Радиационное трение спинового магнитного момента в присутствии поля электромагнитного вакуума Текст научной статьи по специальности «Физика»

Радиофизика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2010, №2(1), с. 75-83

УДК 536

РАДИАЦИОННОЕ ТРЕНИЕ СПИНОВОГО МАГНИТНОГО МОМЕНТА В ПРИСУТСТВИИ ПОЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ВАКУУМА

© 2010 г. Г.Ф. Ефремов, Д.А. Петров

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского [email protected]

Пзступила в редакцию 02.07.2009

На основе теории открытых квантовых систем и эффекта квантовой пространственно-временной нелокальности исследованы эффекты радиационного трения и аномального магнитного момента электрона. Строго показано, что эффект квантовой нелокальности позволяет устранить расходимости при вычислении квантовых электродинамических эффектов.

Ключевые слзва: открытые квантовые системы, радиационное трение, аномальный магнитный момент, динамическая восприимчивость, стохастическое уравнение.

Введение

Проблема радиационного трения, возникшая в начале XX столетия (Абрагам, Лоренц [1, 2]), до настоящего времени продолжает привлекать к себе внимание многих исследователей [3].

Один из возможных путей решения данной проблемы основан на установленном в [4, 5] эффекте квантовой нелокальности, представляющем собой явный учет запаздывания взаимодействия электрона как с собственным полем излучения [4], так и с флуктуационным полем электромагнитного вакуума [5]. Учет запаздывания взаимодействия устраняет расходимости в радиационных эффектах, что физически означает возможность решения проблемы бесконечностей [3] без обращения к процедуре перенормировок.

Данный подход основан на теории нелинейных открытых квантовых систем [6], с его помощью удалось устранить парадокс самоус-корения, вычислить поправки к электромагнитной массе электрона, определить лэмбов-ский сдвиг энергетических уровней [7]. В данной работе в качестве переменной динамической подсистемы рассматривается спиновый магнитный момент электрона. Физически адекватным методом описания спинового момента электрона является исследование его взаимодействия с полем излучения как открытой квантовой системы. Такой подход играет определяющую роль в понимании процессов релаксации и флуктуаций в динамической подсистеме при взаимодействии ее с полем излучения.

Стохастическое уравнение для спинового магнитного момента нерелятивистского электрона

Рассмотрим прецессию спинового магнитного момента электрона в постоянном однородном магнитном поле, взаимодействующего как с собственным полем излучения, так и с полем электромагнитного вакуума. Эта задача является важным примером демонстрации эффекта квантовой нелокальности, позволяющего учесть запаздывание взаимодействия спинового момента электрона с полем излучения и таким образом избежать расходимостей и парадоксов в радиационных эффектах [7].

Установим стохастическое уравнение, определяющее эволюцию во времени спинового момента нерелятивистского электрона при его взаимодействии с собственным полем излучения и полем электромагнитного вакуума. Гамильтониан рассматриваемой системы, в соответствии с теорией Паули, имеет следующий вид

1 2

н = — п2 -уо(8• В) + F, (1)

2т

где п = р — е / сА(г(^), t) - кинематический импульс, В = В0 + rotA(r(t), t) - магнитное поле, представляющее собой суперпозицию внешнего постоянного магнитного поля В0 и поля излучения электрона, которое обозначается как rotA(r(t), t) где А - векторный потенциал данного поля, у о = eg о / 2тс - гиромагнитное отношение, связывающее спин я и спиновый маг-

нитный момент электрона ц = уоБ , Г — гамильтониан квантового поля излучения.

