КРИТИЧЕСКИЕ N-КРАТНО ω-ВЕЕРНЫЕ ФОРМАЦИИ КОНЕЧНЫХ ГРУПП Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК - 512.542

КРИТИЧЕСКИЕ я-КРАТНО ш-ВЕЕРНЫЕ ФОРМАЦИИ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

М.М. Сорокина, М.А. Корпачева

Рассматриваются только конечные группы. Пусть H - некоторый класс групп. я-кратно ю-веерная формация F

с направлением д называется H^5-критической формацией или, иначе, минимальной я-кратно ю-веерной не &

формацией с направлением д, если F£H, но все собственные я-кратно ю-веерные подформации с направлением д из F в классе H содержатся. В настоящей работе изучаются критические я-кратно ю-веерные формации конечных групп с ^^-направлением и критические я-кратно ю-веерные формации конечных групп с Ьг-направлением.

Ключевые слова: конечная группа, формация групп, т-веерная формация, направление т-веерной формации, я-кратно т-веерная формация, Ид-критическая формация.

В теории формаций конечных групп к настоящему времени наиболее изученными являются локальные формации, введенные в рассмотрение Гащюцем в 1963 году [1]. При построении и изучении локальных формаций существенную роль играют функциональные методы. В 1984 году Л.А. Шеметковым были введены в рассмотрение ю-локальные формации [2], которые показали новые возможности использования функций при изучении классов конечных групп. В 1999 году В.А. Ведерниковым была введена в рассмотрение концепция частичной веерности, в основе которой был предложен принципиально новый функциональный подход к исследованию классов групп [3]. При этом, понятие ю-веерной формации явилось естественным обобщением понятия ю-локальной формации.

Другим важным обобщением понятия локальности является понятие кратной локальности, введенное в рассмотрение А.Н. Скибой в 1987 году [4]. Многочисленные результаты исследований в данном направлении представлены в монографии А.Н. Скибы «Алгебра формаций» [5]. Изучением кратно ю-локальных формаций занимались Л.А. Шеметков, А.Н. Скиба, В.Г. Сафонов, И.Н. Сафонова,

Н.Г. Жевнова и др. (см., например, [6]). В данной работе изучаются кратно ю-веерные формации конечных групп.

В 1980 году Л.А. Шеметковым на VI Всесоюзном симпозиуме по теории групп была поставлена общая проблема изучения He-кpитичecкиx формаций, где H - класс групп, 0 -некоторая непустая совокупность формаций [7]. В серии работ (см., например, [8]) А.Н. Скибой получено решение этой проблемы в случае, когда 0 - совокупность всех локальных формаций, а HG0 - формация классического типа. Исследованием критических «-локальных формаций занимались А.Н. Скиба, В.М. Селькин, И.Н. Сафонова и др. (см., например, [9-10]). Настоящая работа посвящена исследованию критических я-кратно ю-веерных формаций конечных групп двух видов направлений. Предварительные результаты данных исследований были анонсированы в [11].

Рассматриваются только конечные группы. Основные определения и обозначения можно найти в [5, 12-13]. Приведем лишь некоторые из них. Запись 0=[А]В означает, что группа G есть полупрямое произведение своих подгрупп А и В, где А - нормальная подгруппа группы G. Монолитической группой называется группа, имеющая единственную минимальную нормальную подгруппу (монолит). Пусть Р - множество всех простых чисел, ш - непустое подмножество множества Р, Gю - класс всех «-групп, то есть таких групп G, что л:(0)Я:Ю, где л(О) - множество всех простых делителей порядка группы G; Gq - класс всех д'-групп; - класс всех групп, у

