Квазиоптимальный закон управления для лагранжевых систем с дефицитом управляющих воздействий Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION NATURAL SCIENCE. 2024. No. 3

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES

Научная статья

УДК 517.977.1, 62-50

doi: 10.18522/1026-2237-2024-3-4-14

КВАЗИОПТИМАЛЬНЫЙ ЗАКОН УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ С ДЕФИЦИТОМ УПРАВЛЯЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ

Андрей Александрович Костоглотов

Ростовский государственный университет путей сообщения, Ростов-на-Дону, Россия kostoglotov@icloud. com

Аннотация. Механические системы с дефицитом управляющих воздействий представляют собой существенно нелинейные динамические системы высокого порядка, для которых характерно наличие значительного динамического взаимовлияния между элементами. Поэтому задачу синтеза управления следует рассматривать в исходной нелинейной постановке, поскольку использование методов линейного синтеза может привести к потере устойчивости или существенно ухудшить качество процесса управления.

При решении задачи синтеза с дефицитом управляющих воздействий целесообразно провести анализ такой механической системы, как нестационарная, и использовать принцип декомпозиции в совокупности с условием максимума обобщенной мощности, что позволяет найти структуру универсальной двухуровневой системы управления. Полученное квазиоптимальное управление обеспечивает увеличение области устойчивости и улучшение качества переходного процесса по квадратичному показателю в сравнении с известными линейными алгоритмами.

Ключевые слова: квазиоптимальный закон управления, динамическая система с дефицитом управляющих воздействий, многомерная нестационарная нелинейная динамическая система, поверхность переключения, обратный маятник на тележке

Для цитирования: Костоглотов А.А. Квазиоптимальный закон управления для лагранжевых систем с дефицитом управляющих воздействий // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2024. № 3. С. 4-14.

Благодарности: исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23-2900812, https://rscf.ru/project/23-29-00812.

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).

Original article

QUASI-OPTIMAL CONTROL LAW FOR LAGRANGIAN SYSTEMS WITH A DEFICIT OF CONTROL INFLUENCES

Andrey A. Kostoglotov

Rostov State Transport University, Rostov-on-Don, Russia kostoglotov@icloud. com

© Костоглотов А.А., 2024

ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2024. № 3

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 3

Abstract. Mechanical systems with a deficit of control influences are essentially nonlinear dynamic systems of high order, which are characterized by the presence of significant dynamic interaction between the elements. Therefore, the task of control synthesis should be considered in the initial nonlinear formulation, since the use of linear synthesis methods can lead to a loss of stability or significantly worsen the quality of the control process.

When solving the problem of synthesis with a deficit of control influences, it is advisable to analyze such a mechanical system as a non-stationary one and use the principle of decomposition in conjunction with the maximum condition of generalized power, which makes it possible to find the structure of a universal two-level control system. The resulting quasi-optimal control provides an increase in the stability area and the quality of the transient process in terms of a quadratic criterion in comparison with known linear algorithms.

Keywords: quasi-optimal control law, dynamic system with a deficit of control influences, multidimensional non-stationary nonlinear dynamic system, switching surface, reverse pendulum on a trolley

For citation: Kostoglotov А.А. Quasi-Optimal Control Law for Lagrangian Systems with a Deficit of Control Influences. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2024;(3):4-14. (In Russ.).

Acknowledgments: the study was supported by the Russian Science Foundation grant No. 23-29-00812, https://rscf.ru/project/23-29-00812.

This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0).

Введение

В настоящее время алгоритмы управления механическими системами с дефицитом управляющих воздействий представляют высокий интерес. В качестве примера можно указать различные беспилотные транспортные средства, роботы-манипуляторы и т.п., у которых существуют режимы работы, когда система становится ограниченно подвижной, потому что у нее появляется еще одна степень свободы, и типовые алгоритмы управления работают неэффективно. Дефицит управляющих воздействий может быть связан также с поломкой подвижного элемента. Повышение эффективности управления за счет снабжения систем избыточными подвижными элементами требует дополнительных издержек, что определяет актуальность развития новых методов управления нелинейными механическими системами с дефицитом управляющих воздействий.