Для нахождения стохастического уравнения будем использовать гейзенберговское представление. Запишем уравнение Гейзенберга применительно к оператору спинового момента электрона

—С 1

— = -[8,н] = уо[е(Г) X В]. (2)

Л т

Поле излучения, как и любое электромагнитное поле, должно удовлетворять уравнениям Максвелла. В частности, векторный потенциал должен удовлетворять неоднородному волновому уравнению, которое также следует из уравнений Максвелла и кулоновской калибровки для потенциалов поля. Это уравнение имеет вид

АЛ -

1 д 2 Л

с2 а2

4п . — і

с

AJ (к, t) = А0 (к, t) +

+ | ^^уа (к, 1 - t1) — у (-к, t1),

Ы}а(к,т) = (2[а0(к, I), А°(к,г—)

(

С08(С^)

kik Л 5 —]—

іа 7,2

Diа (к, т) = 4пс sin(сkт)

k

5 уа-

kikа Л

У а

V

П(т) =

(

= D(к, т)

kikа Л

5 —}—

уа

V

k

2

/

где п(т) есть функция Хевисайда, учитывающая принцип причинности в (3).

Электронная плотность тока ](к, t) в (3), канонически сопряженная с А(к, t), определяется из гамильтониана системы (1) согласно

— V. Ч 5Н

—і(к, I) =-------------=

с 5Л(к, I)

= ( с Г (ґ) +ІУ ^)Х к ^)-

(4)

где ] — вектор плотности тока электрона.

Векторный потенциал А(г^), t) в гейзенберговском представлении явно зависит от оператора координаты электрона г^) и потому, для удобства дальнейших математических вычислений, должен быть представлен в виде разложения Фурье

А(ф), t) = ^-Лкт егкг(?) А(к, t).

-1 (2п)3

В кулоновской калибровке divA = 0, решение для А(к, t) имеет вид

Плотность тока (4) имеет две составляющие. Первое слагаемое, определяемое скоростью нерелятивистского электрона

Г ^),

т

обусловлено поступательным движением электрона. Второе слагаемое в (4) связано с потоком спинового магнитного момента. Заметим, что экспоненциальный множитель в (4) имеет смысл пространственной гармоники электронной плотности.

Подставляя в уравнение (2) выражение (3) и учитывая формулу для плотности тока (4), имеем следующее стохастическое уравнение для спинового момента

— -У °[8(ґ) Х В°] = ^), аґ

(5)

(3)

где F(t) — обобщенная радиационная сила трения, имеющая в тензорной форме следующий вид

^(|) = У °Ар

У'тп ]"

3к

3 К Х

где первое слагаемое А]- (к, t) представляет

собой поле электромагнитного вакуума, переменные которого имеют функцию корреляции следующего вида [5]

(2п)

— [*, (I )<« >, А0(к,I )[

+

+ У°Ар/тп | аґ1і]іт^а (кт) Х

(6)

(2п)3

1

Х — 2

(I)Є

ікг(І)

І а (-к> |1)

с

где Т = t — tl .

Второе слагаемое, определяемое функцией Грина фотона DJ■a (к, т) , есть собственное поле

излучения электрона. В принятой калибровке функция Г рина имеет вид [7]

где Арутп 5рп5ут 5рт5уп •

Первое слагаемое в (6) определяет параметрическое воздействие флуктуаций вакуумного поля на электрон, что дает определенный вклад в динамику наряду со вторым слагаемым в (6) и одновременно включает в себя флуктуацион-ный источник вакуумного поля. Для того чтобы

-ТО

+

выделить вклад в динамику флуктуаций электромагнитного вакуума, воспользуемся сделанным раньше утверждением о гауссовой статистике невозмущенных потенциалов вакуумного поля. В соответствии с методами флуктуацион-но-диссипационной теории [8] из (6) имеем:

2 +то

а Зк

Х| ^а (кт)1 \?у (1 )е

(2п)3 “ ікг(ґ) Га (І1)е-ікг(ґі)

+

+ Мпа (к, Т)-8, (I )еІкГ(ґ), 4 (І1 )е Н

ікг(ґ)

е-ікг(|1)

+ ТО

-у 2 | а|1|

-ТО

еікг(І)

3к

(2п)

к 3 кт

Dnа (кт) Х

8, (ґ)еІкГ(І ),[8(І1) Х к]а е

-ікг(ґ1)

+ Мпа (k, т) Х

8, (ґ)еікг(І),[8(І1) Х к]ае-кг(11)]_Цр(г(ґ),I),

еікг(ґ) е-ікг(ґ1) = еІкАг е-ІВ

Нс

г, (I) = а, (°) —~ sin

(

2 Н

2 Н

\

-I

+

1 - cos

(2Н ЛЛ

Н

//

где Н = Е = тс , а су есть матрицы Дирака.

