Влияние спиновых состояний локализированного электрона на эффект увеличения одномерных электронов при фотоионизации d(-)-центров в квантовой проволоке Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.23; 539.216.1

В. Д. Кревчик, А. В. Разумов, Е. В. Грозная

ВЛИЯНИЕ СПИНОВЫХ СОСТОЯНИЙ ЛОКАЛИЗИРОВАННОГО ЭЛЕКТРОНА НА ЭФФЕКТ УВЕЛИЧЕНИЯ ОДНОМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ ПРИ ФОТОИОНИЗАЦИИ #()-ЦЕНТРОВ В КВАНТОВОЙ ПРОВОЛОКЕ

В работе проведено теоретическое исследование влияния спин-орби-тального взаимодействия на эффект фотонного увлечения (ЭФУ) электронов при фотоионизации Д(-'-центров в полупроводниковой квантовой проволоке в продольном по отношению к ее оси магнитном поле. Показано, что учет спиновых состояний приводит к модификации спектральной зависимости ЭФУ, связанной с размерно-квантованным эффектом Зеемана, и к зависимости порога примесного поглощения от гиромагнитного отношения

Введение

Эффект фотонного увлечения (ЭФУ) обусловлен импульсом фотонов, передаваемым в процессе поглощения электронной (дырочной) подсистеме. Учет импульса света приводит к асимметрии в распределении носителей заряда в пространстве квазиимпульса, т.е. к образованию тока увлечения (ТУ). ЭФУ двумерных электронов при оптических переходах между размерноквантованными состояниями гетероструктуры теоретически исследован в [1], где показано, что этот эффект при определенных условиях может быть достаточно велик. В работе [2] рассмотрены вклады межподзонных и междузон-ных оптических переходов в ЭФУ дырок в бесконечно глубокой яме полупроводника. Понижение размерности при переходе 2Б ^ Ш должно приводить к существенным изменениям физических свойств квантовых структур. В частности ожидается более кардинальная модификация локальных электронных состояний, а также появление особенностей в спектре примесного поглощения света, связанных со спецификой одномерных электронных состояний. Проблема управляемой модуляции энергии связи примесных состояний [3] и соответственно управления энергиями оптических переходов [4] стимулирует исследования магнитооптических свойств структур с квантовыми проволоками (КП). Показано [5, 6], что приложенное вдоль оси КП магнитное поле В может существенно изменять латеральный геометрический конфайн-мент. Поэтому, варьируя В, можно изменять геометрический размер системы и, следовательно, управлять ее оптическими свойствами.

Цель данной работы - исследование влияния спин-орбитального взаимодействия на эффект увлечения одномерных электронов при фотоионизации ^()-центров в продольном магнитном поле.

Волновая функция и энергетический спектр ^()-центра в КП во внешнем магнитном поле с учетом спин-орбитального взаимодействия

Рассмотрим КП, находящуюся в продольном по отношению к ее оси магнитном поле. Будем считать, что КП имеет форму круглого цилиндра, ра-

диус основания Ь которого значительно меньше его длины Ьг (Ь □ Ь2 ). Предполагается, что ^(-)-центр расположен на оси КП. Векторный потенциал магнитного поля выбирается в симметричной калибровке:

А = (-£ р8Іпф/2, В р008ф/2, 0).

(1)

где В - магнитная индукции; р, ф, г - цилиндрические координаты.

Для описания одноэлектронных состояний в КП используется потенциал конфайнмента в виде осцилляторной потенциальной ямы:

ТЛ/ Ч т 2 2

V (р) = — ЮоР .

(2)

Уравнение Шредингера для одноэлектронных состояний в случае, когда ось Ог направлена параллельно магнитному полю В, запишется в виде

Г

(

2т

1 ЭТ Э2 Т 1 Э2 Т Э2 Т ^

Р Эр Эр2 р2 Эф2

Эг

і й ©в ЭТ 2 Эф

т

(

2 ЮВ

ю0 + —В 0 4

V

р 2 Т ±vBgBТ- ЕТ = 0,

(3)

где Юв = |е|В/ т* - циклотронная частота, |е| - абсолютное значение электрического заряда электрона; MвgB - энергия спинового магнитного момента электрона (знак «+» - спиновый магнитный момент направлен параллельно напряженности магнитного поля; знак «-» - спин антипараллелен В); ^в -магнетон Бора; g - гиромагнитное отношение.

Решение уравнения (3) будем искать в виде

Т(р,ф,г) = С/(р,г)7(ф)\|/$ , (4)

где С - нормировочный множитель; /(р,г) = /7 (г)/р(р) - координатная

часть волновой функции; У (ф), ^$ - угловая и спиновая части волновой

функции.