Как объект управления механические системы представляют собой существенно нелинейные динамические системы высокого порядка, уравнения движения которых не разрешены относительно старших производных. Для этих систем характерно наличие значительного динамического взаимовлияния (перекрестных связей) между элементами, например между звеньями автоматического манипулятора.

В задачах управления используются линейные законы управления с постоянными коэффициентами. Их основной известный недостаток состоит в том, что они предназначены для стабилизации только одного режима движения, поэтому они неэффективны при дефиците управления [1].

В силу указанных причин задачу синтеза управления следует рассматривать в исходной нелинейной постановке без перехода к упрощенному линеаризованному описанию, так как при изменении цели управления в системах, построенных на основе линейных моделей, изменяются как структура управляющего устройства, так и его параметры. Это связано с тем, что коэффициенты системы линейного приближения определяются невозмущенным движением, на котором достигается цель управления, и следовательно, коэффициенты модели будут изменяться при изменении этой цели. При этом область допустимых возмущений в системах управления, построенных с использованием линейных моделей, не охватывает возмущений, встречающихся в реальных эксплуатационных режимах, что может привести к потере устойчивости или существенно ухудшить качество процесса управления.

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 3

Одним из возможных подходов к решению нелокальных задач управления механическими системами без привлечения линейного приближения является принцип декомпозиции - с помощью допустимого управления полностью устранить динамическое взаимовлияние между элементами и осуществить координацию движений элементов для достижения цели управления [1-4].

При решении задачи синтеза с дефицитом управляющих воздействий целесообразно использовать принцип декомпозиции [3, 4] в совокупности с условием максимума обобщенной мощности, поскольку оказывается возможным найти структуру универсальной двухуровневой системы управления и анализа такой механической системы, как нестационарная. Редукция оптимизационной задачи Лагранжа к изопериметрической определяет условие максимума обобщенной мощности [5-9], которое позволяет получить квазиоптимальное решение задачи синтеза с применением прикладных способов учета ограничений на класс допустимых управлений [10, 11] для широкого класса динамических систем, удовлетворяющих принципу Гамильтона -Остроградского и представленных уравнениями Лагранжа второго рода.

Научная задача данного исследования - разработка метода синтеза квазиоптимального управления нелинейными динамическими системами с дефицитом управляющих воздействий с использованием условия максимума функции обобщенной мощности и принципа декомпозиции.

Цель работы - повышение качества управления и расширение области устойчивости нелинейной динамической системы на основе разработанного метода в сравнении с управлением, полученным на основе линеаризации модели объекта управления.

Постановка задачи управления

Рассмотрим класс управляемых систем, движение которых в независимых обобщённых координатах q _ ||q5||может быть описано дифференциальными уравнениями Лагранжа второго рода [12]

d дТ дТ _ / . ч " / ч „ч

——--—_ Q(q,q,t)+Eьгк(q)uk(t) r _ 1n, (1)

dt dqr dqr k_i

где T - кинетическая энергия:

1 n

T _- E ark (q)qrqk, ark (q) _ ark (q)- (2)

2 r,k_1

Предполагается, что коэффициенты aik (q), brk (q) ограничены при всех q вместе с частными производными первого порядка. Матрица коэффициентов ^(q) _ ||ark (q)||"ik_1 в выражении

кинетической энергии механических систем при всех q является матрицей положительно определенной квадратичной формы.

Через Qr (q, q, t) обозначены обобщенные силы, обусловленные наличием различного рода внешних воздействий.

