >> 1,
4, 8 << 1,
что также является одним из проявлений эффекта памяти, поскольку в марковском случае х'' (ш)~ ш"2 [23].
Рассмотрим теперь зависимость формы линии поглощения от параметра 8 (рис. 7). Из рис. 7 видно, что при определенных 8, когда у о 1 (рис. 7А), х (8) имеет максимальное значение, что свидетельствует о наличии в системе температурного резонанса, определенным образом зависящего от у , ё и е . В случае высоких частот, когда у >> 1 (рис. 7В), температурный
резонанс пропадает и при некоторых 8 > 8* х (8) становится константой. Остановимся более подробно на этих особенностях.
В первую очередь определим зависимость резонансной температуры от параметров у, и е. Для этого заметим, что, согласно рис. 7А, этот эффект происходит в области 8 << 1. Тогда
1/6
5
можно считать, что ео1Ь(8у) -1/ 8у, предполагая у ~1. При этом функция /(у, 8) (формула (50)) будет иметь вид
я (у)
(64)
где t0 - масштабный фактор, имеющий раз-
/ (У, 8) -1 (у4 + 2(1 + у)4) =
88
мерность температуры:
Йю0 t = - 0
2кв е
(68)
Подставляя теперь (64) в (49), получим
%"(8)
=8
Я (У)
Р2( У, ^)82 + е2 я 2( у)
(65)
где а2 - (В1/ В0)2 8 = ^8.
Формулы (67), (68) позволяют оценить порядок Т" в зависимости от значений у , ё1 и е. С
другой стороны, формула (67) имеет более глубокое содержание, заключающееся в том, что она устанавливает определенную зависимость
X
10000 х7х: А С- 10000- х"/х: в /А
аооо ■■ л // ШМ / \ I \\
6000 (1=0.01 6=10 11 6000- К \ 6=10
/ [ 1 (1=0.01 / 1 \ и
4000 / ¡1 Т 5=0.1 / _1 \\
/ гд ¡1 \\ 5=0.01
2000 11 \ 5=0.01 // 2000 М 1 [ \ \\ \\
0^ -14 -12 -1 08 ю/а>0 -200 -100 и 100 со/со«
Рис. 5. Зависимость мнимой части динамической восприимчивости %" от отношения частот <в /<в0 при е = 10 7 и различных значениях параметра 8
&( у, 4)=(1+у)2+а2 я (у).
Вычисляя на основе (65) экстремум функции % " (8), найдем
ея(у) =
8 "(У, е) =
л/^СМ) е( у4 + 2(1 + у)4)
(66)
7(1+у)2+а2( у4+2(1+у)4)' Из (66) следует, что при увеличении а и уменьшении е резонансное значение 8 я уменьшается. Зависимость 8" от частоты является более сложной. Она представлена на рис. 4В, из которого видно, что при определенных у и а параметр 8" имеет как минимальное, так и максимальное значения, причем при |у| > 1 значения 8" неограниченно возрастают.
Определим теперь выражение для резонансной температуры. Поскольку 8 = Йга0/2кВТ, то из (66) найдем
Т"(у,4,е) _4(1 + у)2 + а2(у4 + 2(1 + у)4)
/ (Т" , у, а1, е) между параметрами системы, характеризующую существование данного ее состояния, т. е. состояния, при котором поглощение в системе имеет максимальное значение.
Оценим теперь порядок масштабного фактора t0. Например, для В0 ~104 Гс и Ее1 ~ 1 эВ из (68) найдем t0 ~ 108 К. Полагая теперь в (67) у = -1, получим
Т"'(-1,4, е) = ^~104 В1 К.
(69)
t0
(у4 + 2(1 + у)4)
Другими словами, при условии небольших значений поперечной составляющей магнитного поля В1 Т" может принимать значения, допустимые в этой модели (Т"< Тт). Например, Т" из (69) будет порядка комнатной температуры (Т" = 3 • 102 К), когда В1 ~ 10-2 Гс.
Заметим, что, так же как в случае % ', при |у| >> 1 зависимость % " от 8 не содержит экстремумов (рис. 7В). Это связано с тем, что при |у| > Vа / е мнимая часть динамической восприимчивости имеет асимптотику:
хЧу) „ 1 „ 1*шЦ8|у|)
Х0 ~82 / (у, 8) ~ е2| у5 ,
которая является монотонной по параметру 8 .
В этом параграфе мы рассмотрели свойства действительной и мнимой частей динамической восприимчивости, пренебрегая в (46) 72 (0). Определим, к каким эффектам приводит учет этого коэффициента.