которых каждый главный р-фактор централен. Через Gzp' обозначается класс всех Zp'-гpyпп, то есть таких групп G, что К^)П^р)=0, где К(О) - класс всех групп, изоморфных композиционным факторам группы G, ^р) - класс групп, порожденный простой р-группой Zp. Пусть H и F - классы групп. Тогда ОТ=^ : G имеет нормальную подгруппу NeH с G/NeF). Через GF обозначается F-радикал группы G, где F - непустой класс Фиттинга. 0р(0), 0Ю(0), Fcp(G) - Кр-радикал, Gю-paдикaл и $ср^-радикал группы G соответственно. Функции/:юи{ю'}^{формации групп}, ^:Р^{формации групп}, {непустые формации Фиттинга} называются соответственно ю^-функцией, ¥Е-

функцией и Р^К-функцией. Формация юЕ(/,ё)=^: G/0ю(G)Ef(ю') и G/Gs(P)Ef(p) для всех рЕсо{Лж(0)) называется ю-веерной формацией с «-спутником / и направлением ё; формация Е(£,§)=^: G/Gs(P)Eg(p) для всех рЕж(О)) называется веерной формацией со спутником g и направлением ё [12]. Направление ё ю-веерной формации называется Ь-направлением, если ^(д)Кд=^(д) для любого деР; р-направлением, если GqS(q)=ё(q) для любого деР; г-направлением,

если GZq^(g)=^(g) для любого д£Р\ Направление ё называется х!х2...хя-направлением, если ё является хгнаправлением для любого / = 1,...,я. Через ^0 обозначается направление «-полной формации, то есть ё0(p)=GP' для всех реР; через обозначается направление «-локальной формации, то есть ^l(p)=GP'NP для всех реР; через ё2 обозначается направление «-специальной формации, то есть ^2(p)=GZpNp для всех реР; через ё3 обозначается направление «-центральной формации, то есть ё3(p)=Scp для всех реР [13]. Пусть ^ и у2 - произвольные «^-функции (Р^-функции, Р^к-функции). Говорят, ЧТО ^1<^2, если ^1(р)^^2(р) для всех р£«и{«'} (для всех р£Р) [12].

Пусть ё - произвольная Р^К-функция, ябЖи{0}. Всякую формацию считают 0-кратно «веерной (веерной) с направлением ё. При яф0 формация F называется я-кратно «-веерной (веерной) с направлением ё, если F имеет хотя бы один «(я_1)-спутник ((я-1)-спутник), то есть такой «-спутник (спутник), все значения которого являются (я-1)-кратно «-веерными (веерными) формациями с направлением ё. «(я_1)-спутник ((я-1)-спутник) / я-кратно «-веерной (веерной) формации с направлением ё называется минимальным «(я_1)-спутником ((я-1)-спутником), если/<Н для всякого «(я_1)-спутника ((я-1)-спутника) Н формации F. Через юF(X,ё) (^(Х,^)) обозначается «веерная (веерная) формация с направлением ё, порожденная множеством групп X; юЕя(Х,ё) (Ея(Х,ё)) - я-кратно «-веерная (веерная) формация с направлением ё, порожденная множеством групп X [13].

Пусть H - некоторый класс групп. я-кратно «-веерная (веерная) формация F с

направлением ё называется H т 8 -критической (H я5 -критической) формацией или, иначе,

минимальной я-кратно «-веерной (веерной) не H-фopмaциeй с направлением ё, если F^H, но все собственные я-кратно «-веерные (веерные) подформации с направлением ё из F в классе H содержатся.

Доказательство следующей леммы проводится аналогично доказательству теоремы 5 [12].

Лемма 1. Пусть яЕЫ, X - непустой класс групп, F=«Fя(X,5), где ^0<^. Тогда формация F обладает единственным минимальным ю^.у-спутником / таким, что /(«')= «^(я_1)(^/0ю^) : G□X),^), f(p)=mF^n.l)((G/Gs(P) : G□X), ё) для всех^«Пл:^),/р)=0, если^>□«\л:(X).

