CC BY
25
*УДК - 512.542
КРИТИЧЕСКИЕ ^-КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМАЦИИ МУЛЬТИОПЕРАТОРНЫХ Т-ГРУИИ
М.А. Корпачева, М.М. Сорокина
Пусть С - класс всех мультиоператорных Г-групп с конечными композиционными рядами, Н - некоторый класс групп. £?-расслоенная С-формация Е с направлением (р называется Нй?с-кригической формацией или, иначе, минимальной ^-расслоенной
не Н-формацией с направлением ^, если Е^Н, но все собственные £?-расслоенные С-подформации с направлением ^ из Ев классе Н содержатся. ^-канонические формации представляют один из наиболее важных типов £?-расслоенных формаций. В настоящей работе изучаются критические ^-канонические С-формации.
Ключевые слова: мультиоператорная Т-группа, формация групп, О-расслоенная С-формация, направление О-расслоенной С-формации, О-каноническая С-формация, Иа^С-критическая формация.
В теории классов конечных групп хорошо известна общая проблема изучения Щ-критических формаций, впервые поставленная Л.А. Шеметковым в 1980 году на VI Всесоюзном симпозиуме по теории групп [1]. Одними из наиболее важных типов формаций конечных групп являются локальные и композиционные формации. Многочисленные результаты о критических локальных и критических композиционных формациях были получены В.А. Ведерниковым, А.Н. Скибой и их учениками (см., например, [2-4]). В 1999 году В.А. Ведерников ввел в рассмотрение ю-веерные и ^-расслоенные формации конечных групп, являющиеся естественным обобщением локальных и композиционных формаций конечных групп соответственно [5-6]. Результаты о критических ю-веерных и критических О-расслоенных формациях можно найти, например, в [7-8]. Позднее В.А. Ведерниковым было показано, что понятие расслоенности носит более универсальный характер и может быть применено к построению расслоенных формаций универсальных алгебр, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для идеалов [9]. В 2009 году В.А. Ведерников ввел в рассмотрение ^-расслоенные формации мультиоператорных Г-групп [10]. Частными случаями мультиоператорных Г-групп являются такие важные виды алгебр, как группы, кольца, модули, мультикольца. В настоящей работе изучаются критические ^-расслоенные формации мультиоператорных Г-групп. Предварительные результаты данной статьи были анонсированы в [11-12].
Основные определения и обозначения, используемые в работе, можно найти в [13-16]. Приведем лишь некоторые из них.
Аддитивная группа О с нулевым элементом 0 называется мультиоператорной Г-группой с системой мультиоператоров Т или, коротко, Г-группой, если в О задана некоторая система и-арных
алгебраических операций Тдля некоторых и>0, причем ?(0,...,0)=0 для всех ^Е.Т (см., например, [14-15]). Через С обозначается класс всех Г-групп с конечными композиционными рядами [13]. Все рассматриваемые здесь группы принадлежат классу С. Формацию (класс), содержащуюся (содержащийся) в С, называют С-формацией (С-классом). Пусть I - класс всех простых Г-групп, и -непустой подкласс класса I, К(О) - класс всех групп, изоморфных композиционным факторам Г-группы
О; С^=(ОЕС | К(О)сЦ); f ^и{^'}^{формации Г-групп}, g: I ^{формации Г-групп}, I -^{непустые
формации Фиттинга Г-групп} - ^Г-функция, Г-функция и ГК-функция соответственно. Все рассматриваемые функции принимают одинаковые значения на изоморфных группах из их области определения. Формация &Г/,р)=(О: 0/0а(0)е/(&') и О/О^е/А) для всех Ле^пК(О)) называется &-расслоенной формацией Г-групп с ^-спутником /и направлением ^; формация Г(^,^)=(О: О/Оv,(A■)eg(A) для всех ЛеК(О)) называется расслоенной формацией Г-групп со спутником g и направлением ^ [13].