Необходимо учесть, что волновая функция (4) должна быть собственной функцией оператора проекции полного момента J на ось г:

= 4 + $7 , (5)

где Ь и $ - соответственно орбитальный и спиновой моменты электрона;

Ь7 = -ій—;

7 Эф

(6)

$7 = - °7 = Й

1 0 '

2

0 -1

V 2 у

(7)

*

где сг - ^-компонента спиновых матриц Паули. Учитывая выражения (5)-(7), получим

( ■ д 1 0

—-----1— О

дф 2

Jz = й

0

_ _Э_ 1 Эф 2

(8)

Собственные функции этого оператора имеют вид

Ym, +1/2 (ф)-

>/2л

V

exp

і(j +1/2) , (9)

exp i{mj -1/2) exp i[mj + 1/2)

где знак «-» в показателе экспоненты берется, когда спин направлен параллельно оси Оz; знак «+» - когда спин антипараллелен оси Оъ; mj = m + s;

m = 0, ±1, ±2,...; s = ±1/2.

Проверкой легко убедиться, что Ym,+ 1/2 [ф) действительно является

собственной функцией оператора Jz: JzYm + 1/2 [ф) = hm,-Ym,+1/2 [ф). По-

J ^ J

этому величина hmj есть собственное значение оператора проекции полного

момента J на ось z.

С учетом (9) уравнения, определяющие координатные р- и z-составляющие волновой функции, запишутся следующим образом:

--^~~2 fz (z) = Ezfz (z); d0)

2m"

1_d_ p d p

2m dzz

d2 (m,- +1/2)

fp(p) + difp(p)_1 j 2 ^ fp(p)

\

d p2

p

(11)

йю_д (mj + 1/2)

fp (p) ± M1ВgBfp (p) + Ezfp (p) _ Efp (p) = 0

2 •'pv^-^^pv^ ^zJ p'

Решение уравнения (10) приводит к результату

fk (z) = Сг exP(ikz) .

Вводя обозначения

i , /

2m

й2

E_Ez ±цвёв_

ЙЮд (т, +1/2)

= к2

(12)

(13)

и выполняя замену переменной ^ = р2/(2а0), из формулы (11) получаем уравнение гипергеометрического типа:

(^2, _|2 К+ 1/22 ^

2е 4 4

*т/(5)+1/)+ ,

Решение данного уравнения имеет вид

/ (£) = О. (14)

ту +1/2|

/и, т, (Р) =

пГ( +1/2 +1) ( р2 ^ 2 ( р2

Г (( +1/2 + п +1

ч 2а2 у

ехр

4а

1

ту +1/2 Ьп '

2

V“-1 у

2а{

. (15)

где п = О, 1, 2...

Окончательно после вычисления нормировочного множителя волновая функция (4) будет иметь вид спинора следующего вида:

( 1

1

2па1

(п + 1/2 — ту (

п!

х

2па1

(п + 1/2 + ту)!

и!

х

ту —1/2

х

( 2 V 2 р 2 2а2

\т,- —1/2

т\ 1 I

2а2

\ту+1/2

х

V V 2

ч2«12у

\т,- +1/2 Т\ у \

ч 2«12 у

4а2

4а!2

(16)

или

¥± / (, ф, г ) = +——

п, ту,И ’ 2па,

(п + 1/2 + ту (

п!

|ту+1/2

2 ( ¿_ Т 2

ч2а2у

х ехр

4а12

ту +1/2

Ь 1 I

2а2

ехр 7

(7 ту +1/2 ф)ехр(7кг), (17)

V —I; у

Энергетический спектр запишется как

+ —п\—, ■ - ~ , I2

Е± 1

^п, т, к

ЙюВ (ту +1/2) |2 , . . > |2 к2

1 -^г[2п + (у +1/2 + 1| +------------^±^в^в. (18)

' * * ' О Т/1/1

- + ■

2т а{

х

В рамках формализма функций Грина можно получить выражение для волновой функции электрона, локализованного на короткодействующем потенциале ^(0)-центра. Пусть ^()-центр расположен в точке Яа =(ра, фа, га). Потенциал примеси моделируется потенциалом нулевого радиуса мощностью у = 2лй2 / —т ), который в цилиндрической системе координат имеет вид

^5 (Р, ф, г; р а, фа, га ( =

= ^8(р — ра )§(ф — фа )8(г — га)

1 I \д / \д

1 + (р — ра )-----+ г — га )—

^ ^а> др ^ а> дг

(19)

где а определяется энергией Е7 связанного состояния этого же ^()-центра в массивном полупроводнике; 8(х)- дельта-функция Дирака.

В приближении эффективной массы волновая функция

т(±) (р, ф, г; ра, фа, га) электрона, локализованного на короткодействующем

ЛВ

потенциале, удовлетворяет уравнению Шредингера

(В — Н )'Г1±В> (, ф, г; р а, фа, га ) =

= ^8 ( Ф, г; р а , фа, га )( Ф, г; ра , фа , га ), (20)

где Е1^в =_Й2X / —т-) - собственные значения оператора Гамильтона

НВ = Н + V8(p, ф, г; ра, фа, га ).

