Фононное трение электрона проводимости и поляронный эффект Текст научной статьи по специальности «Физика»

Физика твёрдого тела Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2010, 3(1), с. 44-53

УДК 536

ФОНОННОЕ ТРЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА ПРОВОДИМОСТИ И ПОЛЯРОННЫЙ ЭФФЕКТ

© 2010 г. Г.Ф. Ефремов, Д.А. Петров, А. О. Маслов

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского efremov@rf.unn.ru

Поступила в редакцию 08.04.2010

На основе теории открытых квантовых систем и эффекта квантовой пространственно-временной нелокальности исследуются фононное трение электрона проводимости ионного кристалла и связанный с ним поляронный эффект. Предложена статистическая теория данного эффекта, определена сила фононного трения, а также найдены частотная и температурная зависимости эффективной массы поляро-на большого радиуса.

Ключевые слова: фононное трение, поляронный эффект, стохастическое уравнение, эффективная

масса полярона, полярон большого радиуса.

Введение

Задача о состоянии электрона проводимости в кристаллической решетке (поляроне) является важной и актуальной в современной физике твердого тела. Это, в первую очередь, связано с тем, что поляронные эффекты необходимо учитывать при рассмотрении всех электронных процессов в полярных полупроводниках, и в особенности при изучении явлений переноса и оптических эффектов [1]. Во-вторых, это связано с тем, что, несмотря на достаточно долгий период изучения этого явления, решение данной проблемы далеко еще до своего полного завершения [2, 3].

Концепция полярона была введена Пекаром [4], который впервые рассмотрел случай, когда электрон-решеточное взаимодействие имеет такую силу, что позволяет описать все наиболее существенные свойства полярона исходя из представления о движении локализованного электрона проводимости в созданном им самим поляризационном поле. Задача о поляроне рассматривалась с точки зрения как квантово-механического подхода [3-16], т.е. при нулевых температуре кристалла и частоте внешнего электрического поля, так и квантово-статистического, при любых конечных температурах [17-24].

Образование поляронного эффекта есть следствие динамического электрон-фононного взаимодействия, которое приводит к изменению эффективной массы электрона проводимости, создает экранировку взаимодействия между носителями тока и вызывает перенормировку фононных частот или, другими сло-

вами, изменения закона дисперсии кристаллической решетки.

В данной работе предложен альтернативный способ исследования поляронного эффекта, основанный на методе открытых квантовых систем [25]. Характерными особенностями данного метода являются возможности с единых позиций изучать флуктуационные и диссипацион-ные процессы в рассматриваемой системе, а также учесть запаздывание взаимодействия между фононным полем и электроном, которое в ряде эффектов [26] может привести к интересным результатам. Динамический подход, предложенный в данной работе при изучении поля-ронного эффекта, учитывающий как флуктуации фононного поля, так и запаздывание взаимодействия между электроном и квантами колебаний кристаллической решетки, позволяет определить частотную и температурную зависимости эффективной массы полярона.

Стохастическое уравнение для оператора координаты электрона проводимости

Рассмотрим электрон проводимости, движущийся в поле кристаллической решетки ионного кристалла и взаимодействующий как с квантованным полем колебаний этой решетки -фононами, так и со слабым внешним электрическим полем. Взаимодействие электрона проводимости и квантов колебаний кристаллической решетки носит двоякий характер. В первую очередь случайное воздействие фононов на электрон проводимости приводит к возникновению броуновского движения последнего в

кристаллической решетке. В то же время действие электрона проводимости на кристаллическую решетку вызывает смещение ионов из положения равновесия, что ведет к возникновению поляризации ионной решетки, которая приводит к понижению энергии электрона, т.е. возникновению в области движения электрона потенциальной ямы [27]. Это локализованное состояние электрона, способное свободно перемещаться в кристаллической решетке, получило название полярона [4].

Взаимодействие электрона проводимости с квантами колебаний кристаллической решетки можно рассматривать как явление фононного трения, возникающего при движении этого электрона в кристалле вследствие воздействия на него внешнего электрического поля. Фонон-ное трение приводит к изменению состояния электрона, что вызывает изменение поляризации ионной решетки, которая, в свою очередь, приводит к дополнительному изменению его состояния. В связи с этим для полного определения состояния электрона проводимости (полярона) в кристалле возникает необходимость учета как воздействия этого электрона на кристаллическую решетку (на поляризацию), так и обратного воздействия. Изучению фононного трения полярона с учетом указанного характера взаимодействия и посвящена данная работа.

Особенность данной задачи заключается в том, что взаимодействие полярона с фононами представляет собой случайный процесс, причем фононное поле, в данном случае, можно рассматривать как некоторый стохастический объект, переменные которого обладают определенной статистикой. Таким образом, возникает необходимость адекватного способа описания данного взаимодействия. Это позволяет сделать метод открытых квантовых систем [25], в основе которого лежит метод стохастических уравнений, восходящий к классическим работам Ланжевена, Смолуховского, Эйнштейна начала XX века [28]. Данный метод не опирается на предположение малости константы электрон-фононного взаимодействия и позволяет с единых позиций изучать процессы флуктуаций и диссипации в динамических системах.

Итак, в приближении эффективной массы гамильтониан рассматриваемой системы, состоящей из полярона, фононного термостата и внешнего электрического поля, имеет следующий вид 2

H = 2_ + F + eE(t)r - Hmt, (1)

2m

где p(?) и r(Y) - операторы импульса и координаты электрона, т - эффективная масса

электрона, E(t) - внешнее электрическое поле, F - гамильтониан квантованного фононного поля, Hjnt - энергия взаимодействия электрона с фононным полем, которую удобно записать в каноническом виде с помощью разложения в ряд Фурье

Hint = I Qk (t)Eikr(t) = I Qk (t) Xk (t), (2)

kk

где Qk (t) - гармоники потенциала фононного

поля, Xk (t) = егкг(Ґ) - оператор электронной подсистемы, сопряженный оператору фононной системы.