Следствие 1. Пусть яЕЫ, Fг■ - я-кратно ю-веерная формация с направлением ё, где ^0<^, и/

- минимальный «(я_1)-спутник формации F/, /—1,2. Тогда FlCF2 в том и только в том случае, когда //

1. Критические я-кратно ш-веериые формации с ^-направлением

Теорема 1. Пусть яЕЫ, ё - Ьр-направление т-веерной формации, ё^ёи,, H - непустая т-веерная формация с направлением ё и максимальным внутренним ш-спутником Н, F - я-кратно ю-веерная формация с направлением ё и минимальным ш^у-спутником / Если формация F является H т5 -критической, то F=шFn(G,ё), где G - монолитическая группа с монолитом P=GH таким, что если ж(Р)^т, то формация/р) является Н(р) 0} 5 -критической для некоторого р£я(Р), а если я(Р)£«, то /«') является Н(«') 0} 5 -критической формацией.

Доказательство. Пусть F - HmS -критическая формация и G - группа наименьшего порядка

из F\H. Тогда G является монолитической группой с монолитом P=GH и F=(oFя(G,ё). Так как ё является ^-направлением, то ^0<^, и, согласно лемме 1, /(«')=«F(я_l)((G/0ю(G)),^), /p)=«F(я_

l)((G/Gs(P)),ё), для всех р6«Пл:^) и/р)=0, если рЕю\ж^). Поскольку ё является ^-направлением, удовлетворяющим условию ^1<^<^3, то по теореме 6 [13] Н(«')=П и для любого р6« справедливо Н(p)=NpН(p)=NpНl(p), где Н\ - произвольный внутренний «-спутник формации ^

Пусть ж(Р)^ю. Предположим, что /(д)сН(д) для любого gEж(P). Тогда из GeF следует G/Gs(q)Ef(q)QН(q) для всех gEж(P). Кроме того, G/PeH и, ввиду РЯ:0ю^), имеем G/0ю(G)=(G/P)/(0ю(G)/P)eH=Н(«'). Согласно лемме 2 [13] GeH, что невозможно. Поэтому существует такое р£ж(Р), что /р)£Н(р). Покажем, что формация /р) является Н(р) ш 5 -критической.

Рассмотрим случай, когда Н(р)=0. Покажем, что ZP£H. Пусть Н2 - минимальный «-спутник формации Н Допустим, что ре^СЛ). Тогда по теореме 5 [12] Н2(р)Ф0 и поэтому Н(р)=^Н2(р)^0. Противоречие. Следовательно, р^яЩ) и ZPgH. Так как рея^П«, то /р)ф0. Ввиду леммы 7 [13], ZpeNpcNp/(p)cF. Таким образом, ZpeF\H и G=ZP. Поскольку ё является Ь-направлением, то ё(р)Ыр=ё(р) и ZPENPQё(p). Тогда ^р)р^р и /^?)=«F(я.l)((ZP/(ZP)^(P)),^)=(1). Тем самым установлено, что формация /р) является Н(р) а 8 -критической.

Пусть теперь Н(р)Ф0 и М - собственная (я-1)-кратно «-веерная подформация с направлением ё из /р). Предположим, что М&(р) и М - группа минимального порядка из М\Н(р). Тогда М является монолитической группой с монолитом К=М(р. Допустим, что К£0р(М). Тогда MeNPН(p)=Н(p), что невозможно. Следовательно, 0р(М)=1 и по лемме 18.8 [14] существует точный неприводимый FP[M]-модуль К. Пусть Т=[К]М. Тогда группа Т монолитична с монолитом К=Ст(К). Покажем, что Т%р)=К. Поскольку ё является Ь-направлением, то Ке^£^ркр=^(р) и КЯ:Т$(р). С другой стороны, ё3(p)=Scp и Tsз(P)=Fcp(rT)Я:C1(K)=K. Так как ^<^3, то Т^с^ДТ), и значит, Т^рОК. Следовательно, Т#р,)=К Так как Т/К^МеМ, то, ввиду леммы 7 [13], TeNPMcNP/(p)cF. Поэтому о^я(Т,ё)^. Если юFn(T,S)=F, то /(p)=«F(я.l)((T/T^(P)), д)=«F(Я_1)((T/K), ё^о^^М, <5)^М, что невозможно. Поэтому «F(я_1)(T,^)cF, и значит, юF(я_l)(T,S)QH. Тогда М=Т/К=Т/Т1(Р)ЕН(р). Противоречие. Следовательно, МЯН(р) и формация /р) является Н(р) а 8 -критической.