Используя перестановочные соотношения матриц ц и (XJ, получим следующее выражение для дисперсии приращения (9)

F°2 = к2Х2с sin2 (От) = с2 (I)х2

(7)

1

х —

2

і

Х —

Н

где М„а (к, т) = И„а (к, т)п(т), а (г^), t)

есть флуктуационный источник с равным нулю средним значением по невозмущенному состоянию термостата.

Принципиально нелинейная и нелокальная зависимость радиационной силы от оператора координаты г(?) и г(?1) определяется произведением экспоненциальных множителей, которое может быть записано в виде

(8)

где Аг = r(l) - г(^) есть оператор приращения координаты за промежуток времени I - ^ . Нали-

- ів

чие унитарного оператора е в (8) обусловлено некоммутативностью операторов г(!) и г(^) в различные моменты времени и определенным образом влияет на запаздывание взаимодействия между электроном и полем излучения.

Для вычисления дисперсии оператора

F° = k(r(l) - г(^) = кАг, (9)

в собственной системе координат электрона воспользуемся выражением, определяющим зависимость свободной эволюции оператора координаты электрона от времени в наиболее общем, релятивистском, случае

с^) = Л/ |(1 — ^(2Пт)),

где 0 = тс2/ Н , х = k / ^, Xс = 1/^ — ком-птоновская длина волны электрона. Дисперсия приращения координаты электрона оказывается конечной в собственной системе координат. В рассматриваемом в данной задаче нерелятивистском пределе, т.е. когда О ^ да, быстрые осцилляции на больших временах оказываются несущественными и можно считать

7^2 2 2

Г0 «с х ,

где о уже не зависит от времени.

Значения, которые может принимать с после перехода к нерелятивистскому пределу, лежат в интервале [0, 1]. В действительности данный параметр имеет одно фиксированное значение, но его определение требует последовательного релятивистского решения данной задачи. Приблизительная оценка его значения, произведенная в работе [4], составляет 0.99 и является асимптотической по своему содержанию.

Далее, поскольку оператор Аг, согласно с формулой (9), содержит матрицы Дирака, то

гкДг

можно представить е в виде

е1кДг = cos(kДr) +1 ^Дг sm(kДr), (10)

^г

где Дг =| Дг |= сХс не содержит матриц Дирака. В рассматриваемом приближении можно пренебречь вторым слагаемым в формуле (10) ввиду крайней его малости.

Поскольку всестороннее исследование радиационных эффектов на основе стохастического уравнения (5) не входит в рассматриваемую задачу, то остановимся на анализе более простой задачи, когда можно ограничиться вкладом в радиационную силу Гр ^) спинового магнитного

тока. Это приближение соответствует слабым магнитным полям, что, в свою очередь, означает пренебрежение анизотропией пространства, вызванной наличием магнитного поля. Действительно, при интегрировании по углам в сферической системе координат, что и означает пренебрежение анизотропией пространства, в формуле (6) исчезает первое слагаемое, связанное с поступательным движением электрона, так как имеет место следующая формула

+

Н

\аок„

5 уа-

к,ка Л к 2

= °,

где —о = эт(9)—9—ф - элемент телесного угла, т, J, а пробегают все значения из тройки х, у, z.

В этом случае стохастическое уравнение значительно упрощается. Прежде всего, спиновая составляющая плотности тока является чисто поперечной, т.е.

(к[Б^) х к]) = 0.