Используя гейзенберговское представление и гамильтониан (1), запишем уравнение движения для оператора координаты электрона:

Dr ^ ^ 1 , .

-г = Т[r(t ^ Н ] = _ p(t ^

n

± = -кр(0> H ] = X IkQk (t)eikr(t) + eE(t), dt in k

или

mr(t) = ^ ikQk (t )elkr(T) + eE(t).

(3)

Будем далее считать, что взаимодействие в гамильтониане (1) адиабатически включается в момент времени Т = -да, а также что собственный гамильтониан фононного термостата квадратичен по фононным переменным Qk и канонически сопряженным им импульсам ()к . В этом случае переменные фононного поля с большой точностью описываются гауссовой статистикой.

Исследуем на основе уравнения (3) процесс фононного трения полярона с радиусом, который много больше, чем период кристаллической решетки. В этом случае ионный кристалл можно описывать как непрерывную диэлектрическую среду (континуальное приближение) с некоторой диэлектрической проницаемостью є [27]. Ограничимся в данной работе рассмотрением взаимодействия электрона проводимости с фононами оптической ветви кристалла, причем будем считать, что частота оптических фононов ®у является постоянной и не зависящей от волнового вектора, что соответствует частотам, находящимся в малой окрестности экстремума дисперсионной характеристики.

Для определения неизвестной эволюции во времени переменных фононного термостата воспользуемся основным физическим принципом метода открытых квантовых систем, заключающегося в том, что вследствие макроско-пичности фононного термостата, имеющего

огромное число степеней свободы, по сравнению с электроном проводимости, его состояние мало изменяется при взаимодействии с электроном. Учитывая этот факт и используя предположение о гауссовой статистике переменных термостата, разложим в функциональный ряд переменные Qk (?) по действующей на термостат со стороны электрона силе, т.е. по Xк (?)

бк (Т) = 60 (Т) + ЦДк, Т - іх )е-ікг(^, (4)

где -0(к, т) - функция Грина фонона, определяющая изменение фононного поля, обусловленное взаимодействием его с электронной подсистемой, и имеющая следующий вид [29]

Дк, т) = ( ^ [е0 (і ), в° (іх)].

П(т) =

ГК_

%к‘

2

8ІП(® у т)п(т).

Б (к ,ю) = Й \т{0(к ,ю)}с&

V у

М (к, т) = -2— |сзЮ5 (к, ю)е

1

тг

г(0 = 2 XОД* (і), вгкг« ]+ + вЩ). (7)

стике невозмущенных потенциалов этого поля. В соответствии с методами флуктуационно-диссипационной теории [25, 29, 31] из (7) и (4) найдем

тг(Т) = F(T) + еЕ(Т) + о(), (8)

где Р(?) есть сила фононного трения, действующая на электрон со стороны фононного поля и имеющая вид

+ж ( 1 Я(і) = X 1к |Я(к,т}-[егкг('),е-гкгй)]+

+

+ М (к, х)-[егкг('), е-кг(1 ]_ Н

(9)

(5)

В этой формуле X - константа электрон-фононного взаимодействия, п(т) - функция Хевисайда, учитывающая принцип причинности в (4). Операторы 00 (Т), входящие в (4), представляют собой невозмущенные переменные фононного термостата, с корреляционной функцией М(к, т), связанной с функцией Грина фонона, согласно теореме Калена-Вельтона [30], через спектральную плотность флуктуаций фононного поля:

(6)

Далее заметим, что поскольку в уравнении (3) бк (Т) и егкгТ не коммутируют между собой, то, прежде чем подставить формулу (4) в это уравнение, предварительно симметризуем данное произведение

В уравнении (7), согласно (4), первое слагаемое содержит параметрический член, определяющийся невозмущенными переменными фононного термостата и дающий определенный вклад в динамику электрона проводимости. Для того чтобы выделить вклад в динамику флуктуаций фононного поля, воспользуемся сделанным раньше утверждением о гауссовой стати-

а о(Т) представляет собой флуктуационные источники, с равными нулю средними значениями по невозмущенному состоянию фононного термостата.

Формула (9) имеет две составляющие, характеризующие собой два механизма возникновения фононного трения. Первое слагаемое в (9), связанное с функцией Грина фонона -Д(к, т), определяет непосредственное воздействие фононного поля на электрон и является динамическим механизмом возникновения фононного трения. Второе слагаемое, характеризующееся функцией корреляции невозмущенных потенциалов фононного поля - М(к, т), связано со статистическими свойствами этого поля. Оно определяет вклад в рассматриваемое трение флуктуаций фононного поля кристаллической решетки, которые непосредственно характеризуются температурой кристалла. Данные механизмы связаны между собой через теорему Калена-Вельтона [30], т.е., другими словами, определяют друг друга и имеют ключевое значение в процессе фононного трения.

Отметим здесь еще одну особенность силы фононного трения (9). При нулевой температуре, что соответствует квантово-механическому описанию состояния полярона [1, 27], вторая составляющая силы трения (9) не обращается в ноль, что говорит о статистическом вкладе в данный эффект нулевых колебаний кристаллической решетки.

Полученное уравнение (8) представляет собой стохастическое уравнение Ланжевена, описывающее как броуновское движение полярона в флуктуационном поле фононного термостата, полностью определенного флуктуационным источником (), так и процесс фононного трения электрона проводимости, который характеризуется силой Е(?).

