CC BY
10
: Q а
¿i * .а о &-U ■ ль+ + fe. - а ® ar i
+ г [Щ] Us
1.0
: 1
sei sei
На рис. 3, б показано граф^ КД а до кола обчислених за залежшстю (1). На графiку по ос абсцис вiдкладено порядковий номер КД. Крива 1 змшюе сво! значення вiд -п/2 до п/2. Це КД для дшянки кола вщ 0 до п. Крива 2 також змiнюе сво! значення вщ -п/2 до п/2. Це КД для дшянки кола вщ п до 2п. Таким чином показано, що обчислення ведуться коректно для ydx квадрантiв. ^ "i ^ Ч i - ^^ Vi И fi ^ г í g" i" ^ 5. ь L t'-ivr-- L j ¿ l.-^-. Обчислення виконували
File Edit Text Go Cell Tools Debug Desktop Window Help У СереДОВИПЦ MATLAB. ДшЯНКу
робочого столу з кодом програ-ми показано на рис. 4. За допо-могою рядюв 1-6 задаеться ма-сив значень для побудови кола. Основш обчислення (чисельне диференцшвання) виконуе фун-кцiя spek (рядок 9). У 10-у рядку виконуються перетворення за залежшстю (1). Використання функци atan пояснюе отрима-ний результат, а саме отриман-ня напрямку дотично!, а не абсолютного кута (див. рис. 3, б).
i -2 —
3 -
4
5 -
6 -
7
8 -
х=-1: 0 . 000|5:1; y=sqrt(1-х.А 2}; ym=-y; xl=fliplr(х);
xs= [xl х(2:end)]; ys=[у уш(2:end)];
9 -10 -11
metod=[periodo[;der=l;dot=7;
[mkt rnktl a_f]=spek(xs,ys,metod,der, dot) af=atan(a_f);afO=af;
Рис. 4. Дтянка робочого столу з кодом програми
Цей приклад засвiдчуе про простоту i ефективнiсть застосування такого методу визначення купв тиску у вищш парi. Однак вш вимагае застосування сплаИтв чи полiномiв. Сьогоднi iнженер-дослiдник користуючись до-помогою таких потужних паке^в комп'ютерно! математики як ЫмИСАВ чи МЛТЬЛБ, може користуватись готовими функщями по робот зi сплайнами чи полшомами, або створювати на !х основi власнi.
Висновки:
запропоновано новии метод визначення куив тиску у вищ1и пар1; показано коректтсть пропонованого алгоритму для обчислень в усх квадрантах.
Лггература
1. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. - М.: Наука, 1967. - 720 с.
2. Крайнев А.Ф. Словарь-справочник по механизмам. - М.: Машиностроение, 1987. -
560 с.
3. Теория механизмов и машин: Учеб. для втузов/ К.В. Фролов, С.А. Попов, А.К. Мусатов и др./ Под ред. К.В. Фролова. - М.: Высш. шк., 1987. - 496 с.
4. Тир К.В. Механика полиграфических автоматов. - М.: Книга, 1965. - 496 с.
5. Фишин М.Е. Расчет механизмов транспортно-подающих систем полиграфических машин. - М.: Машиностроение, 1979. - 256 с._
УДК 517.9:517.98 7 Астр. С.М. Петренко - Кшвськый шцюнаяьний
аграрный утверситет м. Тараса Шевченка
КВАЗ1НЕПЕРЕРВНА АПРОКСИМАЦ1Я СТАТИСТИЧНИХ СИСТЕМ З БАГАТОЧАСТИНКОВОЮ ВЗАСМОД1СЮ
Введено поняття квазгнеперервног системи, яка апроксимуе певним чином не-перервну систему класичного точкового газу, молекули якого взаемодшть за допо-
могою багаточастинкового посилено-суперстшкого потенцiалу взаемодп. У термо-динамiчнiй границi тиск апроксимовано'1 системи зб1гаеться до в^нов^но!' величини початково'1 системи, якщо параметр апроксимацп a ^ 0 . Ця робота е узагальненням роботи [19] на випадок багаточастинкового потенщалу взаемодп.
Ключов1 слова: неперервш статистичнi системи, багаточастинкова взаемодiя.