Эффект изменения частоты спиновой прецессии
Эффекты, связанные с изменением резонансных частот в спиновых системах, изучались многими авторами как экспериментально, так и теоретически [22, 59-69]. В частности,
ных частот и возникающие из-за вакуумных флуктуаций. Важность изучения подобных эффектов в спиновых системах определяется, с одной стороны, необходимостью исследования свойств и процессов, протекающих в этих системах, а с другой - обусловлена практической проблемой управления спиновыми состояниями, для решения которой важно знать основные параметры этих систем и их возможные вариации. При этом такими характеристиками могут быть перенормированные резонансные частоты, которые по своему физическому содержанию несут информацию как о типе взаимодействия подсистем, так и о некоторых их свойствах.
В данном параграфе будет рассмотрен эффект изменения частоты прецессии спинового момента электрона проводимости (зонного электрона), обусловленный его взаимодействи-
Рис. 6. Зависимость мнимой части динамической восприимчивости от отношения частот <в /<в0 при 8 = 10 и различных значениях параметра 8
7
были открыты такие важные для спектроскопии явления, как химический сдвиг [23, 70], сдвиг Найта [23], сдвиг Блоха-Зигерта [71], динамический сдвиг частоты [72-74]. Изменение резонансных частот может произойти, например, вследствие возникновения в спиновой системе эффективных флуктуирующих магнитных полей, изменения ^-фактора электронов [75] или может быть связано с некоторыми нелинейными эффектами. Основная причина, вызывающая этот эффект, заключается во взаимодействии двух подсистем, которые, например, в случае химического сдвига и сдвига Найта представляют собой спиновые системы ядер и электронов. Характерными примерами, демонстрирующими ключевую роль взаимодействия между системами, являются радиационные эффекты, такие как эффект аномального магнитного момента и лэмбовский сдвиг атомных уровней [76], приводящие к перенормировке резонанс-
ем с полем акустических фононов, заключающийся в сдвиге частоты прецессии на небольшую аддитивную поправку, зависящую от параметров системы.
Для вычисления искомого частотного сдвига воспользуемся формулами, полученными в предыдущем параграфе. Рассмотрим более подробно выражение (46):
До2 =<э + о0 + ~~2(0), (70)
где у2(0) определяется формулой (37):
72(0) = (р, Ту) + 2 р+ ^ (р+ ,Ту)) (71)
п
Принимая во внимание, что р и р0 << 1, представим (71) в виде
72(0) = -р< (2 + 3 у>(Т#), (72)
где по-прежнему у = < /ш0, р = Ее1 /Е, а Ь(Ту)
- параметр, зависящий от эффективной температуры кристалла:
1 Г
Ъ(Ту) = - 1
п Л
йхх3 coth
Г А х
Т
V у
(73)
Подставляя (72) в (70), окончательно получим
Дш2 = ш + ш0,
где
<0 -ш0(1 + Д(р, Ту )),
(74)
Д(Р,Ту) = рй(Тут). (75)
Формулы (73)-(75) определяют сдвиг частоты прецессии спинового момента зонного электрона. Данный эффект связан с флуктуациями фононного поля и, как показывает формула (74), приводит к увеличению частоты спиновой прецессии. Флуктуационная природа этого эффекта проявляется в зависимости частотного
тельно, с повышением Ту возрастают флуктуации фононного поля, т. е. раскачка прецессии становится сильнее, а это, в среднем, как раз и приводит к росту частоты прецессии.
Проведем теперь численную оценку этого эффекта. При комнатной температуре (Т = 3 • 102 К) и энергии электрона Ее1 ~ 1 эВ частотный сдвиг имеет значение:
Д ~10-6,
что, например, на порядок меньше химического сдвига для протонов (Д ~ 10-5) [23].
Следует отметить, что формулы (73)-(75) позволяют рассмотреть один квантово-механи-ческий эффект, а именно дают возможность определить вклад нулевых колебаний поля фо-нонов, т. е. фононного вакуума, в сдвиг частоты Д(Р, Ту). Для решения этого вопроса предста-
Х"/Хс
А
со/шс=1.9 со/сос=1.7— со/со !=1,5
62 04 06
0.8
5
12 14
1с 06
Зе-06
2е-06
1е 06
Х"/Хо
в
га/сэс=100
ю/юо=103
о/сос=107
(1:=0.1 £=0.003
0 01 0 02 0 03 0 04 0 05 0 06 0 07 0 08
Рис. 7. Зависимость мнимой части динамической восприимчивости у" от 8 при различных значениях отношения частот < /< 0
сдвига от температуры кристалла.