X

о

Преобразуем выражение для фононной силы трения (9) к более удобному для дальнейшего исследования виду. Для этого произведем расцепление произведения операторов электронной подсистемы, взятых в различные моменты времени

Е'кгО) _ Е-гкг(т[)

Поскольку внешнее электрическое поле, действующее на электрон, является слабым, то, так же как в (4), представим оператор координаты электрона - Гу (?) в виде функционального

ряда по внешней силе / () = вЕ у (), оставляя

только линейные отклики

+да

Г] (т) = Г_° (0 + | ^1Ф ]1 (т> Т1) /1 (А). (10)

— да

где гу° (?) определяют свободную эволюцию

электрона в отсутствие внешней силы, а ф 1 ) есть линейные отклики электрона на

внешнее возмущение

Ф ji (A ti) =

8rj(t)'

('1)/0

Заметим, что поскольку кристалл изотропный, а время является однородным, то

Ф а (А Ч) = Ф(т - Т1 )8 ц.

Тогда

+да

Г) (?) = А (?) + 1 - ) Л' (?1 )• (12)

в (9), воспользуемся формулой Бейкера-Хаусдорфа:

gi'kr(t). E-ikr(ti) =

exp

ґ Jr2

+ — [R (Т), j (Ті)]-

V У

JkAr

Є

exp

e-ikr(ti) . eikr(t) _

ґ Ї 2

- ytf(t), rj0(t, )]-

JkAr

(16)

(11)

где Аг = г(?) - г(^).

Поскольку вынужденное решение для оператора координаты электрона полностью, в данном случае, характеризуется его линейным откликом (12), то дальше нас будет интересовать временная эволюция, с учетом фононного трения, только этого отклика. Для получения уравнения, описывающего динамику линейного отклика электрона с учетом фононного трения, возьмем от уравнения (8) функциональную производную по внешней силе / (Т) = еЕу- (Т).

Учитывая, что

ф(t - ti) = i

8rj (t) ' 8/, (ti),

а также принимая во внимание (13), (15), (16) и усредняя получившееся уравнение по невозмущенному состоянию фононного поля, окончательно найдем

Вследствие того, что внешнее электрическое поле является слабым, скорость электрона на временах т = 1 ^ , определяющих запаздыва-

ние взаимодействия, изменяется мало, и можно считать, что невозмущенная эволюция координаты электрона описывается следующим уравнением:

(13)

r° {t) = r° (ti) + vі т

найдем:

[r0 (t X R0 (ti )]- = — T

m

kAr = kVx cos(9),

&P(t -12 ) + J dtiY(t - ti )(ф(t -12 )_

- ф(А -12)) - 8(t -12),

m

(17)

где Vу = ру / т - начальная скорость электрона с

0 2 импульсом р :. Учитывая, что £’(р) = р 12т,

гДе Ф(Т - Т2 ) = (Srj (Т)/ S/j (Т2 ^0 > а Y(t -1\)

представляет собой коэффициент фононной силы трения, имеющий вид 2^2

Y(t - *1) = — —^ cos2(9)(sin( ю f x)cos дай

k

+ cth

ґш2 ^

----т

2m

+

У

(14)

(15)

' Л

v2T у

cos(® f т) x

xsm

f hk2 Л 2m

(18)

)П(т)є

/KVtcds(0)

где Н - угол между групповой скоростью электрона V и волновым вектором к.

Далее, поскольку коммутатор (14) является с-числом, то для расцепления произведений операторов электронной подсистемы, входящих

Уравнение (17) позволяет исследовать динамику отклика электрона проводимости при взаимодействии последнего с фононным термостатом в наиболее общем, немарковском, случае, т.е. с учетом запаздывания взаимодействия между ними.

о

Эффективная масса полярона

Исследуем на основе уравнения (17) один эффект, непосредственно связанный с фононным трением электрона проводимости, а именно эффект возникновения эффективной массы у полярона. В данном случае термин «эффективная масса» обозначает небольшую добавку к действительной эффективной массе электрона проводимости - т. Эта добавка возникает вследствие взаимодействия этого электрона с фононным полем кристалла и имеет определенную зависимость от частоты внешнего поля и температуры кристалла. Определению этих зависимостей и посвящена данная часть работы.

Перейдем в уравнении (17) к спектральной форме, предварительно взяв от левой и правой частей этого уравнения преобразование Фурье

2 1 (-ю -у(ю) + у(0))ф(ю) = —, (19)

т

где

у(®) = | о^ху( х)ешт.

следующему виду

- СО’

СО"

+ 1( У2(°Ь У2(а)

и=-•

т

т рої = т

1 + -

ю

®

к к интегрированию в сферической системе координат по этой переменной, используя при этом следующее правило

£ = |2 81п(0),

к оо

где kd =п /1 - период обратной решетки кристалла.

Тогда

у(г) = п (т )4 5 |(кк2

тйк>

8Іп( СОу Т ) С08

+ с&

Ни>]

2Т

ч у

С08( СОгТ)8ІП

X |dQ 8ІП(0)СО82 (ЄуН‘Ти"<в)

(24)

или, с учетом интегрирования по углу , найдем

у(т) = П(т) 4пШ3 |<*кк2

тЙк,

а о

8ш(ю у т) 008

2т

(20)

+ сік

ґ Ню

Выделим в коэффициенте фононного трения (20) действительную и мнимую части у(ю) = Ух(ю) + /у 2 (ю).

После этого преобразуем уравнение (19) к

2 Т

ч у

СО;

8(ю у т)

(Нк2 ^

2т

уУ

(21)

Из этого уравнения видно, что действительная часть коэффициента радиационного трения (20) отвечает за возникновение эффективной массы у полярона, а мнимая - определяет релаксацию в системе.