Допустимые управления выбираются из множества суммируемых на любом конечном интервале функций u(t)_ ||u5(t)|;_i, принимающих значения в ограниченной замкнутой выпуклой области U:

u(t)е U _{us(t): \us (t) < hs, 5 _ 1,m} (3)

При этом выполняется условие m < n . Это означает, что (1) является системой с дефицитом управляющих воздействий.

Задача оптимального управления заключается в переводе системы (1) из начального состояния t = t0, q(t0),q(t0) в конечное t = t}, q(tj ),q(t}) при условии минимума целевого функционала:

t1

J(q)= J F(q)dt ^ min, (4)

t

о

ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2024. № 3

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 3

где F (q ) - положительно определенная выпуклая функция обобщенных координат, например

F (q )= 1I kt qf= qTKq,

2 i=i

K- положительно определенная диагональная матрица; ki - заданные весовые коэффициенты.

Рассмотрим задачу построения нелинейного управления системой (1), (2) по критерию (4) при условии (3) на множестве квазиоптимальных законов управления, полученных на основе редукции задачи Лагранжа к изопериметрической [7, 9].

Применение принципа декомпозиции

Для решения поставленной задачи проведем анализ механических систем с дефицитом управляющих воздействий, для которых условие полной управляемости не выполнено в соответствии со схемой [13]. Если наложить ограничение на параметры движения по степеням свободы, не содержащим управляющих воздействий, то рассматриваемый случай можно свести к случаю нестационарных объектов.

Система (1) может быть отнесена к классу нестационарных механических систем, кинетическая энергия которых представляется в виде суммы однородных форм T2 + T1 + T0 [14], где

1 n n

T2 =- I aik ^t)qiqк, T1 = I ai ^t)qi, T0 = To(q,t).

2 i,k=1 i=l

Уравнение Лагранжа нестационарной механической системы можно записать в виде

d dT1 ÔT^

+ ■ ^ -dqi к=1

где члены, связанные с составляющими T1 и T0 кинетической энергии, перенесены в правую часть и могут рассматриваться как дополнительные обобщенные силы. Введем обозначения:

d dT2 dT2 „ / . \

2 2 = Qi (q, q, t)-

dt dqi dqi

+ —+ I bik (q, t )uk (t ), i = 1, n, (5)

Щ dT1 dt dqi dqi

T . T-+ —0, i = 1,n, dqt

Q*(q, q, t ) = Qi (q, q, t)-

U* (t)= S bk ^ tУк (t).

к=1

Запишем систему (5) в виде

d дТ2 дТ2 = Q* (q, q, t) + u* (t), i = 1n, (6)

dt dqi dq предположим, что выполнены условия

>6* (¿, q, г )< Нг, I = 1, п. (7)

Рассмотрим один из вариантов анализа системы (6) для поиска возможности выполнения условия (7). Если через q = ^уЦ^ обозначить те обобщенные координаты, уравнения Лагранжа которых содержат управляющие воздействия, а через х = II - обобщенные коорди-

II II ■=т+1

наты, в уравнениях движения которых они отсутствуют, то движение объекта будет описываться дифференциальными уравнениями Лагранжа

й дТ дТ

sup

= Qv (q, q, x, x, t)+ uv (t ), v = 1, m,

dt dqv dqv

(8)

d dT dT — '

dt dXj dXj

= Q ,■ (q, q, x, x, t), j = m +1,

где Т = Т (¿, ¿, х, х) - кинетическая энергия.

Предполагается, что для некоторых классов движений системы (8) при и ()е и переменные х■ (г) изменяются так, что выполняются неравенства

n

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 3

|ху| < с0, |Ху| < с1, у = т +1,п. (9)

Таким образом, для обеспечения выполнения условия (7) необходимо выполнение условий (9). Оценки (9) находятся из экспериментальных исследований либо из результатов теоретического анализа. При наличии (9) можно исключить из рассмотрения переменные Ху (г) и от

(8) перейти к анализу упрощенной системы (с числом степеней свободы т), с кинетической энергией

Т q, г) = Т2 q, х(г ), х(г ))+Щ q, х(г ), х(г ))+ТО х(г ), х(г )), (10)

где Т2, Т и То - однородные формы соответствующих степеней относительно . Выражение (10) задает кинетическую энергию не одной, а совокупности систем, так как х(г) можно произвольно выбирать из множества функций, удовлетворяющих условиям (9).