С точки зрения используемого в работе подхода возникновение этого эффекта имеет следующее объяснение. Если мы рассмотрим свободный электрон в постоянном магнитном поле, то его спиновый момент будет прецессировать вокруг направления этого поля. Включение спин-орбитального взаимодействия с полем локальной деформации кристалла (деформационным потенциалом) приводит к случайной раскачке прецессии, вызывающей флуктуации угла наклона 9 спинового момента к внешнему полю, который пропорционален ш 0. Усредняя эти случайные движения, мы получим некоторую добавку к 9, которая и будет определять изменение частоты прецессии. Фактически, этим также объясняется увеличение ш0 с повышением температуры - формулы (74), (75). Действи-
вим (73) в виде
Ь(Ту) = -П|
п •>
йхх I 1 +
-1
(76)
где Ь0 = 1/4п!
= Ь0 + Ь(Т у),
>7.95 •Ю-2, 2 '
Ь1(Т у) = - 1 *х п
-1
(77)
В квантово-механическом случае, когда Ту = 0, поле фононов находится в нижнем
энергетическом состоянии, когда в кристалле отсутствуют реальные фононы, но существуют так называемые нулевые колебания или, другими словами, флуктуации фононного вакуума. В используемом подходе вклад нулевых колебаний учитывается автоматически в параметре
2
2 х / Т
е
е
Ъ(Тф) в (76). Действительно, при Т^ = 0 из (76) найдем Ъ(0) = Ь0, что как раз и определяет вклад в эффект изменения частоты прецессии флуктуаций фононного вакуума. В то же время Ъ1 (Т^) из (76)
характеризует собой не что иное, как вклад в этот эффект температурных флуктуаций, величина которого равна нулю (формула (77)) в квантово-механическом случае при Т^ = 0 .
Подставляя теперь (76) в (75), найдем
Д(Р,Т#) = А0О) + Д1(Р,Т#),
где Д0 (Р) - сдвиг частоты прецессии, обусловленный нулевыми колебаниями:
Дс(Р)=-р-.
4л
В частности, при Ее1 ~ 1 эВ этот вклад имеет порядок Д0 ~10-8.
В заключение рассмотрим еще один аспект этого эффекта. В современной физике при интерпретации эффектов, связанных с перенормировкой параметров системы, часто используют концепцию квазичастиц [77, 78], позволяющую исследовать простыми теоретическими методами различные сложные физические системы. Примером квазичастицы может служить поля-рон [78, 79], представляющий собой электрон проводимости (зонный электрон), окруженный полем фононов. Взаимодействие этих систем приводит к изменению эффективной массы электрона на небольшую поправку, пропорциональную константе электрон-фононной связи [54, 79]. В большинстве работ, посвященных поляронному эффекту, рассматриваются конфигурационные степени свободы электрона [79-81]. Но кроме этих степеней свободы электрон описывается также и другими характеристиками, например спиновым моментом, динамика которого с учетом поля фононов и его флуктуаций рассматривалась в настоящей работе. Как показано выше, взаимодействие между этими подсистемами приводит к сдвигу частоты прецессии спинового момента, что в рамках указанной концепции можно интерпретировать как возникновение некоторой квазичастицы, образованной из спина электрона и поля фоно-нов, обладающей своей собственной частотой прецессии (74), отличающейся от частоты прецессии «голого» спинового момента.
Выводы и заключение
Область спинзависимых явлений многогранна и имеет в своей структуре множество разделов, пересекающихся с другими областями со-
временной физики. Несмотря на многообразие спиновых явлений, существует несколько задач, которые объединяют эту область в единое целое. В теоретическом плане одной из таких задач является проблема изучения динамики различных спиновых систем с целью определения их основных свойств и параметров, которые можно использовать в практических целях. Однако часто спиновые системы являются настолько сложными, что при их исследовании приходится использовать разнообразные теоретические модели, акцентирующие свое внимание на наиболее важных особенностях этих систем. Изучению одной из таких моделей и было посвящено настоящее исследование.
В работе определены свойства и параметры системы, состоящей из спинового момента электрона проводимости (зонного электрона), взаимодействующего с полем длинноволновых акустических фононов и его флуктуациями в немагнитных изотропных ковалентных кристаллах с учетом спин-орбитального взаимодействия и эффекта памяти. В частности, показано, что немарковский характер взаимодействия спинового момента и поля фононов вызывает эффект оптической активности, проявляющийся в различии параметров этой системы для право- и левоциркулярно поляризованного магнитного поля. Это отражается в появлении дисперсии поперечного времени релаксации, связанной с зависимостью времени релаксации от частоты внешнего магнитного поля, приводящей при определенных значениях параметров системы к заметному изменению ее основных свойств. Проанализировано влияние этого эффекта на действительную и мнимую части спиновой динамической восприимчивости. Установлено, что в случае когда отношение амплитуды поперечной составляющей магнитного поля к продольной много меньше единицы, при низких температурах кристалла зависимость динамической восприимчивости от частоты в области ~ ю0 подобна марковскому варианту, следующему из решения феноменологических уравнений Блоха. При увеличении этого отношения и температуры кристалла форма динамической восприимчивости претерпевает определенные деформации, следствием чего является возникновение новых свойств в рассматриваемой системе. В частности, это приводит к тому, что в линии поглощения возникают дополнительные резонансные частоты, а также частоты, при которых спиновая подсистема является квазипрозрачной. Кроме этого при некоторых значениях температуры кристалла и фикси-
рованных других параметрах поглощение имеет максимальное значение, что можно рассматривать как своего рода температурный резонанс.