Вследствие этого тензорный множитель в (7) может быть опущен. В то же время принципиален вклад в радиационную силу флуктуаций электромагнитных плотностей, определяемых произведением экспоненциальных множителей е‘кг(1 )е-гкг(?1)

После расцепления произведения этих экспонент получившееся выражение, как это будет показано далее, не содержит матриц Дирака. Поэтому оператор спина коммутативен с этим произведением. С учетом сказанного запишем радиационную силу в следующем виде

+да

F(t) = |Л^(ф1(т)[8(0 X 8(^)] +

(11)

+ Ф2(т)[8(!1) Х s(l)]),

где

Ф1(т) = і-2сп(т) IИкке'^е'^е-'"^ (12)

^ 3 е -іскт е ikr(I) е -ikг(|1)

Ф2(т) = і ^п(т) Iакк3е-г“хе-гкг^егкг^ (13)

'г3е~іскте )eІkг(l)

Преобразуем (11) к более удобному для дальнейшего исследования виду. Для этого рассмотрим прецессию спинового момента в постоянном однородном магнитном поле В 0 = #02 • Данную прецессию на промежутке времени (?, ?1), который определяет интервал запаздывания взаимодействия, можно считать свободной, определяемой частотой ю 0 = у0 В0 = = eg0B0/2mc, где g0 есть g-фактор электрона.

Теперь произведем расцепление произведе-

ния экспонент е

ikг(I) е

из выражений (12) и (13). Учитывая, что в слабом магнитном поле г(?) можно считать гауссовым оператором и что коммутатор гауссовых операторов является с-числом, найдем

)e-ikr(|l) = е-іОтх еікАг е -ikг(|l)eikг(|) = е+іОтх2 еікАг

где оператор еікАг определяется формулой (1°).

(14)

Принимая во внимание все вышесказанное, получим следующее стохастическое уравнение для спинового магнитного момента

—е

-8 — Уо[s(t) х В0] = F(t) + 4(г(t),t), (15)

Л

где F(t) теперь имеет вид

2 +да

F(t) =-аО [ —^(т) х

3п •'

х | —хх3 cos(сх){[х0 (^х(t) + sх(t1)) +

0

+ У 0 (*у (t) + Sy (tl))+ (16)

+ г0 2sz (:1) тоэ^т)] cos(f (х)0т) —

— г02 Sо эт(юот)эт(/ (х )От)} где s0 = Н/2, 0 = тс2/Н , а = е2 /Нс — постоянная тонкой структуры, /(х) = х + х / 2 .

Радиационное трение спинового магнитного момента

Широко известные марковские уравнения Блоха изначально были рассмотрены как феноменологические соотношения и остаются таковыми в большинстве работ и монографий, посвященных релаксации магнитного момента в присутствии диссипативного окружения [1-3]. Разумеется, феноменологический подход не позволяет в полной мере учесть особенности взаимодействия магнитного момента с внешним электромагнитным полем. Поэтому микроскопический вывод и последующий анализ обобщенных уравнений Блоха приводит к установлению новых физических закономерностей, что и показано в данном разделе.

Исследуем на основе стохастического уравнения (15) поведение спинового магнитного момента в присутствии слабого периодического магнитного поля, имеющего следующий вид

В^) = х о В^э^) + у о В1 эт(ю) + 2о#о, (17) где периодическая составляющая магнитного поля может иметь как правую, так и левую поляризации.

Для того чтобы определить поведение рассматриваемой системы во внешнем периодическом магнитном поле, найдем ее динамическую восприимчивость. Записывая векторное уравнение (15) как систему дифференциальных уравнений, переходя в ней, посредством замены переменных

s+ ^) = ы(0е+ш,

s— ^) = v(t )е - ш,

ТО

+ТО

о

+ТО

°

где 5± (I) = ^х(I) ± І8у (I), во вращающуюся систему отсчета и усредняя эти уравнения по невозмущенному состоянию поля излучения, получим следующую систему уравнений

^ = і ю («(I) - v(l)) + Fz (I), т 2

----+ і'Аюи(і) = ію^ (I) + F+ (I),

т

-----іА^(!) = -ію^ (I) + F- (I),

т

где Аю = ю + ю°, ю° = у°В° , ю— = у°В1,

+ТО

Fz(I) = - IЛц3(т)Sz(ll) + 5°У4^),

F±(I) = I о—к± (т)