Таким образом, для решения задачи синтеза управления механической системой (6), для которой выполняются неравенства (7), можно использовать принцип декомпозиции, применяя его к системе с кинетической энергией (10) и обобщенными силами Qv ^, q, х(г ), х(г), г), зависящими от произвольных функций х(г), удовлетворяющих (9). При этом необходимо ввести соответствующий аналог условий полной управляемости (7), причем эти условия должны выполняться равномерно по функциям х(г ) из класса удовлетворяющих неравенствам (9) [13].

Результаты остаются справедливыми [13] и для случая, если управляющие воздействия входят в уравнения (6) в виде £ Ь*к ^, г)и*к (г), где и* (г) = £ Ь1к ^, г)ик (г). Эти преобразования опре-

к=1 к=1 деляются уравнениями Лагранжа вида (1) и зависят от выбора обобщенных координат, при этом не выводят систему из класса уравнений Лагранжа и дают возможность выбора вида формального представления управляющих воздействий.

Метод синтеза закона управления на основе условия максимума функции обобщенной мощности

Выводы, полученные выше, не дают конкретных рекомендаций анализа условий (7) и (9) для гарантий полной управляемости, что является предметом дополнительных исследований, но позволяют использовать теоремы принципа декомпозиции [13] для построения структуры управляемой системы вида (6) и более общей структуры управляемой системы вида (1).

Управление для каждой степени свободы в режиме декомпозиции с использованием метода синтеза квазиоптимального управления на основе условия максимума функции обобщенной мощности [7] и прикладных способов учета ограничений на класс допустимых управлений имеет следующую структуру [9]:

' 1,

us (q(t ), q(t )) = hssat(^s (q(t ), q(t ))) = h

^ / hs,

^ > hs, M ^ hs,

s = 1, n,

где функция (qs, qs )=

дF \qs\qs

a1s - +a2s I I

51S Is + a3s

-1, ^ <-hs,

s = 1, n,

(11)

(12)

определяет поверхность переключения; a,s, i = 1,3, - параметры закона управления для каждой степени свободы.

С учетом (11), (12) на основе утверждения теоремы 2 [13] получим структуру управляемой по критерию (4) системы

d дT дT . ч n

———— = Qi q q, t) - z btk (q)hssat

dt дqi дqi k=l

z bSk (q)us (qs, qs)

s=1

i = 1,n, s = 1, m.

(13)

ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2024. № 3

ISSN 1026-2237 BULLETINOFHIGHEREDUCATIONALINSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 3

Зависимость управления в (13) от коэффициентов bk (q) является существенной [3], поскольку в противном случае изменение знака bk (q) во время движения может привести к дестабилизирующему действию управляющих воздействий.

Поскольку определена структура управления, но не установлены условия полной управляемости, для анализа эффективности полученного решения задачи синтеза проведем численное моделирование.

Анализ эффективности предложенного метода при управлении перевернутым маятником на основе численного моделирования

Одним из наиболее популярных лабораторных экспериментов, используемых для иллюстрации техники нелинейного управления, служит перевернутый маятник. Эта система важна для широкого класса прикладных задач - от управления БПЛА до оценки сейсмической устойчивости конструкций.