Одноэлектронная функция Грина к уравнению Шредингера (20), соответствующая источнику в точке ?1 = (1, ф1, г1) и энергии Е^в , запишется в виде

б±(р, ф, — , ф1, г1; ЕХкв ) =

+Г _ ¥±*т,., к (1, ф1, г1 ))±, ту, к — ф, г)

= | ^ Е — (——-----------------------у)--------. (21)

—го п, т, 5 [Е1Хв Еп, т, к)

Уравнение Липмана-Швингера для ^()-состояния в КП с параболическим потенциальным профилем при наличии продольного магнитного поля запишется как

+^ 2л ^

—, ф, г; ра, фа, га )= ) р^ р^ —, ф, г;р1, ф1, г^ Ех)х

А, В

—^ 0 0

х^(ръ Фl, г1; ра, фа , га ) ) К ф1, г1; ра, фа, га ). (22)

Подставив уравнение (18) в (21), получим

Чд (, Ф, г; ра , фа , га ) = ) (, Ф, г^а , фа , га ; Е1ХВ ) х

где

х—)(ра, фа, га; ра, фа, га ), ^1ТХд )(ра, фа, га; ра, фа, га ) =

(23)

Нш

р^ра ф^фа г^га

1 I \д I \д

1+р—ра )р+Е—г» ^

ЧВ — Ф, г; ра, Фа, га ). (24)

Действуя оператором Т1 на обе части соотношения (23), получим уравнение, определяющее зависимость энергии связанного состояния Е1 Хд

^()-центра от параметров КП, положения Яа =(ра, фа, га) примеси и величины В магнитной индукции:

Л

а = -

2гсГ

т

'(0 )(ра, фа, —а, ра, Фа, г°; Е1^В )

(25)

Используя явный вид одночастичных волновых функций (17), а также уравнение (18), для функции Грина будем иметь

о-

: (р, Ф, г, ра, Фа, га; Е1ХВ ) = -^ехР

' В' а24я

2 2 ра+р2

4а2

| ёкехр[7к(г — га)]х

х

Е

п!

(п + 1/2 + ту)!

т.-+1/2 ( р2 Л хЬп '

—1

( Л

рар

2 а

Л г

ту +1/2

\т,- +1/2 Т\ 1 I

•*-'и

( .2 Л

2а2

х

ехр

ту +1/2

(ф —Фа)

х

(

х

ЙЮв —у + 1/2) I2

В

I2 к 2

—

.(26)

2 2т*а1 х 1 ^ 17 2т"

Функцию Грина (26) будем искать в единицах эффективного боровского радиуса аё = 4л£0£Й2/(т* |е|2), где £0 - электрическая постоянная; е -статическая относительная диэлектрическая проницаемость полупроводникового вещества КП, и эффективной боровской энергии Е^ = I2 /(2т аё). Воспользуемся соотношением

*

( ЙЮо (щ ; + 1/2] й2 і2 7 2 ^

Е1Ав 2-_ * 2 (2п + ( +1/2 + 1)“~ ) + ^ВёВ

В

г\ * 2

2т а1

2т

Е1Х

В

ЙЮв (ту + 1/2)

X

Й (п + \ту +1/2 +1)+ Й ±Цв&В

2т*

о * 2

2т а1

х ехр

тогда выражение (26) можно представить в виде

Ф, г, ра, Фа, га; Е1ХВ ) =

Р

(27)

4я2а1 Еа

ехр

2 2 ра+р2

4а?

+^>

X

о

п!

Рл2в + »' + Рк 2аз ±ЙВ^ '

X

КХГ _

п, т 5 (п + |ту + 1/2 )!

( 2 ^ Ра

2а2

\т. +1/2 Ьп '

2а2

ех

р [-2п^ґ ]х

х

/ \\ту +1/2І

РаР

2а12

ехр

- ту +1/2 м>і

ехр

(і(ф-фа)-Ра* 2ґ)ту +1/2^

где Р = Её /(йшо ) = Ь* /(4^0* ) ; Ь * = 2Ь/аа ; и* = Ц,/Еа ; Л2В = л/ї^

В

(28)

/ Её;

^ = л/1 + 62а* 4 ; а* = ав / а^ .

Вычисление сумм приводит к следующему выражению для функции

Грина о± —, Ф, г, ра, Фа, га; Е1ХВ ):

о-

(, ф, г, ра , фа , га ; Е1Хв ) '

—

+^>

- | ехр

22 к 2Тр

3 0

t + *

4Ра2

х

х^-р-ехр \-2wt ]) 1ехр \t

х ехр

-ехр

7 (ф —Фа ) —Ра* t

(р2 +р2) (1 + ехр — 2—]) 4Ра2 (1-ехр — 2— ])

рар- ехр [— — ]

х

х ехр

-ехр

—7(ф —Фа ) + Ра* 2t

Раа (1“ехр[— 2—]) ра р— ехр [—]

Р°2 (1-ехр [-2— ])

(29)

Для выделения в выражении (29) расходящейся части воспользуемся интегралом Вебера:

х 2 ехр

р_

2 х

цх

, л/2к

ах = . . ехр

М

л/2ц|р|], Яе(р2 )> 0,Яе

, (30)

который в принятых здесь обозначениях имеет вид

3

I t 2 ехр

0

(р — ра Г- + — — Г —(Р^2В + - ±ц В&Л

4$аё t

Еа

а =

2^1Краа (\1 (р —ра )2 - + (г — га )2

—1

х

х ехр

(Рл2в+-Л Еа

((р —ра )2 - + (г — га )

Раё

(31)