Следует отметить, что наряду с эффектом памяти в данной системе играют большую роль флуктуации фононного поля, ответственные за перенормировку некоторых ее характеристик. Как показано в работе, учет флуктуаций приводит к небольшому сдвигу частоты прецессии спинового момента электрона, величина которого зависит как от температуры кристалла, так и от других переменных системы, что делает возможным управление данным параметром.
В заключение следует сказать, что такие особенности спиновых систем, как эффекты памяти, флуктуации переменных окружения и некоторые другие, могут существенно повлиять на свойства и характеристики этих систем, что и было показано в настоящей работе.
Список литературы
1. Аплеснин С.С. Основы спинтроники. Учебное пособие. СПб.: Лань, 2010. 288 с.
2. Dyakonov M.I. Spin physics in semiconductors. Berlin: Springer, 2008. 440 p.
3. Maekawa S. Concept in spin electronics. New York: Oxford University Press, 2006. 398 p.
4. Кусраев Ю.Г. //УФН. 2010. Т. 180. С. 759-773.
5. Ивченко Е.Л. //УФН. 2012. Т. 182. С. 870-876.
6. Awschalom D.D., Loss D., Samarth N. Semiconductor spintronics and quantum computation. Berlin: Springer, 2002. 311 p.
7. Zutic I., Fabian J., Das Sarma S. //Rev. Mod. Phys. 2004. V. 76. P. 323-410.
8. Ферт А. //УФН. 2008. Т. 178. С. 1337-1348.
9. Wolf S.A., Awschalom D.D., et al. //Science. 2001. V. 294. P. 1488-1495.
10. Гуляев Ю.В., Зильберман П.Е., Панас А.И., Эпштейн Э.М. //УФН. 2009. Т. 179. С. 359-368.
11. Тарасенко С.А. //УФН. 2010. Т. 180. С. 773777.
12. Голуб Л.Е. //УФН. 2012. Т. 182. С. 876-879.
13. Волков Н.В.//УФН. 2012. Т. 182. С. 263-285.
14. Бройер Х.-П., Петруччионе Ф. Теория открытых квантовых систем. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2010. 824 с.
15. Shah J. Ultrafast spectroscopy of semiconductor microstructures. Berlin, Springer, 1996.
16. Haug H., Jauho A.-P. Quantum kinetics in transport and optics of semiconductors. Berlin: Springer, 1997.
17. Петров Д.А. //Вестник ННГУ. 2014. № 4 (1). С. 12-27.
18. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. М.: Мир, 2003. 408 с.
19. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения: теория и ее приложения к акустике, гидродинамике и радиофизике. Том 1, 2. М.: Физматлит, 2008.
20. Бочков Г.Н., Ефремов Г.Ф. Нелинейные стохастические модели процессов и систем. Учебное пособие. Часть 1. Горький: Изд-во ГГУ, 1978. 114 с.
21. Ефремов Г.Ф. Стохастические уравнения для открытых квантовых систем. Учебное пособие. Горький: Изд-во ГГУ, 1982. 120 с.
22. Александров И.В. Теория магнитной релаксации. Релаксация в жидких и твердых неметаллических парамагнетиках. М.: Наука, 1975. 400 с.
23. Сликтер Ч. Основы теории магнитного резонанса. М.: Мир, 1981. 488 с.
24. Bloch F. // Phys. Rev. 1946. V. 70. № 7-8. P. 460-474.
25. Bloch F. // Phys. Rev. 1957. V. 105. № 4 (1). P. 1206-1222.
26. Лоу В. Парамагнитный резонанс в твердых телах. М.: Изд. ин. лит., 1961. 244 с.
27. Инграм Д. Электронный парамагнитный резонанс в свободных радикалах. М.: Изд. ин. лит., 1961. 346 с.
28. Альтшулер С., Козырев Б. Электронный парамагнитный резонанс соединений элементов промежуточных групп. М.: Наука, 1972. 672 с.