Post-graduate S.M. Petrenko - Kyiv national agricultural university
named after Taras Shevchenko
Quasi-continuous approximation of statistical systems with many-body interaction
A concept of quasicontinuous systems which approximate precisely somehow real continuous system of the classical point gas interacting by means of many-body strongly-superstable potential is defined. In the thermodynamic limit the pressure of the approximated system is close to corresponding value of initial system and coincides with it in the limit of approximation parameter a ^ 0. This article is the generalization of the work [19] for the case of many-body interaction potentials.
1. Постановка проблеми
Неперервш системи мають важливе значения у статистичнш мехашщ при вивченш властивостей i явищ реальних рщин та газ1в. Добре вщомо, що неперервш статистичш системи вивчено набагато прше, шж гратчаст системи. Але роботи з вивчення таких систем виконують давно i отримано багато строгих результат, яю досить повно представлеш в роботах Р.А. Мшлоса [10], Д. Рюеля [21], Н.Н. Боголюбова , Д.Я. Петрини, Б.1. Хацета [9] (див. та-кож [12]) та ш. Бшьшють результата отримано для так званих розр1джених газiв, тобто систем iз малою густиною частинок р (або хiмiчною активнiстю z) або систем з високою температурою (малою в = 1/ кТ) [2, 15].
У системах з низькою температурою i високою щшьшстю, коли вщбу-ваються найбшьш цiкавi фiзичнi явища, таю як фазовий перехщ, строгi результата фактично вщсутш. Винятками е деюлька екзотичних моделей, якi досить умовно можна назвати моделями, що описують неперервш системи класичноi статистичноi мехашки [23, 6, 3]. Водночас добре вщомий прогрес у дослщженш таких явищ в гратчастих системах, яю моделюють феромагнiтнi кристали. Методи дослщження гратчастих систем були досить усшшно зас-тосовано для гратчастих газiв, якi можна розглядати як деяку апроксимацш неперервноi системи реального одноатомного газу.
У робот [19] запропоновано апроксимацш неперервноi класично1' системи тотожних точкових частинок, що взаемодшть за допомогою посиле-ного суперстшкого потенцiалу взаемодii. У цiй робот^ яка е узагальненням роботи [19], на випадок багаточастинкового потенщалу взаемодп, ми визна-чаемо квазшеперервну систему, яка може досить точно наближати класичний одноатомний газ, атоми якого взаемодшть за допомогою багаточастинкового потенщалу. Апроксимовану систему визначають за допомогою кластерних розкладiв за щшьними та розрщженими конф^уращями, запропонованими в робот [17]. Велику статистичну суму апроксимовано!' системи визначено таким чином, що вона враховуе тшьки розрщжеш конфiгурацii. На прикладi та-ко1' термодинамiчноi функцii як тиск ми покажемо, що в термодинамiчнiй
границ тиск в апроксимованш системi зб^аеться до значення тиску в нескш-ченнiй систем^ якщо параметр апроксимацiï a ^ 0. У випадку парного потенщалу взаемодп за досить малих значень хiмiчноï активностi аналогiчний результат буде справедливий i для послщовност кореляцшних функцiй ап-роксимованоï системи [19]).
2. Означення
2.1. Конф1гурацшний проспр
Нехай Rd, де d - вимiрний евклiдовий прослр. Через B(Rd) ми позна-чимо сiм,ю всiх борелiвських множин. Bc(Rd ) позначають систему вЫх обме-жених множин з B(Rd), m() - мiра Лебега на Rd.
Визначимо простр локально обмежених пiдмножин iз Rd :
r = rRd := {y е Rd | | Y n Л |< да, для ecix Л е Bc(Rd)},
де | A |:= cardA . Символ | • | може також означати мiру Лебега на множит, але значення його завжди буде зрозумше з контексту. Для довшьного Л е B(Rd ) визначимо через ya. проекщю y на Л i вiдповiдний конф^урацшний прос-тiр - через ГЛ . Для довiльного n е N0:= N и {0} визначимо простр скiнченних конфiгурацiй Г0:
Г0 = и Г(п), Г(п) := {^сRd ||n|= n}.
neN0
Для довiльного Л е Bc(Rd) визначимо вiдображення Na : Г^ N0 вигля-
ду Na := YnA |.