Тогда выражение (29) для функции Грина запишется как

-1

-X

"Т і

lTt ехр

22 п 2 Eda3dJ$

< P* + w ±“ BgB 11 > - Z“)2 ^

Ed

t + ■

4Pa2t

2w (l - exp [-2wt]) 1exp

(pa +p2 )w (1 + exp—2wt]) 4^a2 (l-exp [-2wt ])

x exp

2|eXp

i(ф-фа )Pa* 2t + exp -i(ф-фа ) + Pa* 2t

„*-2,

, PaPW exp [-Wt] Pa2 (exp—2wt]

1

-- exp

(P - Pa )

w

4Pa21

dt +

+2VnPad U(p - Pa )2 w + (z - za )

-1

x exp

P^B + w ±^f~ 1 ((P-Pa )2 W + (z - za )2 )

Ed P '

Pad

(d2)

Подставляя выражение (32) в (25), получим уравнение, определяющее зависимость энергии связанного состояния Е^д —1Хв < 0) от положения

Яа =(ра, фа, га) 0()-центра, параметров КП и величины В магнитной индукции:

\

л2в+P-1

= п

f W ±^Sl1

V Ed у

(

X

VnP 0 4t

— - w(1-exp —2wt]) 1 exp

P^ib + w ±

2t

VbSb

* 2 Pa W

X

X

x|l + exp [-2wt]-| exp -Pa* 2t + exp Pa* 2t j exp [-wt]jj j dt, (33)

где ^2 = \Et | / Ed - параметр, характеризующий энергию связанного состояния Ei того же ^()-центра в массивном полупроводнике; р* = pa /ad .

Волновая функция электрона, локализованного на короткодействующем потенциале ^()-центра в КП только множителем отличается от одноэлектронной функции Грина. Запишем функцию Грина (29) в виде

—, ф, г, ра, фа, га; Е1Хд ) 3 °0 (, ф, г, ра, фа, га; Е1_д ), (34)

а ЙШ0

здесь О0 —, ф, г, ра, фа, га; Е^ ) - безразмерная функция Грина.

Тогда для волновой функции —, Р, г; ра, Фа, га), отвечающей двум

различным спиновым состояниям локализованного электрона, будем иметь

ф, г; Ра, Фа, га ) =

СВОо (, ф, ( ра, фа, га; Е1А

\

СВ°о (, ф, (, ра, фа, га; Е1А

В

В, у

(35)

где С± - нормировочный множитель.

Проведем вычисление СВ для случая, когда Е1 хв < 0, следующим образом: 2К+^+^,

рё рdzd ф = 1,

(36)

учитывая, что согласно определению функции Грина

К

КВ

+^>

X

ъ

X

X

ъ

(р, Ф, г; ра, фа, га ) = (СВ ) а4 | ё (ка) | ё (к'а )><

—^ —^>

Кп, т, к (ра, фа, га )Кп, т, к (р, ф, г )

Є1Ав + (тту +1/2^(За 2 + ^(п + |ту +1/2| +1) + раёк2)

Кп, т , к' ( ра, фа, га ) Кп', т , к' ( р, ф, г )

2 к/2 ± ЦВёВ Её

,(37)

п ,т |е1АВ + (ту +1/2)а* 2 + ^(п + ( +1/2| +1) + $аёк получим

2 +ТО +ГО 2Я+^+^

(сВ±) а4 | ё(ка) | ё(к'а)| | | рёрёгёфX

=ъъ

—^ —^ о —^ о

Кп, т, к (ра , фа , га )Кп, т, к (р, ф, г)

п ,т І Є1АВ + (у + 1/2)Ра* 2 + ^(п + ( +1/2 +1) + За2к

-X

X-

Кп', т , к' ( ра, фа, га ) Кп', т', к' ( р, ф, г )

е1АВ + (ту +1/2)Ра* 2 + ^(2пг + ( +1/2| +1) + За2к

2 к'2 ± Цв.?В Её

= 1,(38)

где е1ХВ = |Е1Хв|/(й®0).

С учетом того, что одночастичные волновые функции (17) образуют систему ортонормированных функций

+^ 2К+^

||| ра ра Фёг¥ ±*ту, к (Р, Ф, г )¥±, т,, к —, Ф, г ) = 8п', п 5т', т8(Р — к'), (39) —^ 0 0

где 5/' I - символ Кронекера, условие нормировки (36) запишется как

X

ъ

V ту, к (ра, фа, 7'а )

е1АВ +(ту + 1/2)Ра* 2 + ^(п + |ту +1/2| + 1| + Ра2к2 ±

2 к2 ± ЦВёВ

X

I

:(СВ)2 а5 Ъ ¥±, ту , к (ра, фа, *а)

п, т

ё(ка) □

X

■ = 1. (4о)

е1АВ + (ту +1/2 )а* 2 + ^ (п + |ту +1/2| +1) + Ра;2к2 ±

Интеграл в выражении (40) можно представить как

( в Л

| а (ка) £1х в +1/2) Ра*—2 + — —п + |ту +1/2| + 1| + Р«2 к2 ±

= л (

= ^. в результате получим

^1АВ + (тту +1/21Ра 2 + ^(2п + |ту + 1/2| + 1

Ц В&В

а5 X

(41)

—СО

—СО

3

X

V ту,к(ра, фа,2а)