«(іі) I v(ll)

°

2

к±(т) = — аО2г|(т)е+іют(1 + е +гю°т) х 3п

(I)

VSz(I),

- В °

где

А ° ° С

Аю2Т—

sin(юl) 1

1 —1 + (Аю2Т— )2 +ю2Т—Т25

В = ю—Т—

С = ю°Т2 '

1 + (Аю2Т— )2 +ю2Т—Т2

2

1 + (Аю2Т1)

2

(19)

1 + (Аю2Т1)2 +ю2?—Т2

1/Т2 = у4(ю)|к ° к = ° 2 1ю = °

размерность частоты,

1/ Т— =К±—)(Ю)

(21)

имеют

К±—)(ю)

=1 аО

ю=° 3

3

ю

cos| с— I + О

+

ю + ю

О

cos| с

ю + ю

У 4 (ю)

= 2 аО|ю°

ю=° 3 V О

О

cos| с

(22)

а ~± (т) , у3 (т) и у4 есть коэффициенты радиационного трения, имеющие вид

4 2

У3(т) = —аО п(т)есэ(ют) х 3п

+да

х | —хх3 cos(сх) cos(/(х)От),

о

4 +да

у4 = —аО2 |Л^п(т)эт(ют) х

х I ахх3cos(сх)sm(/(х)От),

Аю2 = Аю +

к±2)(

(ю) к ,

ю=°

= к (1)г ± ,к(2)/

(23)

х J —хх cos(сх)cos(/(х)От).

о

Решая систему (19) в спектральной области, предварительно вычисляя преобразование Фурье от Fz ^) и Г± ^) и переходя в получившемся решении во временную область, посредством обратного преобразования Фурье, а также к переменным sхy ^), используя (18), найдем следующее стационарное решение системы дифференциальных уравнений, образованной из векторного уравнения (15)

(sх(t)^ ( А В 0 VЛ

~±(ю) = к±)(ю)±/к± )(ю).

Определим теперь динамическую восприимчивость рассматриваемой системы. Динамическая восприимчивость определяет отклик системы на внешнее периодическое возмущение и связывает между собой значения переменных системы с внешней периодической силой. В данном случае, согласно этому определению, имеет место следующее соотношение

8± ) = Х(ю)В^), (24)

где 8± ^) = хоSх ^) + уоSy (t), а х(ю) = х'(ю) + + /х"(ю) есть искомая динамическая восприимчивость системы.

Сравнивая (20) и (24) и учитывая, что А и В, согласно (21), пропорциональны амплитуде высокочастотной компоненты магнитного поля, найдем

X '(ю) = Х°ю°Т1

Аю2Т1

1 + (Аю 2Т1)2 + ю2Т1Т2

(25)

X» = Х°ю°Т1 +(а )2 + 2ТТ

1 + (Аю2Т— ) +ю—Т1Т2

(2°)

где Хо = sо/ Во.

Сравнивая теперь действительную и мнимую части динамической восприимчивости (25) с выражением для восприимчивости, следующим из феноменологических уравнений Блоха [9], найдем, что Т2 и Т представляют собой продольное и поперечное времена релаксации спинового момента. Введем для них следующие обозначения

т±= Т1, Т||= Т2.

1

3

ТО

3

-ТО

ТО

Анализ и обсуждение полученных результатов

1. Времена релаксации и аномальный магнитный момент электрона. Рассмотрим теперь более детально полученные результаты. В первую очередь следует заметить, что в результате немарковости процесса взаимодействия электрона и поля излучения коэффициент радиационного трения (22), определяющий поперечное время релаксации спинового момента, начинает зависеть от частоты внешнего периодического магнитного поля. Немарковость процесса взаимодействия в данном случае непосредственно связана с учетом запаздывания взаимодействия между электроном и полем излучения.