Пусть ж(Р)^«. Покажем, что в этом случае /(«') - Н(«') а 8 -критическая формация. Так как

Р£0Ю(0), то 0Ю^)=1 и /(«')=«F(я.l)(G/0ю(G),^)=«F(я.l)(G,^)^H=Н((ю'). Пусть М - собственная (я-1)-кратно «-веерная подформация с направлением ё из/«') и М1= юFя(M,S). Из Мс/«')^ получаем М1^. Допустим, что М^. Тогда /(«')= «F(я_1)((M/0ю(M) : МеМ),^)£М. Противоречие.

Следовательно, M1cF, и М^И Поэтому МО!—^®') и формация /(«') является Н(«') 0} 5 -

критической. Теорема доказана.

Следствие 2. Пусть яЕЫ, ^ - Ьр-направление веерной формации, 6<33, H - непустая веерная формация с направлением ё и максимальным внутренним спутником Н, F - я-кратно веерная

формация с направлением ё и минимальным (я-1)-спутником /. Если формация F является H я 8 -

критической, то F=Fя(G,ё), где G - монолитическая группа с монолитом P=GH таким, что

формация/р) является Н(р)^я_1) 8 -критической для некоторого рЕж(Р).

Теорема 2. Пусть яЕЫ, ё - Ьр-направление ю-веерной формации, ё<$3, H - непустая я-кратно ю-веерная формация с направлением ё и максимальным внутренним ш-спутником Н, F=шFя(G,ё) -формация с минимальным ш^.у-спутником / где G - монолитическая группа с монолитом P=GH таким, что если ж(Р)П«^0, то Ф^)=1, л:(Р)={р} и формация/р) является Н(р) 0} 5 -критической, а

если ж(Р)П«=0, то /(«') является Н(«') 0} 5 -критической формацией. Тогда формация F является H

т 5 -критической.

Доказательство. Поскольку P=GH, то F^H. Пусть В - собственная я-кратно «-веерная подформация с направлением ё из F и Ь - ее минимальный «(я_1)-спутник. По следствию 1 Ь</. Покажем, что Ь<Н. Отметим, что так как H - непустая я-кратно «-веерная формация, то по определению H обладает хотя бы одним «(я_1)-спутником. Пусть g - минимальный «(я_1)-спутник формации Н Ввиду леммы 1, g является внутренним «-спутником формации ^

I. Покажем, что Ь(р)^Н(р) для любогор6«.

1) Пусть pe«\ж(G). Тогда/р)=0, и значит, Ь(р)=0^Н(р).

2) Пусть р£«Пл:^). Рассмотрим случай, когда рЕ(ж(0)(Лт)\к(Р). Так как

PEGp'QGp'ё(p)=ё(p), то, ввиду леммы 1 [13], ^/Р^р^^/Р и Ь(p)QJ/p)=юF(я.у)(G/Gs(p),ё) =^я-уША/Р)/^Й(р)/Р)),ё)=^(я-у)((А/Р)/^/Р)Й(р)),ё)^(р)Я:Н(р). Таким образом, Ь(р)^Н(р).