Борелiвська а -алгебра В(Г) збiгаеться з а -алгеброю, породженою вь дображенням Na , Ле Bc(Rd ), i можна ввести таку фшьтращю:
Вл(Г) := a(NA | Л' е Bc(Rd),Л' с Л),
дивись [7, 8, 4] для деталей.
Через В() ми позначимо вщповщш а -алгебри на ГЛ i Г0. Для заданоï iнтенсивностi z > 0 мiра а = zdx на B(Rd) i для довшьного п е N продукт мiра а®п може бути розглянута як мiра на
(Rd)п = {(xi,..., xn) е (Rd)п | xk ф xi якщо к ф l}. Тодi, ввiвши вщображення
symn :(Rd)п з(xi,...,xn)^{xi,...,Xn}eГ(n),
визначимо мiру а(п) на Г(п) як а(п) := а®п ° (symn)-1. Для спрощення ми будемо писати {x}n замiсть {x1,..., xn} е Г(п).
Визначимо мiру Лебега-Пуассона Ла на В(Г0) за формулою
А :=! i-aK (1)
n>0 п •
Звуження мiри Ла на В(ГЛ) ми також позначимо Ла.
Нехай a е R + - задана стала. Для кожного r е Zd визначимо елемен-тарний куб з ребром a i центром r
Aa(r) = {x е Rd | a(r' -1/2) < x'" < a(V +1/2)}.
Ми iнколи будемо писати A замiсть Aa(r), якщо по контексту буде зрозумшо, про який кубик йдеться. Нехай A(r) - це розбиття простору Rd на кубики Aa(r). Не обмежуючи загальностi, ми в цш роботi будемо розглядати тшьки тi множини Л е Bc(Rd), якi е об'еднанням кубикiв Aa(r).
Визначимо додатково два конф^урацшних простори Гм та Г^и. Простiр розрiджених конф^урацш
Г f := {у е ГЛI | ya |= 0 v 1 для ecix A е Aa n Л} (2)
i простiр щшъних конфiгурацiй
rfew := {;кеГЛ| | ya |> 2 для ecix AеAa nf}. (3)
Для бшьш детального вивчення структури конфiгурацiйних просторiв Г, Г0, ГЛ дивись [1].
2.2. Потенщали взаемодп
Ми розглядаемо багаточастинковий потенщал взаемодй' загального типу, який визначаеться сiм,ею p-частинкових потенцiалiв Vp : Rdp ^ R, p > 2. На Ым'ю потенцiалiв V := {Vp}p>2 ми будемо накладати такi умови:
Ai. Неперервшсть.
Vp е C((Rd)p), p > 2.
A2. Симетричнiсть. Для довiльного p > 2, довiльних (x15...,xp) е (Rd)p i довшьно1 перестановки п чисел {1,...,p}
Vp(X1,..., Xp) = Vp(Xn(1),..., Xn(p)).
A3. Трансляцiйна iнварiантнiсть. Для довiльного p > 2, довшьних (xb...,xp) е (Rd)p i довiльного b е Rd
Vp(x1,..., xp) = Vp(x1 + b,..., xp + b).
Тепер визначимо Гамшьтошан системи UV : Г0 ^ R и {да}, що вщповь дае сiм,ï потенцiалiв V := {Vp}p>2
UV (n) = I I Vp(x1,..., xp), n е Г о, | П |> 2. (4)
p>2 {x!,..,xp}cn
Для фiксованоï сiм,ï потенцiалiв V ми будемо писати для скорочення U = UV i для Л е Bc(Rd), п еГЛ ми будемо школи писати U(п) замють Uf(n).
Визначимо деяю важливi характеристики Гамiльтонiана системи UV. Традицшними е поняття cmiüKOcmi i cynepcmiüKOcmi, яю забезпечують юну-вання мiри Гiббса для несюнченних систем взаемодiючих частинок (див. [21, 22]).