= 1(42)

21 2 ± ЦВёВ

е1АВ + {ту +1/2)Ра* 2 + w(п + (у +1/2| +1) + Ра;2к2 ±

Выражение для безразмерной функции Грина для случая Е^в < 0 можно записать в следующем виде:

°0 (р, ф, г, ра, фа, га; £1Хд ) =

= ~а 2 | ё (ка )Е <*т,, к (ра, Фа, га К, т1, к (р, Ф,г)х

X

^1АВ + (ту +1/2^Ра 2 + w(2п + |ту + 1/2| + 1) + Раёк

2 к2 ± ЦВёВ

± Её

. (43)

Нетрудно заметить, что вычисление производной приводит к следующему результату:

ЭО± , +~

Э(Ё1Ав ) (ра , фа , ( , ра , фа , га ; е% ) = ) | ё (ка)

X

X

¥ п, ту, к (ра, фа, га)

^1А В + (ту +1/21 Ра + w (2п + |ту + 1/2| +1) + Ра^2 к

2 к2 ± ЦВёВ ± Её

2

(44)

С учетом значения интеграла (4о) выражение (44) примет вид

О

)ра, фа, (а, ра, фа, га; £1^в ) =

^(е1А В )

.- а Ъ ¥ и, т., к (ра, фа, га )

» и

X

е1АВ + (ту +1/2)а* 2 + w(2п + (у +1/2| + 1)

Ц ВёВ 2 Её ,

(45)

Подставляя выражение (45) в условие нормировки (43), получим выражение для нормировочного множителя СВ волновой функции связанного состояния ^()-центра в КП, находящейся в продольном магнитном поле с учетом спина локализованного электрона:

3

с± =

3 1 эа±

,3 0

22 Р 2 «3-

'(ш)

(46)

Рассмотрим случай, когда 0( -'-центр расположен на оси КП (Ла = (0, 0, ха . Вычисление производной в выражении (46) дает следующий результат:

(za’ za; Лш )=--------^ j ^exP

л/2к2

r

x(l - exp [-2wt]) 1 dt = 3 Р C

2 Kyfw

Рлів + w ±^Л

Ed J

x

3 Рл2п в±^ 1 3_____________E^_+1

2 2w 2

(47)

Таким образом, для В( -'-центра, находящегося на оси КП, нормировочный множитель запишется как

3 1 - 3 - 3 1

Cg =24к2Р 4а,2w4

1

' 3 '

1 кГЧ 2’ 1

Рл2в ±^#

(2w )-1 + 2

(48)

а волновая функция связанного состояния будет иметь вид

1 _3 _3 5

)(Р’ Ф’z'; z« ) = 24 к-1р 4асі2w4

C

' Рл2в±^

3 1B Ed +1

2 2w 2

x

+^>

x j -^=exp

І Vt

Рл2в + w ±begB 11+i(-Zol

Ed

4padt

(1 - exp[-2wt]) 1 x

x exp

(49)

p2w (1 + exp[-2wt])

4Рad (1-exp[-2wt])

здесь ) (p’ Ф’Z; ) = vlQW) (p’ Ф’z;0’0’ za ) •

Волновая функция электрона, локализованного на ^(0)-центре, расположенного в произвольной точке Rа =(ра, Фа, za) КП, помещенной в продольное магнитное поле, с учетом спина запишется как

1

5 1

22 я3р2ц~2а\ -

V ^, ^Ра, Фа, 2а ) = ?(л2в)

(Ра,

фа, 2а, ра, фа, 2а; Л1В

X

X Г Л^ехр

I *

'' Рл2в + ц В*« 1. .(2 - )2 '

t + ■

4Ра^

(1 - ехр [-2Ц ]) 1 X

X ехр

(ра +р2)ц (1 + ехр[-2wt]) 4Ра^ (1 - ехр [-2wt])

X

X ехр

2|еХР

, ч *__2 , ч *__2

7 (ф-фа )-Ра t + ехр -7(ф-фа ) + Ра t

*-2.

X

, РаРц ехр [-wt ] Ра^ (1 - ехр [-2wt])

(50)

Расчет матричного элемента оптического перехода электрона из основного состояния .0(-)-центра в гибридно-квантованные состояния полупроводниковой квантовой проволоки

Рассмотрим эффект фотонного увлечения электронов при фотоионизации ^()-центров в полупроводниковой КП, помещенной в продольное по отношению к ее оси постоянное и однородное магнитное поле.

Примесный ЭФУ одномерных электронов в КП обусловлен поглощением света с волновым вектором = (0,0, д 2) единичным вектором поляризации ё^ {.

Эффективный гамильтониан Н ()« взаимодействия с полем световой волны в присутствии продольного магнитного поля В определяется выражением

Нт>в =-7Й^

/2лй2а*

*2 т ю

10 ехр(д^)x

(

X

/ \ Э 1 , ч Э ЦёВ . .

008 (0-ф)----+ — 81П (0-ф)--------Ы—Р 81П (ф-0)

Эр р Эф 2Й

Л

(51)

Волновая функция электрона, локализованного на короткодействующем потенциале ^()-центра, расположенного в точке Яа = (0, 0,2а) КП, имеет вид (49).