Согласно уравнению (21), массу полярона и его время релаксации можно определить следующим образом:

У! (ю) -У! (0)'

х ((кУт) -2)$т(кУт) + 2кУтсоъ(кУт) (25)

х 3 . (25)

(кУт)3

Формулы (22), (23) и (25) позволяют определить зависимость времени релаксации и эффективной массы полярона от частоты и температуры кристалла.

Рассмотрим далее наиболее простой случай, когда начальная скорость электрона равна нулю. Поскольку V = 0, то (25), после введения безразмерной переменной интегрирования х = к / кd, принимает следующий вид

8М Я2 1

3 шН

(26)

%т) = ^ п(т) [оХх2Г8Іп(с0/-т)со8(х^т)

Зтк і V

0

+ сй

ґНшг Л і 2 ^

1 со8(Шут)8Іп(х Пт)

2Т

У

(22)

(23)

|У2 (®) - У2 (0)|

Для исследования, на основе формул (22), (23), частотной и температурной зависимостей массы полярона и времени релаксации определим сначала частотную зависимость коэффициента радиационного трения (18). Для этого в выражении (18) перейдем от суммирования по

где О = / 2т >> 1. Численные значения

этой частоты для некоторых видов кристаллов приведены в табл. 1.

Подставляя теперь (26) в (20), найдем

, л

8 ттк

у(©) =--------- [сіхх1 [іігц(т)е

ЗтП і і

0 -да

х| 8Іп(©ут)соз(х2Ог) +

+ с&

( Нт£_ л

V 2т у

соз(©у Т ) 8Іп(х 2 О т)

X

+

т

X

+

Таблица 1

Вещество LiF Rъa КС1 ШС1

Г2 , рад/с 1.16 х 1017 2.66 х 1015 2.93 х 1015 3.65 х 1015

Для вычисления (27) воспользуемся известной формулой, определяющей преобразование Фурье от функции Хевисайда

Ъ (ю) = 4 + — 1п

1 + А

+ ^1п

1-р

1 + р

|Лг|(т)егш°)т = л5(®-®0) + г

Г1 ^ Г1 ^

Р , (28) - — -^2агс1я

1А V 1 Р2 )

ю-ю

о

где символ Р обозначает главное значение.

Представляя в формуле (27) произведение синусов и косинусов как сумму экспонент и используя (28), запишем, пропуская элементарные математические преобразования, окончательный ответ:

Г1 (ю) = У о

а, (ю) + с&

Ъ, (&)

при ® < ®у ,

у[7 (ю) = У о

уГ (ю) = У о

а11 (ю) + с&

' ^ Л V 2Т у

Ъц (ю)

при ® > ®у ,

аш (ю) + с&

' ^ Л V 2Т у

Ьш (ю)

при ® = ® у

Г Г

У 2 (®) = щ 0

с1 (ю) + с& при ® < ®у

Ню

\ Л

2Т

V у

dI (ю)

у 21 (ю) = яу0

с11 (ю) + сШ

' Нюу Л

V 2Т У

аи (ю)

при ® > ®у ,

у 211 (ю) = яу0

сж (ю) + с&

V 2т у

(ю)

при ® = ® у ,

где

2

У о =

2 пМк ЪшНО.

а1 (ю) = -

+ & 1п

/ Г1' Г1 ^

Ааг^я — + р2 агС£ +

V V Рг V Р2 )

Рг

1 + Рг

+ ^1п

!- Р

1 + ^2

С1 (®) =1 - Рг ^

dI (®) = -с1 (®),

(32)

(33)

(34)

где р12 = (®у ± ®) / О,

% (®) = -

/

+ А1п

Р ЖСЩ

1 - Рг

— I- р аг^

V А

1 + А

- А1п

1- р

\Р2

\

1 Р 2

(29)

ЪП (®) = Ъ1 (®),

С11 (®) = СI (®)>

СЯ (®) = - 1 (Р + Р2 \

(35)

(36)

(37)

(38)

где р22 = (®±® у)/ О,

аш (® _ ®/~ ) _

~ 11л ргэх&% —

\ Р

+ Рр 1п|

1+ р

А

Ъш (ю = ОЪ ) = 4 + — 1п

!“ Рг

1 + А

-Даге1£

1

V ~г

сш (® - ®/) - 2 Р1’

$Щ (® = ®у ) = Сц! (® = ®у ),

(39)

(40)

(41)

(42)

(30)

(31)

где рх = 2®у / О.

Заметим, что поскольку мнимая часть коэффициента радиационного трения, определяемая у2 (®), не равна нулю, то в системе присутствует диссипация энергии. Поэтому наряду с частотной и температурной зависимостью эффективной массы представляет большой интерес определение формы линии поглощения и дисперсии рассматриваемой системы. Ввиду ограниченности объема данной работы, в ней определяются только частотная и температурная зависимости времени релаксации и эффективной массы электрона. Что касается формы линии поглощения и дисперсии, а также подвижности и проводимости полярона, то они будут определены в отдельной работе.

+

Далее, поскольку рХ1 << 1, то, вводя безразмерные переменные у = ® / ® у и

1/2

в = (®у / О) , преобразуем формулы (31)-

(42) к следующему виду:

а1 (®) = Р 2Р--IV1 + У + •

V

■(1 + у + 71 - у )|,

(®) = 4-Р2р + ^2 (л/ 1 + У + V1 - У ^ (43)

с/ (®) = (7 у +1 --\Гу— }

d I (®) = --2 ^ у +1 - Vу -1} (44)

а11 (®) = Р 2Р - — (у + 1 - Vу -1 ^

Ь11 (®) = 4 -Р 2р_у + п (д/У +1 --\1 У -1 ^ (45)

°и (®) =■“ (у] У +1 -4у— )

^II(®) - -“(1 + У +л/У -1}

а ш (® = ® у) = р^ 2Р--272 ^ Ьш (® = ® г) = 4 -рГ 2р + ^^л/2

( = ) -в

сш(® - ®/) -~^,

^ ш (® _ ® /)_ — ■

(47)

(48)

В итоге, с учетом вышеприведенных формул и обозначений, перепишем выражения (22) и (23) в следующем виде

т

ро!