Означення 2.1. Взаемодш U називають стшкою (S), якщо юнуе B > 0 таке що
и (п) >-В |п1, длявс\хпеГ0 (5)
Означення 2.2. Взаемодш и називають суперстшкою (ББ), якщо ю-нуе А > 0, В > 0 та Аа0, такi що
и (п) > Е (А I Па | - В | Па |), длявс\хц еГ о. (6)
АеА ао
Бшьш сильною умовою е посилена суперстшк1стъ. Означення 2.3. Взаемодш и називають посилено-суперстткою (БББ), якщо iснуе А > 0, В > 0, Аао та т > 2 такi що
и (п) > Е (А | Па |т - В | ПА |), для вах п еГ0. (7)
АеА а0
Вперше цю умову запропонував Парк [11]. У роботi [20] запропонова-но достатнi умови на потенщал парно! взаемоди, якi забезпечують умову по-силено! суперстiйкостi. У робот [24] встановлено достатш умови на багато-частинковi потенцiали Ур, р > 3, якi зберiгають посилену суперстшюсть, якщо парний потенцiал забезпечуе посилену суперстшюсть вщповщно! енерги взаемоди.
Зауваження 2.1. В умовах (6), (7) константи А i В залежать вiд а0 (див. [5, 14]). Разом з тим нерiвностi (6), (7) можна записати i для довшьного розбиття Аа, а < а0 з тими самими А i В, що залежать вщ а0.
А4. Посилена суперстiйкiсть. Для довшьного р > 2 потенцiал Ур мо-же бути представлений
Ур = Ур+ + урзг\
де Ур + невiд,емна функщя i
У2+(*1, *0 = +да,
а Ур^г), р > 2 забезпечуе стшюсть енерги взаемоди. Вщповщне представлення енерги (4):
и (у) = и+(г) + и Пг) (8)
На вщмшу вщ роботи [24], ми накладаемо на потенщал р -частинко-во! взаемоди для р > 3 менш прозорi, але трохи слабшi умови, яю забезпечують посилену суперстшюсть повно! взаемоди, а також рiвномiрну обмеже-нiсть послiдовностi кореляцiйних функцш (див. детальнiше [14]).
Нехай р > 2 та N е Ы0. Для довшьного X^ := А у ми визначимо
I^ (А1;...; А N ) = 8ИР ... 8ИР |Ур"(х{1),..., (9)
де к1 +... + kN = р, к у > 1, у = 1..^ Для довiльного е > 0, М е N0 визначимо
1рь- ^|к(А1;...;Ам|е):= 2-к Е 1р1-км-^(А^..;Ам;А1..;АЩ (1 + Л (10)
а; ,...,Ак _ ¿=1 "
Ау с Я*, у=1...к
де й= А'с(г))}£, с() е {1..М} i к +... + км = р - к . Для додатно! части-
ни потенцiалу взаемоди визначимо величину
урь-^(Аь...,А"):= М ... М | Кр+^!(1),...,хХ|, (11)
де к е N, а Ур+(¥р) означае додатну (вщ'емну) частину потенцiалу V р .
Для ще! конф^ураци у е Г визначимо енергiю взаемоди мiж
А :
ПеГл,ЛеВс(Яй)i уАс =упЛс, Лс = \Л так
^л(п\Гл<) = Е Е Е Vp (х(,..., Хт, х,..., уи). (12)
р>2 га + и=р {х(,...,хт}сц т,п>1 {у1,...,у„}сулс
У робот [14] було запропоновано умови на шм'ю потенцiалiв, якi за-безпечували посилену суперстiйкiсть взаемоди, а також гарантували рiвно-мiрну обмежешсть по об'ему кореляцiйних функцiй рл, якi ми визначимо у наступному шдроздш. Цi умови сформулюемо у виглядi тако! додатково! властивост.
А4'. Притягувально-вiдштовхувальнi властивостi. 1снуе а = а0 > 0,
таке що для довiльного N е "0, довшьно! Хм := А у, А у е А ао та к > 2 вико-
нуються такi нерiвностi:
для будь-якого А е Аао i будь якого р > 2
Vp(Х1,...,Хр) > 0, {Х1,...,Хр} с А. (и) для будь-якого р > N +1
к" > 47^...^, тке"" > 4(7М+1 + В) (12)
_ _ _ _ "
i р, N = 2Е (27-1)1^"11 < = 2Е (21 -1)/^1|/ : Е к, = р (13)
/>1 />1 г=1
Детальний аналiз цих припущень можна знайти в уже згадуванш ро-ботi [14].