Пустьр£ж(Р). Тогда ж(Р)П«^0 и по условию ж(Р)={р}, т.е. Р - абелевар-группа. Покажем, что Gg(P)=P. С одной стороны, PENPQё(p)NP=ё(p), и значит, PQGs(P). С другой стороны, P=Fcp(G). Действительно, так как по условию Ф^)=1, то G=[P]L. Допустим, что Fcp(G) ПL=L1^1. Тогда L1cCG(P) и NG(L1)=G, что, ввиду монолитичности группы G, невозможно. Следовательно, L1=1 и P=Fcp(G). Так как ^<^3, то Gg(P)^Fcp(G)=P. Таким образом, Gg(P)=P. Предположим, что Ь(р)=/р). Тогда G/P=G/Gg(P)Ef(p)=Ь(p) и по лемме 7 [13] GeNPЬ(p)cB. Отсюда получаем F=(aFя(G,ё)^B. Противоречие. Следовательно, Ь(р)с./(р), и в силу Н(р) ш 3 -критичности формации /р), имеем Ь(р)^Н(р).

Из 1) и 2) следует, что Ь(р)^Н(р) для любогор6«.

II. Покажем, что Ь(«')сН(«'). Если ж(Р)П«^0, то по условию ж(Р)={р} и поэтому Pc0ю(G). Так как ^Н^'), то формация H является (я-1)-кратно «-веерной с направлением ё. Тогда Ь(m')Qf(m')=mF(я. 1)(G/0ю(G),ё)=mF(я.1)((G/P)/(0ю(G)/P)),ё)ЯH=Н(m'). Пусть ж(Р)П«=0. Тогда по условию формация /(«') является Н(«') 0} 5 -критической. Предположим, что Ь(«')=/(«'). Так как P^0ю(G), то Ge«F(я.

1)(G,ё)=юFn-1)((G/0ю(G)),ё) =Д«')=Ь(«')сВ, что невозможно. Следовательно, Ь(«')с/«') и поэтому

b(«')ch(«').

Из I и II следует, что b<h, и значит, Б£И. Тем самым установлено, что формация F является H 0}S -критической. Теорема доказана.

Следствие 3. Пусть nEN, 8 - Ьр-направление веерной формации, 8<S3, H - непустая п-кратно веерная формация с направлением S и максимальным внутренним спутником h, F=Fn(G,S) -формация с минимальным (п-\)-спутником f, где G - монолитическая группа с монолитом P=GH, 0(G)=1, ^(P)={p} и формация fp) является h(p)(n_1) s -критической. Тогда формация F является H

п s -критической.

Замечание 1. Направления Sh ё2, ^3 соответственно «-локальной, «-специальной и «центральной формаций являются /^-направлениями, причем ^<^2<^3. Поэтому в качестве следствий из теорем 1 и 2 получаем результаты для n-кратно «-локальных, п-кратно «-специальных и п-кратно «центральных формаций конечных групп. Отметим, что, как показано в [13], на отрезке [^1, ^2] содержится бесконечное линейно упорядоченное множество попарно «-неэквивалентных Ьр-направлений веерных формаций.

2. Критические я-кратно ш-веерные формации с ^-направлением

Теорема 3. Пусть nEN, 8 - br-направление ю-веерной формации, S<S3, H - непустая т-веерная формация с направлением S и максимальным внутренним ю-спутником h, F - n-кратно ю-веерная формация

с направлением S и минимальным ю^-спутником f Если формация F является H 0}S -критической, то

F=a>F„(G,S), где G - монолитическая группа с монолитом P=GH таким, что если ж(Р)^т, то n{P)={p} и

формация fp) является h(p) 0} 5 -критической, а если п(Р)^ю, то fa>') является h(«') w 5 -критической

формацией.

Доказательство. Так как всякое r-направление является ^-направлением, то, согласно теореме 1, F=mFn(G,S), где G - монолитическая группа с монолитом P=GH таким, что если к(Р)^ш,

то формация fp) является h(p)w s -критической для некоторого pG^(P), а если ^(P)£«, то f(«') является h(«') т 5 -критической формацией.