т

= 1 + 8- / (у, Те/),

= £ (У, ТвГ X

(49)

(50)

где

(46)

/ (У, Т/) =

£ (У, те/) =

У1(У> т/) -У1(0, т/)

у2 ’

_____________У_____________

|~2 (У, Те/ ) - ~2 (0, Те/ )|

X

о

Таблица 2

Вещество LiF Rъa КС1 NaCl

р = (©г /0)1/2 0.018 0.092 0.096 0.1

Рис. 1. Зависимости эффективной массы полярона большого радиуса от отношения частот ®/ ®^ при различных значениях эффективной температуры кристалла Т/ - А и от эффективной температуры кристалла Те^ при различных значениях отношения частот ®®^ - В

~ ( Т ) Уі (У’ Т/ ) ~ ( Т ) У2 (^’ Т/ )

Уі (УТ/ ) =----------> ?2 (У,Те/ ) = ■

У оР

ПУ оР

5 =

УоР 2 : ® /

Ю,

т0 =-

ПУ оР

В табл. 2 приведены численные значения параметра Р для некоторых видов кристаллов.

Формулы (29), (30) и (43)-(50) определяют частотную и температурную зависимости времени релаксации и эффективной массы полярона.

Графики зависимости эффективной массы полярона от частоты и температуры представлены на рис. 1.

Рассмотрим в первую очередь зависимость эффективной массы полярона от отношения частот ® / ®у . Как видно из рисунка 1А, при

частоте ® = ®у эффективная масса полярона

имеет максимальное значение, что говорит о наличии в рассматриваемой системе некоторого резонанса, соответствующего данной частоте. Данный эффект непосредственно связан с тем, что при частоте внешнего поля, совпадающей с частотой оптических фононов, фононная сила трения имеет максимальное значение, что означает максимальное замедление электрона, которое можно интерпретировать как резкое увеличение его эффективной массы.

Рассмотрим теперь зависимость эффективной массы полярона от безразмерной температуры кристалла - Теу = 2Т / • Согласно ри-

сунку 1В и формулам (22), (29), температурная зависимость эффективной массы полярона имеет форму гиперболического котангенса. При увеличении температуры происходит резкое возрастание эффективной массы полярона. Этот эффект имеет простое физическое объяснение. Действительно, при увеличении температуры кристалла происходит возрастание числа фононов в кристаллической решетке, с которыми взаимодействует электрон проводимости при своем движении, что, в свою очередь, приводит к увеличению силы фононного трения и, естественно, к замедлению движения электрона. Это также можно рассматривать как увеличение массы электрона.

Для подтверждения этих рассуждений построим графики зависимости времени релаксации электрона от частоты и температуры (рис. 2).

Рассмотрим сначала рисунок 2А. Согласно этому графику, при увеличении частоты внешнего поля время релаксации уменьшается, достигая минимального значения в небольшой окрестности резонансной частоты. Это минимальное значение зависит определенным образом от температуры и определяется следующим уравнением

Рис. 2. Зависимости времени релаксации полярона большого радиуса от отношения частот ® ®у при различных значениях эффективной температуры кристалла - А и от эффективной температуры кристалла при различных значениях отношения частот ® ®у - В

л/ї+7* (У * -2)

(

Г і ЛЛ

+ л/1 - У * (У * +2)

І + сЛ

(51)

сЛ

V \Те/)

І

= 0.

х =

.1/2

V

1/2

где V = М3 - объем кристалла, а = е2и / 2бЙ® у

- безразмерная константа связи, характеризующая силу электрон-фононного взаимодействия,

м =

(2м®у / й)

/2

константа, имеющая раз-

мерность волнового вектора, найдем

тро1 = т

. а 1 + — • 12

1 + с&

V

йю / ^ 2Т

V ^ У У

т у

(53)

Для определения характера зависимости ^ * от эффективной температуры достаточно рассмотреть два предельных случая, а именно случай нулевой температуры и случай, когда Т/ >> 1. Нетрудно видеть, что в первом случае

второе слагаемое в (51) обращается в ноль, тогда мы получаем, что у* = 2 . Во втором случае можно пренебречь единицами по сравнению с гиперболическим котангенсом, что дает нам следующее уравнение

^1 + у * • (у * -2) + 71 - у * • (у * +2) = 0. (52)

Его решением является у* = 2 / л/3 » 1.15 . Это говорит о том, что при увеличении температуры значение частоты внешнего поля, при которой время релаксации минимально, смещается в сторону резонансной частоты. С точки зрения физического содержания наличие минимального значения у времени релаксации для определенной частоты внешнего поля приводит к тому, что электрон максимально тормозится на этой частоте, а это, в свою очередь, означает, что на него действует максимальная сила фононного трения.

Рассмотрим теперь зависимость времени релаксации от эффективной температуры, которая определяется рисунком 2В. Видно, что время релаксации с ростом эффективной температуры монотонно падает. Это означает усиление торможения электрона или, другими словами, как и в первом случае, увеличение силы фононного трения.

Таким образом, рисунок 2 полностью подтверждает рассуждения относительно частотной и температурной зависимостей эффективной массы полярона.