2.3. Статистична сума 1 тиск, що Тй в1дпов1дае
М1кроскошчна поведiнка системи визначаеться Ым'ею кореляцiйних функцiй, якi в обмеженому об,емi Асз граничними конф^уращями у е ГАс визначаються за такими формулами:
РЛП\У) 1е ~ви^г\г)Л(7(йгХ пеГл. (14)
2л(у) = |Г е-^и^г). (15)
л
В данш роботi ми будемо дослiджувати систему, що вщповщае пустим граничним умовам у=0. Важливою макроскопiчною характеристикою е тиск. У великому каношчному ансамблi вiн визначаеться наступною формулою:
р{г, в) = Нш рд(г, в) =1 Нш 2л.
|Л|— в |л—00 | л |
(16)
1снування ще! границi для систем, яю ми розглядаемо е вщомий результат [21] (див. також [18]). Так само як i в робот [19] введемо наступну апроксимащю для статистично! суми:
7Л-) = 2Л-)(а) = {Гл1в~ви(г)Ла(*г) = |Г в~ви(г) П ХА(г)Л*(*/), (17)
де
1, дляу з | уА | = 0 V1, 0, такше.
(18)
Вщповщний вираз для апроксимованого тиску визначаеться так
р(-)(2, в; а) = 11ш рЛ-)(2, в; а) =1 11ш 2Л-).
|Л|— в Л— | л |
(19)
Тепер ми можемо сформулювати основнi результати роботи. 3. Основш результати
Теорема 3.1. Нехай потенщали взаемоди {Ур} р >2 задовольняють умови А1-А4(А4'). Тодi для довiльного е > 0 юнуе а = а(2, е) > 0 таке що
|р(2, в) - р (-)(2 в; а) |< е (20)
для вЫх додатних 2, в.
Наслiдок 3.1. Нерiвнiсть (20) забезпечуе достатнi умови для юнування
границi
11ш р(-)(2, в; а) = р(2, в),
|а|—>0
для всiх додатних 2, в .
Доведення теореми 3.1: Доведення базуеться на кластерному розклад^ який запропоновано в робот [17]. Щоб отримати такий розклад, визначимо iндикатор щiльних конф^урацш в будь-якому кубику АеА:
х+А(г) = 1 -х-А(г).
Тодi можна отримати таке розбиття для кожно! конф^ураци у еГл :
АеЛ
Nл
1 =П [х-А(г)+х+А(г)]=Е Е Пх+Аг(У) П Х-А(г)
п=0{А1,..,Аи}сЛ г =1 .....
АсЛ \ ип=1А г
Е ХХ+(у)ХХ-(у), х- = л\х+,
0с X + сЛ
(21)
де Nл =| Л | / а* (тут символ | • | означае мiру Лебега множини) юльюсть куби кiв А в об,емi Л, Х+ - об'еднання кубикiв А для яких | уА> 2 i
".X+(_), Л т—г ~.Х+(-
ХХУЮ = П Щ-(гУ
АсХ+(-)
(22)
АеА а пЛ
Пiдставивши розклад одиницi (21) в iнтеграл (15), отримаемо наступ-ний вираз:
гл= Е 1Г Х+Х+ (т)хХ_(уГ^^Ш (23)
0сХ +сл л
Легко бачити, що перший член в (23) (за Х+ = 0) зб^аеться з ^"(а) (див. (17)). Використовуючи нескiнчену подiльнiсть мiри Лебега-Пуассона (див, наприклад (2.5) в [17]), ми маемо
7 л= 7 л-)(а)
1 + Е |Г Рх~\гх+; а)Ли(ёу)
0£Х+сл *Х+
:= 7 Йа^а), (24)
е~Ри(Ух+) ,
де Рх(Ух +; а) = н |Г Хх_ (/>~ви(Гх+
7 л(а) Х_
де и (ух+1 /) = №(ух+1 у') + и (/).