Далее, рассмотрим действительную и мнимую части динамической восприимчивости, определяемые формулами (25). Как известно [9], действительная составляющая динамической восприимчивости определяет дисперсию в системе, а мнимая - энергетические потери. Наряду с этими физическими характеристиками, формулы (25) позволяют исследовать один известный радиационный эффект, не прибегая к теории возмущений и процедуре перенормировок, а именно эффект аномального магнитного момента электрона.

Рассмотрим величину Дю2, которая, согласно (23), имеет следующий вид

Дю2 = ю + ю0 +

~±2)

(~)

ю=0

где

~±2)

(ю)

ч 2а

= (2ю + юо)—J о (с),

5=0 3п

+да ( 1 J0 (с) = | —хх тоэ(сх) /| 1 + 2 х

2

Дю2 = ю + ю0,

где

юп = юг

1+

а

-~о(с)

2п , а ~ с

1-----о(с)

п

^о(1 + Д(с)) Во = еВо 2тс 2тс

g,

Д(с) =

а

-~о(с)

~ 4 +да ( 1 V

J0 (с) = — — | —хх тоэ(сх) /I 1 + — х I .

(30)

о

Из формул (28)-(30) видно, что вследствие радиационного трения происходит изменение циклотронной частоты электрона, которое, в свою очередь, влияет на величину его g-фактора.

Согласно теории Паули, электрон обладает собственным магнитным моментом, имеющим вид

е

ц = -— gs,

2тс'

(31)

где g есть g-фактор электрона, который в данном случае определяется формулой (29). В итоге малая добавка Д(с) к g-фактору электрона, определяемая формулой (30), представляет собой искомый аномальный магнитный момент.

График зависимости функции у = 2пД(с)/ а от безразмерного параметра о приведен на рис. 1.

Рассмотрим некоторые характерные значения о на этом рисунке.

(26)

После элементарных математических преобразований запишем выражение (26) в следующем виде

(27)

(28)

g = gо(1 + Д(с)), (29)

малая добавка Д(с) имеет следующий вид

Рис. 1. Зависимость аномального магнитного момента электрона от параметра нелокальности о

При с = 0, согласно рис. 1, мы получаем отрицательное бесконечное значение аномального магнитного момента. Физическое содержание данного результата заключается в том, что при с = 0 происходит устранение запаздывания взаимодействия между электроном и собственным полем излучения, что, в свою очередь, приводит к известной логарифмической расходимости в квантовой электродинамике и, следовательно, к использованию процедуры перенормировки

0

3 -

\

-2

\

\

1 -

°

-2 і

х' / х°

5°°°

4°°°

3°°°

2°°° ■

1°°°

X'' / х°

а = °.2

С

/ ^ - °.22

D

°.21 . /

/

а = °.°2

- °.2/ ;/ °.19 /

Ь.18

а = 3

-1.4

-1.2 -1

I

-°.8 -°.6 -4

ю / ю°

ю / ю

°

Рис. 2. Графики зависимости действительной (А, В) и мнимой (С, D) частей динамической восприимчивости системы от отношения частот ю/ю0 при различных значениях параметра — = В1/В0

2

1

°

2

2

4

для устранения этой бесконечности. Этот результат объясняет причину возникновения отрицательного знака аномального магнитного момента в работе Т.А. Вельтона [1°].

Далее, при с = °.385 и с = °.849 мы получаем нулевое и максимальное значения аномального магнитного момента; последнее равно

А = 365563.6 -1°-9. (32)

Сравним полученный результат аномального магнитного момента (32) со значением, определенным по теории возмущений, а также с экспериментальной его величиной. Теоретическое значение этого эффекта, определенное до третьего порядка по постоянной тонкой структуры, находится в прекрасном согласии с экспериментальным результатом [11]

ДТ = (1159652.4 ± 0.4)-10—9, (33)

Дэ = (1159652.4 ± 0.2)-10—9, (34)

т.е., другими словами, расхождение между этими значениями возникает только в десятом знаке. Видно, что полученное значение аномального магнитного момента электрона существенно отличается не только от теоретического и экспериментального результатов, но и от значения, определенного Ю. Швингером [12]

ДШ = а/2п = 1161714.9-10—9.