Так как рассматривается случай сильной локализации примесного электрона ( л/2А, ва1 >> 1, X в2 = 2т* / Й2), одноэлектронные состояния

в продольном магнитном поле в КП не искажаются потенциалом примеси. Тогда невозмущенные примесями одночастичные волновые функции имеют вид (16).

С учетом формул (17), (49) и (51) выражение для матричных элементов мд, х в , определяющих оптические переходы электрона из основного состояния ^()-центра (Яа = (0, 0, 2а)) в гибридно-квантованные состояния (16) КП (к = к 2), можно записать в виде суммы двух слагаемых:

М/, X в = ї1 + ї2

(52)

где

її = -іКк^

2лй2а* т

----;—ї0 х

*2 0 т ю

х

Х^и*т, кг (P, ^, г^ ^ Ф’ г; ^ )Х

( д 1 д ^

ехр\iqzz] 008(0-ф)—+ — вій(0-ф)—

I др р дф

(53)

Т Л 2яа т йюв

ї2 = -^и---------10—2в х

V ю 2

Х(¥

±*

п, т, к5

(р, ф, г)|ехр[iqzz]рвій(ф-0Х^я±) (р, ф, г; )

(54)

где Хо - коэффициент локального поля; а - постоянная тонкой структуры с учетом статической относительной диэлектрической проницаемости є материала КП; їо - интенсивность света; ю - его частота; 0 - полярный угол единичного вектора поперечной поляризации в-^г в цилиндрической системе

координат; юв = |е|В / т* - циклотронная частота; |е| - абсолютное значение электрического заряда электрона.

При вычислении слагаемого її появляются интегралы следующего вида:

2я

вій (ф-0)

§т, +1/2,1 +§т, +1/2,-1

(55)

і ^ - кг )г -('4Л^

4Р«2 г

(56)

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

где Р = 1* /1 4^Ц* ]; I* = 21 / а^ ; ай - эффективный боровский радиус;

С/О = С/о/ Ей; Со - амплитуда потенциала КП; Ей - эффективная боровская энергия.

Далее приходим к следующему результату для її:

11 1

її = 2 4 іХоп2 ехр(+і0)а їо Е^а<2Р 42^4 х

3 115

х

С

( 2 В ^

рЛ1В ±^В § — .

з________________Е^+1

2, 2^ 2

х

х(п + 1)2 ехр[і (qz - кг )а ] х

РЛіВ ± ЦВ+ (2п + 2) + Ра2 ((г - кг )2 Ей

Рг1Ш ±Ц В +(2п + 1)^ + Ра2 ((г - кг )2

Ей

Рг\\В ±ЦВ+ (2п + 3) + Ра2 {(г - кг )2 Ей

(57)

Д/ЖР

где ^ = \11+ Р2а*-4 ; а* = ав /а^ ; ав - магнитная длина; С(у)- обобщен-

2

ная дзета-функция; Г|1 в = Для ї2 имеем

11 1

Е1 В / Ей .

ї2 = 2 4 іХоп2 ехр(+і0)а їо Е^а|2Р4а* 2Хг2^4 (п + 1)2 х

3 3

1 5

хехр[і( - кг )га ]х

ю

(

С

2 в ^

РгІ1В ± ЦВ§ —

3_______________Е^+1

2’ 2^ 2

х

х

РЛ2В ±ЦВ+ (2п + 1)^ + Ра2 ((г -кг )2 Ей

х

Рг1в ±цВ+ (2п + 3) + Ра2 ((г - кг )2 Ей

С учетом выражений (57) и (58) для матричных элементов Mqf г рас-

J,Л B

сматриваемых оптических переходов будем иметь

11 1 M^f Хв = 2 4 г'Х о Я 2 exp (+70) X

3 115 !

* т

а I,

—

°Edadp 4Lz2 w4 (" +1)2 exp[ (qz -kz )za ]x

x

( 2 в ^

рЛш ±Цвg-TT л

3____________E±+1

2’ 2w 2

x

x

Рл2в ±цВgE~ + (2n + 2)w + Pa2 (qz - kz )2 + (' + V2)pa 2

x

x

x

рл2в ± ц в g^+(2n +1)w+pa2 (qz- kz )2 Ed

Рл2в ±ц в g~+(2n + 3)w + р«2 (qz- kz )2 Ed

-1

-1

(59)

Квадрат модуля матричных элементов формулы (59) запишется как

-1

15

1

Mqf,

J ’Л в

2 * т

= 22 ^ а—0а5е2р2L-lw2qz ю

( 2 в ^

рЛів ±Цвg.

3________________Е±+1

2’ 2w 2

x(n +1) kz

в

рЛш ± Цв g^ + ( + 2) w + Ра2 k Ed

2/ .2

в

рЛш ± ЦвgTT“ + ( + 1) w + padk Ed

2, ,2

x

1

в

РЛШ ±ЦвgTT~ + (2n + 3)w + Ра2k Ed

РЛш ± ЦВgEr + (2" + 2) w + ( +1/2)Ра* 2 + pa2k

x-1

x

РЛв ± ЦвgE~ + (2" + 2)w + ( +12)Ра* 2 + Ра2k

x

в

РЛш ±ЦвgT~ + ( + 1)w + Ра2k Ed

2, ,2

1

х-

1

В

N2 ’

(60)

РЛіВ ±ЦВТ“ + (2п + 3) + Р^2к Еа

2 и 2

здесь

( +1/2 ) = ±1.