Точка опоры качающегося маятника в виде шеста закреплена на тележке, т.е. на подвижной платформе. Маятник может свободно раскачиваться вокруг своей точки опоры, и у него нет подвижного элемента для непосредственного управления. Тележка может двигаться горизонтально, перпендикулярно к оси вращения маятника, ее движение вызвано действием силы, приложенной к ней в одном и том же направлении. Поскольку угловым ускорением шеста непосредственно управлять нельзя, перевернутый маятник представляет собой механическую систему с дефицитом управляющих воздействий. Цель управления - передвигая тележку по горизонтальной плоскости, сделать так, чтобы шест занял верхнее неустойчивое положение равновесия.

Классический пример синтеза управления, построенного на основе линеаризованной системы, приводится в [15]. Рассмотренные в большинстве случаев линеаризованные модели существенно ограничивают динамические свойства соответствующих систем управления положением маятника и тележки [16].

Рассмотрим нелинейную модель обратного маятника на тележке в обобщенных координатах

q = [s,^ . Уравнения Лагранжа 2-го рода, c учетом трения, предположения о малой массе маятника в сравнении с массой тележки mр << M и тем, что можно пренебречь горизонтальной силой реакции оси маятника, имеют вид [15, 16]

.. и —k,s

s =--—,

M л (14)

" g 1

Ф =JJ sin ф — S— С08ф,

где s - перемещение тележки вдоль горизонтальной оси; ф - угол отклонения обратного маятника от нормали; g - ускорение свободного падения; L' - эффективная длина маятника I + m pl2

L' =-; m p, M - масса маятника и тележки соответственно; l - расстояние между

mpl

осью маятника и центром тяжести; I - момент инерции относительно центра тяжести; ц - сила ограниченной интенсивности, действующая на тележку; ks - коэффициент трения.

Ставится задача синтеза управления системой (14). В соответствии с целью управления необходимо обеспечить минимум критерия эффективности, который определяется функционалом

J = T F (q )dt = j"1 (s 2 +ф2 )dt ^ min. (15)

о о2

Проведем преобразования, необходимые для процедуры синтеза управления в соответствии с разработанным методом.

Запишем систему (14) в виде

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION NATURAL SCIENCE. 2024. No. 3

s = u,

■ ■ g 1

ф =— sin ф--cosф• u,

L' L'

(16)

М- М „

где и = ———, ограничение силы воздействия на тележку определяется следующим образом:

M

u < h.

Данные тривиальные преобразования позволяют формально привести систему (16) к виду (13), что дает возможность воспользоваться принципом декомпозиции в совокупности с методом синтеза квазиоптимального управления на основе условия максимума функции обобщенной мощности [7] и прикладных способов учета ограничений на класс допустимых управлений

Is' = bsus,

|ф =

- bфuф,

где

bs = 1, Ьф=~Г, С^ф,

L'

g

0ф(ф) = L sinф,

us (s, s ) = hsat

ss

asls + a

s 2 "

s +a

s3

= hsat

\Ф\Ф

a

> + a

m + ad

где а^, аф^, ; = 1,3 , - параметры управления.

Тогда структура системы управления в соответствии с предложенным методом имеет вид

s = —

hsat (b.

u + Ьм.л

ф = g sin ф + -1 cos\\hsat (bsus + bÀu,

фф

(17)

Численное моделирование проведем с использованием параметров [15]: к = 10 м• с2; V = 0,842 м; тр = 0,1 кг; М = 1 кг; I = 0,013 кг м2; = 1 м • с-1. Процесс стабилизации маятника будем считать завершенным при достижении области \ф\< 0,01 рад; \ < 0,01 рад • с-1.

Проведено моделирование при начальных условиях 50 = 0 м; 50 = 0 м • с-1 и различных вариантах отклонения маятника: 1) ф0 = 0,03 рад; ф0 = 0,5 рад • с-1; 2) фо = 0,24 рад; фо =1,5 рад •с 1 с параметрами управления ал = 2; 2 = 50; аз3 = 0,2; а\1 = 120; а\2 = 100; а\з = 0,5 . Для анализа эффективности разработанного нелинейного закона управления проведем сравнение результатов моделирования с управлением, полученным на основе линеаризованной модели [15]:

(18)

и1т = + а2л

где ал = 6,95; аз2 = 10,27; а\1 = 61,13; а\2 = 17,9.