Пусть i(P)Cffl. Покажем, что ^(P)={p}. Предположим, что k(P)|>1. Тогда PEGZq' для любого qEn(P). Так как S - r-направление, то по лемме 1 [13] (G/P)s(q)=Gs(q)/P и

G/Gg(q)=(G/P)/(Gg(q)/P)=(G/P)/(G/P)g(q)Eh(q) для всех qEn(P)=n(P)^rn. Поскольку PqOw(G), то G/Oro(G)=(G/P)/(Oro(G)/P)eH=h(«'). Тогда, согласно лемме 2 [13], GeH. Противоречие. Таким образом, k(P)|=1 и ^(P)={p}. Теоремадоказана.

Следствие 4. Пусть nEN, 8 - br-направление веерной формации, 8<S3, H - непустая веерная формация с направлением S и максимальным внутренним спутником h, F - n-кратно веерная

формация с направлением S и минимальным (n-1)-cnymnuKOM f. Если формация F является H n s -

критической, то F=Fn(G,S), где G - монолитическая группа с монолитом P=Gn, ^(P)={p} и

формация fp) является h(p) (n_^ s -критической.

Теорема 4. Пусть nEN, 8 - br-направление ю-веерной формации, 8<83, H - непустая n-кратно ю-веерная формация с направлением 8 и максимальным внутренним ю-спутником h, F=aFn(G,S) - формация с минимальным ю^ц-спутником f где G - монолитическая группа с монолитом P=GH таким, что если m(P)Qrn, то 0(G)=1 и формация fp) является h(p) т 5 -

критической, а если ^(P)£«, то frn') является h(«') w 5 -критической формацией. Тогда F

является H а5 -критической формацией.

Доказательство. Поскольку P=GH, то F^H. Пусть Б - собственная n-кратно «-веерная подформация с направлением 8 из F и b - ее минимальный «^.^-спутник, g - минимальный «(n-1)-спутник формации H. По следствию 1 b<f. Покажем, что b<h.

I. Установим, что b(p)Qh(p) для любогоpG«. 1) Пусть pEю\ж(G). Тогда b(p)=0Qh(p).

2) Пусть pEюПж(G). Рассмотрим случай, когда pE(ж(G)Пю)\ж(P). Так как PEGZp& GzP’S(p)=8(p), то, ввиду леммы 1 [13], b(p)cfp)=«F(n-1)(((G/P)/(G/P)^)),d)cg(p)ch(p). Таким образом, b(p)Qh(p).

Пусть pe^(P). Если P - неабелева pd-rpynna, то PEGZp’ и по лемме 1 [13] b(p)Qfp)= «F(n_ 1)(((G/P)/(G/P)a{p)),S)Qg(p)Qh(p). Следовательно, b(p)Qh(p).

Пусть P - абелева p-rpynna. Тогда n(P)^rn и по условию формация fp) является h(p) т 5 -

критической. Предположим, что b(p)=f(p). Как и при доказательстве теоремы 2, ввиду 0(G)=1, имеем Gg{p)=P. Тогда G/P=G/Gg{p)Ef(p)=b(p) и по лемме 7 [13] GeNpb(p)cB. Отсюда получаем, что F=«Fn(G,^)£B. Противоречие. Следовательно, b(p)c.f(p), и в силу h(p)w s -критичности формации

fp), справедливо включение b(p)Qh(p).

Из 1) и 2) следует, что b(p)Qh(p) для любогоp6«.

II. Покажем, что b(«') Q h(«'). Если n(P) Q «, то P Q Om(G) и b(«') Q Am') = ®F(n, 1)((G/P)/(Om(G)/P)),S)^H=h(m'). Пусть ^(P)£«. Предположим, что b(«')=/(«'). Так как P£Oro(G), то Oro(G)=1 и GEcoF(n_1)((G/Om(G)),S)=/(m')=b(m')QB, что невозможно. Следовательно, Ь(«')сД«') и поэтому b(«')ch(«'). Таким образом, b<h, и значит, B£H. Тем самым установлено, что формация F является H 0}S -критической. Теорема доказана.