Так, використовуючи означення (16) i (19), можна записати
рл(1, в) = р(Л?, в; а) + рл% в; а). 1снування термодинамiчноl границi для кожного тиску рл(г, в), р^Хг, в; а) i рл+)(^, в; а) для потенцiaлiв, що розглядаються в цiй роботi, можна довести добре вщомими методами. Тому, щоб довести теорему, нам необ-хiдно оцiнити значення в; а). Для цього спершу скористаемося тривь
альним розбиттям, врахувавши (8)
и (ух +) = 1 и+(ух+) + 2 и (*%х+) + 2 и (ух +).
Ощнюючи гiббсовий фактор вщ другого доданку за допомогою нерiв-ностi (5) з константою В1, а гiббсовий фактор вщ третього доданку за допомогою нерiвностi (7) з константою В2, отримуемо нерiвнiсть
е_ви(ух+) < е~в\и+(ух+) п -р\а\уаГ +^+^1 (25)
АеАп X+
Для ощнки експоненти вщ взаемоди в iнтегрaлi для рХ^^ул +; а) скористаемося такою лемою.
Лема 1. Для довшьного у е Гх+ i у' е Гх_
2и+(у) + Ж(у\у') >_71 у\,
де 7 := 7« (див. (13)).
Доведения. Доведення леми наведено в роботах [5] i [14]. Як наслщок з ще1 леми маемо таку нерiвнiсть
е\гх_)_в|и+(гх+) < п евПгАI. (26)
АеАп X+
1з (25) та (26) легко отримати таку нерiвнiсть
AeAn X+
f (-V ТТ Г -4 А1гаГ +в(В+1 )Ы A/ ,, . ¿f-
1Гх PxY a^(dy) < П 1Га e 2 Х+ЫЛО) -f-j.
X+ л л A ¿л
За означення мiри Ло (див. (1))
1г
_в2 AYa m +P(B+I )|y | A
(adz)n -PLAnê +P(B+1)n
xAYA )ЛМУ^ ) < I
1 n!
n=2
* Z(a),
де
/-/л 2 2d adZe-P(2êA-B-1 ) D - /D , D 4
Z(a) = zLaLaea , B = 2 (B1 + B2).
1
(27)
Треба зауважити, що константи A, B та I залежать вiд a i прямують до нескiнченностi коли a ^ 0 (див. детальшше роботи [5],[14]). Але умови (12) забезпечують нерiвнiсть
2êA - B -1 > 0
для довшьного a < a0 (див. зауваження 2.1). Тепер i3 означення NA, ZЛ+) (див (24)) та ощнок, якi були отримаш вище, отримуемо:
log ZЛ+) < log
1 + I Z(a) Nx+
0£ X +çA
log [1 + Z(a)]
Na
= log
I A
Na
1 +I
Na !
a
k=1 k !( Na- k)! d log [1 + Z(a)].
Z(a)k
Як результат
^A+)(z, в; a) ^ log [1 + Z(a)].
Внаслiдок асимптотично! поведiнки Z(a) легко отримати
lim pA+)(z, в; a) = 0
a ^0
Висновки
Для неперервно! класично! системи тотожних частинок, що взаемодь ють за допомогою посиленого суперстшкого потенцiалу взаемодiï, визначено та описано квазшеперервну модель. На прикладi функцiï тиску показано метод побудови системи, який апроксимуе початкову, що е важливим кроком у подальшому вивченш проблеми iснування i единост мiр Гiббса.
Автор висловлюе свою подяку професору О.Л. Ребенку за постановку проблеми i постшну увагу у процес ïï виконання.
Лггература
1. S. Albeverio, Yu. G. Kondratiev, and M. Rickner. Analysis and geometry on configuration spaces, J. Funct. Anal., (2) (1998))), рр. 444-500.
2. D.C. Brydges and P. Federbush. Debye screening in dilute classical Coulomb systems, Comm. Math. Phys., (1980))), рр. 197-246.
3. H.O. Georgii and O. Haggstrom. Phase Transition in Continuum Potts Models, Comm. Math. Phys., (1996))), рр. 507-528.
4. Yu. G. Kondratiev, T. Kuna. Harmonic analysis on configuration space I. General theory, Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, no. 2 (2002))), рр. 201-233.
д
5. O.V. Kutoviy, A.L. Rebenko. Existence of Gibbs state for continuous gas with many-body interection, J. Math. Phys., (2004))), рр. 1593-1605.