Пусть AeI. Тогда СА=С(А), ^-^(Л), САСА - гашюцово произведение классов С^ и СА, 0АА(0) и 0А(0) -САСА-радикал и СА-радикал Г-группы О соответственно; А - С-класс всех абелевых Г-групп [13].
Пусть Н - некоторый класс групп. Следуя [2], ^-расслоенную (расслоенную) С-формацию Г-групп Е с направлением ^ назовем минимальной ^-расслоенной (расслоенной) не Н-формацией с направлением
^, или иначе, Н^с-критической (Некритической) формацией, если Е^Н, но все собственные О-расслоенные (расслоенные) С-подформации с направлением ^ из Ев классе Н содержатся.
С-формация Е=@Г/,ф) называется ^-канонической или, коротко, >ОК-формацией, если
^(А) =САСА для любой Г-группы AeI, и обозначается Е=&КГ(/)=(О: 0/0а(0)е/(0'), 0/0АА(0)е/А) для
всех АеО пК(О)); аналогично, Е=КГ(/)=(О: 0/0А'А(0)е/А) для всех ЛеК(О)) - каноническая формация
[13]. Направление ^-канонической формации обозначается ^2' [13]. Н^2'С-критическую (Н^2_ критическую) формацию будем называть Н^КС-критической (НКС-критической) формацией. Через иКГ(О) ( КГ(О) ) обозначается ^-каноническая (каноническая) формация, порожденная Г-группой О
[13].
Теорема 1. Пусть И - полный внутренний О-спутник непустой О-канонической С-формации Н, /
- минимальный О-спутник О-канонической С-формации Е. Если формация Е является Н^КС-критической, то Е=&КГ(О), где О - Т-группа с наименьшей длиной главного ряда из Е\Н, имеющая
монолит Р=ОН, причем если К(Р)сЦ то/А)£И(А) для АЕК(Р), а если К(Р)^Ц то /(О1) является И(О') -критической формацией.
Доказательство. Пусть Е - НЖС-критическая формация и О - Т-группа с наименьшей длиной главного ряда из Е\Н. Тогда О является монолитической группой с монолитом Р = ОН. Поскольку
&КГ(О) с Ей &КГ(О) £ Н, то, в силу Н^КС-критичности формации Е, получаем &КГ(О) = Е. Согласно
следствию 4.7 [13], ДО1) = /огт(О/Оа(О)), /(А) = /огт(О/ОА'А(О)), если А ПК(О), и /(А) = 0 для А Е
и \ К(О). По определению 5 [13], И(&') = Н, И(А) = САИ1(А) для любого А Е О П А, где И - минимальный
^-спутник формации Н. Согласно следствию 5.4 [13], И(А) = САИ1(А) для любого АЕО.
Пусть К(Р) с @ и А Е К(Р). Покажем, что /(А) ^ И(А). Рассмотрим случай, когда И(А) = 0.
Допустим, что А Е К(Н). Тогда, ввиду следствия 4.7 [13], И\(А) Ф 0, и значит, И(А) = САИ(А) Ф 0.
Противоречие. Следовательно, А &К(Н), и поэтому А&Н. Ввиду А Е Д по лемме 10 [13] имеем А Е СА с
С/А) ^ е. Таким образом, А Е Е\Н, и значит, О = А. Тогда /(А) = /огт(А/0^А(А)) = /огт{0} Ф 0 и
поэтому /(А) £ И(А).
Пусть теперь И(А) Ф 0. Предположим, что /(А) И(А). Тогда О/Оа,а(О) Е И(А). Так как А Е СА, то
Оа(О) Ф {0} и О/Оа(О) Е Н. Ввиду леммы 7 [13], О Е Н, что невозможно. Поэтому /(А) £ И(А).
Рассмотрим случай, когда К(Р) £ О. Покажем, что/(>£') является И(0')-критической формацией.