Причины этого расхождения заключаются в следующем. В первую очередь, оно обусловлено особенностью нерелятивистской модели, исключающей вклад в эффект больших передаваемых импульсов фотонов. Во-вторых, это расхождение возникает из-за принятого в дан-

ной работе приближения слабых магнитных полей или, другими словами, приближения изотропного пространства. Действительно, как было показано, данный эффект можно изучать на основе стохастического уравнения (5) с радиационной силой трения (7). Эта сила имеет две составляющие, непосредственно связанные с двумя составляющими тока нерелятивистского электрона (4). В приближении изотропного пространства первая составляющая радиационной силы трения после усреднения по углам в сферической системе координат обращается в ноль. Другая составляющая силы определяет эффект аномального магнитного момента электрона в этом приближении. Согласно этому факту, в наиболее общем случае, когда пространство анизотропное, первая составляющая в (7) уже не обращается в ноль и дает определенный вклад в рассматриваемый эффект. Кроме этого, в случае анизотропного пространства произойдет изменение величины аномального магнитного момента, определяемого второй составляющей силы (7). Все это должно улучшить результат (32). Но вопрос, насколько это увеличение будет существенно в данной нерелятивистской модели, остается открытым.

Заметим, что при с = 0.99, что соответствует его асимптотическому значению, аномальный магнитный момент имеет положительный знак, что находится в согласии с последовательной релятивистской теорией этого эффекта, развитой Ю. Швингером.

2. Динамическая восприимчивость системы. Перейдем теперь непосредственно к обсуждению поведения действительной и мнимой частей динамической восприимчивости при различных значениях частоты внешнего магнитного поля.

Рассмотрим в первую очередь действительную часть динамической восприимчивости, определяемую формулой (25). Графики зависимости этой характеристики от отношения частот ю / юо при различных значениях параметра

В,

ю,

юп

Вп

представлены на рис. 2 (графики А и В), где

х° =х<

л/2аО^

При а << 1 мы имеем результат (см. рис. 2А), который практически совпадает с видом дисперсионной характеристики, следующей из феноменологических уравнений Блоха. Но уже

при а « 1 и а > 1 (см. рис. 2В) возникает резкая асимметрия действительной части динамической восприимчивости системы. Этот эффект непосредственно связан с немарковостью процесса взаимодействия электрона и поля излучения. Как известно, дисперсия в системе может быть связана с наличием в ней пространственных, временных или пространственно-временных масштабов. Поскольку в рассматриваемой задаче пространство считается однородным, то дисперсия в данном случае полностью определяется временными масштабами в системе. Таким масштабом является поперечное время релаксации. Поэтому возникновение асимметрии дисперсионной характеристики в данном случае связано с тем, что при ю/ю° >-1 происходит резкое возрастание значения поперечного времени релаксации, определяемого действительной частью коэффициента радиационного трения (23). В связи с этим при увеличении времени релаксации растет и временной масштаб системы, что, в свою очередь, приводит к изменению дисперсионной характеристики системы. Этот факт как раз и демонстрирует рис. 2В.

Рассмотрим далее мнимую часть динамической восприимчивости, определяющую энергетические потери в системе. Графики этой зависимости при различных значениях параметра а,

.. 3пю°

представлены на рис. 2С, О, где х° = Х°---- •

2аО

Согласно рис. 2С, при а << 1 форма этой характеристики практически совпадает c лоренце-вой формой мнимой части динамической восприимчивости, следующей из феноменологической теории. При а « 1 и а > 1 из рис. 2Б видно, что система приобретает новые свойства. Как и в феноменологической теории, в системе существует резонанс на частоте ю / ю° = -1. Но наряду с этим резонансом в системе присутствует более сильный эффект, связанный с резким уменьшением поглощения энергии в системе, который достигает максимального значения на частоте ю/ю° =-1/3. Это связано с тем, что при ю/ю° >-1, как уже говорилось, происходит резкое увеличение поперечного времени релаксации, максимальное значение которого находится в малой окрестности точки ю/ю° = -1/3. Поскольку время релаксации непосредственно связано с энергетическими потерями в системе, то его увеличение приводит к тому, что система становится более консервативной, т.е. в ней происходит уменьшение энергетических потерь, что демонстрирует рис. 2Б.