6. J.L. Lebowitz, A. Mazel, and E. Presutti. Liquid-Vapor PhaseTransition for Systems with Finite-Range Interactions, J. Stat. Phys., no. 5/6 (1999))), рр. 955-1025.
7. A. Lenard. States of classical statistical mechanical systems of infinitely many particles. I, [8] A. Lenard. States of classical statistical mechanical systems of infinitely many particles. II, Arch. Rational Mech. Anal., (1975)), рр. 241-256.
8. Н.Н. Боголюбов, Д.Я. Петрина, Б.И. Хацет. Математическое описание равновесного состояния классических систем на основе формализма канонического ансамбля, Теорет. и матем. физика, (1969) стр. 251-274.
9. Р.А. Минлос. Предельное распределение Гиббса, Функ. анал. и его приложения, (1967) стр. 60-73.
10. Y.M. Park. Bounds on Exponentials of Local Number Operators in Quantum Statistical Mechanics, Commun. Math. Phys., (1984)), рр. 1-33.
11. D. Ya. Petrina, V.I. Gerasimenko, P.V. Malishev. Mathematical foundation of classical statistical mechanics. Continuous Systems, Gordon and Breach Science, N.Y. - London - Paris, 1989. (рос. изд. Наук. думка, 1985).
12. S.N. Petrenko, A.L. Rebenko. Superstable criterion and superstable bounds for infinite range interaction I: two-body potentials, Meth. Funct. Anal. and Topology, (2007) стор. 50-61.
13. S.N. Petrenko, A.L. Rebenko. Superstable criterion and superstable bounds for infinite range interaction II: many-body potentials, Зб. праць 1н-ту математики НАН Украши, (2008) т. 5, стор.135-145.
14. A.L. Rebenko. Mathematical Foundation of Equilibrium Classical Statistical Mechanics of Charged Particles, Russian Mathematical surveys, no.3 (1988))), рр. 55-97.
15. A.L. Rebenko. Poisson measure representation and cluster expantion in classical statistical mechanics, Commun. Math. Phys., (1993)), рр. 427-443.
16. A.L. Rebenko. A New Proof of Ruelle's Superstability Bounds, J. Stat. Phys., (1998)), рр. 815-826.
17. A.L. Rebenko. Polymer expansions for continuous classical systems with many-body interaction, Meth. Funct. Anal. and Topology, no.1, (2005) pp. 73-87.
18. A.L. Rebenko, M.V. Tertychnyi. Quasicontinuous Approximation of Statistical Systems with Strong Superstable interactions, "Математичш проблеми статистично! мехашки." Зб. праць 1н-ту математики НАНУ, (2007) т. 4, № 3, стор. 171-181.
19. A.L. Rebenko, M.V. Tertychnyi. On the Superstability and Strong Superstability of 2-Body Interaction Potentials, to be published in Meth. Funct. Anal. and Topology (2008).
20. D. Ruelle. Statistical Mechanics, (Rigorous results), W.A. Benjamin, inc. N.Y. - Amsterdam 1969.
21. D. Ruelle, Superstable interactions in classical statistical mechanics, Commun. Math. Phys. (1970))), рр. 127-159.
22. D. Ruelle. Existence of a Phase Transition in a Continuous Classical System, Phys. Rev. Lett., no. 16 (1971))), рр. 1040-1041.
23. M.V. Tertychnyi. Sufficient conditions for superstability of many-body interactions, to be published in Meth. Funct. Anal. and Topology (2008).
УДК 336:004 Acnip. Т.М. Стоколоса1 - Львiвська КА
1НФОРМАТИЗАЦ1Я ТА 1НФОРМАЦ1ЙНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ: П1ДХОДИ ДО ТРАКТУВАННЯ ПОНЯТЬ
Розглянуто нормативы та авторсью пщходи до трактування понять "шформа-цшне забезпечення" та "шформатизащя". Визначено важливють шформацшного за-безпечення та необхщшсть процесу шформатизацп для ефективного функщонування вах напрямiв дiяльностi, зокрема вщзначено мюце розглянутих об'ект1в у економiч-шй сферь
1 Наук. кер1вник: проф. Г.Я. Аншовська, д-р екон. наук - Льв1вський ДУ внутршшх справ