Сравним теперь полученные результаты со значением эффективной массы полярона, вычисленной на основе теории возмущений. Устремляя в формуле (22) частоту и температуру к нулю и учитывая, что константа электрон-фононного взаимодействия имеет вид [1]

/

— т

Полученное значение эффективной массы полярона в точности совпадает с квантовомеханическим расчетом данного эффекта по теории возмущений [1, 27]. Этот результат непосредственно связан с наличием двух механизмов фононного трения (см. формулу (9)). Отсутствие при определении эффективной массы полярона какого-либо из механизмов приводит к неправильному результату, что говорит о необходимости всегда учитывать их суммарный вклад.

Заключение

В данной работе на основе метода открытых квантовых систем предложен простой способ изучения динамики полярона большого радиуса, позволяющий с единых позиций определить характеристики электрона проводимости при любом значении константы связи а, характеризующей силу электрон-фононного взаимодействия.

В настоящей работе определены частотная и температурная зависимости эффективной массы полярона; показано, что учет флуктуаций фононного поля, которые являются неустранимым механизмом воздействия на динамику электрона, приводит к значению эффективной массы полярона, совпадающему с эффективной массой, вычисленной по теории возмущений.

На основе полученных результатов может быть определена и исследована динамическая восприимчивость рассматриваемой системы, вычислены частотная и температурная зависимости подвижности полярона, а также рассмотрена задача о взаимодействии полярона большого радиуса с акустическими фононами.

В заключение следует отметить, что метод открытых квантовых систем имеет большой внутренний потенциал и может быть применен к решению ряда задач в различных областях теоретической физики, где возможно разделение макроскопической системы на динамическую подсистему и оставшуюся макроскопическую часть - термостат. Применительно к проблеме полярона на основе этого метода могут быть рассмотрены задачи о динамике полярона малого радиуса, а также процесс образования спин-поляронов малого радиуса или квазиосцилляторов.

+

Список литературы

1. Поляроны / Под ред. Ю.А.Фирсова. М.: Наука, 1975. 423 с.

2. Rammer J. Quantum transport theory. Reading, Massachusetts: Perseus Books, 1998.

3. Боголюбов Н.Н., Боголюбов Н.Н. (мл.) Аспекты теории полярона. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 176 с.

4. Пекар С.И. Исследования по электронной теории кристаллов. Гостехиздат, 1951.

5. Feynman R.P., Hellwarth R.W., Iddings C.K., Platzman P.M. // Phys. Rev. 1962. 127. Р. 1004.

6. Lee T.D., Low D., Pines D. // Phys. Rev. 1953. 90. Р. 297.

7. Смондырев А.М. // ТМФ. 1986. 68. 1.

8. Davydov A.S., Enol’skii V.Z. // ZETF. 1988. 94. P. 177-181.

9. Волокитин А.И. // ТМФ. 1989. 80. 3.

10. Минлос Р.А. // ТМФ. 1992. 92. 2.

11. Карасев М.В., Перескоков А.В. // ТМФ. 1993. 71. 1.

12. Мухоморов В.К. // ФТТ. 2000. 42. 9.

13. Фирсов Ю.А., Кудинов Е.К. // ФТТ. 2001. 43. 3.

14. Мясников Э.Н., Мясникова А.Э., Мастропас З.П. // ФТТ. 2006. 48. 6.

15. Селютин А.Ю. // ФТТ. 2008. 50. 1.

16. Мясников Э.Н., Мастропас З.П. // ФТТ. 2009. 51. 5.

17. Кочетов Е.А., Смодырев М.А. // ТМФ. 1981. 47. 3.

18. Osaka Y. // Polaron State at Finite Temperature, Prog. Theor. Phys. 1956. 22. P. 437-446.

19. Овчинникова М.Я., Овчинников А.А. // ТМФ. 1971. 7. 1.

20. Балабанян Г.О. // ТМФ. 1982. 50. 2.

21. Горшков С.Н., Родригес К., Федянин В.К. // ТМФ. 1983. 56. 3.

22. Боголюбов Н.Н. (мл.), Плечко В.Н. // ТМФ. 1985. 65. 3.

23. Боголюбов Н.Н. (мл.), Киреев А.Н., Курбатов А.М. // ТМФ. 1986. 67. 1.

24. Спирина Е.Ю., Хрусталев О.А., Чичикина М.В. // ТМФ. 2000. 122. 3.

25. Ефремов Г.Ф. Стохастические уравнения для открытых квантовых систем: Учебное пособие. Горький: Изд-во ГГУ, 1982. 120 с.

26. Ефремов Г.Ф., Шарков В.В., Петров Д.А.

Квантово-статистическая теория радиационных эффектов без расходимостей // Актуальные проблемы статистической радиофизики (Малаховский сборник). Н. Новгород: ННГУ, 2007. Том 6.

С. 3-35.

27. Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников: Учебное пособие. Изд-во «Лань», 2008.

28. Эйнштейн А., Смолуховский М. Броуновское движение. М.: ОНТИ, 1936.

29. Мареева О.В. Дисс. ... к-та физ.-мат. наук. Н. Новгород: Изд-во НГПУ, 2006. 166 с.

30. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Статистическая физика. Т. 5, Часть 1. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. С. 437-448.

31. Ефремов Г.Ф., Смирнов А.Ю. // ЖЭТФ. 1981. 80. 1071.

PHONON DAMPING OF CONDUCTION ELECTRON AND POLARON EFFECT G.F. Efremov, D.A. Petrov, A.O. Maslov

The phonon damping of ionic crystal conduction electron and the related polaron effect are investigated on the basis of the theory of open quantum system and the effect of quantum space-time nonlocality. A statistical theory of the polaron effect has been proposed. The phonon damping force as well as frequency and temperature dependences of the large-radius polaron effective mass have been found.

Keywords: phonon damping, polaron effect, stochastic equation, polaron effective mass, large-radius polaron.