Следствие 5. Пусть nEN, 8 - br-направление веерной формации, 8<S3, H - непустая n-кратно веерная формация с направлением S и максимальным внутренним спутником h, F=Fn(G,S)

- формация с минимальным (n-1)-cnymnuKOM f, где G - монолитическая группа с монолитом P=Gn, Ф(0)=1 и формация fp) является h(p)(n_1) s -критической. Тогда F является H n s -критической формацией.

Замечание 2. Направления ё2 и ^3 являются br-направлениями. Поэтому в качестве следствий из теорем 3 и 4 получаем результаты для n-кратно «-специальных и n-кратно «-центральных формаций конечных групп. Отметим, что направление д1 «-локальной формации br-направлением не является.

Only finite groups are considered. Let H be a class of groups. An n-multiply ю-fibered formation F with direction 8

is called H -critical formation or a minimal n-multiply ю-fibered non-H-formation with direction 8, if F£H, but

each non-trivial n-multiply ю-fibered subformation with direction 8 of F belongs to the class H. In the paper we study critical n-multiply ю-fibered formations with ^-direction and critical n-multiply ю-fibered formations with br-direction.

The key words: a finite group, a formation of groups, an m-fibered formation, a direction of m-fibered formation, an n-multiply ю-fibered formation, an Hg-critical formation.

Список литературы

1. W. Gaschutz. Zur Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen // Math. Z. 1963. T. 80. № 4. P. 300 - 305.

2. Л.А. Шеметков. О произведении формаций // Доклады АН БССР. 1984. Т. 28. № 2. С. 101 -

103.

3. В.А. Ведерников, М.М. Сорокина. П-веерные формации и классы Фиттинга конечных групп. Препринт. Брянск: БГПУ, 1999. № 6. С. 1 - 22.

4. А.Н. Скиба. Характеризация конечных разрешимых групп заданной нильпотентной длины // Вопросы алгебры. Минск. 1987. Вып. 3. С. 21 - 31.

5. А.Н. Скиба. Алгебра формаций. Мн.: Беларуская навука. 1997. 240 с.

6. А.Н. Скиба, Л.А. Шеметков. Кратно ю-локальные формации и классы Фиттинга конечных групп // Матем. Труды. 1999. Т. 2. № 1. С. 1 - 34.

7. Л.А. Шеметков. Экраны ступенчатых формаций // Тр. VI Всесоюз. Симпозиума по теории групп. Киев: Наукова думка. 1980. С. 37 - 50.

8. А.Н. Скиба. О критических формациях // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев: ИМ АНУкраины. 1993. С. 250 - 268.

9. В.М. Селькин, А.Н. Скиба. О ^щ-критических формациях // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гомельского ун-та. 1999. Вып. 14. С. 127 - 131.

10.И.Н. Сафонова. О минимальных ю-локальных не H-формациях // Весщ НАН Беларуси Сер. ф1з.-мат. навук. 1999. № 2. С. 23 - 27.

11. М.М. Сорокина, М.А. Корпачева. О n-кратно ю-веерных формациях конечных групп // Международная конференция «Алгебра и ее приложения» (тезисы докладов). Красноярск. 2007. С. 126

- 127.

12.В.А. Ведерников, М.М. Сорокина. ю-веерные формации и классы Фиттинга конечных групп // Математические заметки. 2002. Т. 71. Вып. 1. С. 43 - 60.

13.В.А. Ведерников. О новых типах ю-веерных формаций конечных групп // Укр. матем. конгресс. Алг. i теор. чисел. Пращ. Киев. 2002. С. 36 - 45.

14.Л.А. Шеметков, А.Н. Скиба. Формации алгебраических систем. М.: Наука. 1978. 256 с.

Об авторах

Сорокина М. М. - кандидат физико-математических наук, доцент Брянского

государственного университета имени академика И.Г. Петровского mmsorokina@vandex.ru

Корпачева М. А. - кандидат физико-математических наук, доцент Брянского

государственного университета имени академика И.Г. Петровского, sirserg3000@mail.ru