29. Абрагам А., Блини Б. Электронный парамагнитный резонанс переходных ионов. Т.1,2. М.: Мир, 1978. 647 с.
30. Абрагам А. Ядерный магнетизм. М.: Изд. ин. лит., 1963. 551 с.
31. Рашба Э.И. //УФН. 1964. Т. 84. С. 557-578.
32. Халваши Э.Х., Чхартишвили М.В. //ФТТ. 1998. Т. 40. С. 1036-1037.
33. Халваши Э.Х. //ЖЭТФ. 1996. Т. 110. С. 703713.
34. Халваши Э.Х. //ЖЭТФ. 2005. Т. 127. С. 445457.
35. Buishvili L.L., Zviadadze M.D., Khalvashi E.Kh. //Zs. Eksp. Teor. Fiz. 1986. V. 91. Р. 310-313.
36. Владимиров А. А., Иле Д., Плакида Н. М. //ТМФ. 2005. Т. 145. С. 240-255.
37. Владимиров А. А., Иле Д., Плакида Н. М. //ТМФ. 2007. Т. 152. С. 538-550.
38. Горохов А. В., Семин В. В. //Изв. Саратовского университета. 2010. Т. 10. С. 40-45.
39. Горохов А.В., Семин В.В. // Уч. Записки Казанского госуд. ун-та. Физико-математические науки. 2010. Т. 152. Кн. 2. С. 158-163.
40. Семин В.В., Горохов А.В. //Письма в ЭЧАЯ. 2011. Т. 8. С. 785-789.
41. Goldman M. //J. Mag. Res. 2001. V. 149. P. 160-187.
42. Brinati J.B., Mizrahi S.S., Prataviera G.A. //Phys. Rev. A. 1995. V. 52(4). P. 2804-2810.
43. Mukamel S. //Chem. Phys. 1979. V. 37. P. 33-47.
44. Arnoldus H.A., George T.F. //Phys. Rev. B. 1987. V. 36(6). P. 2987-2995.
45. Villaeys A.A., Vallet J.C. //Phys. Rev. A. 1991. V. 43(9). P. 5030-5038.
46. Burshtein A.I, Storozhev A.V., Strekalov M.L. //Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1985. V. 89. P. 796-807.
47. Benotsmane A., Ahmadouche A. //Turk. J. Phys. 2007. V. 31. P. 137-150.
48. Brinati J.B., Mizrahi S.S., Prataviera G.A. //Phys. Rev. A. 1997. V. 56. P. 322-330.
49. Репке Г. Неравновесная статистическая механика. М.: Мир, 1990. 320 с.
50. Форстер Д. Гидродинамические флуктуации, нарушенная симметрия и корреляционные функции. М.: Атомиздат, 1980. 288 с.
51. Зубарев Д.Н. Неравновесная статистическая термодинамика. М.: Наука, 1971. 415 с.
52. Ляпилин И.И., Калашников В.П. Неравновесный статистический оператор и его приложения к кинетике парамагнитных явлений в проводящих кристаллах. Екатеринбург: УрО РАН, 2008. 367 с.
53. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Статистическая физика. Т. 5. Часть 1. М.: Физматлит, 2002. С. 437-448.
54. Давыдов А.С. Теория твердого тела. М.: Наука, 1976. 639 с.
55. Тарасенко С.А. //УФН. 2010. Т. 180. С. 773776.
56. Аверкиев Н.С. //УФН. 2010. Т. 180. С. 777780.
57. Глазов М.М., Ивченко Е.Л. //ФТП. 2008. Т. 42. С. 966-971.
58. Глазов М.М. //ФТТ. 2012. Т. 54. С. 3-28.
59. Гребенник В.Г., Гуревич И.И. и др. //Письма в ЖЭТФ. 1975. Т. 22. С. 36-39.
60. Гуревич И. И., Климов А. И. и др. //Письма в ЖЭТФ. 1975. Т. 21. С. 16-19.
61. Тихомиров В.В. //Письма в ЖЭТФ. 1995. Т. 61. С. 171-181.
62. Горелкин В. Н., Гребенник В. Г. и др. //Письма в ЖЭТФ. 1996. Т. 63. С. 539-543.
63. Мамедов Т.Н., Дугинов В.Н. и др. //Письма в ЖЭТФ. 1998. Т. 68. С. 61-66.
64. Мамедов Т.Н., Андрианов Д.Г. и др. //Письма в ЖЭТФ. 2000. Т. 71. С. 637-642.
65. Мамедов Т.Н., Андрианов Д.Г. и др. //Письма в ЖЭТФ. 2001. Т. 73. С. 759-762.