Физика твёрдого тела Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2010, 3(1), с. 54-60

УДК 537.9 + 539.534.9:535.37

АТОМНО-СИЛОВАЯ МИКРОСКОПИЯ ПОВЕРХНОСТИ ПЛЁНОК Al2Oз, ПОДВЕРГНУТЫХ ИОННОМУ ОБЛУЧЕНИЮ КРЕМНИЕМ И ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОМУ ОТЖИГУ

© 2010 г. А.И. Белов \ А.В. Ершов2, М.А. Кудряшов2, А.Н. Михайлов \

И.А. Чугров2, А.И. Машин 2, Д.И. Тетельбаум 1

1 Научно-исследовательский физико-технический институт ННГУ им. Н.И. Лобачевского 2 Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

ershov@phys.unn.ru

Поступила в редакцию 08.04.2010

Приведены результаты атомно-силовой микроскопии поверхности тонких плёнок А1203, имплантированных ионами 8і+, в зависимости от дозы облучения (54016-34017 см"2) и температуры последующего высокотемпературного отжига. Обнаружено формирование холмиков (хиллоков) и кратеров, размеры и поверхностная плотность которых зависят от дозы ионов и температуры отжига (700-1100°С). Происхождение холмиков связано с блистерованием газообразного кислорода, попадающего в плёнку в процессе напыления и/или освобождающегося при диссоциации оксида в процессе ионного облучения. Обсуждается связь результатов с люминесцентными свойствами имплантированных плёнок.

Ключевые слова: плёнка оксида алюминия, кремний, ионная имплантация, атомно-силовая микроскопия, хиллок, кратер.

Введение

Обнаружение интенсивной фотолюминесценции (ФЛ) в видимом и ближнем ИК-диапазоне системы нанокристаллов кремния (НК Si) в матрице диоксида кремния (или ЗЮгЖ-ЗГ), сформированной имплантацией ионов в SiO2 , а также

методами осаждения с последующим высокотемпературным отжигом (ВТО) (см., например, [1, 2]), стимулировало исследования системы НК Si в матрицах других диэлектрических материалов. Среди последних актуален оксид алюминия (Л1203), имеющий на частотах 10 МГц -10 ГГц (в рабочем диапазоне современных КМОП-интегральных схем) относительно высокую диэлектрическую проницаемость (к ~ 9) [3]. Будучи аморфным в тонкоплёночном исполнении и термически стабильным при воздействии большинства типовых процессов стандартной КМОП-технологии, оксид алюминия даёт резкую границу с кремнием с разрывами энергетических зон, близкими к таковым для системы Si/SiO2 [3, 4]. Плёночная система Л1203 с НК Si (или Л1203:пс-Si) обладает люминесцентными свойствами в красном / ближнем ИК-диапазоне [5]. Кроме того, система Л1203:яс^ привлекательна в качестве недорогого подзатворного диэлектрика с высокой диэлектрической проницаемостью для элементов флэш-памяти на основе МОП-структур с «плавающим» затвором [6, 7].

Наряду с изучением люминесцентных, структурных свойств и электропереноса в отожжённых ионно-синтезированных системах НК Si в Л1203 [8-10] определённый интерес представляет также изучение влияния облучения и отжига на морфологию поверхности наноструктур. Так, с помощью атомно-силовой микроскопии (АСМ) было показано, что формирование и рост НК Si в матрице SiO2 проявляется в «выходе» границ НК на поверхность с соответствующей модификацией микрорельефа [1113]. Установлено также, что имплантация в диэлектрические плёнки и кремний химически активных и неактивных ионов с разными энер-

15 17 2

гиями и дозами ~ 10 -10 см [14-17] может приводить к эрозии поверхности вследствие формирования блистеров и их вскрытия (образования кратеров). В данном сообщении представлены полученные методом атомно-силовой микроскопии данные о модификации микрорельефа поверхности плёнок Л1203 при ионнолучевом синтезе нанокристаллов Si и результаты обсуждаются в связи с люминесцентными свойствами плёнок.

Методика

Аморфные плёнки Л1203 толщиной ~ 150 нм были получены электронно-лучевым испарением в вакууме холоднопрессованных таблеток

А120з (ТУ 6-09-426-75) на установке ВУ-1А. Осаждение осуществлялось в атмосфере кислорода (с давлением 2-10"2 Па) при давлении остаточной атмосферы (6-8) 10-4 Па. Ток электронной эмиссии ~ 200 мА, а давление паров А120з ~ 810" Па. В качестве подложек использовались пластины Si (111) марки КДБ-0.005, температура которых в процессе осаждения поддерживалась равной 150°С.

Имплантация ионов кремния с энергией 100 кэВ и дозами в интервале 51016 + 31017 см-2 при плотности тока ионов, равной 5 мкА/см2, производилась на установке ИЛУ-200. После облучения образцы подвергались высокотемпературному отжигу в атмосфере осушенного азота при температурах 700, 900 и 1100°С в течение двух часов.

Исследование морфологии поверхности осуществлялось на зондовом микроскопе Solver Pro компании НТ-МДТ в неконтактной моде, резонансном режиме при частоте колебаний 260±60 кГц. Для обработки результатов использовался программный пакет SPMLab.

Контрольные измерения ФЛ образцов проводились в диапазоне длин волн 350-900 нм при возбуждении импульсным азотным лазером на длине волны 337 нм при комнатной температуре с использованием монохроматора SP-150 (Staford Research Systems) и ФЭУ Hamamatsu R928. Истинная форма спектров была восстановлена с учетом спектральной чувствительности оптической схемы.