Ток увлечения при фотоионизации ^центров в продольном магнитном поле с учетом спиновых состояний примесных электронов

Вычисление тока увлечения (ТУ) при фотоионизации ^(-)-центров, в КП основано на кинетическом уравнении Больцмана, записанном в приближении времени релаксации. Генерационный член этого уравнения определяется квантовыми фотопереходами носителей с ^(-)-центра в гибридноквантованную зону, которые рассчитываются в линейном по импульсу фотона Й щ приближении.

В режиме короткого замыкания плотность ТУ электронов у(ю) в КП, помещенной в продольное магнитное поле, имеет вид

+^

, . И-^0 г

І (ю) = —Т^2 ] агап-кх

х £ 9 Йю — Еа в

п, +

2я Й

ЙЮв (у +1/2)

— ЙЮп 11 +

тВ_

4ю0

(п + ( +1/2| + і)

х

+<ГдЕ,

х

п, +, кг дк.

х8

с(п, +, к2)

ЙЮ —

В

/о (ЕАв ) /о (Еп, +, к2 ) ЙЮв (у +1/2)

х

—Йю^ 11 +

ЮВ

4ю2

(п + |+і +1/2 +1)

2 7,2

й к

2+*

где ^о - концентрация ^()-центров в КП; п^ - линейная концентрация ^()-центров, локализованных в точках = (0, 0, ) на оси КП; 9(5) - еди-

ничная функция Хевисайда; Йю - энергия фотона; Еп + кг - собственные

значения оператора функции Гамильтона; т(п + ^ )

(61)

электронов в КП;

время релаксации квадрат модуля матричных элементов в линей-

ном по д2 приближении; / (Е) - квазиравновесная функция распределения электронов в КП; 8(х) - дельта-функция Дирака.

2

Для плотности ТУ будем иметь

15

І I _ 15 5 5

,-(ю) = - х 2 2 ^«*70 пх а\4 Еа Р 2 * 2 X

пЙЬ,

І

х dza

х

\

-/2

(

2 - В \ рЛш + Цв

3_____________Е±+1

2, 2^ 2

—1

т( Еа ( — л2в ))х

/0 (— (¿і Л2в )— /0 (Еа (х — Л2в

I(п+1) I 8+,19(х—л2в -(+V2)а

п=0 +=-1

В / ■ | V

+ц В Яе----р 1^ (2п + \+] + V2 + ^

Ес1

*-2 +

Л

X-Г|2В -(+І + 1/2)а* 2 + ЦвЯ-”-Р 1^(п + (у +1/2 + 1)

х

Р(-(у + 1/2)* 2)|+у +12^

______________1_____________

(р( - ( +12 )а*-2) + (2 - \+у +1/2|)

2Р(- ( +12 )

х

х

„*-2

Р(- (у +1/2)* 2 )|+у +1/2 ™

Р(- (у +1/2 )* 2)(- |+у +1/2| )

-Р-1X-1

(62)

где X = Йю/ Е^ - энергия фотона в единицах эффективной боровской энергии Е¿; N = |С з ^ - целая часть значения выражения

Л

Сз =Р х _г1ш + Мв&ТТ- + а /(2^)_1.

I Еа )

В формуле (62) для плотности ТУ учтено, что при интегрировании по

1 2

к 2 в выражении (61) необходимо вычислить корни к2 аргумента дельтафункции Дирака, которые удовлетворяют уравнению вида

Йюв [(у + 1/2)

Йю-

Е1Я

В

' + Цв ёВ -

1 + юв (2п +|+,- +1/2 +1) 4ю2 1 ] ' 1 '

Й2 к 2 ^ = 0, 2+*

(63)

или в боровских единицах

X-Г|щ -(у +1/2) 2 + Цg-^-Р 1wX

Ed

x(n+(у++1)-^2 °2=0.

(64)

Тогда решения к1 2 этого уравнения запишутся следующим образом:

=-аа1 ^х-г12в ~(т] + V2)а 2 + Мв—Р 1 ™(2п+ |т] +V2! + 1)(65)

Для исследования спектральной зависимости плотности ТУ необходимо определить время релаксации в формуле (62). Будем предполагать, что электроны в гибридно-квантованной зоне проводимости КП испытывают упругое рассеяние на системе потенциалов короткодействующих примесей, которая имитируется суммой потенциалов нулевого радиуса:

Vs (r ) = Z Y у S(r - rj ) 1 + (r - rj ) r

(66)

где V (г) - потенциал короткодействующих примесей, на котором происходит рассеяние; у у - константы связи псевдопотенциала; Гу - координаты рассеивающих примесных центров; Уг - оператор Гамильтона.