66. Safronova M.S., Kozlov M.G., Clark C.W. //Phys. Rev. Lett. 2011. V. 107. P. 143006.
67. Romalis M.V., Fortson E.N. //Phys. Rev. A. 1999. V. 59. P. 4547-4558.
68. Stoner R.E., Walsworth R.L. //Phys. Rev. A. 2002. V. 66. P. 032704.
69. Биккин Х.М., Калашников В.П. // ТМФ. 1971. Т. 7. С. 79-94.
70. Дероум Э. Современные методы ЯМР для химических исследований. М.: Мир, 1992. 401 с.
71. Аллен Л., Эберли Дж. Оптический резонанс и двухуровневые атомы. М.: Мир, 1978. 224 с.
72. Буньков Ю.М., Думеш Б.С., Куркин М.И. //Письма в ЖЭТФ. 1974. Т. 19. С. 216-219.
73. Чекмарев В.П., Петров М.П., Петров А.А., Куликов В.В. //Письма в ЖЭТФ. 1977. Т. 25. С. 181-184.
74. Боровик-Романов А. С., Буньков Ю. М., Думеш Б.С. и др. //УФН. 1984. Т. 142. С. 537-570.
75. Китель Ч. Квантовая теория твердых тел. М.: Наука, 1967. 492 с.
76. Пескин М., Шредер Д. Введение в квантовую теорию поля. М. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 784 с.
77. Каганов М.И., Лившиц И.М. Квазичастицы: идеи и принципы квантовой физики твердого тела. М.: Наука, 1989. 96 с.
78. Брандт Н. Б., Кульбачинский В. А. Квазичастицы в физике конденсированного состояния. М.: Физматлит, 2007. 632 с.
79. Поляроны / Под ред. Ю.А. Фирсова. М.: Наука, 1975. 423 с.
80. Боголюбов Н.Н., Боголюбов Н.Н. (мл.) Аспекты теории полярона. М.: Физматлит, 2004. 176 с.
81. Ефремов Г.Ф., Петров Д.А., Маслов О.А. // Вестник ННГУ. 2010. Т. 3(1). С. 44-53.
ON THE EFFECT OF ELECTRON-PHONON INTERACTION AND PHONON FIELD FLUCTUATIONS ON RELAXATION OF THE CONDUCTION ELECTRON SPIN TORQUE IN NONMAGNETIC CRYSTALS. II
D.A. Petrov
The article investigates the memory effects on the form of the spin dynamic susceptibility of a conduction electron interacting with the phonon field and its fluctuations in non-magnetic centrosymmetric isotropic covalent crystals taking into account the spin-orbit coupling. Expressions are obtained for longitudinal and transverse relaxation times of the spin angular momentum in the most general non-Markov case. An analysis is carried out of the memory effect on the spin subsystem dispersion and absorption line. The effect of changing the precession frequency of the spin angular momentum caused by phonon field fluctuations is considered.
Keywords: open quantum systems, stochastic equation, phonon damping, dynamic spin susceptibility, optical activity.
References
1. Aplesnin S.S. Osnovy spintroniki. Uchebnoe posobie. SPb.: Lan', 2010. 288 s.
2. Dyakonov M.I. Spin physics in semiconductors. Berlin: Springer, 2008. 440 p.
3. Maekawa S. Concept in spin electronics. New York: Oxford University Press, 2006. 398 p.
4. Kusraev Yu.G. //UFN. 2010. T. 180. S. 759773.
5. Ivchenko E.L. //UFN. 2012. T. 182. S. 870-876.
6. Awschalom D.D., Loss D., Samarth N. Semiconductor spintronics and quantum computation. Berlin: Springer, 2002. 311 p.
7. Zutic I., Fabian J., Das Sarma S. //Rev. Mod. Phys. 2004. V. 76. P. 323-410.
8. Fert A. //UFN. 2008. T. 178. S. 1337-1348.
9. Wolf S.A., Awschalom D.D., et al. //Science. 2001. V. 294. P. 1488-1495.
10. Gulyaev Yu.V., Zil'berman P.E., Panas A.I., Ehpshtejn Eh.M. //UFN. 2009. T. 179. S. 359-368.
11. Tarasenko S.A. //UFN. 2010. T. 180. S. 773-777.
12. Golub L.E. //UFN. 2012. T. 182. S. 876-879.
13. Volkov N.V.//UFN. 2012. T. 182. S. 263-285.
14. Brojer H.-P., Petruchchione F. Teoriya otkrytyh kvantovyh sistem. M.-Izhevsk: NIC «Regulyarnaya i haoticheskaya dinamika», 2010. 824 s.