Результаты и их обсуждение

Предваряя проведение исследования морфологии поверхности плёнок А120з, облучённых

ионами кремния и подвергнутых ВТО, были выполнены контрольные измерения их спектров ФЛ. Результаты этих измерений приведены на рис. 1. Эти спектры, в целом, согласуются с данными [9, 10] по ФЛ подобным образом сформированных структур А12О3:яс-81 толщиной 300 нм. Полосы ФЛ, наблюдаемые на части спектров при длинах волн менее 700 нм, обусловлены кислородно-дефицитными Р- и Р2-центрами [9, 10, 18]. Длинноволновая полоса в области 700-800 нм соответствует ФЛ от на-нокристаллических включений кремния [5]. Эта полоса вызывает наибольший интерес, поскольку ионная имплантация 81+ в оксид обычно производится с целью её формирования. Как и в [5, 8, 10], интенсивность полосы немонотонно зависит от дозы. Она максимальна при дозах 51016-1 • 1017 см-2. Рост интенсивности излучения вызван возрастанием числа НК 81 без существенного изменения их среднего размера. Спад при увеличении дозы до 31017 см-2 наблюдается и в случае системы 8Ю2:яс-81 [1, 2]. Однако если для системы 8Ю2:яс-81 спад сопровождается объяснимым с точки зрения теории размерного квантования «красным» сдвигом, связанным с коалесценцией НК 81, в нашем случае такой сдвиг отсутствует. Ниже мы вернемся к обсуждению этих данных.

Рассмотрим результаты изучения микрорельефа поверхности образцов методом атомносиловой микроскопии. На рис. 2 приведены «трехмерные» АСМ-топограммы поверхности необлучённой и облучённых 81+ плёнок А12О3 (не подвергнутых отжигу) в зависимости от дозы облучения, а в табл. указаны средние значения параметров микрорельефа поверхности облучённых пленок при различных дозах как без

AI.O^SlMlOO "С____________________________________ AlgO^Si* (1 ю" cmj)

Длина волны, нм Длина волны, нм

Рис. 1. Спектры ФЛ плёнок А12О3 после напыления (исходная), имплантации ионов кремния до и после отжигов: а - случай разных доз облучения и одной температуры ВТО при 1100°С; б - случай одной дозы облучения (1'1017 см-2) и разных температур отжига

отжига, так и после ВТО (700-1100°С). Там же приведены соответствующие «двумерные» АСМ-изображения (25*25 мкм).

Из рис. 2а следует, что исходная (необлу-чённая) плёнка А1203 характеризуется относительно гладкой поверхностью. Неровности имеют вид дискообразных выступов или холмиков (хиллоков) со средней высотой 20 нм, средним латеральным размером 430 нм и средней плотностью 1106 см-2. Согласно нашим предыдущим исследованиям [19, 20], их можно считать типичными для данного вида пленок. Мы объясняем эти особенности рельефа как наследуемые от поверхности подложки кремния, но с учетом увеличения размеров неровностей с ростом толщины плёнки, что прослеживается в работах [12, 19, 20]. Увеличение размеров можно объяснить наличием локальных упругих напряжений в подложке, например в местах выхода дислокаций и микродефектов. Напряжения приводят к стягиванию материала в эти участки за счет восходящей диффузии к ним осаждаемых молекул в соответствии с принципом уменьшения свободной энергии. Таким образом, холмики «декорируют» исходные дефекты. Декорирование дефектов особенно наглядно демонстрируется рис. 2в, где видны прямолинейные «просеки», очевидно, связанные со следами царапин на поверхности под-

ложки (см. также средний скан верхнего ряда в табл.).

Как видно из рис. 2 (б—г) и табл. (верхний ряд), облучение Si+ уже в отсутствие отжига приводит к образованию на поверхности многочисленных холмиков (hillocks), средняя высота и поверхностная плотность которых существенно больше, чем для необлучённой плёнки. В литературе приводятся многочисленные данные о формировании холмиков при ионном облучении твердых тел (см. [21] и ссылки там). Однако эти холмики, как правило, образуются при наклонном облучении, в определенном интервале углов падения ионного пучка. Образование таких особенностей рельефа объясняют неустойчивостью исходной (квазиплоской) поверхности по отношению к процессам распыления при наличии поверхностной диффузии. Неровности при этом чаще всего имеют вид гряд (ripples), перпендикулярных или параллельных проекции пучка ионов. В нашем случае облучение проводилось перпендикулярно к поверхности, а распределение холмиков в целом хаотично. Картина рельефа более напоминает блистеры, характерные для случаев ионного облучения газовыми ионами [14-16]. Хотя ионы Si+ не относятся к газовым, роль газа при блистерообразовании может играть кислород. Существуют два источника газообразного кислорода. Во-первых,

г

Рис. 2. «Трёхмерные» АСМ-изображения неотожжённых плёнок Al2O3, облучённых ионами Si+ с дозами, см-2: а - 0; б - 51016 ; в - 11017 ; г - 31017

Таблица

Типичные АСМ-сканы поверхности пленок А12О3, подвергнутых облучению 8Г+ при разных дозах, без отжига и после отжигов при температурах 700, 900 и 1100°С 1)

1) Числа, приведенные над сканами, означают соответственно: средние высота и латеральный размер (нм) холмиков, их средняя поверхностная плотность (107 см-2). В случае бимодального распределения размеров холмиков приведены средние размеры для каждого типа (разделены косой чертой).

поскольку плёнки наносились в среде кислорода при относительно высоком его давлении, молекулы газа попадали в растущую плёнку и «замуровывались» в ней. Во-вторых, облучение оксидов, в том числе А1203, приводит к диссоциации [22]; освободившийся кислород за счет

радиационно-ускоренной диффузии может собираться в пузырьки, а затем, как и при имплантации газовых ионов, формировать блистеры. В пользу блистерообразования свидетельствует то, что при большой дозе (3 1017см-2) внутри холмиков образуются кратеры, характерные для