Установлено, что в режиме 1 качество управления, которое обеспечивает линейное управление (18), превосходит качество переходного процесса для управления (17) по квадратичному показателю (15). При увеличении начального отклонения угла маятника квадратичный показатель отклонения для управления (17) становится лучше, чем (18). В режиме 2 происходит потеря устойчивости системы под управлением (18), а разработанное управление (17) обеспечивает нормальное функционирование. Результаты численного моделирования представлены на рис. 1-4.

hsat (as1

s + а„т s + а

ф1ф + аф2фф

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 3

ф, рад!с

1 Г if L ff 1 "I LC

-OJ

-1

ф. рад/с

. • • • • *Т I

î * %

—<Лр. рал

-0.1 -0.0J

00Î

а/а

б/b

в/c

г/d

д/e

е/f

Рис. 1. Переходные процессы маятника (а, б (режим 1); г, д (режим 2)) и фазовая траектория управляемой системы (в (режим 1); е (режим 2)): сплошная линия - закон (17), пунктирная -закон (18) / Fig. 1. Transient processes of the pendulum (а, b (mode 1); d, e (mode 2)) and the phase trajectory of the controlled system (c (mode 1), f (mode 2)): solid line - law (17), dotted line - law (18)

/a

OL

о.: о.:

I

-ft:

S. M

г

"ч — ""♦■•■в- -

t. С

LQ

а/а

li

и 1

0.! C|

ï-0 5

.f, м/с

f I"1

1 Ь 1 1 1 1

1 ^ Т. с

l-i

i.M ft

I ' \ -д

j 1 \ V 4 1 it 1 k

Î - # S. M

б/b

i.l

в/с

i, м/с

* r J ■ rs

я » 4 * * *

ï, M

Рис. 2. Переходные процессы тележки (а, б (режим 1); г, д (режим 2)) и фазовая траектория управляемой системы (в (режим 1), е (режим 2)): сплошная линия - закон (17), пунктирная -закон (18) / Fig. 2. Transient processes of the trolley (а, b (mode 1), d, e (mode 2)) and the phase trajectory of the controlled system (c (mode 1), f (mode 2)): solid line - law (17), dotted line - law (18)

ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2024. № 3

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 3

1С

-10

1

t, С

10

10

J............

u

t, С

a/a

б/b

Рис. 3. Управление: a - в режиме 1; б - в режиме 2; сплошная линия - закон управления (17), пунктирная -закон (18) / Fig. 3. Control: а - in mode 1, b - in mode 2; solid line - control law (17), dotted line - law (18)

1.5

1.2

0.9

0.6

0.3

Лф) 1 / г

г г г f * у * J^ * у

* * *

Фо, рад

0.06

012

0 IS

0.24

0.3

Рис. 4. Зависимость качества переходного процесса по квадратичному показателю от начального отклонения маятника при ф0 = 0,5 : сплошная линия - закон (17), пунктирная - закон (18) / Fig. 4. Quality dependence of transient process by quadratic criterion on the initial deviation of the pendulum at ф0 = 0,5 : solid line - law (17), dotted line - law (18)

Анализ результатов моделирования показывает, что полученный на основе предлагаемого метода закон управления позволяет увеличить область устойчивости до 40 % и повысить качество функционирования нелинейной динамической системы с дефицитом управляющих воздействий по квадратичному критерию в режиме больших отклонений в среднем на 15-20 % в сравнении с законом, полученным для линеаризованной модели.

Заключение

Предлагаемый в данной работе метод синтеза квазиоптимального нелинейного управления на основе условия максимума функции обобщенной мощности и принципа декомпозиции позволяет построить решение, обеспечивающее увеличение области устойчивости и качество переходного процесса по квадратичному показателю в сравнении с известными линейными алгоритмами.