15. Shah J. Ultrafast spectroscopy of semiconductor microstructures. Berlin, Springer, 1996.
16. Haug H., Jauho A.-P. Quantum kinetics in transport and optics of semiconductors. Berlin: Springer,
1997.
17. Petrov D.A. //Vestnik NNGU. 2014. № 4 (1). S. 12-27.
18. Oksendal' B. Stohasticheskie differencial'nye uravneniya. Vvedenie v teoriyu i prilozheniya. M.: Mir, 2003. 408 s.
19. Klyackin V.I. Stohasticheskie uravneniya: teoriya i ee prilozheniya k akustike, gidrodinamike i radiofizike. Tom 1, 2. M.: Fizmatlit, 2008.
20. Bochkov G.N., Efremov G.F. Nelinejnye sto-hasticheskie modeli processov i sistem. Uchebnoe posobie. Chast' 1. Gor'kij: Izd-vo GGU, 1978. 114 s.
21. Efremov G.F. Stohasticheskie uravneniya dlya otkrytyh kvantovyh sistem. Uchebnoe posobie. Gor'kij: Izd-vo GGU, 1982. 120 s.
22. Aleksandrov I.V. Teoriya magnitnoj relaksacii. Relaksaciya v zhidkih i tverdyh nemetallicheskih para-magnetikah. M.: Nauka, 1975. 400 s.
23. Slikter Ch. Osnovy teorii magnitnogo rezonansa. M.: Mir, 1981. 488 s.
24. Bloch F. // Phys. Rev. 1946. V. 70. № 7-8. P. 460-474.
25. Bloch F. // Phys. Rev. 1957. V. 105. № 4. P. 1206-1222.
26. Lou V. Paramagnitnyj rezonans v tverdyh telah. M.: Izd. in. lit., 1961. 244 s.
27. Ingram D. Ehlektronnyj paramagnitnyj rezonans v svobodnyh radikalah. M.: Izd. in. lit., 1961. 346 s.
28. Al'tshuler S., Kozyrev B. Ehlektronnyj pa-ramagnitnyj rezonans soedinenij ehlementov promezhu-tochnyh grupp. M.: Nauka, 1972. 672 s.
29. Abragam A., Blini B. Ehlektronnyj paramagnit-nyj rezonans perekhodnyh ionov. T. 1, 2. M.: Mir, 1978. 647 s.
30. Abragam A. Yadernyj magnetizm. M.: Izd. in. lit., 1963. 551 s.
31. Rashba Eh.I. //UFN. 1964. T. 84. S. 557-578.
32. Halvashi Eh.H., Chkhartishvili M.V. //FTT.
1998. T. 40. S. 1036-1037.
33. Halvashi Eh.H. //ZhEhTF. 1996. T. 110. S. 703-713.
34. Halvashi Eh.H. //ZhEhTF. 2005. T. 127. S. 445-457.
35. Buishvili L.L., Zviadadze M.D., Khalvashi E.Kh. //Zs. Eksp. Teor. Fiz. 1986. T. 91. S. 310-313.
36. Vladimirov A.A., Ihle D., Plakida N.M. //TMF. 2005. T. 145. S. 240-255.
37. Vladimirov A.A., Ihle D., Plakida N.M. //TMF. 2007. T. 152. S. 538-550.
38. Gorohov A. V., Semin V.V. //Izv. Saratovskogo universiteta. 2010. T. 10. S. 40-45.
39. Gorohov A.V., Semin V.V. // Uch. Zapiski Ka-zanskogo gosud. un-ta. Fiziko-matematicheskie nauki.
2010. T. 152. Kn. 2. S. 158-163.
40. Semin V.V., Gorohov A.V. //Pis'ma v EhChAYa.
2011. T. 8. S. 785-789.
41. Goldman M. //J. Mag. Res. 2001. V. 149. P. 160-187.
42. Brinati J.B., Mizrahi S.S., Prataviera G.A. //Phys. Rev. A. 1995. V. 52(4). P. 2804-2810.
43. Mukamel S. //Chem. Phys. 1979. V. 37. P. 33-47.
44. Arnoldus H.A., George T.F. //Phys. Rev. B. 1987. V. 36(6). P. 2987-2995.
45. Villaeys A.A., Vallet J.C. //Phys. Rev. A. 1991. V. 43(9). P. 5030-5038.
46. Burshtein A.I, Storozhev A.V., Strekalov M.L. //Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1985. V. 89. P. 796-807.