Тогда в приближении сильного магнитного квантования, когда а^ □ а

(а? = а2/ ^ 2^1 + а4/ (4а В))),

писать как

выражение для времени релаксации можно за-

— -1

с(Ed (X- vifB )) = 2 2 пЧе^Ь*2 (d )

-2

•X

X

1 +

'Па

{ X s ^

s С

а J

v °d J

1 1 P(X_ v2B + Ц В gB

2 2

2w

X

X

V* { p(- v2B + Ц В gB

Z

n=0

2w

-n --

(67)

здесь пI - концентрация примесных рассеивающих центров в КП; Х5 -длина рассеяния; N = [ А*] - целая часть значения выражения

А* =Р( -Г|2В )/(2^) -1/2, если [А*] Ф А*, и И* =[А*]-1, если [А*] = А* .

Функцию распределения электронов / (Еп т ) в КП для рассматриваемого случая можно представить в виде

где

на;

где

/о (Еп, т, к2 ) = ))7№ ^(8ГР ^

ехр

Г Е

-§7

п, т, к„

, (68)

пе - концентрация электронов; 8т = Е^ /(кТ); к - постоянная Больцма-Т - термодинамическая температура; (х) - гиперболический синус.

Окончательно формула для плотности ТУ примет вид

п-1

У

(ю) = Іо Ґ'2 пх аа (пг«3 )

2 ■ г

Р2 ^3 X С

V аа у _ V

2 В ^

_ рЛш + Мв§е~ л

3_______________Е±+1

2, 2^ 2

X

X

1+

X

лІ2а

аа

(

-Р

2В Х -ГІ1В + Мв § —

Еа

л -і ^ (2^) у у 1

X

1

X РI х-^2В + Мв§ЕГ (^) 1 -п -2

п=0 V V

4-1 1

V

Еа Г ' 2

X

ехр

-8

N 1

XX (п + 1) X 8т|,10X

п=0 т=-1

X-1

Л2В + М в §Е—Хі + V2 )а 2 -р 1^ (2п + (у + V2 + ^ Еа

X

X- 1

Лш + Мв- (ту +12)а* 2 - Р ^(2п + (у +1^| + 1)

-X

Р(Х- (ту +1/2)

а* 2 1-) +1/2| ^

;!2|!

(Р(Х- (ту +12 )а*-2) + (

2Р(- (Ху +12 )а

2-(у +1/2 )

Р(Х- (ту +12)

12^

(Р(х-(ту +1/2 )* 2 ) + (- (у +1/2|)

у о = -4л -3хоа* N Иа41о & •

(69)

1

X

X

Следует отметить, что полученные выражения применимы для случая, когда радиус и длина КП удовлетворяют условию Ь, Ьг >А, и при наличии сильного магнитного квантования (а □ ав).

На рис. 1 и 2 приведена спектральная зависимость плотности ТУ одномерных электронов в относительных единицах у(ю)//о при фотоионизации ^()-центров в продольном магнитном поле. Для спектральной зависимости плотности ТУ, представленной на рис. 1, характерен дублет Зеемана (А и В) полоса А соответствует переходам в состояния т = -1, а пик В связан с переходами в состояния т = +1. Расстояние между полосой и пиком в дублете равно Йюв , а период появления дублета определя-

7 2 2

4юо +ю_в ). На рис. 2 представлена спектральная зависимость плотности тока увлечения с учетом спина связанного электрона. Можно видеть, что полоса А и пик В испытывают дополнительное расщепление А^(А1, А2) и В^(В1, В2), обусловленное параллельной и антипараллельной ориентацией спина относительно магнитного поля. Видно также, что учет спиновых состояний приводит к сдвигу порога примесного поглощения света в длинноволновую область спектра.

Эффект фотонного увлечения электронов в КП Ех < 0

Рис. 1 Спектральная зависимость плотности тока увлечения у (ю)/ у0 без учета спиновых состояний связанного электрона

при Е = 5,5 -10-2 эВ; п^ = 105 см-1; 2Ь = 70 нм; По = 0,6 эВ; пе = 1016 см-3 ;

п1 = 1020 см-3; А, = 30 нм; В = 15 Тл

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

К, эВ

Рис. 2 Спектральная зависимость плотности тока увлечения j (ю) / j с учетом спиновых состояний связанного электрона,

при |£г| = 5,5-10“2 эВ; nX = 105 см“1; 2L = 70 нм; U0 = 0,6 эВ; ne = 1016 см“3; щ = 1020 см“3; Xs = 30 нм; B = 15 Тл; T = 7 K

Список литературы

1. Васько Ф. Т. // ФТП. - 1985. - Т. 19. - № 7. - С. 760.

2. Расулов Р. Я., Саленко Ю. Е., Эски Т., Тухтаматов А. // ФТТ. -1998. - Т. 40. - № 9. - С. 1710.

3. Белявский В. И., Копаев Ю. В., Корняков Н. В. // УФН. - 1996. -Т. 166. - № 4. - С. 447.

4. Кулаковский В. Д., Бутов Л. В. // УФН. - 1995. - Т. 165. - № 2. - С. 229.

5. Jain, J. K. Kivelson S. A. // Phys. Rev. Lett. - 1988. - V. 40. - № 15. - Р. 1542.

6. Azbel M. Y. // Phys. Rev. B. - 1991. - V. 43. - № 3. - Р. 2435.