Список источников

1. Матюхин В.И. Многорежимные законы управления движением твердого тела // Изв. РАН. МТТ. 2012. № 4. С. 21-31.

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION NATURAL SCIENCE. 2024. No. 3

2. Пятницкий Е.С. Принцип декомпозиции в управлении механическими системами // Докл. АН СССР. 1988. Т. 300, № 2. С. 300-303.

3. Пятницкий Е.С. Синтез иерархических систем управления механическими и электромеханическими объектами на принципе декомпозиции. I // Автоматика и телемеханика. 1989. Т. 50, № 1. С. 87-99.

4. Пятницкий Е.С. Управляемость классов лагранжевых систем с ограниченными управлениями // Автоматика и телемеханика. 1996. Т. 57, № 12. С. 29-37.

5. Костоглотов А.А. Объединенный принцип Понтрягина - Гамильтона - Остроградского // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2007. № 6 (142). С. 13-17.

6. Андрашитов Д.С., Костоглотов А.А., Костоглотов А.И., Лазаренко С.В., Ценных Б.М. Универсальный метод синтеза оптимальных управлений нелинейными лагранжевыми динамическими системами // Инжен. вестн. Дона. 2014. № 1 (28). С. 2.

7. Костоглотов А.А., Лазаренко С.В. Метод квазиоптимального синтеза законов управления на основе редукции задачи Лагранжа к изопериметрической задаче с использованием асинхронного варьирования // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2021. Т. 6, № 6. С. 3-12.

8. КостоглотовА.А., КостоглотовА.И., Лазаренко С.В. Объединенный принцип максимума в информационных технологиях анализа и синтеза. Ростов н/Д.: РТИСТ, 2010. 164 с.

9. Зехцер В.О., Костоглотов А.А. Синтез квазиоптимальных законов управления на основе принципа декомпозиции и редукции задачи Лагранжа к изопериметрической в условиях неопределенности // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2023. № 3 (219). С. 13-22.

10. Kostoglotov A.A., Lazarenko S.V., Pugachev I.V. Method of synthesis of multi-mode control under the expected uncertainty using the analysis of the phase-space decomposition on the basis of the generalized power maximum condition // AIP Conference Proceedings: Proceedings of XV International scientific-technical conference "Dynamics of technical systems" (DTS-2019). Rostov-on-Don: AIP Publ., 2019. Vol. 2188. P. 030005.

11. Костоглотов А.А., Лященко З.В., Лазаренко С.В. Синтез управления с адаптацией к неконтролируемым воздействиям в неустойчивом состоянии // Вестн. РГУПС. 2016. № 1 (61). С. 66-71.

12. ЛурьеА.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961. 824 с.

13. Пятницкий Е.С. Синтез иерархических систем управления механическими и электромеханическими объектами на принципе декомпозиции. II // Автоматика и телемеханика. 1989. Т. 50, № 2. С. 57-71.

14. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.: Наука, 1966. 300 с.

15. КвакернаакХ., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977. 650 с.

16. Колесников А.А. Метод синергетического синтеза системы управления колебаниями «перевернутого маятника на подвижной тележке» // Изв. ЮФУ. Техн. науки. 2011. № 6 (119). С. 110-117.

References

1. Matyukhin V.I. Multimode laws of motion control for solid body. Izv. RAN. MTT = Proceedings of the Russian Academy of Sciences. Solid Body Mechanics. 2012;(4):21-31. (In Russ.).

2. Pyatnitsky E.S. Decomposition principle in the control of mechanical systems. Dokl. AN SSSR = Reports of USSR Academy of Sciences. 1988;300(2):300-303. (In Russ.).

3. Pyatnitsky E.S. Synthesis of hierarchical control systems for mechanical and electromechanical objects based on decomposition principle. I. Avtomatika i telemekhanika = Automatics and Telemechanics. 1989;50(1):87-99. (In Russ.).