2

Заключение

В работе исследована динамика спинового момента нерелятивистского электрона, взаимодействующего как с собственным полем излучения, так и с полем электромагнитного вакуума, а также продемонстрирован установленный в [4] эффект квантовой нелокальности на простейшей модели прецессии спинового момента в стационарном магнитном поле.

На основе стохастического уравнения (15) определены и исследованы динамическая восприимчивость системы, продольное и поперечное времена релаксации, а также эффект аномального магнитного момента без обращения к процедуре перенормировки.

Один из основных результатов работы заключается в том, что выражение для обобщенной радиационной силы трения (16) с учетом запаздывания взаимодействия свободно от парадоксов, присущих классической теории радиационного трения.

Найденная зависимость аномального магнитного момента (30) от параметра нелокально-сти демонстрирует исключение расходимостей в радиационных эффектах за счет запаздывания взаимодействия. В предельном случае отсутствия запаздывания взаимодействия (с^0) рис. 1 демонстрирует известную логарифмическую расходимость для аномального магнитного момента.

В заключение необходимо отметить, что предложенная в данной работе модель позволяет не только исследовать процесс радиационно-

го трения спинового момента, но и определить зависимость аномального магнитного момента как от частоты внешней периодической силы, так и от величины самого магнитного поля.

Список литературы

1. Abraham M. Theorie der Elektrizitat, Bd.2: Elek-tromagnetische Theorie der Strahlung, Teubner, Leipzig. 1905.

2. Lorentz H.A. Theory of Electrons. 2nd edition (1915). Reprinted by Dover. New York, 1952.

3. Вайнберг С. Квантовая теория поля. Т. 1. Общая теория. М.: Физматлит, 2003. С. 40-50.

4. Ефремов Г.Ф., Шарков В.В. Эффект квантовой нелокальности и радиационное затухание электрона Дирака // ЖЭТФ. 2004. 125. С. 195.

5. Ефремов Г.Ф., Шарков В.В. Квантовостатистическая теория радиационного трения релятивистского электрона // ТМФ. 2009. Т. 158, № 3. С. 478-496.

6. Ефремов Г.Ф. Стохастические уравнения для

открытых квантовых систем: Учебное пособие.

Горький: Изд-во ГГУ, 1982. 120 с.

7. Ефремов Г.Ф., Шарков В.В., Петров Д.А. Квантово-статистическая теория радиационных эффектов без расходимостей // Актуальные проблемы статистической радиофизики (Малаховский сборник). Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2007. Т. 6. С. 3-35.

8. Ефремов Г.Ф., Смирнов Ф.Ю. // ЖЭТФ. 1981. 80. 1071.

9. Абрагам А. Ядерный магнетизм. М.: Изд-во иност. лит., 1963.

10. Welton T.A. // Phys. Rev. 1948. 74. 9.

11. Райдер Л. Квантовая теория поля. Волгоград: Изд-во «Платон», 1998.

12. Schwinger J. // Phys. Rev. 1948. 74. 416.

RADIATION FRICTION OF THE ELECTRON SPIN MAGNETIC MOMENT IN THE ELECTROMAGNETIC VACUUM FIELD

G.F. Efremov, D.A. Petrov

On the basis of the theory of open quantum systems and the effect of quantum space-time nonlocality, the effects of radiation friction and the abnormal magnetic moment of the electron have been investigated. It has rigorously been shown, that the effect of quantum nonlocality allows one to remove divergences in calculating quantum electrodynamics effects.

Keywords: open quantum systems, radiation friction, anomalous magnetic moment, dynamic susceptibility, stochastic equation.