Поскольку К(Р) £ и, то Оа(О) = {0} и/О') = /огтО £ Н = И(& '). Пусть М - собственная подформация
из /О') и М1 = ОКГ(М). Из М С /О') ^ Е получаем М1 е. Допустим, что М1 = Е. Тогда / (О1) =
/огт(М/Оа(М): М Е М) с м. Противоречие. Следовательно, М1 С Е, и значит, М1 н. Тогда М с н = И(О'). Тем самым установлено, что формация /О') является И(0')-критической. Теорема доказана.
Следствие 1. Пусть И - полный внутренний спутник непустой канонической С-формации Н, /-минимальный спутник канонической С-формации Е. Если формация Е является НКС-критической, то Е=КГ(О), где О - Т-группа с наименьшей длиной главного ряда из Е\Н, имеющая монолит Р=ОН, причем
/(А) £ И(А) для А ЕК(Р).
Теорема 2. Пусть И - полный внутренний О-спутник непустой О-канонической С-формации Н, /
- минимальный О-спутник формации Е=&КГ(О), где О - Т-группа с наименьшей длиной главного ряда
из Е\Н с монолитом Р=ОН. Если в случае К(Р) с & справедливо включение /(А) с И(А) для А ЕК(Р), а
при К(Р) £ и формация /(О1) является И(иг)-критической, то Е является НаКС-критической формацией.
Доказательство. Поскольку О Е Е\Н, то Е £ Н. Согласно следствию 4.7 [13], /(О*) =
/огт(О/Ой(О)), /(А) = /огт(О/ОА’Л(О)), если А Е О ПК(О), и /(А) = 0 для всех А Е ^\К(О). По
определению 5 [13], И(О') = Ни И(А) = САИ1(А) для любого А Е О ПА, где И - минимальный ^-спутник
формации Н. Согласно следствию 5.4 [13], И(А) = САИ1(А) для любого А Е О.
Пусть В - собственная ^-каноническая С-подформация из Ей Ь - ее минимальный ^-спутник.
Согласно следствию 4.3 [13], Ь </. Покажем, что Ь < И. Пусть А Е О. Покажем, что Ь(А) с И(А). Если А
Е О \К(О), то /(А) = 0, и значит, Ь(А) = 0 с И(А).
Пусть А Е и П К(О). Рассмотрим случай, когда К(Р) с @. Если А & К(Р), то, согласно лемме 2 [13],
Оаа(О)/Р = Оаа(О/Р). Тогда Ь(А) с /(А) = /отт{О/ОАЛ{О)) = /отт{{О/Р)/(ОАЛ{О)/Р) = /отт{{О/Р)/ОАЛ{О/Р)) Я
И(А). Пусть теперь А Е К(Р). Тогдапо условию /(А) с И(А), и значит, Ь(А) с И(А).
Пусть теперь К(Р) £ О. Тогда К(Р) П и = 0. Как и выше, Ь(А) с /(А) = /огт(О/ОА’уА(О)) =
jbrm((G/P)IOA.A(GIP)) с h(A).
Покажем, что b(Q') с h(Q'). Если K(P) с Q, т0 р с OQ(G) и b(Q') с f(W') = form(GIOQ(G)) = form((GIP)I(OQ(G)IP) с h = h(Q'). Таким образом, b(Q') с h(Q'). Пусть K(P) £ ,Q. Предположим, что b(Q') = f^'). Поскольку P £ Oq(G), to Oq(G) = {0} и G E formG = form(GIOQ(G)) = ffl1) = b(£') с в, что невозможно. Следовательно, b(Q') Е f.Q') и поэтому, в силу ^,0')-критичности формации f.Q'), имеем b(Q') с h(0).
Таким образом, b(A) с h(A) для всех А Е Q и b(Q') с h(Q'). Это означает, что b < h и B с н. Тем самым установлено, что формация F является HQKC-критической. Теорема доказана.
Следствие 2. Пусть h - полный внутренний спутник непустой канонической C-формации H, f -минимальный спутник формации F=KF(G), где G - Т-группа с наименьшей длиной главного ряда из F\H с
монолитом P=GH. Если fA) с h(A) для A Е K(P), то F является Нкс-критической формацией.