4. Pyatnitsky E.S. Controllability of Lagrangian systems classes with limited controls. Avtomatika i telemekhanika = Automatics and Telemechanics. 1996;57(12):29-37. (In Russ.).

5. Kostoglotov A.A. Combined Pontryagin - Hamilton - Ostrogradsky principle. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. = Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2007;(6):13-17. (In Russ.).

6. Andrashitov D.S., Kostoglotov A.A., Kostoglotov A.I., Lazarenko S.V., Tsennykh B.M. A universal method for the optimal controls synthesis of nonlinear lagrangian dynamic systems. Inzhen. vestn. Dona = Engineering Bulletin of Don. 2014;(1):2. (In Russ.).

7. Kostoglotov A.A., Lazarenko S.V. Method of quasi-optimal synthesis of control laws based on the reduction of the Lagrange problem to an isoperimetric problem using asynchronous variation. Izv. RAN. Teoriya i sis-temy upravleniya = Proceedings of the Russian Academy of Sciences. Control Theory and Systems. 2021;6(6):3-12. (In Russ.).

8. Kostoglotov A.A., Kostoglotov A.I., Lazarenko S.V. Combined maximum principle in information technologies of analysis and synthesis. Rostov-on-Don: Rostov Technological Institute of Service and Tourism Press; 2010. 164 p. (In Russ.).

9. Zekhtser V.O., Kostoglotov A.A. Synthesis of quasi-optimal control laws based on the principle of decomposition and reduction of the Lagrange problem to an isoperimetric one under uncertainty. Izv. vuzov. Sev.-

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION NATURAL SCIENCE. 2024. No. 3

Kavk. region. Estestv. nauki. = Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2023;(3):13-22. (In Russ.).

10. Kostoglotov A.A., Lazarenko S.V., Pugachev I.V. Method of synthesis of multi-mode control under the expected uncertainty using the analysis of the phase-space decomposition on the basis of the generalized power maximum condition. AIP Conference Proceedings: Proceedings of XV International scientific-technical conference "Dynamics of technical systems" (DTS-2019). Rostov-on-Don: AIP Publ.; 2019;2188:030005.

11. Kostoglotov A.A., Lyaschenko Z.V., Lazarenko S.V. Synthesis of control with adaptation to uncontrolled influences in an unstable state. Vestn. RGUPS = Bulletin of Rostov State Transport University. 2016;(1):66-71. (In Russ.).

12. Lurie A.I. Analytical mechanics. Moscow: Fizmatgiz Publ.; 1961. 824 p. (In Russ.).

13. Pyatnitsky E.S. Synthesis of hierarchical control systems for mechanical and electromechanical objects based on decomposition principle. II. Avtomatika i telemekhanika = Automatics and Telemechanics. 1989;50(2):57-71. (In Russ.).

14. Gantmacher F.R. Lectures on analytical mechanics. Moscow: Nauka Publ.; 1966. 300 p. (In Russ.).

15. Kvakernaak H., Sivan R. Linear optimal control systems. Moscow: Mir Publ.; 1977. 650 p. (In Russ.).

16. Kolesnikov A.A. Synergetic synthesis method of the oscillation control system of "inverted pendulum on a movable trolley". Izv. YuFU. Tekhn. nauki = Bulletin of Southern Federal University. Technical Science. 2011;(6):110-117. (In Russ.).

Информация об авторе

А.А. Костоглотов - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой связи на железнодорожном транспорте.

Information about the author

А.А. Kostoglotov - Doctor of Science (Technical), Professor, Head of the Department of Communication on Railway Transport.

Статья поступила в редакцию 01.04.2024; одобрена после рецензирования 24.05.2024; принята к публикации 04.07.2024. The article was submitted 01.04.2024; approved after reviewing 24.05.2024; accepted for publication 04.07.2024.