47. Benotsmane A., Ahmadouche A. //Turk. J. Phys. 2007. V. 31. P. 137-150.
48. Brinati J.B., Mizrahi S.S., Prataviera G.A. //Phys. Rev. A. 1997. V. 56. P. 322-330.
49. Repke G. Neravnovesnaya statisticheskaya mek-hanika. M.: Mir, 1990. 320 s.
50. Forster D. Gidrodinamicheskie fluktuacii, narushennaya simmetriya i korrelyacionnye funkcii. M.: Atomizdat, 1980. 288 s.
51. Zubarev D.N. Neravnovesnaya statisticheskaya termodinamika. M.: Nauka, 1971. 415 s.
52. Lyapilin I.I., Kalashnikov V.P. Neravnovesnyj statisticheskij operator i ego prilozheniya k kinetike par-amagnitnyh yavlenij v provodyashchih kristallah. Ekaterinburg: UrO RAN, 2008. 367 s.
53. Landau L.D., Livshic E.M. Statisticheskaya fizi-ka. T. 5. Chast' 1. M.: Fizmatlit, 2002. S. 437-448.
54. Davydov A.S. Teoriya tverdogo tela. M.: Nauka, 1976. 639 s.
55. Tarasenko S.A. //UFN. 2010. T. 180. S. 773-776.
56. Averkiev N.S. //UFN. 2010. T. 180. S. 777-780.
57. Glazov M.M., Ivchenko E.L. //FTP. 2008. T. 42. S. 966-971.
58. Glazov M.M. //FTT. 2012. T. 54. S. 3-28.
59. Grebennik V.G., Gurevich I.I. i dr. //Pis'ma v ZhEhTF. 1975. T. 22. S. 36-39.
60. Gurevich 1.1., Klimov A.I. i dr. //Pis'ma v ZhEhTF. 1975. T. 21. S. 16-19.
61. Tihomirov V.V. //Pis'ma v ZhEhTF. 1995. T. 61. S. 171-181.
62. Gorelkin V.N., Grebennik V.G. i dr. //Pis'ma v ZhEhTF. 1996. T. 63. S. 539-543.
63. Mamedov T.N., Duginov V.N. i dr. //Pis'ma v ZhEhTF. 1998. T. 68. S. 61-66.
64. Mamedov T.N., Andrianov D.G. i dr. //Pis'ma v ZhEhTF. 2000. T. 71. S. 637-642.
65. Mamedov T.N., Andrianov D.G. i dr. //Pis'ma v ZhEhTF. 2001. T. 73. S. 759-762.
66. Safronova M.S., Kozlov M.G., Clark C.W. //Phys. Rev. Lett. 2011. V. 107. P. 143006.
67. Romalis M.V., Fortson E.N. //Phys. Rev. A. 1999. V. 59. P. 4547-4558.
68. Stoner R.E., Walsworth R.L. //Phys. Rev. A. 2002. V. 66. P. 032704.
69. Bikkin H.M., Kalashnikov V.P. // TMF. 1971. T. 7. S. 79-94.
70. Deroum Eh. Sovremennye metody YaMR dlya himicheskih issledovanij. M.: Mir, 1992. 401 s.
71. Allen L., Ehberli Dzh. Opticheskij rezonans i dvuhurovnevye atomy. M.: Mir, 1978. 224 s.
72. Bun'kov Yu.M., Dumesh B.S., Kurkin M.I. //Pis'ma v ZhEhTF. 1974. T. 19. S. 216-219.
73. Chekmarev V.P., Petrov M.P., Petrov A.A., Kul-ikov V.V. //Pis'ma v ZhEhTF. 1977. T. 25. S. 181-184.
74. Borovik-Romanov A.S., Bun'kov Yu.M., Dumesh B.S. i dr. //UFN. 1984. T. 142. S. 537-570.
75. Kitel' Ch. Kvantovaya teoriya tverdyh tel. M.: Nauka, 1967. 492 s.
76. Peskin M., Shreder D. Vvedenie v kvantovuyu teoriyu polya. M. - Izhevsk: NIC «Regulyarnaya i ha-oticheskaya dinamika», 2001. 784 s.
77. Kaganov M.I., Livshic I.M. Kvazichasticy: idei i principy kvantovoj fiziki tverdogo tela. M.: Nauka, 1989. 96 s.
78. Brandt N.B., Kul'bachinskij V.A. Kvazichasticy v fizike kondensirovannogo sostoyaniya. M.: Fizmatlit, 2007. 632 s.
79. Ро1уагопу / Pod red. Уи.Л. Иг80Уа. М.: Каика, 80. Bogolyubov Bogolyubov NN. (т1.)
1975. 423 8. Л8реку teorii po1yarona. М.: Fizmat1it, 2004. 176 8.
81. Efremov G.F., Petrov D.A., Maslov O.A. // Vest-nik NNGU. 2010. T. 3(1). S. 44-53.