Let с be a class of all Г-groups with finite composition series and let H be a class of groups. An ^-foliated с-formation F with direction is called Hfif)C-critical formation or a minimal ^-foliated non-H-formation with direction ^, if f£h, but each non-trivial ^-foliated subformation with direction у of F belongs to the class H. In the paper we study critical Q-canonical formations.
The key words: a T-group with multiple operators, a formation of groups, an Q-foliated C-formation, a direction of Q-foliated C-formation, an Q-canonical C-formation, an HQvC-critical formation.
Список литературы
1. Л.А. Шеметков. Экраны ступенчатых формаций II Тр. VI Всесоюз. Симпозиума по теории групп. Киев: Науковадумка. 1980. С. 37 - 50.
2. А.Н. Скиба. О критических формациях II Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев: ИМ АН Украины. 1993. С. 250 - 268.
3. В.М. Селькин, А.Н. Скиба. О Н0ш-критических формациях II Вопросыалгебры. Гомель: Изд-во Гомельского ун-та. 1999. Вып. 14. С. 127 - 131.
4. В.А. Ведерников, М.М. Сорокина. Композиционные и локальные наследственные критические формации II Ред. журн. «Сиб. Матем. ж.». Новосибирск, 1998. 19 с. Деп. в ВИНИТИ 8.01.98. № 25 В 98.
5. В.А. Ведерников, М.М. Сорокина. Q-расслоенные формации и классы Фиттинга конечных групп. Препринт. Брянск: БГПУ, 1999. № 5. С. 1 - 24.
6. В.А. Ведерников, М.М. Сорокина. ю-веерные формации и классы Фиттинга конечных групп. Препринт. Брянск: БГПУ, 1999. № 6. С. 1 - 22.
7. М.М. Сорокина, Н.В. Силенок. Критические Q-расслоенные формации конечных групп II Математические заметки. Т. 72, Вып. 2, 2002. С. 269 - 282.
8. М.А. Корпачева, М.М. Сорокина. О критических ю-веерных формациях конечных групп II
Математические заметки. Т. 79, Вып. 1, 2006. С. 87 - 94.
9. В.А. Ведерников. Q-расслоенные формации и классы Фиттинга групп с конечными композиционными рядами II Укр. матем. конгресс «Алгебра и теория чисел». Тезисы докладов. Киев: Ин-т математики АН Украины. 2001. С. 16 - 17.
10. В.А. Ведерников, Е.Н. Демина. Q-расслоенные формации мультиоператорных Т-групп II Препринт. М.: МГПУ, 2009. № 4. С. 1 - 27.
11.М.М. Сорокина, М.А. Корпачева. О Q-канонических формациях мультиоператорных Т-групп II «Алгебра и математическая логика». Материалы международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения В.В. Морозова. Казань: КФУ. 2011. С.164 - 165.
12.М.А. Корпачева, М.М. Сорокина. О критических Q-биканонических и Q-канонических
формациях мультиоператорных Т-групп II Материалы международной конференции по алгебре и геометрии, посвященной 80-летию со дня рождения А.И. Старостина. Екатеринбург. 2011.
13.В.А. Ведерников, Е.Н. Демина. Q-расслоенные формации мультиоператорных Т-групп II Сиб. матем. ж. 2010. Т. 51. № 5. С. 990-1009.
14.А.Г. Курош. Лекции по общей алгебре. М.: Наука. 1973. 400 с.
15.Общая алгебра. Т. 2. Под редакцией Л.А. Скорнякова. М.: Наука. 1991. 480 с.
16.Л.А. Шеметков, А.Н. Скиба. Формации алгебраических систем. М.: Наука. 1978. 256 с.
Об авторах
Сорокина М.М. -кандидат физико-математических наук, доцент Брянского государственного
/ниверситета имени академика И.Г. Петровского
Корпачева М. А. - кандидат физико-математических наук, доцент Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского
